备考20142013高考数学（真题+模拟新题分类汇编） 立体几何 文

立体几何

G1 空间几何体的结构

8．G1，G6[2013·北京卷] 如图1－2，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有( )

图1－2

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

8．B [解析] 设棱长为1，∵BD1＝3，∴BP＝△ABD1≌△CBD1≌△B1BD1，

∴∠ABD1＝∠CBD1＝∠B1BD1，且cos∠ABD1＝

3， 3

32 3，D1P＝.联结AD1，B1D1，CD1，得33

联结AP，PC，PB1，则有△ABP≌△CBP≌△B1BP，

6

，同理DP＝A1P＝C1P＝1， 3

∴P到各顶点的距离的不同取值有4个．

18．G1，G4，G5[2013·广东卷] 如图1－4(1)，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图1

∴AP＝CP＝B1P＝

－4(2)所示的三棱锥A－BCF，其中BC＝

2. 2

图1－4

(1)证明：DE∥平面BCF； (2)证明：CF⊥平面ABF；

2

(3)当AD＝时，求三棱锥F－DEG的体积．

3

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18．解：

G2 空间几何体的三视图和直观图

10．G2，G7[2013·北京卷] 某四棱锥的三视图如图1－3所示，该四棱锥的体积为________．

图1－3

10．3 [解析] 正视图的长为3，侧视图的长为3，因此，该四棱锥底面是边长为3的正1

方形，且高为1，因此V＝×(3×3)×1＝3.

3

18．G2，G4[2013·福建卷] 如图1－3，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC＝5，DC＝3，AD＝4，∠PAD＝60°.

→

(1)当正视方向与向量AD的方向相同时，画出四棱锥P－ABCD的正视图(要求标出尺寸，并写出演算过程)；

(2)若M为PA的中点，求证：DM∥平面PBC； (3)求三棱锥D－PBC的体积．

图1－3

18．解：(1)在梯形ABCD中，过点C作CE⊥AB，垂足为E.

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由已知得，四边形ADCE为矩形，AE＝CD＝3，

在Rt△BEC中，由BC＝5，CE＝4，依勾股定理得BE＝3，从而AB＝6. 又由PD⊥平面ABCD得，PD⊥AD.

从而在Rt△PDA中，由AD＝4，∠PAD＝60°，得PD＝4 3. 正视图如图所示．

1

(2)方法一：取PB中点N，联结MN，CN.在△PAB中，∵M是PA中点，∴MN∥AB，MN＝AB2＝3.

又CD∥AB，CD＝3，∴MN∥CD，MN＝CD， ∴四边形MNCD为平行四边形，∴DM∥CN. 又DM平面PBC，CN平面PBC， ∴DM∥平面PBC.

方法二：取AB的中点E，联结ME，DE. 在梯形ABCD中，BE∥CD，且BE＝CD， ∴四边形BCDE为平行四边形，

∴DE∥BC.又DE平面PBC，BC平面PBC， ∴DE∥平面PBC.

又在△PAB中，ME∥PB，

ME平面PBC，PB平面PBC，∴ME∥平面PBC. 又DE∩ME＝E，∴平面DME∥平面PBC. 又DM平面DME，∴DM∥平面PBC.

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1

(3)VD－PBC＝VP－DBC＝S△DBC·PD，

3

又S△DBC＝6，PD＝4 3，所以VD－PBC＝8 3.

6．G2[2013·广东卷] 某三棱锥的三视图如图1－2所示，则该三棱锥的体积是( )

图1－2

11A. B. 632

C. D．1 3

6．B [解析] 由三视图得三棱锥的高是2，底面是一个腰为1的等腰直角三角形，故体111

积是××1×1×2＝，选B.

323

5．G2[2013·广东卷] 执行如图1－1所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是( )

图1－1

A．1 B．2 C．4 D．7 5．C [解析] 1≤3，s＝1＋0＝1，i＝2；2≤3，s＝1＋1＝2，i＝3；s＝2＋2＝4，i＝4；4>3，故输出s＝4，选C.

7．G2[2013·湖南卷] 已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于( )

A.C.

3

B．1 2

2＋1

D.2 2

7．D [解析] 由题可知，其俯视图恰好是正方形，而侧视图和正视图则应该都是正方体的对角面，故面积为2，选D.

