以“类型+方法”夯实基础 用“模式+变式”训练能力

以“类型+方法”夯实基础 用“模式+变式”训练能力

西北师大附中 蒋永鸿

讲座提纲： 一．考纲解读

1．考基础，突出主干内容 2．考能力，突出思想方法， 3．考素质，突出应用创新 二．命题分析

1．高考命题，以纲为纲 2．高考命题，以本为本 3．高考命题，以考为考 三．复习建议

1．抓课本题，深化知识基础 2．抓典型题，强化解题能力 3．抓易错题，优化思维品质

（以“类型+方法”夯实基础，以“模式+变式”训练能力，以“小题+大题”破解难题，以“问题+专题”提升素质） 四．答卷提示 1．审题与解题关系 2．会做与得分关系

1

3．快速与准确关系 4．难题与容易题关系

2

一．考纲解读

高考考什么，简单的说，就是考数学的基础知识，思想方法，能力素质。是如何体现的呢？ 1.1考基础知识，突出三个重点 １．１．１加强对课本内容的考查

课本是学习的依据，也是考试命题的依据，虽说这几年的高考命题把能力的考查放在首位，但对基础知识的考查始终未放松，而且突出了对课本内容的考查，一是注重课本知识的内在联系和思维过程，强调知识的之间的交叉、渗透和综合，二是体现在试题中始终有一定数量的课本类型题，导向着中学的数学教学。 １．１．２加强对新增内容的考查

“简易逻辑”--------主要起到语言和工具性作用，与不等式知识和集合内容联合命题，

“空间向量”-------选学内容，一道试题用两方法。或两道试题选一法，传统方法，空间向量方法。

平面向量------用选择、填空题体现基础性，考查基本概念、基本运算，用解答题体现工具性，与解析几何、三角函数整合 线性规划---------属课本要求层次，考简单运算与应用。 概率统计--------稳定于两小一大，侧重于分布列与数学期望，名为考查概率，实为考查排列组合知识

3

极限导数-------用小题考查基础：极限与连续，导数与切线方程，用解答题考查综合：以函数问题为背景，或含参问题的讨论，或不等式的证明，或求单调性，或求最值， １．１．３加强对重点内容的考查 函数和导数--------

占分比例大：用选择填空题考查函数的图象、性质，反函数，函数的极限、函数的连续、导数的几何意义等；

突出综合性：统揽各种知识，综合各种方法，运用各种能力； 考查思想方法：函数与方程思想，数形结合思想，分类讨论的思想，有限与无限的思想等。 数列-------

突出理性思维：以等差、等比数列的性质，an?Sn?Sn?1等关系为基础，通过抽象思维和逻辑思维考查创新能力。

突出思想方法：以选择填空题为依托，考查函数与方程，数形结合，特殊与一般，有限与无限，

突出实际应用：以生活实际为背景，创设问题情景，或求通项，或求前n项和。举例：

1.数列?an?的前n项和记为Sn，已知a1?1,an?1??S?证明:(1)数列?n?是等比数列,(2)Sn?1?4a.?n?n?2Sn,n

4

?an?满足a1?1,an?a1?2a2?3a3???(n?1)an?1(n?2)，则an? 2.已知数列3.?an?是公比a(a?1),为首项为b的等比数列，Sn是前项和，对任意点（Sn,Sn?1)

A.在直线y=ax-b上 B.在直线y=bx+a上 C.在直线y=bx-a上 D.在直线y=ax+b上 4．已知an?5．已知an?不等式------

体现基础性：用选择填空题考查不等式的性质，解法，及简单应用，突出综合性：与函数，导数、数列等知识的综合，与实际问题的结合，多种能力的整合，属知识网络交汇处，

考查灵活性：不等式问题的综合性也使问题的解决涉及较多的方法，运用较多的数学思想，使问题的求解有较大的灵活性.举例:

1.已知函数f(x)?lg(x2?2mx?m?2),（1）若该函数的定义域为，试求实数的取值范围，（2）若该函数的值域为，试求实数的取值范围（3）该函数的定义域与值域能否都是实数n?(n?N),则2n?156?an?的最大项是:

n?13n?14,求?an?的最大项和最小项

2.正实数a,b满足ab?a?b?3,则ab的取值范围是：

3.甲，乙两人在每一个月里，总是相约到一家小铺去买两次白糖，假设 白糖的价格是变化的而他们的购买方式又不一样，甲总是每一次买一千克，乙每一次只拿一元钱来买白糖，试问这两种买糖的方式哪一种合算？三角函数-------

5

一个重点：图象与性质，y?Asin(?x??)， 一个关键：三角变换，求值，化简， 一个方法：三角代换，

一个思想：方程的思想，化归为方程问题。

例1:已知锐角三角形ABC中,sin(A?B)?,sin(A?B)?,求证:tanA=2tanB,设AB=3,求AB边上的高.(2004) 立体几何-------

稳定于两小一大，选择填空题，以“双基内容”为基础，或考判断，或考运算，以画图、想图为核心、与平几知识结合，解答题，以多面体为依托，或考平行、垂直关系的证明，或考角、距离、体积的计算，以空间想象能力为核心，与运算能力，思维能力相结合， 立足于两种方法，传统方法：重点考查识图、画图、添加辅助线等形式表现出来的空间想象能力，以及使用演绎法进行逻辑推理的思维能力，向量法：以空间坐标系的形式考查空间想象能力，以坐标运算的形式考查逻辑推理能力。 解析几何--------

突出基本内容：基本概念，基本元素，基本关系，

突出运算能力：用“定义”简化，用向量简化，用“模块”简化， 突出思想方法：解析几何的基本思想，函数与方程思想，数形结合思想，特殊与一般的思想等，

6

35151.2考思想方法，突出三个层次

数学思想方法是对数学知识的本质的认识，是对数学规律的理性认识，是从具体的数学内容和对数学本身的认识过程中提炼上升的数学观点，是从数学的角度提出问题，解决问题的过程中所采用的各种策略、手段、方式和途径 。是数学知识在更高层次上的抽象和概括，蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中，是策略性知识。

1．2．1数学中的技巧性方法

特点：数学方法的第一层次，指与某些特殊问题联系在一起，在某种特定的情景下才能发挥作用，有固定的操作程序的方法。我们将其称之“解题术”或者解题技巧，

内容：求函数最值的“判别式法”，比较两个数大小的“差值比较法“，证明三点共线的“面积法”、代入法、消元法、换元法、配方法、三角代换法、坐标法、数学归纳法、待定系数法、反证法、割补法等

1．2．2数学中的逻辑性方法

特点：数学方法的第二层次，指解决某一类问题时可以采用的共同思维方法，它不仅适用数学内容，而且更具一般性，操作性因题而异，操作程序不是非常具体，但适用范围比较广泛，它们是数学考查中理解、思考、分析与解决问题的普通方法。

7

内容：分析与综合，归纳与演绎，观察与实验，比较与类比，具体与抽象，

1．2．3数学中的思想性方法

特点：数学方法的第三层次，数学思想，这是人类对数学的概念、命题、法则、原理以及数学方法的本质性认识，它虽然程序性弱，但功能性强，在具体的数学认知活动中，起着定向、控制和调节的作用，是提高数学活动的自觉性、正确性、速度和效率的保证。思想是对知识融会贯通的理解和升华，有思想的知识才是具有自我生成能力的知识，

内容：

函数与方程思想：所谓方程思想就是突出研究已知量与未知量之间的等量关系，通过设未知数、列方程或方程组达到求值的目的。所谓函数思想就是通过构建函数关系，产生使用函数方法来解决问题的思路。

