2013年中考压轴题复习（一）--抛物线篇（教师版）

2013年中考压轴题复习(一)----抛物线篇(1)

1.（2012北京市,23,7分）已知二次函数y?(t?1)x2?2(t?2)x?在x?0和x?2时的函数

值相等。

（1） 求二次函数的解析式；

（2） 若一次函数y?kx?6的图象与二次函数的图象都经过点A(?3，m)，求m和k

的值；

（3） 设二次函数的图象与x轴交于点B,C（点B在点C的左侧），将二次函数的图

象在点B,C间

的部分（含点B和点C）向左平移n(n?0)个单位后得到的图象记为C，同时将（2）中得到的直线y?kx?6向上平移n个单位。请结合图象回答：当平移后的直线与图象G有公共点时，n的取值范围。

32

【答案】解：（1）∵二次函数在x?0和x?2时的函数值相等，∴二次函数图象的对称轴

为x?1。

∴?2?t?2?3?1，解得t??。

2?t?1?213∴二次函数解析式为y??x2?x?。

22（2）∵二次函数图象经过A(?3，m)点，

132∴m??×??3????3????6，A（－3，－6）。

22又∵一次函数y?kx?6的图象经过A点， ∴?3k?6??6，解得k?4。

（3）由题意可知，二次函数在点B，C间的部分图象的解析式为

y??1?x?3??x?1?，?1≤x≤3， 2

则向左平移后得到的图象C的解析式为y???n?1≤x≤3?n。

1?x?3?n??x?1?n?，2此时一次函数y?4x?6的图象平移后的解析式为y?4x?6?n。

0?与∵平移后的直线与图象C有公共点，∴两个临界的交点为??n?1，?3?n，0?。

∴当x=?n?1时，0?4??n?1??6?n，即n?当x=3?n时，0?4?3?n??6?n，即n?6。 2∴≤n≤6 32； 3

【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质。 【分析】（1）由二次函数在x?0和x?2时的函数值相等，可知二次函数图象的对称轴为x?30+2b=1，从而由对称轴公式x??=1可求得t??，从而求得二次函数的解析式。

222a13 （2）由二次函数图象经过A(?3，m)点代入y??x2?x?可求得m??6，从而

22由一次函数y?kx?6的图象经过A点，代入可求得k?4。

（3）根据平移的性质，求得平移后的二次函数和一次函数表达式，根据平移后的

直线与图象C有公共点，求得公共点的坐标即可。

2.（2011湖北武汉,25,12分）如图1，抛物线y=ax2+bx+3经过A（-3，0），B（-1，0）两点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的顶点为M，直线y=-2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D.现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上.若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；

（3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q（0，3）作不平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点.问在y轴的负半轴上是否存在点P，使△PEF的内心在y轴上.若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

（1）抛物线y＝ax2＋bx＋3经过A（－3，0），B（－1，0）两点 ∴9a－3b＋3＝0 且a－b＋3＝0 解得a＝1 ， b ＝4

∴抛物线的解析式为y＝x2＋4x＋3 （2）由（1）配方得y＝(x＋2)2－1 ∴抛物线的顶点M（－2，1） ∴直线OD的解析式为y＝1x 21h）， 21h． 21h＝9， 2 是设平移的抛物线的顶点坐标为（h，