8．G2[2013·江西卷] 一几何体的三视图如图1－2所示，则该几何体的体积为( )

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图1－2

A．200＋9π B．200＋18π C．140＋9π D．140＋18π

12

8．A [解析] 该几何体上面是半圆柱，下面是长方体，半圆柱体积为π·3·2＝9π，

2长方体体积为10×5×4＝200.故选A.

13．G2[2013·辽宁卷] 某几何体的三视图如图1－3所示，则该几何体的体积是________．

图1－3

13．16π－16 [解析] 由三视图可知该几何体是一个圆柱里面挖去了一个长方体，所以该几何体的体积为V＝4π×4－16＝16π－16.

9．G2[2013·新课标全国卷Ⅱ] 一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为( )

图1－3

9．A [解析] 在空间直角坐标系O－xyz中画出三棱锥，由已知可知三棱锥O－ABC为题中所描叙的四面体，而其在zOx平面上的投影为正方形EBDO，故选A.

图1－4

4．G2[2013·山东卷] 一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如图1

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－1所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是( )

图1－1

8

A．4 5，8 B．4 5，

38

C．4(5＋1)， D．8，8

3

4．B [解析] 由正视图知该几何体的高为2，底面边长为2，斜高为2＋1＝5，∴侧

118

面积＝4××2×5＝4 5，体积为×2×2×2＝. 233

12．G2[2013·陕西卷] 某几何体的三视图如图1－2所示，则其表面积为________． ．

2

图1－2

12．3π [解析] 由三视图得该几何体为半径为1的半个球，则表面积为半球面＋底面122

圆，代入数据计算为S＝×4π×1＋π×1＝3π.

2

11．G2[2013·新课标全国卷Ⅰ] 某几何体的三视图如图1－3所示，则该几何体的体积为( )

图1－3

A．16＋8π B．8＋8π C．16＋16π D．8＋16π

11．A [解析] 该空间几何体的下半部分是一个底面半径为2，母线长为4的半圆柱，上1

半部分是一个底面边长为2、高为4的正四棱柱．这个空间几何体的体积是×π×4×4＋

22×2×4＝16＋8π.

5．G2[2013·浙江卷] 已知某几何体的三视图(单位： cm)如图1－1所示，则该几何体的体积是( )

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图1－1

A．108 cm B．100 cm

33

C．92 cm D．84 cm

3

3

5．B [解析] 此直观图是由一个长方体挖去一个三棱锥而得，如图所示其体积为3×6×6113

－××3×4×4＝108－8＝100(cm)．所以选择B. 32

19．G2和G5[2013·重庆卷] 如图1－4所示，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，PAπ

＝2 3，BC＝CD＝2，∠ACB＝∠ACD＝.

3

(1)求证：BD⊥平面PAC；

(2)若侧棱PC上的点F满足PF＝7FC，求三棱锥P－BDF的体积．

图1－4

19．解：(1)证明：因为BC＝CD，即△BCD为等腰三角形，又∠ACB＝∠ACD，故BD⊥AC. 因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD，从而BD与平面PAC内两条相交直线PA，AC都垂直，所以BD⊥平面PAC.

112π

(2)三棱锥P－BCD的底面BCD的面积S△BCD＝BC·CD·sin∠BCD＝·2·2·sin＝3.

223由PA⊥底面ABCD，得

11

VP－BCD＝·S△BCD·PA＝×3×2 3＝2.

33

111111

由PF＝7FC，得三棱锥F－BCD的高为PA，故VF－BCD＝·S△BCD·PA＝×3××2 3＝，

838384

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17

所以VP－BDF＝VP－BCD－VF－BCD＝2－＝. 44

8．G2和G7[2013·重庆卷] 某几何体的三视图如图1－3所示，则该几何体的表面积为( )

图1－3

A．180 B．200 C．220 D．240

8．D [解析] 该几何体为直四棱柱，其高为10，底面是上底为2，下底为8，高为4，1

其腰为5的等腰梯形，所以底面面积和为(2＋8)×4×2＝40.四个侧面的面积和为(2＋8＋

2

5×2)×10＝200，所以该直四棱柱的表面积为S＝40＋200＝240，故选D.

G3 平面的基本性质、空间两条直线

G4 空间中的平行关系

17．G4，G5，G7[2013·北京卷] 如图1－5，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：

(1)PA⊥底面ABCD； (2)BE∥平面PAD；

(3)平面BEF⊥平面PCD.

图1－5

17．证明：(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD.

(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，

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所以AB∥DE，且AB＝DE， 所以ABED为平行四边形， 所以BE∥AD.