数形结合的思想：数学研究的对象是数量关系和空间形式，在一维空间，实数与数轴上的点建立了一一对应的关系，在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立了一一对应的关系进而可以使函数解析式与函数图象、方程与曲线建立起一一对应关系，使数量关系的研究可以转化为图形性质的研究，图形性质的研究转化为数量关系的研究，这种解决数学问题的策略就是数形结合思想。

8

分类与整合的思想：从所研究的具体问题出发，选取恰当的分类标准，然后根据对象的属性把他们不重不漏的划分为若干类，对事物进行分类研究，当分类解决完之后，把他们综合到一起的方法。体现了由大化小，由整体化部分，由一般化特殊解决问题的方法，侧重于考查思维的严谨性和周密性。

化归与转化的思想：所以化归与转化的思想是指在研究解决问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化进而使问题得到解决 的一种策略，复杂问题化归为简单问题，较难问题化归为容易问题，未解决问题化归为已解决的问题，一般与特殊的转化，繁与简的转化，构造转化，命题的等价转化。

一般与特殊的思想：人们对一类新事物的认识往往是从这类事物的个体开始的，通过对某些个例的认识与研究，逐渐积累对这类事物的了解，逐渐形成对这类事物的总体认识，发现特点，掌握规律，形成共识，由浅入深，由现象到本质，由局部到整体，由实践到理论，这种认识事物的过程就是特殊与一般的思想。特殊化方法：构造特殊函数，特殊数列，寻找特殊点，确定特殊位臵，利用特殊值， 特殊方程等，研究解决一般问题，抽象问题，运动变化的问题，不确定的问题等， 有限与无限的思想： 或然与必然的思想：

9

1.3考能力素质，突出三种题型

高考数学，不仅要考查出考生数学知识的积累是否达到进入高校学习的基本水平，而且要考查出是否具备了进入高校继续学习的潜能，所以，命题突出以能力立意，注重知识的综合性与灵活性，在高考命题的设计与改革的实践中，逐步形成“五化”趋势：

高等数学初等化：

在高数与初数的衔接点上命题，在初数向高数的延伸点上命题，在初数中运用的高观点上命题，在新增内容的高数点上命题。 学科问题综合化：

学科内知识的综合，在体现多种数学知识的交汇点上命题； 学科内方法的综合，在体现多种数学方法、数学思想应用的融会点上命题；

学科内能力的综合，在体现运用多种数学能力的问题点上命题；跨学科知识的综合，在体现数学与其他学科知识的整合点上命题。

1．今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确，有人说要用它称物体的重量，只需将物

体放在左右托盘各称一次，则两次称量结果和的一半就是物体的真实重量，这种说法对吗？并说明你的结论。

分析：这是一道以物理知识为背景的应用题，求解的关键是利用杠杆平衡的原理：

力?力臂?力矩,杠杆平衡，力矩相等。

解答 如图，设物体的实际重量为M,天平两力臂的长分别为a,b,两次称量的结果分别为

10

?P?a?M?bP,Q,则：??M?PQ

Q?b?M?a?定义在R上的偶函数f(x)满足f(x?1)??f(x),且f(x)在[?9,?8]上是减函数，2．又?,?是锐角三角形的两内角，则f(sin?),f(cos?)的大小关系是：内容形式创新化：

，

立意的确定要突出能力和素质，融知识、能力、素质于一体，情景的创设要力求新颖和公平，融探究、实践、创新于一体，设问的角度要体现美感和灵感，融情感、态度、价值于一体。 实际问题数学化：

关注生活，关注热点，发挥教育功能； 应用模型，建立模型，强化应用意识； 分析问题，解决问题，活用思想方法。 课题研究试题化：

增添附加题，检测课题研究的学习成果； 设计压轴题，检测动手操作的实践能力； 加重应用题，检测知识应用的创新意识。 １．3．１综合题

所谓综合题，是将知识、方法、与能力有机的融为一体，这种综合题往往有一定的难度。是高考卷中的把关题和压轴题。

特点：知识容量大，解题方法多，能力要求高，凸显数学思想

11

方法的运用，体现一定的创新意识。简单题+简单题=难题，压轴题由重点考点与热点考点交汇而成。

解法：审题时要把好三性：目的性（盯住目标），准确性（准确把握基础知识），隐含性（挖掘隐含条件），分析时注意三化：具体化，简单化，和谐化，表述时注意三变：语言的变换，概念的变换，数形的变换，

x2y2题1：设椭圆2?2?1(a?b?0)的焦点为F1,F2，P是椭圆上任意一点，ab2??F1PF2的最大值为，3（1）求椭圆的离心率，已知线段的长度的最大值为4，求椭圆的方程和直线的方程

（2）设直线与椭圆相交于两点，且与以原点为圆心半经等于短轴长的圆相切，分析:

小题1:在所给条件下,求椭圆的离心率,(考查椭圆的定义和性质) 小题2:求函数y?1?k2的最大值. 222(1?k)?6(1?k)?9小题3：直线与椭圆相交于两点，且与以原点为圆心半经等于短轴长的圆相切，求两交点的距离。

题2：设二次函数f(x)?x2?x,当x?[n,n?1](n?N?)时,f(x)的函数值的所有整数值2n3?3n2的个数为g(n)，(1)求g(n)的表达式，(2)设an?,g(n)Sn?a1?a2?a3?a4???(?1)n?1an,求Sn(3)设bn?g(n),Tn?b1?b2???bn,若Tn?l(l?Z),求l的最小值n2分析:考查内容:二次函数在给定区间上的最值的求法及连续性;有自

12

然数n到自然数m,之间整数的个数,分类讨论数列的求和问题,等差数列的求和公式,错位相减法求和,恒成立问题转化为最值问题. 题3：已知等比数列?xn?的各项为不等于1的正数，数列{yn}满足

yn?2,(a?0,a?1),y3?18,y6?12 logaxn（1）数列?yn?的前多少项的和最大，

（2）是否存在自然数M使得n>M时，xn?1恒成立，若存在求出相应的M,若不存在请说明理由

(3)an?logxxn?1(n?12,n?N),试比较an,an?1的大小.

n4．ΔABC的三边分别为a,b,c,且c=10,

cosAb4??,P为ΔABC内切cosBa3圆上的点，求P点到 A,B,C的距离的平方和的最大值和最小值。 １．3．２创新题

特点：立意新,突出对多种数学能力的考查，增加对学习潜能的考查，体现对非智力因素的考查，强化对代数推理能力的考查;

情景新,体现跨越学科的知识融合,凸现情景新颖的数学应用,展现自主创新的空间世界,表现能力立意的课改特点; 以高等数学的知识为背景，以高等数学的思想、方法、形式为背景，以著名的数学问题为背景。涉及的问题往往是数学的某一分学科发展初期比较核心的问题，或某一分支中比较著名的问题这些问题反映该分支的思想方法，另外是高等数学中与初等数学比较靠近的内容，如凹凸性，

13

不动点原理，压缩映象原理等。

设问方式新,开放条件，由具体到抽象，考查问题的深刻性；探索结论，由填空到构造，考查能力的综合性；迁移信息，由平面到空间，考查思维的发散性。

能力要求高，试题的情境陌生，设问新颖灵活，引导学生自我探索，独立的解决问题；在考查学科能力的同时要考察一般能力，如注意力、观察力、思维力，尤其是理解能力，学习能力，对信息进行加工 的能力，从学生学习潜能的角度进行测试；在试题的设计上，注意引导学生自己探索问题的结论，结论是开放的，需要考生自己通过观察、分析、归纳、概括，作出科学的判断；

求解思路活，在试题的解答上体现多层次，多方位，多角度的解决问题，有利于创造性的去解决，能够体现思维的深刻性，多样性，判断性，或类比、或猜想、或构造，给考生一个展示才华的机会，给学生一个创新的天地，体现出部分学生解法上的新颖和创造精神