∴平移的抛物线解析式为y＝（x－h）2＋

①当抛物线经过点C时，∵C（0，9），∴h2＋

-1?145． 4 解得h＝

∴ 当

-1-145-1?145≤h＜ 时，平移的抛物线与射线CD只有一个公共点． 44 ②当抛物线与直线CD只有一个公共点时， 由方程组y＝（x－h）2＋

1h，y＝－2x＋9． 2

得 x2＋（－2h＋2）x＋h2＋

1h－9＝0， 21h－9）＝0， 2∴△＝（－2h＋2）2－4（h2＋ 解得h＝4．

此时抛物线y＝（x－4）2＋2与射线CD唯一的公共点为（3，3），符合题意． 综上：平移的抛物线与射线CD只有一个公共点时，顶点横坐标的值或取值范围是 h＝4或

-1-145-1?145≤h＜． 44（3）方法1

将抛物线平移，当顶点至原点时，其解析式为y＝x2， 设EF的解析式为y＝kx＋3（k≠0）．

假设存在满足题设条件的点P（0，t），如图，过P作GH∥x轴，分别过E，F作GH的垂线，垂足为G，H． ∵△PEF的内心在y轴上，

∴∠GEP＝∠EPQ＝∠QPF＝∠HFP， ∴△GEP∽△HFP， ∴∴

GPGE， ?PHHF?xEyE?tkxE?3?t ??xFyF?tkxF?3?t ∴2kxE·xF＝（t－3）（xE＋xF）

由y＝x2，y＝kx＋3．得x2－kx－3＝0． ∴xE＋xF＝k，xE·xF＝－3． ∴2k（－3）＝（t－3）k ∵k≠0，∴t＝－3．

∴y轴的负半轴上存在点P（0，－3），使△PEF的内心在y轴上． 方法2 ：设EF的解析式为y＝kx＋3（k≠0），

点E，F的坐标分别为（m，m2）（n，n2） 由方法1知：mn＝－3．

作点E关于y轴的对称点R（－m，m2）

作直线FR交y轴于点P，由对称性知∠EPQ＝∠FPQ， ∴点P就是所求的点．

由F，R的坐标，可得直线FR的解析式为y＝（n－m）x＋mn． 当x＝0，y＝mn＝－3， ∴P（0，－3）．

∴y轴的负半轴上存在点P（0，－3），使△PEF的内心在y轴上．

评析：在（2）中注意到是与射线．．CD只有一个公共点，故需分两种情况讨论，①求出抛物线恰好过C点时的两种情况为临界值，②若直线与抛物线只一个交点，则△＝0；这是值得积累的．（3）方法1由内心为角平分线交点可得△GEP∽△HFP，通过设未知数解方程组，结合根与系数的关系可得结论，方法2利用对称性可得y轴为角平分线，直线FR解析式求得与y轴交点P坐标．

2013年中考压轴题复习(一)----抛物线篇(2)

31．（2012湖南湘潭,26,10分）如图，抛物线y=ax2?x?2?a?0?的图象与x轴交于A、B

2两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）． （1）求抛物线的解析式；

（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；

]（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．

∴点M是直线l和抛物线的唯一交点，有：

?123y=x?x?2??x=2?22，解得：。∴ M（2，﹣3）。 ??y=?31??y=x?4??2【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，一元二次方程根的判别式，解方程和方程组。

【分析】（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B点坐标代入解析式中即可。

（2）根据抛物线的解析式确定A点坐标，然后通过证明△ABC是直角三角形来推

导出直径AB和圆心的位置，由此确定圆心坐标。

（3）△MBC的面积可由S?MBC?1?BC?h表示，若要它的面积最大，需要使h取2最大值，即点M到直线BC的距离最大，若设一条平行于BC的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点M。

2．(2011安徽芜湖,24,14分)

平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别为(0，3)、(?1，0)，将此平行四边形绕点0顺时针旋转90°，得到平行四边形A'B'OC'。

(1)若抛物线过点C，A，A'，求此抛物线的解析式； (2)求平行四边形ABOC和平行四边形A'B'OC'重叠部分△OC'D的周长；

(3)点M是第一象限内抛物线上的一动点，间：点M在何处时△AMA'的面积最大?最大面积是多少?并求出此时点M的坐标。

（1）∵?A?B?OC?由?ABOC旋转得到，且点A的坐标为(0,3)，

∴点A?的坐标为(3,0)． 所以抛物线过点C(?1,0),A(0,3),A?(3,0)．（注：也可以用顶点式，交点式做）

?a?b?c?0?a??1??2设抛物线的解析式为y?ax?bx?c(a?0)，可得?c?3 解得?b?2

?9a?3b?c?0?c?3??∴ 过点C,A,A?的抛物线的解析式为y??x?2x?3． （2）因为AB∥CO，所以?OAB??AOC?90?． 所以OB?2OA2?AB2?12?32?10．又?OC?D??OCA??B，

?C?OD??BOA， ∴△C?OD∽△BOA． 又OC??OC?1．

∴

△C?OD的周长OC?1． 又△ABO的周长为4?10， ??△BOA的周长OB104+10210=1+．

510所以△C?OD的周长为（3）［解法1］连接OM，设M点的坐标为?m,n?，

因为点M在抛物线上，所以n??m?2m?3，所以

2111S△AMA'?S△AMO?S△OMA'?S△AOA'?OA?m?OA'?n?OA?OA'

22233?3?27393??m?n????m?n?3????m2?3m????m???.

22?2?8222因为0

3k?l?0.l?3.??

