专题63 二项分布及其应用-2016年高考数学(理)一轮复习精品资料(

专题63 二项分布及其应用

【考情解读】

1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念；

2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布．能解决一些简单的实际问题； 3.了解正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义，并进行简单应用. 【重点知识梳理】 1．条件概率及其性质

(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)＝

P（AB）

(P(A)>0)．

P（A）

n（AB）

在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)＝.

n（A）

(2)条件概率具有的性质：①0≤P(B|A)≤1；②如果B和C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． 2．事件的相互独立性

(1)对于事件A，B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A，B是相互独立事件． (2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)， P(AB)＝P(B|A)P(A)＝P(A)P(B)．

－

－

－

－

(3)若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B__也都相互独立． (4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则A与B相互独立． 3．独立重复试验与二项分布

(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中各事件发生的概率都是一样的．

(2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X

knk

＝k)＝Ck(k＝0，1，2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)，并称p为成np(1－p)

－

功概率．

4．正态分布

(1)正态曲线：函数φμ，σ(x)＝我们称函数φ

μ，σ

1

2πσ

，x∈(－∞，＋∞)，其中μ和σ为参数(σ>0，μ∈R)，

(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．

(2)正态曲线的性质：

①曲线位于x轴上方，与x轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； ③曲线在x＝μ处达到峰值

1

；

σ2π

④曲线与x轴之间的面积为1；

⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；

⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．

(3)正态分布的定义及表示

如果对于任何实数a，b(a

(x)dx，则称随机变量X服从正态分

?a

μ，σ

布，记作X～N(μ，σ2)．

正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ①P(μ－σ

【例1】 (1)从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于( )

1121A. B. C. D. 8452

(2)已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则两次都取到红球的概率是( )

111189A. B. C. D. 27242724

【规律方法】条件概率的求法：(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝

P（AB）

.这是通用的

P（A）

求条件概率的方法．(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条n（AB）

件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝. n（A）

【变式探究】 已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条

件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为( )

3277A. B. C. D. 10989

考点二 相互独立事件同时发生的概率

【例2】在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手．

(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；

(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“X≥2”的事件概率．

【规律方法】(1)正确分析所求事件的构成，将其转化为几个彼此互斥事件的和或相互独立事件的积，然后利用相关公式进行计算．(2)注意根据问题情境正确判断事件的独立性．(3)在应用相互独立事件的概率公式时，对含有“至多有一个发生”“至少有一个发生”的情况，可结合对立事件的概率求解．

【变式探究】 甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.8，计算： (1)两人都击中目标的概率； (2)其中恰有一人击中目标的概率； (3)至少有一人击中目标的概率． 考点三 独立重复试验与二项分布

【例3】一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得1001

分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相

2互独立．

(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率．

【规律方法】利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满knk

足公式Pn(k)＝Ck的三个条件：(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；(2)n次试验np(1－p)

－

不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率．

【变式探究】 乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜，比赛结束)，假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同．

(1)求甲以4比1获胜的概率；

(2)求乙获胜且比赛局数多于5局的概率； (3)求比赛局数的分布列．

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