举例：1995年第25题的背景是“琴生不等式”，第26题的背景是平面区域的“映射变换”，

1996年第23题的背景是“契比雪夫多项式的马尔科夫定理”，1997年的21题的背景是“递归数列以不动点为极限的条件”，

2002年文科 的三角形剪拼题，考察学生动手动脑的能力，研

14

究性学习的能力，

x2y2（2003上海）已知椭圆C1:2?2?1,(a?b?0)具有性质：ab若M、N是椭圆C1上关于原点对称的两点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率kPM,kPN都存在时，那么，kPM?kPN是与P位置无关的定值。试对双曲线写出具有类似特征的性质并加以证明。（2003新课程）：在平面几何里有勾股定理：设?ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2?AC2?BC2.拓展到空间、类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面面积的关系，可以得出的正确结论是：

（2000上海）?an?中，若a10?0,则有等式：a1?a2??an?a1?a2??a19?n,(n?19,n?N)成立，类比上述性质，相应地：在等比数列?bn?中，若b9=1，则有等式 成立。课本习题：设a、b是两个实数，求证：若a?1,b?1,则a+b?1.1+ab

对于三个数a、b、c是否存在着类似的结论？已知命题：椭圆的两个焦点为F1,F2，椭圆上任意一点Q，从任一焦点向?F1F2Q的顶点Q的外角平分线引垂线，垂足为P，则点P的轨迹为圆（除两点），类比联想上述命题，将“椭圆”改为“双曲线”，则有命题：

15

１．3．３应用题

考查应用意识也是高考命题改革的方向之一，这些年来进行 了大量的探索，从解答题到选择题，填空题，从一般应用到真实性应用问题，从传统内容到新增内容，改革取得了不小的进展。

特点：题目有一定的实际背景，数学化程度和文字表述都比较新颖，其目的在于考查学生把实际问题抽象成数学问题的能力，培养考生把数学知识应用到生产、生活实际的应用意识，考查学生的阅读理解能力，考查数学语言。

类型：与函数、方程、不等式有关的应用题；经常涉及到路程、速度、物价、产量、人口、土地、产值等实际问题，也涉及长度、角度、面积、体积等几何量；与数列有关的应用题，经常涉及到产量，产值，利息等；与三角函数有关的问题，涉及建筑、物理量等；与空间图形有关的问题，如空间观测地球经纬度等；与直线和圆锥曲线有关的问题，如人造卫星，桥梁等。

16

解法：阅读-----转化------求解------作答

阅读：文理：明确字、词、句的准确含义；事理：想清楚是怎么会事；数理：如何表征为数学的符号、数式、模式、关系。 2．命题分析

2.１高考题以纲为纲：

《考试大纲》就是对考什么、考多难、怎样考这3个问题的具体规定和解说。对《考试大纲》的解读: （1） 对知识点要求的解读，

明确知识点的要求层次,第一层次，了解---要求对所到知识内容有初步的、感性的认识，知道有关问题，并能在有关问题中直接应用。第二层次，理解和掌握---要求对所列知识内容有较深刻的理性认识，能够解释、举例或变形，推断并能利用知识解决有关问题。第三层次，灵活和综合运用---要求系统地掌握知识的内在联系，能运用所列知识分析和解决较为复杂的或综合性的问题。

按要求层次进行复习,在有限的时间内突出重点,如对函数,数列,不等式,平面向量,圆锥曲线,概率,立体几何,导数都提出较高要求,必是重点和热点,是解答题的命题对象,

（2）对能力点要求的解读

数学科考试着重考查思维能力，运算能力，空间想象能力，实践能力，和创新意识，

17

思维能力：思维能力是以数学知识为素材，通过空间想象、知觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和模式构建等对客观事物中的空间形式、数量关系和数学模式进行思考和判断的能力，表现为会对问题或资料进行观察、比较、分析、综合、抽象概括；会用类比、归纳、和演绎进行推理；能合乎逻辑的、准确地进行表述，高考的侧重点是：

演绎推理能力：从定义、定理、出发进行分析、推理、论证的能力；

归纳推理的能力：是一种由旧事物发现新事物的推理方法，含有创造力的成分。

类比推理能力：

直觉思维：是指不受固定的逻辑规则的约束，直接领悟事物本质的一种思维方式，以选择、填空题为主，在试题的设计上，往往从多种方法，多个角度来考虑给学生提供较为广阔的思维空间。以便以解答时间的长短来衡量考生的思维水平。

数学语言：语言是思维的载体，数学语言是数学特有的形式化符号体系，包括文字语言，符号语言，图形语言，高考要求考生能根据实际情况进行三种语言的转换，一是读懂题目的叙述，二是能清楚、准确、流畅地表达解题过程。

运算能力：表现为会根据法则、公式、进行正确运算、变形和

18

数据处理；能根据问题的条件，寻求与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算，要求：运算的合理性；运算目标的确定，运算途径的选择，运算依据的思考，运算的准确性，概念准确无误，公式准确无误，法则准确无误，运算的熟练性，多一点思考，多一次机会，熟能生巧，多一种方法，多一种选择，熟能生“快“，多一次练习，多一分成功，熟能生“准“，运算的简捷性，运算路径短，运算步骤少，运算时间省，突出概念的灵活应用，公式的恰当选择，思想方法的合理使用，

空间想象能力：能根据条件作出正确的图形，能根据图形想象出直观形象，能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系，能对图形进行分解、组合与变换，会运用图形与图表等手段形象的揭示问题的本质。

实践能力：能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决相关学科、生产、生活中简单的数学问题，能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题 ， 数学模型；应用相关的数学方法解决问题并加以验证并能用数学语言正确地表述和说明，实践能力是将客观事物数学化的能力。

创新意识：表现为对新颖的信息、情景和设问，选择有效的方法和手段分析信息，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想方法，

19

进行独立地思考、探究和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题。

（3）对样题的解读,

通过样题的解读，能沟通考纲和考题的之间的联系,更准确的把握考点的要求层次,更有效地发现命题规律,数学有很强的概念性，特有的思辨性，突出的量化性，解法的多样性，是数学的重要特点，所以数学题要充分的体现这一特点，如何体现这一特点呢？ 在各知识点的内在联系上设计题目，突出对多个知识点的综合考查；在各知识点的本质特征上设计题目，突出对基本内容理解的深度和广度的考查；在各种知识点的纵横关系上设计题目，突出对思维的多端性的考查；在学生常犯错误的背景上设计题目，突出对思维优良品质的考查；在解题的技巧和方法上设计题目，突出对学生的思维层次的考查。

２．2高考题以本为本：

高考命题遵循一个原则：“题在书外，理在书中”，“贴近课本，有所变通，难易适度，富有新意”， 课本能为创设数学问题、有效考评学生提供丰富的素材；同时命题以知识为基础，贴近教材，体现了对全体考生的公平、公正原则， 纵观历年的高考试题，不难发现其与课本习题有着密不可分的联系，有些高考题就是课本习题；

20

有些高考题是课本习题的新排列与重组合，总可以从课本习题中找到“原型”和“影子”；有些高考题可利用课本习题的结论找到求解的捷经。高考题虽植根于课本却活于课本，高于课本，是从课本习题的内容和方法出发，在数学概念和方法的内涵与外延上去挖掘；是从课本知识结构的整体出发，在知识运用的灵活性和综合性上去运筹；是从吸取课本习题的思想、规律出发，在分析问题，解决问题的能力上去追求。 ２．３高考题以考为考：