将直线AA?向右平移，当直线与抛物线只有一个交点M时与y轴交于点P，此时S△AMA?最

?y??x2?2x?3,大，设平移后的直线的解析式为：y??x?h，则有：? 得

y??x?h.?x2?3x?(?3+h)?0，

令??9?4(?3?h)?0，得h?21． 43??y??x2?2x?3,x?,?31521??2∴?．解得 ∴点坐标为，点P的坐标为(,)(0,)． M?21244?y??x?.?y?15.?4??4因为MP∥AA?，所以△MAA?与△PAA?同底等高，它们面积相等． 故S△AMA??S△PAA??S△POA??S△AOA??所以当点M的坐标为(,121127． ?3???3?3?242831527)时，△AMA?的面积有最大值，且最大值为. 248评析：第（3）问是一个典型的“抛物线弓形三角形面积问题”，同学们可尝试用不同的思路突破，体会“殊途同归”．

2013年中考压轴题复习(一)----抛物线篇(3)

1.（2012河南,23,11分）如图，在平面直角坐标系中，直线y?1x?1与抛物线2y?ax2?bx?3交于A，B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3.点P是直线AB下方

的抛物线上一动点（不与A，B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB与点C，作PD⊥AB于点D

（1）求a,b及sin?ACP的值 （2）设点P的横坐标为m

①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；

②连接PB，线段PC把?PDB分成两个三角形，是否存在适合的m值，使这两个三角形的面积之比为9:10？若存在，直接写出m值；若不存在，说明理由.

【解析】（1）a?D C B 11,b??, 22A P

2.(2011江苏泰州,27,12分)已知:二次函数y=x2+bx－3的图象经过点P(-2,5). (1)求b的值,并写出1?x?3时y的取值范围;

Pm?1,y2)、P（m+2,y3)在这个二次函数的图象上. (2)设点P1(m,y1)、（①当m=4时, y1、y2、y3能否作为同一个三角形的三边的长?请说明理由; ②当m取不小于5的任意实数时, y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长,请说明理由.

（1）把点P代入二次函数解析式得5= （－2）2－2b－3，解得b=－2．所以二次函数解析式为y=x2－2x－3当x=1时，y=－4，当x=3时，y=0，所以当1＜x≤3时y的取值范围为－4＜y≤0．

（2）①m=4时，y1、y2、y3的值分别为5、12、21，由于5+12＜21，不能成为三角形的三边长．

②当m取不小于5的任意实数时，结合函数增减性有y10， 即y1＋y2＞y3成立．

所以当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长．

评析：本题将二次函数与三角形的三边关系结合在一起，考查学生的综合应用知识的能力，是一道好题，判定三个数能否成为一个三角形的三边长通常要满足任意两边之和大于第三边，但实际操作中只需判断两个较小数的和是否大于最大的数即可，本题第（2）题中从特殊到一般、由易到难，考查学生推理能力，运用配方法证明不等关系是解决本题重要的思想方法．

2013年中考压轴题复习(一)----抛物线篇(4)

11．（2012四川资阳25,9分）抛物线y=x2+x+m的顶点在直线y=x+3上，过点F（－2，2）

4的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．

（1）(3分)先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值；

来&源#%:︿中教网（2）(3分)设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF＝NB；

（3）(3分)若射线NM交x轴于点P，且PA×PB＝

100，求点M的坐标． 9112【答案】解：（1）∵y=x2+x+m=?x+2?+?m?1?，∴顶点坐标为(－2 , m?1)。

44∵顶点在直线y=x+3上，∴－2+3=m?1，解得m=2。

@]