又因为BE平面PAD，AD平面PAD， 所以BE∥平面PAD.

(3)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形， 所以BE⊥CD，AD⊥CD. 由(1)知PA⊥底面ABCD， 所以PA⊥CD.

又因为AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD， 所以CD⊥PD.

因为E和F分别是CD和PC的中点， 所以PD∥EF， 所以CD⊥EF，

所以CD⊥平面BEF， 所以平面BEF⊥平面PCD.

18．G2，G4[2013·福建卷] 如图1－3，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC＝5，DC＝3，AD＝4，∠PAD＝60°.

→

(1)当正视方向与向量AD的方向相同时，画出四棱锥P－ABCD的正视图(要求标出尺寸，并写出演算过程)；

(2)若M为PA的中点，求证：DM∥平面PBC； (3)求三棱锥D－PBC的体积．

图1－3

18．解：(1)在梯形ABCD中，过点C作CE⊥AB，垂足为E. 由已知得，四边形ADCE为矩形，AE＝CD＝3，

在Rt△BEC中，由BC＝5，CE＝4，依勾股定理得BE＝3，从而AB＝6. 又由PD⊥平面ABCD得，PD⊥AD.

从而在Rt△PDA中，由AD＝4，∠PAD＝60°，得PD＝4 3.

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正视图如图所示．

1

(2)方法一：取PB中点N，联结MN，CN.在△PAB中，∵M是PA中点，∴MN∥AB，MN＝AB2＝3.

又CD∥AB，CD＝3，∴MN∥CD，MN＝CD， ∴四边形MNCD为平行四边形，∴DM∥CN. 又DM平面PBC，CN平面PBC， ∴DM∥平面PBC.

方法二：取AB的中点E，联结ME，DE. 在梯形ABCD中，BE∥CD，且BE＝CD， ∴四边形BCDE为平行四边形，

∴DE∥BC.又DE平面PBC，BC平面PBC， ∴DE∥平面PBC.

又在△PAB中，ME∥PB，

ME平面PBC，PB平面PBC，∴ME∥平面PBC. 又DE∩ME＝E，∴平面DME∥平面PBC. 又DM平面DME，∴DM∥平面PBC.

1

(3)VD－PBC＝VP－DBC＝S△DBC·PD，

3

又S△DBC＝6，PD＝4 3，所以VD－PBC＝8 3.

18．G1，G4，G5[2013·广东卷] 如图1－4(1)，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图1

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－4(2)所示的三棱锥A－BCF，其中BC＝2. 2

图1－4

(1)证明：DE∥平面BCF； (2)证明：CF⊥平面ABF；

2

(3)当AD＝时，求三棱锥F－DEG的体积．

3

18．解：

8．G4、G5[2013·广东卷] 设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )

A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l⊥α，l⊥β，则α∥β C．若l⊥α，l∥β，则α∥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β

8．B [解析] 根据空间平行、垂直关系的判定和性质，易知选B. 16．G4，G5[2013·江苏卷] 如图1－2，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．

求证：(1)平面EFG∥平面ABC； (2)BC⊥SA.

图1－2

16．证明：(1)因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点．又因为E是SA的中点，所以EF∥AB.

因为EF平面ABC，AB平面ABC， 所以EF∥平面ABC.

同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，

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所以平面EFG∥平面ABC.

(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB， 又AF平面SAB，AF⊥SB， 所以AF⊥平面SBC.

因为BC平面SBC，所以AF⊥BC.

又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF，AB平面SAB，所以BC⊥平面SAB. 因为SA平面SAB，所以BC⊥SA.

15．G4[2013·江西卷] 如图1－5所示，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．

图1－5

15．4 [解析] 直线EF与正方体左右两个面平行，与其他四个面相交．

图1－4

18．G4，G5[2013·辽宁卷] 如图1－4，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．

(1)求证：BC⊥平面PAC；

(2)设Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC. 18．证明：(1)由AB是圆O的直径，得AC⊥BC. 由PA⊥平面ABC，BC平面ABC，得PA⊥BC. 又PA∩AC＝A，PA平面PAC，AC平面PAC， 所以BC⊥平面PAC.

(2)联结OG并延长交AC于M，联结QM，QO， 由G为△AOC的重心，得M为AC中点， 由Q为PA中点，得QM∥PC. 又O为AB中点，得OM∥BC. 因为QM∩MO＝M，QM平面QMO. MO平面QMO，

BC∩PC＝C，BC平面PBC，PC平面PBC， 所以平面QMO∥平面PBC.