每年的高考命题，总会参考历届的高靠试题，既要避免雷同，又不回避重点，既要充分体现考试说明的具体要求，又要保证试题的相对稳定，研究与参考历届的考题是必不可少的，考竞赛题，随着高考的改革，对考生能力的要求越来越高，为了使出类拔翠者脱颖而出，对研究性学习进行有效的导向，有些高考题以数学竟赛题为背景，而数学竞赛题，常常以高等数学知识为背景设计问题，知识的深度向竞赛内容延伸，如对函数周期性的考查，试题的难度向竞赛试题靠近，试题的解法向竞赛题借鉴，如构造、类比、创新。重点内容常考不懈， 3．备考建议

第一阶段的复习是把知识细化，拓宽知识点，把书念厚，第二

21

阶段把方法优化，提炼方法点，把书读薄，第三阶段，把素质升华，聚焦能力点，把书学“丢”。

研究高考和课本的关系就会发现，课本的例习题与高考题有着很大的差别，一是知识理解的深度不够，课本题大都是概念、公式的简单应用，没有体现出高考的深度和难度，二是问题的类型不够，高考所要求的数学题的类型，特点，及解答方法，在课本中体现的很少，甚至未涉及到，三是对数学的思想方法论述不够，课本以渗透的方式的体现，没有做详细的论述和介绍，与高考的要求有一定的距离，所以，高考复习的第一阶段就要按考纲的要求，把知识细化，加大理解的深度，把方法拓宽，加强练习的难度，一句话，按高考的要求，把知识、方法、类型，加多，加深、加宽，把书念厚。

常庚哲先生在《通过问题学解题》一书的序言中说道“学习数学，主要是学习解决由他人提出并已有答案的问题；而独立从事数学研究的阶段，则是试图解决自己提出的或是由他人提出但至今还没有答案的问题”，可以说通过解决问题学解题，这是由数学学科本身的学习特点所决定的，因为“问题是数学的心脏”（美国著名数学家P﹒R﹒Halmos语）。但是要想在较短的时间里提高做题的效益就得要化更多的时间去思考，去分析，去归纳解题的方法与规律。要特别重视错题改正工作，注意从所做的习题中找出解答同类题目的最简捷方法和最直接思路，从错误中找到经验与教训，同时

22

注意提高做题的质量而不是单纯地追求做题的数量。所以在高考复习的第二阶段，

3．1以课本题为基础，深化理解，强化双基, 理清考点:对照书本解读考纲,查漏补缺,强化重点,

理清关系:对主干考点,进行知识结构的重组,建立相互之间的内在联系,

3．1．1返朴归真找方法，抓定义解题 等差,等比数列的定义（从定义中找方法） 函数奇偶性的定义（从定义中找归律） 圆锥曲线的定义（从定义中找关系） 异面直线所成角的定义等（从定义中找根据） 1．

一动圆与圆x2?y2?6x?5?0外切，同时与圆x2?y2?6x?91?0内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是怎样的曲线？（第二册上，P129例1）

2．斜率为1的直线经过抛物线y2?4x的焦点，与抛物线相交于A、B两点，求线段AB的长。（P118例3）

3．在相距1400的两哨所，听到炮弹爆炸声的时间差3，且声速是340，求炮弹爆炸点的轨迹方程.（p1086）. 3．1．2 改头换面，找新意， 抓变式训练

题1：n有条直线，任何两线不平行，任何三线不共点，证明交点的个数f(n)=

n(n?1). 223

思考1：这种相交方式是不是交点个数最多的情况？ 思考2：如果没有告诉结论那么结论将任何推出？

思考3：如果将问题变为满足条件的条直线相交把平面分成多少部分？类似的问题又将任何解？

思考4：空间内有n个平面，其中任何两个不平行，任何三个不共线，那么，这n个平面把空间可分成多少个部分？

思考5：平面内有n个圆，其中任何两个都相交于两点，任何三个都不相交于同一点，那么，这n个圆把平面分成多少部分？ 思考6：球面上任给n个大圆，其中任意三个大圆不相交于一点，那么这n个大圆把球面分成多少个部分？

思考7：生活情景：一个烧饼用刀去分，切七刀，最多能分成多少快？

题3：（P12例1）已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点，求证四边形EFGH是平行四边形.

①将结论改为：设AC=a, BD=b,求EG2?HF2的值。

24

②已知E、H分别是空间四边形四边ABCD的边AB、 DA的中点，F,G为 BC、CD上的点，且CF:FB=CG:GD=2:3,求证四边形EFGH是梯形.

③如图，E、F、G、H分别AB,BC,CD、DA四边的中点,AC⊥BD. 求证:EFGH是矩形.

④已知E、F、G、H分别为空间四边形ABCD四边AB、BC、CD、DA上的点，

AEAHCFCG???1，???2，根据?1与?2的关系，判断EBHDFBGD四边形EFGH的形状.

⑤ 若平面EFGH平行于BD、AC，AC、BD的长为定值，所成的角为定植，求四边形EFGH面积的最大值 3．1．3剥蚕抽丝找规律，抓公式定理解题

课本中有许多题设、结论、数字特征、求解方法等方面有共性的例习题，把这些类同的问题、相关的问题、相似的问题“集合排队”，在异同的比较中理清关系，在共性的探索中抓住规律，在差别的分析中明确特征，从而使不同的问题有相通的解法，不同的方法有同一的用法，不相关的知识有相关的联系。 举例1：三棱锥的顶点在底面上的射影问题

①（P81复习参考题A组第6题）棱锥的底面是边长为a的等边三角形，每条侧棱与底面所在平面所成的角都是β，求它的高。 ②（P79例3）已知球面上的三点A、B、C，且AB=6cm，

25

BC=8cm,AC=10cm,球的半径为13cm.求球心到平面ABC的距离. ③(P48例1)已知正三角形ABC的边长为6cm，点O到ΔABC各顶点的距离都是4cm，求点O到这个三角形所在平面的距离. ④（P34例6）已知：在空间四边形OABC中，OA⊥BC,OB⊥AC. 求证：OC⊥AB

⑤（P81复习参考题B 组第6题）三棱锥的底面是两条直角边长分别为6cm和8cm的直角三角形，各侧面与底面的所成角都是60°，求棱锥的高.

通过分析,发现这几道例、习题,虽然设问方式不同，求解的目标也不同，但求解的关键点是共同的：确定棱锥顶点在底面三角形上的射影的位臵，有的是外心，有的是内心，有的是垂心，，有的是中心。正是靠联想这样的方式使学生发现了这些习题之间的相互联系，从而使不同的问题有了相互的沟通，并且通过这一组类题的解答，也使学生对问题所涉及的特殊关系有了比较系统而且完整的认识。 举例2:曲线系方程问题：

直线系（通过定点问题），（72页10题）不论m为任何实数，方程（3m+4）+(5-2m)y+7m-6=0所表示的直线必通过一定点，并求出这一点的坐标。

圆

系

（

公

共

弦

方

程

问

题

）

26

1.求经过两条曲线x2?y2?3x?y?0,3x2?3y2?2x?y?0交点的直线方程。2.求两圆x2?y2?10x?10y?0,x2?y2?6x?2y?4?0的公共弦的方程。(88页24题，72页9题）

两条曲线的方程是f1(x,y)?0,f2(x,y)?0,，它们的交点是P(x0,y0),求证方程f1(x,y)??f2(x,y)?0的曲线也经过点。 椭圆系（证明两椭圆的四点共圆问题）， 举例3：正切的和角公式：tan(???)?tan??tan?的应用

1?tan?tan?推导过程：正余弦的和差角公式，化弦为切的方法，转化的思想

???),tan??tan?,tan?tan?三者之间的关系， 结构特征：揭示tan(公式变形

tan??tan??tan(???)(1?tan?tan?),tan?tan??1?tan??tan?，

tan(???)（1）证明：（1+tanx）(1+tany)=2,其中x+y=;