（2）∵点N在抛物线上，且点N的横坐标为a，

11∴点N的纵坐标为a2+a+2，即点N(a,a2+a+2)。

44过点F作FC⊥NB于点C，

1在Rt△FCN中，FC=a+2，NC=NB－CB=a2+a,

4122∴NF2?NC2?FC2? （ a2?a）?（a?2）412?（a2?a）?（a2?4a）?4。 4而

1122NB2?（a2?a?2）?（a2?a）?（a2?4a）?4，

44∴NF2=NB2，NF=NB。 （3）连接AF、BF，

由NF=NB，得∠NFB=∠NBF， 由（2）的结论知，MF=MA， ∴∠MAF=∠MFA。 ∵MA⊥x轴，NB⊥x轴，

∴MA∥NB。∴∠AMF+∠BNF=180°。

∵△MAF和△NFB的内角总和为360°，∴2∠MAF+2∠NBF=180°，

∠MAF+∠NBF=90°。

国%&教育出︿版网∵∠MAB+∠NBA=180°，∴∠FBA+∠FAB=90°。 又∵∠FAB+∠MAF=90°，∴∠FBA=∠MAF=∠MFA 。

，

又∵∠FPA=∠BPF，∴△PFA∽△PBF。 ∴

PFPB100，∴PF2= PA×PB＝。 ?PAPF9过点F作FG⊥x轴于点G。 在Rt△PFG中，PG?PF2?FG2?∴P(－

100814∴PO=PG+GO=。 ?22?，

93314 , 0) 。 3

2．（2012山东潍坊,24,11分）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A(－2，O)、B(2，0)、C(0，－l)三点，过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交于M、N两点．分别过点C、D(0，－2)作平行于x轴的直线l1、l2． (1)求抛物线对应二次函数的解析式； (2)求证以ON为直径的圆与直线l1相切；

(3)求线段MN的长(用k表示)，并证明M、N两点到直线l2的距离之和等于线段MN的长．

（1）设抛物线对应二次函数的解析式为y?ax2?bx?c，

1?a???0?4a?2b?c4??由?0?4a?2b?c，解得?b?0． ??1?c?c??1???1所以y?x2?1．

4（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），因为点M、N在抛物线上， 所以y1?121x1?1，y2?x22?1，所以x22?4(y2?1)； 44又ON2=x22?y22=4(y2?1)?y22=(y2?2)2， 所以ON=y2?2，又因为y2≥?1， 所以ON=y2?2．

设ON的中点为E，分别过点N、E向直线l1作垂线，垂足为P、F， 则EF=

OC?NP2?y2=， 22所以ON=2EF，

即ON的中点到直线l1的距离等于ON长度的一半， 所以以ON为直径的圆与直线l1相切． （3）过点M作MH⊥NP交NP于点H，则

MN2?MH2?NH2=(x2?x1)2+(y2?y1)2，

又y1=kx1，y2=kx2，所以(y2?y1)2=k2(x2?x1)2， 所以MN2?(1?k2)(x2?x1)2；

又因为点M、N既在y=kx的图象上又在抛物线上， 所以kx?12x?1，即x2?4kx?4?0， 44k?16k2?16所以x ==2k±21?k2，

2所以(x2?x1)2=16(1?k2)， 所以MN2?16(1?k2)2， 所以MN=4(1?k2)．

延长NP交l2于点Q，过点M作MS⊥l2于点S， 则MS + NQ = y1?2?y2=

1211x1?1?x22?1?4=(x12?x22)?2， 444又x12?x22=2[4k2?4(1?k2)]?16k2?8， 所以MS + NQ =4k2?2?2=4(1?k2)=MN．

即M、N两点到直线l2的距离之和等于线段MN的长．

yA O M S E B C F D N H xl P 1l Q 2

2013年中考压轴题复习(一)----抛物线篇(5)

1．（2012浙江宁波,26,12分）如图，二次函数y=ax+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2），过A，C画直线． （1）求二次函数的解析式；

（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；

（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H． ①若M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC（点C与点A对应），求点M的坐标； ②若⊙M的半径为2

45，求点M的坐标． 5

【答案】解：（1）∵二次函数y=ax+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0）

∴设该二次函数的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2），

将x=0，y=﹣2代入，得﹣2=a（0+1）（0﹣2），解得a=1。

∴抛物线的解析式为y=（x+1）（x﹣2），即y=x﹣x﹣2。 （2）设OP=x，则PC=PA=x+1，

在Rt△POC中，由勾股定理，得x+2=（x+1）， 解得，x=

2

2

22

2

33，即OP=。 22（3）①∵△CHM∽△AOC，∴∠MCH=∠CAO。

（i）如图1，当H在点C下方时，

∵∠MCH=∠CAO，∴CM∥x轴，∴yM=﹣2。 ∴x﹣x﹣2=﹣2，解得x1=0（舍去），x2=1。 ∴M（1，﹣2）。

（ii）如图2，当H在点C上方时， ∵∠M′CH=∠CAO，∴PA=PC。

2

由（2）得，M′为直线CP与抛物线的另一交点， 设直线CM′的解析式为y=kx﹣2， 把P（∴y=由

334，0）的坐标代入，得k﹣2=0，解得k=。 2234x﹣2。 34747102

x﹣2=x﹣x﹣2，解得x1=0（舍去），x2=。此时y=×??2=。 33339710∴M′（，。 ）

394②在x轴上取一点D，如图3，过点D作DE⊥AC于点E，使DE= 5，

5在Rt△AOC中，AC=AO2+CO2=12+22=5。 ∵∠COA=∠DEA=90°，∠OAC=∠EAD， ∴△AED∽△AOC，

45AD5ADDE∴，即，解得AD=2。 ==2ACOC5∴D（1，0）或D（﹣3，0）。

过点D作DM∥AC，交抛物线于M，如图 则直线DM的解析式为：y=﹣2x+2或y=﹣2x﹣6。 当﹣2x﹣6=x﹣x﹣2时，即x+x+4=0，方程无实数根，

2

2

?1?17?1+17。 ，x2?22?1?17?1+17∴点M的坐标为（。 ， 3+17）或（， 3?17）

22当﹣2x+2=x﹣x﹣2时，即x+x﹣4=0，解得x1?2

2

（2）设OP=x，然后表示出PC、PA的长度，在Rt△POC中，利用勾股定理列式，然后解方程即可。

（3）①根据相似三角形对应角相等可得∠MCH=∠CAO，然后分（i）点H在点C

下方时，利用同位角相等，两直线平行判定CM∥x轴，从而得到点M的纵坐标与点C的纵坐标相同，是-2，代入抛物线解析式计算即可；（ii）点H在点C上方时，根据（2）的结论，

点M为直线PC与抛物线的另一交点，求出直线PC的解析式，与抛物线的解析式联立求解即可得到点M的坐标。

②在x轴上取一点D，过点D作DE⊥AC于点E，可以证明△AED和△AOC

相似，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到AD的长度，然后分点D在点A的左边与右边两种情况求出OD的长度，从而得到点D的坐标，再作直线DM∥AC，然后求出直线DM的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点M的坐标。

132．（2012广东省,22,9分）如图，抛物线y=x2?x?9与x轴交于A、B两点，与y轴交

22于点C，连接BC、AC． （1）求AB和OC的长；

（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．

13【答案】解：（1）在y=x2?x?9中，

22令x=0，得y=－9，∴C（0，﹣9）；

13令y=0，即x2?x?9=0，解得：x1=﹣3，x2=6，∴A（﹣3，0）、B（6，

220）。

∴AB=9，OC=9。

Ss?AE??m??（2）∵ED∥BC，∴△AED∽△ABC，∴?AED??，即： ???。1S?ABC?AB?9???9?92

22

12

m（0＜m＜9）。 21912

（3）∵S△AEC=AE?OC=m，S△AED=s=m，

222∴s=

∴S△EDC=S△AEC﹣S△AED

12919281m+m=﹣（m﹣）+。 2222881∴△CDE的最大面积为，

899此时，AE=m=，BE=AB﹣AE=。

22=﹣

又BC?62+92=313，

过E作EF⊥BC于F，则Rt△BEF∽Rt△BCO，得：

EFBE， ?OCBC9EF即：?2。

9313∴EF?2713。 262

∴以E点为圆心，与BC相切的圆的面积 S⊙E=π?EF=

729?。 52【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，勾股定理，直线与圆相切的性质。

【分析】（1）已知抛物线的解析式，当x=0，可确定C点坐标；当y=0时，可确定A、B点的坐标，从而确定AB、OC的长。

（2）直线l∥BC，可得出△AED∽△ABC，它们的面积比等于相似比的平方，由此得到关于s、m的函数关系式；根据题目条件：点E与点A、B不重合，可确定m的取值范围。

（3）①首先用m列出△AEC的面积表达式，△AEC、△AED的面积差即为△CDE的面积，由此可得关于S△CDE关于m的函数关系式，根据函数的性质可得到S△CDE的最大面积以及此时m的值。

②过E做BC的垂线EF，这个垂线段的长即为与BC相切的⊙E的半径，可根据相

似三角形△BEF、△BCO得到的相关比例线段求得该半径的值，由此得解。

2013年中考压轴题复习(一)----抛物线篇(6)

1．（2011贵州遵义27,14分）已知抛物线y?ax?bx?3(a?0)经过A(3，0), B(4，1)两点，

且与y轴交于点C． （1）求抛物线y?ax?bx?3(a?0)的函数关系式及点C的坐标；

（2）如图（1）,连接AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点P，使△PAB是以AB为直角边

的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图（2）,连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的

圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标．

22

27．解：（1）（3分）将A(3,0),B(4,1)代人y?ax?bx?3(a?0) 得?2?9a?3b?3?0

16a?4b?3?1?1?a??2 ∴?5?b??2?15 ∴y?x2?x?3

22 ∴C(0,3)

(2)(7分)假设存在，分两种情况，如图. ①连接AC,

O

∵OA=OC=3, ∴∠OAC=∠OCA=45. ……1分 过B作BD⊥x轴于D，则有BD=1， AD?OD?OA?4?3?1,

O

∴BD=AD, ∴∠DAB=∠DBA=45.