（2）求(1?tan1?)(1?tan2?)(1?tan3?)(1?tan4?)?(1?tan45?)? ; （3）在ΔABC是非直角三角形，证明：

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC;

（4）若x+y+z=nπ,求证：tanx+tany+tanz=tanxtanytanz; （5）求证：tan(x-y)+tan(y-z)+tan(z-x)=tan(x-y)tan(y-z)tan(z-x); （6）tanAtanB>1,判断ΔABC的形状等。 3．1．4．殊途同归找妙法,优化解题方法

题1．(P51习题9.8第4题)已知正方体ABCD-EFGH的棱长为1，求

27

?4直线EG与AH的距离。

① 转化为求两条异面直线上任意两点间距离的最小值； ② 求两条异面直线的距离须先确定其公垂线；

③ 求两条异面直线的距离可转化为求互相平行的线面之间的距离 ④ 用公式：d=l2?m2?n2?2mncos?。 ⑤ 将问题转化为互相平行的平面间的距离， ⑥ 转化为多面体的高， ⑦ 用向量的方法求解

题2．（P80 习题）：一条线段夹在一个直二面角的两个面内，它和两个面所成的角都是30°，求这条线段与这个二面角的棱所成的角。

用面面垂直的性质解；用取中点构造平行线解；用向量法解；

?1cos?2?cos?解；用公式：用空间直角坐标系解；用公式：cosd=l2?m2?n2?2mncos?解。

123n题3：证明：Cn?2Cn?3Cn???nCn?n2n?1， ?1方法1，用关系：kCnk?nCnk?1

28

方法2，“倒写相加法”，关键：利用性质Cnm?Cnn?m，

12n?1nsn?Cn?2Cn???(n?1)Cn?nCnnn?1n?2n?1sn?nCn?(n?1)Cn???2Cn?Cn2sn?nC?nC???nC?n(C?C??C)2sn?n2n?sn?n2n?1.0n1nnn0n1nnn

0122nn（1+x)n?Cn?Cnx?Cnx??Cnx12nn?1?2Cnx??nCnx 方法3，求导数的方法，?n(1?x)n?1?Cnx?112n???Cn?2Cn??nCn?n2n?1方法4，数学归纳法，

兔子数列：a1?1,a2?1,an?1?an?an?1,

某人由楼下到楼上共有13个台阶，他可以一步上一个台阶，也可一步上两个台阶，问从楼下到楼上有多少种不同的走法？ 3．2以典型题为载体，强化方法,理清题型,理清方法

典型问题求类化，数学题，浩如烟海，但类型有限，方法有限，咬定典型题，穷根究底，探索解法，引申结论，迁移方法，抓主关键，把握规律，举一反三，触类旁通，这样，才能使思维在解决问题过程中表现出游刃有余，足智多谋的灵活。重点题的解法分析，热点题的内含解析，疑点题的错因辨析，难点题的障碍剖析。多角度、多方面探索问题的求解途径，多层次、多渠道建立它和其它问题的紧密联系，适当的变换它的条件，它的结论，不论是“改头换面”的等价变换，还是脱胎换骨的非等价变换，都会使学生，打破“类型+方法”，的定势，形成“模式+变式”的灵活，打破司空见

29

惯的“困境”，开创柳暗花明的新境。

解题方法求优化。如今的高考命题 已步入科学化、规范化的轨道，试题数量多，内容覆盖面广，思考方式活，解题入口宽，一道题可以用多种方法求解，能从各种角度思考，如果思维缺乏应有的灵活性，就会因拘泥于某一种思路而窒息，本来换种角度就可捷足先登的问题，可能会因战略上执迷不悟的墨守成规而误入歧途，如果方法单一就会吊死在一棵树上，本来一望而解的问题，可能会因战术上老牛拉破车的“精研细算”而贻误战机，所以，只有靠优化的解题方法去赢得足够的时间，才能减少会做而没时间做的遗憾，只有靠优良的思维品质去寻求解题的捷经，才能在优胜劣汰的高考场上脱颖而出，所以，就要通过多角度，多渠道的探索问题的各种解法，通过优劣的比较，优化解题方法，多方位，多层面研究问题的各种变化，各种联系，从而使思维有“由此及彼”的灵活，“小中见大”的深刻。

解题过程求范化。不仅要分析思路的形成，更要诠释细节的完整，忽视细节的处理，不注意过程的完整，常常是考试失分的原因；不仅要突出方法的重要，更要强调反思的必不可少，只有引导学生对解题的全过程进行回顾、反思，概括、总结，才能扩大解题的效益，发挥典型题的巨大作用，让学生切实体会，审题与解题，思路与细节，会做与得分，快速与准确的关系。

30

数学不是读会的，也不是听会的，是靠练习做会的，数学知识的理解需要通过解题实践来内化，数学方法的掌握需要解题实践来活化，数学能力的形成需要解题实践来升化，所以，动脑思考，动手做题才是学数学的根本，学习数学就意味着善于解题，“课堂听来终觉浅，绝知此事要实践”，听老师讲，听懂，只是一种认同，应该这样，常常会因“时过境迁”而“烟消云散”，自己动手做，是体验，才能彻悟，为什么这样，才能体会到，在前进的道路还会有暗礁，还会有隐患，还会有看不见的艰难险阻，只有经历克服困难的体验，才会有刻骨铭心的深刻，所以，只有通过自己的实践和体验去完成解题过程，才能真正达到发展能力、开发智力的目的；只有让学生经过问题解决与习题操练的解题活动，才能实现知识转化为能力的目标；只有通过练习教师才能了解到学生的思维状态，准确把握学生存在的具体问题，使得复习能有的放矢；只有通过练习，才能使学生自诊出在知识理解的深度，方法运用的速度，问题解决的效度等方面与目标要求的差距，补其所遗，救其所失。

一是以选择题、填空题为主的课堂定时练。高考题的求解，是在指定时间内完成，与平时的做作业不同，决不能由马行缰，也与平时的钻研不同，不能三天五日的思考，它要求应试者有训练有素的敏锐观察与灵活思维，靠优化的方法，抢时间，争速度，出成绩，所以，在平时，就要通过这种方式练速度。定内容，限时间，由漫

31

到快，由弱到强，由紧张到沉着，由完不成到完成，从而实现时间把握上的大突破。

二是以解答题为主的课后探索练。如今的高考命题 已步入科学化、规范化的轨道，试题数量多，内容覆盖面广，思考方式活，解题入口宽，一道题可以用多种方法求解，能从各种角度思考，如果思维缺乏应有的灵活性，就会因拘泥于某一种思路而窒息，本来换种角度就可捷足先登的问题，可能会因战略上执迷不悟的墨守成规而误入歧途，如果方法单一就会吊死在一棵树上，本来一望而解的问题，可能会因战术上老牛拉破车的“精研细算”而贻误战机，所以，只有靠优化的解题方法去赢得足够的时间，才能减少会做而没时间做的遗憾，只有靠优良的思维品质去寻求解题的捷经，才能在优胜劣汰的高考场上脱颖而出，所以，就要通过课后的探索性练习，用足够的时间，特有的轻松，多角度，多渠道，的探索问题的各种解法，通过优劣的比较，优化解题方法，多方位，多层面研究问题的各种变化，各种联系，从而使思维有“由此及彼”的灵活，“小中见大”的深刻。

三是以试卷题为主的单元过关练。考试与平时的作业，练习不同，有限定的时间，限定的内容，具有强大的测量功能，在高考的复习中，每一章节的知识点、能力点、方法点是否达到规定的要求，还存在哪些具体的问题，都需要做及时的检测，用试卷题这种特殊

32

的方式进行全方位的考察，既能使学生以高度的注意力，充分发挥自己的能力，考出优异成绩，逐步适应考试。又能及时检测出教与学的实际情况，为后一阶段的教学提供决策依据。 3．2．1函数问题：

1．函数的定义域，值域问题，解析式问题， 2．函数的单调性，奇偶性，对称性，周期性问题 3．函数的图像问题

4．常考函数: (定义域,值域,奇偶性,单调性,对称性,最值)

二次函数问题：给定区间上的最值问题，用二次函数讨论二次方程

根的分布问题，二次不等式的解的问题。

绝对值函数

ax?b cx?db对号函数问题y?ax?

x反比例型函数，y?抽象函数问题 反函数问题

题1：在R上的减函数f(x)满足，当且仅当

x?M?R?时，函数值f(x)的集合为[0，，2]1且f()?1,又对M中的任意x1,x2都有f(x1?x2)?f(x1?x2).211 (1)判断和是否都是M中的元素，并说明理由，48（2）若f-1(x)表示f(x)在上的反函数，则f-1(x)是否具有这样的性质：f?1(x)?f?1(x)?f?1(x1?x2).

33

题2：点(2,1),既在y?ax?b的图象上,又在其反函数的图象上，求a,b的值.

方法一：解方程组??1?f(2)?1?f(2)?1（解出后互换）

?1?f(2)方法二：解方程组?（直接互换）

2?f(1)?方法三：把点（2，1）看成原函数上的点；把点（2，1）看成反函数上的点，则其关于y=x的对称点（1，2）在原函数上。 说明：（1）互为反函数的两个函数的图象的交点一定在y=x上吗？ （2）f(x+1)的反函数是f?1(x?1)吗？

(3) 若若f(x?1)的反函数是f?1(x?1)，f(2)?1,f(1)?? （4）求解思路：映射法，代点法

1x(e?e?x) 2定义域：x?R

举例2：y?极限思想，x???,ex???,?e?x?0,?y???值域：x???,e?0,?ex?x???,?y???

x?0,y?0,?y?R奇偶性：奇函数

单调性：y1?e,为增函数，y2??e为增函数,?y?e?e为增函数 反函数：

x?xx?xy?1x1(e?e?x)?2y?ex?e?x,设t?ex?0,e?x??t2?2yt?1?02t2y?4y2?4?t??y?y2?1,?t?y?y2?1,?ex?y?y2?1,

2?y?ln(x?x2?1) 34

f(x)?lg(ax?bx),(a?1?b?0),相关连接：1.

(1)求函数的定义域(2)不等式f(x)?0,的解集为x?(1,??)，求a,b满足的条件(3)在f(x)的图象上是否存在两点A,B，使得直线AB平行于x轴

y?lg(x2?ax?a?2), 2．(1）若定义域是全体实数，求a的取值范围

（2）若值域是全体实数，求a的取值范围 3．f(x)?x2?mlg(x? 4．求f(x)?lg(x?x2?1),f(3)?15,求f(?3)

x2?1)的定义域

5．给出下列图象，其中可能为函数y?x4?ax3?bx2?cx?d,的图象的

是

A B C D

(提示：应用极限的思想，求导数的方法，看函数值的变化，y??4x3?3ax2?2bx?c

当x???,y??0，函数为增函数;x???,y??0,函数为减函数，所以，选A,B

）

举例2：.已知函数f(t)对任意实数x,y，都有f(x?y)?f(x)?f(y)?3xy(x?y?2)?3,f(1)?1，(1)若t为自然数，试求f(x)的表达式，(2)满足条件f(t)?t的所有整数能否构成等差数列，若能，求出此数列，若不能，请说明理由，(3)若t为自然数，且t?4时，f(t)?mt2?(4m?1)t?3m恒成立，求m的最大值。

35

分析：

（1）f(x?y)?f(x)?f(y)?3xy(x?y?2)?3?f(t?1)?f(t)?f(1)?3t2?9t?3,当t为自然数时，让t从1,2,3?,t?1取值有f(t)?[f(t)?f(t?1)?f(t?2)]???[f(2)?f(1)]f(1)?3[(t?1)2?(t?2)2???1]?9[(t?1)?(t?2)???1]?4(t?1)?1(t?1)t(2t?1)t(t?1)?f(t)?3?9?4(t?1)?1?t2?3t?362当t为自然数时,f(t)的解析式是f(t)?t3?3t2?3(2)当t?0时，在f(x?y)?f(x)?f(y)?3xy(x?y?2)?3中令x?y?0,知f(0)?f(0)?f(0)?3,得f(0)??3,当t?Z?时，?t?N,f(x?y)?f(x)?f(y)?3xy(x?y?2)?3知f(t?t)?f(t)?f(?t)?6t2?3?f(0)??3得f(t)??f(?t)?6t2?6??[(?t)3?3(?t)2?3]?6t2?6?t3?3t?3，综上所述,当t?Z时t(t)?t3?3t2?3?f(t)?t,?t3?3t?3?t,?t1?1,t2??1,t3??3?t1,t2,t3成等差数列,此数列为1,?1,?3;?3,?1,1当t?N时,f(t)?t3?3t2?3,f(t)?mt2?(4m?1)t?3t恒成立,（3）知t?3t?t?3?m(t?4t?3)恒成立,?t?4,32

?(t?1)(t?1)(t?3)?m(t?1)(t?3)?t?1?m恒成立,?m?3.举例3：已知函数f(x)，满足f(logax)?a?1(x?x)，其中a?0,a?1， 2a?1（1）对于函数f(x)当x?(?1,1)时，f(1?m)?f(1?m2)?0,求实数m值的集合（2）当x?(??,2)时，f(x)- 4值恒为负数，求a的取值范围

反比例函数型函数

已知函数f(x)?3x?1,则它的反函数f?1(x) x?2A.在（??，?2）和（?2，??）上均为减函数B.在（??，?2）和（?2，??）上均为增函数C.在（??，3）和（3，??）上均为减函数D.在（??，3）和（3，??）上均为增函数相关连接：求此函数的中心坐标，作方程xy+2y-3x+1=0的曲线， 抽象函数 举例1：

36

、

已知定义在实数集上的函数y=f(x)不恒为零，同时满足f(x+y)=f(x)f(y)，且当x>0时f(x)>1,那么,x<0时，一定有

A.f(x)<-1 B.-11 D.0

分析：抽象函数问题的解答，一般要从两个角度去思考，一是取特值，二是找特例 方法一：取特值

令x?y?0,?f(0?0)?f(0)f(0),?f(0)?1,令x?y?0,?f(x)f(?x)?1,1,?0?f(?x)?1. f(x)1若x?0,则?x?0,f(?x)?1,?f(x)?,?0?f(x)?1f(?x)若x?0,则f(x)?1,?x?0,f(?x)?方法二：找特例

我们熟悉的函数：y?2x符合所给条件，如图所示，显然当x>0时f(x)>1,那么,x<0时，

一定有0

设定义在实数集上的函数f(x)满足f(x?1)?则f(2003)的值为__________1?2f(x)?[f(x)]2,且f(?1)?1,2

分析：这类函数问题，从形式上就可以看出是周期函数问题，取特值，进行推算，

37

取x??1,由f(x?1)??f(0)?1?2f(x)?[f(x)]21?f(?1)?[f(?1)]2?1,2112 ?f(1)??f(0)?[f(0)]?,221?f(2)??f(1)?[f(1)]2?121?f(200)3?f(1)?.2