OOOO

∴∠BAC=180-45-45=90……………2分 ∴△ABC是直角三角形. ∴C(0,3)符合条件. ∴P1(0,3)为所求.

O

②当∠ABP=90时,过B作BP∥AC,BP交抛物线于点P. ∵A(3,0),C(0,3)

∴直线AC的函数关系式为y??x?3 将直线AC向上平移2个单位与直线BP重合. 则直线BP的函数关系式为y??x?5

y??x?5??x??1?x?4?或? 由?,得? 125y?x?x?3?y?6?y?1?22? 又B(4,1), ∴P2(-1,6).

综上所述,存在两点P1(0,3), P2(-1,6).

O

另解②当∠ABP=90时, 过B作BP∥AC,BP交抛物线于点P. ∵A(3,0),C(0,3) ∴直线AC的函数关系式为y??x?3

将直线AC向上平移2个单位与直线BP重合. 则直线BP的函数关系式为y??x?5

∵点P在直线y??x?5上，又在y?∴设点P为(x,?x?5),(x,∴x,?x?5?125x?x?3上. 22125x?x?3) 22125x?x?3 22解得x1??1,x2?4

∴P1(-1,6), P2(4,1)(舍)

综上所述,存在两点P1(0,3), P2(-1,6).

OO

(3)(4分) 解法一∵∠OAE=∠OAF=45,而∠OEF=∠OAF=45,

O

∠OFE=∠OAE=45,

O

∴∠OEF=∠OFE=45,

O

∴OE=OF, ∠EOF=90 ∵点E在线段AC上, ∴设E(x,?x?3) ∴OE?x?(?x?3) =2x?6x?9

22221OE?OF 21122 =OE?(2x?6x?9)

229 =x2?3x?

2329 =(x?)?

243∴当x?时, S?OEF取最小值,

233此时?x?3???3?,

2233∴E(,)

22∴S?OEF? OO

解法二:由题意得, ∠CAO=∠OAF=45, 根据同弧所对的圆周角相等,∠OEF=∠OAF=45, ∠EFO=∠EAO=45, ∴△EOF是等腰直角三角形, S?EOF?∴当OE最小时,面积最小,即E为AC中点(,).

2. （2012山东枣庄,25,10分）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第

二象限，斜靠

11

在两坐标轴上，点C为 (－1，0) ．如图所示，B点在抛物线y＝x2＋x－2图象上，过点

22

B作

O

1OE2. 23322

BD⊥x轴，垂足为D，且B点横坐标为－3． （1）求证：△BDC≌△COA； （2）求BC所在直线的函数关系式；

（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，

求出所

有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】解：（1）证明：∵∠BCD＋∠ACO＝90°，∠ACO＋∠OAC＝90°，

∴∠BCD＝∠OAC。

∵△ABC为等腰直角三角形 ，∴BC＝AC。

在△BDC和△COA中，∠BDC＝∠COA＝90°，∠BCD＝∠OAC，

BC＝AC，

∴△BDC≌△COA（AAS）。

（2）∵C点坐标为 (－1，0)，∴BD＝CO＝1。

∵B点横坐标为－3，∴B点坐标为 (－3，1)。 设BC所在直线的函数关系式为y＝kx＋b，

1

k＝－?－k＋b＝021

∴?，解得。∴BC所在直线的函数关系式为y＝－ x12?－3k＋b＝1

b＝－

2

???

1－ 。 2

11y＝－x＋2x＝－

2219

由题意可得：，解得，。∴P。 2（－，－）1924

x＝－y＝－

24

??????

1119

∴P点坐标分别为P1（－，－）、P2（－，－）。

2424

【考点】二次函数综合题，平角定义，直角三角形两锐角的关系，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，抛物线的对称轴，直角三角形的判定。

【分析】（1）由等腰直角三角形的性质，平角定义，直角三角形两锐角的关系，可由AAS证得。

（2）求出点B的坐标，由点B、C的坐标，用待定系数法可求BC所在直线的函数关系式。

（3）分点C为直角顶点和点A为直角顶点两种情况讨论即可。

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