已知f(x)是定义在实数集上的函数，且f(1)=1,对任意x?R都有下列两式成立

f(x?5)?f(x)?5,f(x?1)?f(x)?1,若g(x)=f(x)+1-x,则g(6)=_____________

令x?1,则f(6)?f(1)?5?6,分析:f(6)?f(5)?1?f(4)?2?f(3)?3?f(2)?4?f(1)?5?6

?f(6)?6,g(6)?f(6)?1?6?1相关连接：已知f(x)是定义在实数集上的函数，且f(1)=1,对任意x?R都有下列两式成立

f(x?5)?f(x)?5,f(x?1)?f(x)?1,若g(x)=f(x)+1-x,则g(2005)=____________

分析： 方法一：

38

f(x?5)?f(x)?5,由f(x?1)?f(x)?1?f(x?2)?f(x?1)?1?f(x)?2?f(x?3)?f(x)?3?f(x?4)?f(x)?4?f(x?5)?f(x?4)?1?f(x)?5?f(x?5)?f(x)?5f(2005)?f(2000)?5?f(1995)?5?5?f(1990)?5?5?5???f(0)?401?5方法二：f(x?1)?f(x)?1又?f(x)?5?f(x?5)??????f(x?5)?f(x?4)?1?f(x?3)?2?f(x?2)?3?f(x?1)?4 ?f(x)?5?f(x?1)?4,?f(x)?1?f(x?1)由f(x?1)?f(x)?1,f(x)?1?f(x?1)?f(x?1)?f(x)?1由f(x?1)?f(x)?1得f(2)?f(1)?1f(3)?f(2)?1f(4)?f(3)?1

??????f(200)5?f(200)4?1?f(200)5?f(1)?2004f(200)5?200?4f(1)?2005 ∴g(2005)=f(2005)+1-2005=2005+1-2005=1

举例1：已知函数的定义域为R，对任意x,y满足f(x+y)=f(x)+f(y)，当x>0时,f(x)>0，判

断f(x)的奇偶性，单调性 举例2：设函数f(x)定义域是x?0，对任意x1,x2(x1x2?0)都有

f(x1x2)?f(x1)?f(x2)若f(x)，在(0,??)上是增函数，解不等式

39

1f(x)?f(x?)?0.

2举例3：f(x)是定义在R上的函数，f(x+1)=

1?f(x)且f(x)?0,1,，若f(1)=2,求f(2006)

1?f(x)的值

举例4：设f(x)定义在R上，并且对任意的x有f(x)=f(x+1)-f(x+2),问f(x)是否为周期函数，

给出你的判断，

分析：由f(x)=f(x+1)-f(x+2),得出f(x+1)=f(x+2)-f(x+3),两式相加得：f(x)= -f(x+3)。 举例5：已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a,b都满足

f(ab)=af(b)+bf(a)， (1) 求f(0),f(1)的值，

(2) 判断f(x)的奇偶性，并证明你的结论，

f(2?n)n?N?求数列?an?的前项和 (3) 若f(2)?2,un?n??分析：(1)令a=b=0解得f(0)=0,

(2)令a=b=1,解得f(1)=0,

令a=b=-1解得f(-1)=0,则f(-x)=-f(x)+xf(-1)=-f(x)所以f(x)是奇函数

111,解得f()??,222111111111f(2?n)?f(?n?1)?f(n?1)?n?1f()?f(n?1)?n2222222221111111111(3)?f(?n?2)?n?[f(n?2)?n?2f()]?n

222222222211211nnn?2f(n?2)?n???nf(n?n)?n??n,un??n222222221则sn?n?1.2令a?2,b?举例6：已知函数f(x)在R上是增函数，若f(a)?f(b)?f(?a)?f(?b) 求证:a?b?0

分析：采用等价转化的策略，证等价命题。

40

xf(x)是定义在(0,??)上的增函数，且f()?f(x)?f(y),y(1)求f(1)的值，举例7：

1(2)求证：f(x)?2f(x);f()??f(x);f(xy)?f(x)?f(y)x1(3)若f(6)?1，解不等式f(x?3)?f()?2.x2举例8：函数对任意的a,b?R，都有f(a?b)?f(a)?f(b)?1，并且当x?0时，

f(x)?1,

（1） 求证：f(x)是R上的增函数，

（2） 若f(4)?5,解不等式f(3m2?m?2)?3

举例9：已知函数f(x)的图象与函数h(x)?x?（1）求f(x)解析式，

（2）若g(x)?f(x)x?ax且g(x)在区间0.2]上为减函数,求实 数a的取值范围，

1?2的图象关于点（0，1）对称， xa且g(x)在区间(0.2)上为减函数,求实数a的取值范围。 x12 举例1：若不等式x?logax?0,在（0，）内恒成立，则a的取值范围是

211110）（，0）（0，] D. （0，） A.[， B. C. 16161616(3)若g(x)?f(x)?分析：方法一，图象法，如图所示，

11不等式在x?(0,)上恒成立，则在x?(0,)上，y1?x2的图象在y?logax的图象22111111的下方，当x?时，两图象的交点为（，），此时，由?loga?a?,2244216若

41

方法二：利用函数的单调性解，

111在x?(0,)上，y1?x2的函数值y1?,所以，y1?y2,在x?（0，）上恒成立，242111只须y2?恒成立,即logax?在x?(0,)恒成立，变换主元，把x看作是常数，444111把a看作是未知数，由对数的换底公式得，?,当a?1时，〈0，不等式logxa4logxa111不成立，当0?a?1时，logxa〉0，??logxa?4，?x?（0，）,y?logxa是logxa421关于a的减函数，?logxa?（4?logxx4)恒成立，则a?x4恒成立，x?（0，）,2111x4?,?a?.?0?a?1??a?1.161616相关连接： 题1：

1已知函数f(x)?loga(?x2?log2ax)的定义域为(0,)，则实数a的取值范围是_____2题2：

不等式logax?sin2x(a?0,a?1,)对任意x?(0,)都成立，则a的取值范围是__4

题3：

? 42

函数f(x)定义域为R，对任意实数x1,x2，都有f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)，当x?0时f(x)?0,f(2)?3，(1)判断f(x)的奇偶性与单调性，题4：(2)求f(x)在区间[?2,4]上的最大值与最小值，

(3)当??[0,]时，f(cos2??3)?f(4m?2mcos?)?0对所有?均成立，2求实数m的取值范围。题5：如果cos2??2nsin??2m?2?0,对任意的?总成立，求常数m的取值范围 解：

?设f(?)?cos2??2msin??2m?2,要使f(?)?0对任意的?总成立，当且仅当函数y?f(?)的最大值小于零，f(?)?cos2??2msin??2m?2??(sin??m)2?m2?2m?1当?1?m?1时，函数的最大值为m2?2m?1，解得1?2?m?1当m?1时，函数的最大值为f(1)??2?0，?m?1时均成立，1当m??1时，函数的最大值为f(?1)??4m?2?0，m?,矛盾无解，2综上得m的取值范围是m?[1?2,??).

题6：已知loga(3a?1)恒为正，那么实数a的取值范围是_____________

已知f(x)?2loga(x?2)?log1(x2?4x)(a?0,a?1),当x?(0,??)时,题7：

a

恒有f(x)?0,试讨论函数在(0,??)上的单调性题8：函数f(x)?loga(2?ax)在区间(??,2]上恒有意义，则函数在区间(??,1]上的函

数值

A.恒大于零， B.恒小于零， C.恒大于或等于零， D.不确定 题9：设f(x)?log11?ax为奇函数，a为常数， x?12(1) 求a的值，

(2) 证明f(x)在区间(1,+?)内单调递增；

43

(3) 若对于区间[3,4]上的每一个x的值，不等式f(x)?()+m恒成立，求实数m

的取值范围

题10：已知函数f(x)的图象过点（0，1），且与函数f(x)?2x?1212x?a?1的图象关于

直线y?x?1成轴对称图形，（1）求函数f(x)发解析式，（2）若三个正数m,n,t依次成等比数列，证明f(m)?f(t)?2f(n) 举例2：已知函数f(x)满足f(logax)?a?1(x?x)，其中a?0,a?1， 2a?1(1) 对于函数f(x),当x?(?1,1)时，f(1?m)?f(1?m2)?0求实数m值的集合； (2) 当x?(??,2)x时，f(x)-4的值恒为负，求a的值的取值范围

举例2：已知常数a(a>1)和变数x,y之间的关系是logax?3logxa?logxy?3,，若x?at(t?0)且当在t?1的范围变化时，y的最小值是8，求相应的x

3．2．2数列问题

1． 数列的通项公式

利用Sn与an的关系求数列的通项公式 利用关系an?an?1?cn，求通项 利用关系

an?cn，求通项 an?1利用关系an?1?can?b,a1?a,求通项 （an?can?1?p,an?ncan?1b,an?can?1,an?1?can?ban?1?0型）

ban?1?d*举例1：已知数列?an?中，a1?2,an?1?3an?2(n?N)求an 举例2：已知数列?an?中，a1?2,an?2an?1(n?2),求an

an?1?2 44

举例3：已知数列?an?中，a1?1,an?2an?1?2(n?2),求an

举例4：已知数列?an?中，a1?2,a2?4,an?2?2an?1?an?2,求an 举例5：已知数列?an?中，a1?2,an?0,an?1?an?3an?1an,求an 2．数列的求和问题

用错位相减法求和 拆项求和

3．等差数列前n项和问题

题1：在等差数列?an?中，a1?0,S3?S11，求Sn的最小值， 方法一：从二次函数的角度思考，求二次函数的最值. 方法2：从项的变化规律思考，求最后一个负项 方法三：从相邻两项的关系思考，s3?s11?a7?a8?0. 方法四：从图象的对称性思考，f(3)=f(11),?对称轴x?3?11?7. 2题2：等差数列?an?的前n项和为Sn，等差数列?bn?的前n和Mn,若

Sna2n?3，求：9的值， ?b9Mn5n?1方法1：从二次函数的角度思考，设Sn?2kn2?3n,Mn?5kn2?kn； 方法2：从首末两项的关系思考

a9(a9?a9)a1?a17??b9(b9?b9)b1?b17172?S17?2?17?3， ?17M175?17?1(b1?b17)2(a1?a17)题3：等差数列中s13?0,s12?0,求sn的最值。 方法1：从二次函数的解析式的角度思考， 方

法2：从相

45

邻两项关系思

(a1?a13)13(a7?a7)13??13a7?a7?0.22考. (a1?a12)12(a6?a7)12s12??,a6?a7?0?a6?0.22s13?（公式特征：

梯形面积公式特征：Sn?(a1?an)n . 2?相同两项之和m?n?p??q,?am?an?ap?aq首末两项之和???????????相邻两项之和

2aa?ama1?a2m?1(a1?a2m?1)(2m?1)1结论：am?m?m???2s2m?1.2222(2m?1)二次函数特征：d≠0时，Sn?na1?n(n?1)d?()n2?(a1?)n

Sn是项数n的二次函数且常数项为零,（函数观点下的等差数列）

12d2d2前n项和sn?an2?bn?c的数列的特征. 公式变形：（1）知三求二，（2）相关连接：

a1?ansna1?a2???an?? .） 2nn?an??设数列?an??,bn?为正项等比数列，Tn,Rn分别为,bn?的前项和，1．Tnn?,则logb5a5?________Rn2n?1

2．若数列?an?是等差数列，3a5?8a12?0数列?bn?满足

bn?anan?1an?2,Sn?b1?b2???bn求的Sn最大值

3．2．2三角问题

46

2.f(x)?Asin(?x??)的奇偶性的确定方法一：若f(-x)=-f(x),则f(-x)=-f(x),即Asin(-?x+?)=-Asin?x+?)?Asin(-?x+?)=Asin(?+?x+?)?-?x+?????x+??2k?,??2?x?2k?（不合题意）,.或?-?x+????（???x+?)?2k?，?2??2k?,???k?.方法二：若f(-x)=-f(x)，f(-x)+f(x)=0,则Asin(-?x+?)+Asin(?x+?)=0,?sin(-?x+?)+sin(?x+?)=0,-?x+???x+???x+??(?x+?))cos()=0,22?2sin?cos(-?x)=0,?sin?=0,???k?.?2sin(方法三:f(x)=?Asin?x是奇函数，所以，若?的取值，能将f(x)?Asin(?x??)转化为f(x)=?Asin?x的形式，则f(x)为奇函数，根据诱导公式知，当?=k?时f(x)?Asin(?x??)??Asin?x.由前面的讨论知，当??k??

?2时，f(X)?Asin(?x??)为偶函数.

1． 三角函数的最值 可化为y=asinx+bcosx+c型

47

1.y?sin?(cos??33sin?)?(3sin?cos??sin2?)33331?cos2?3?3?(sin2??)?sin(2??)?.322366应用背景：在一块扇形的草地上，要建造一个矩形的运动场，扇形的圆心角为60?，问怎样规划面积最大？2.求y=x+4+5-x2的最大值，最小值。解：x?5,设x?5cos?,0????.

二.可化为y=asin2x+bsinx+c型1.2sin2??sin2??2sin??0,求cos2??cos2?的取值范围.分析：设y=cos2??cos2??2?sin2??sin2??sin2??2sin??2.?2sin2??2sin???sin2??0,?0?sin??1?1?y?2.1x222.若P、Q分别是圆x+(y-2)=和椭圆+y=1上的两个动点，44求PQ的最大值。22

分析：PQ取最大值时，直线必经过已知圆的圆心，于是问题转化为求圆心到Q的距离的最大值。可化为y=asinxcosx+b(sinx+cosx)+c型 １．求Y=sinx+cosx+sinxcosx的最值。

48

２．ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，其中ATPS是一半径为90m的扇形小山，P是弧TS上的

一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建造一个有边落在BC与CD上的长方形停车

场PQCR，求长方形停车场的面积的最大值和最小值。

可化为y?asinx?basinx?b,或y?型csinx?dccosx?d

1.f(?)?sin??1cos??2sin??1方法一：y=?y(cos??2)?sin??1cos??2?ycos??sin???1?2y?y2?1cos(???)??1?2y?1?2yy2?1?cos(???)???1?2yy?12?12t?1?sin??11?t2方法二：设tan?t,y=?2cos??21?t2?21?t2?t2?2t?122?y??y(3t?1)?t?2t?1?3t2?1???4?4(3y?1)(1?y)?0.

sin??1方法三：y=，把y看做通过两点A(cos?,sin?),cos??2B(2,1)直线的斜率.例1 ??(0,1),f(x)?2?cosx ,求此函数的最小值。 sinx 49

方法1：化弦法 , 化为y?Asin(?x??)型

y?2?cosx?ysinx?2?cosx?ysinx?cosx?2?1?y2sin(x??)?2sinx11?y2?sin(x??)??11?y2?1 方法2：代数化

2t1?t2sinx?,cosx?21?t1?t221?t 2?21?t?1?3t?21?3t?3,(t?3)?y?2t2t22t21?t2方法3：化切法

2?cosx1?1?cosx??sinxsinx1?2sin2xxxcos2?sin22?22xxsinx2sincos

22y??1x3xcot?tan?32222方法4 ：化“斜”法

y?2?cosx2?cosx?, 可以看作是经过两点的直线的斜率， sinx0?(?sinx)A (0,2), B (-sinx,cosx) ,点B的轨迹方为

?a??sinx?a2?b2?1(a?0,b?0) ，如图所示，直线的倾斜角为??b?cosx锐角，所以，切线处ynin?tan60??3

其中方法1，方法2，方法4为通法，分式型都可用这样的

50

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/vxap.html