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因为QG平面QMO， 所以QG∥平面PBC.

18．G4，G7，G11[2013·新课标全国卷Ⅱ] 如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．

(1)证明：BC1∥平面A1CD；

(2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝22，求三棱锥C－A1DE的体积．

图1－7

18．解：(1)证明：联结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点．又D是AB中点，联结DF，则BC1∥DF.因为DF平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.

图1－8

(2)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD.由已知AC＝CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB.又AA1∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB1A1.

由AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2 2得∠ACB＝90°，CD＝2，A1D＝6，DE＝3，A1E＝3，

222

故A1D＋DE＝A1E，即DE⊥A1D.

11

所以VC－A1DE＝××6×3×2＝1.

32

19．G4，G5[2013·山东卷] 如图1－5，四棱锥P—ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．

(1)求证：CE∥平面PAD；

(2)求证：平面EFG⊥平面EMN.

图1－6

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19．证明：(1)证法一：取PA的中点H，联结EH，DH. 因为E为PB的中点， 1

所以EH∥AB，EH＝AB.

21

又AB∥CD，CD＝AB，

2

所以EH∥CD，EH＝CD.

因此四边形DCEH是平行四边形． 所以CE∥DH.

又DH平面PAD，CE平面PAD， 因此CE∥平面PAD.

证法二：联结CF. 因为F为AB的中点， 1

所以AF＝AB.

21

又CD＝AB，

2

所以AF＝CD. 又AF∥CD，

所以四边形AFCD为平行四边形． 因此CF∥AD.

又CF平面PAD， 所以CF∥平面PAD.

因为E，F分别为PB，AB的中点， 所以EF∥PA.

又EF平面PAD， 所以EF∥平面PAD. 因为CF∩EF＝F，

故平面CEF∥平面PAD. 又CE平面CEF， 所以CE∥平面PAD.

(2)因为E，F分别为PB，AB的中点， 所以EF∥PA.

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又AB⊥PA， 所以AB⊥EF. 同理可证AB⊥FG.

又EF∩FG＝F，EF平面EFG，FG平面EFG， 因此AB⊥平面EFG.

又M，N分别为PD，PC的中点， 所以MN∥CD. 又AB∥CD， 所以MN∥AB，

因此MN⊥平面EFG. 又MN平面EMN，

所以平面EFG⊥平面EMN.

18．G4，G11[2013·陕西卷] 如图1－5，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝2.

图1－5

(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1； (2)求三棱柱ABD－A1B1D1的体积． 18．解： (1)证

明：由题设知，BB1

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瘙綊DD1，

∴四边形BB1D1D是平行四边形， ∴BD∥B1D1.

又BD平面CD1B1， ∴BD∥平面CD1B1. ∵

A1D1

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瘙綊B1C1

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瘙綊BC，

∴四边形A1BCD1是平行四边形， ∴A1B∥D1C.

又A1B平面CD1B1， ∴A1B∥平面CD1B1. 又∵BD∩A1B＝B，

∴平面A1BD∥平面CD1B1. (2)∵A1O⊥平面ABCD，

∴A1O是三棱柱ABD－A1B1D1的高．

1

又∵AO＝AC＝1，AA1＝2，

2∴A1O＝AA1－OA＝1，

1

又∵S△ABD＝×2×2＝1，

2

∴VABD－A1B1D1＝S△ABD·A1O＝1.

19．G4，G5，G7，G11[2013·四川卷]

2

2

图1－8 如图1－8，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝2AA1＝2，∠BAC＝120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD上异于端点的点．

(1)在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；

1

(2)设(1)中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A1－QC1D的体积．(锥体体积公式：V＝Sh，

3其中S为底面面积，h为高)

19．解：(1)如图，在平面ABC内，过点P作直线l∥BC，因为l在平面A1BC外，BC在平面A1BC内，由直线与平面平行的判定定理可知，l∥平面A1BC.

由已知，AB＝AC，D是BC的中点，

所以，BC⊥AD，则直线l⊥AD.

因此AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥直线l.

又因为AD，AA1在平面ADD1A1内，且AD与AA1相交， 所以直线l⊥平面ADD1A1. (2)过D作DE⊥AC于E.

因为AA1⊥平面ABC，所以DE⊥AA1.

又因为AC，AA1在平面AA1C1C内，且AC与AA1相交， 所以DE⊥平面AA1C1C.

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由AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，有AD＝1，∠DAC＝60°， 所以在△ACD中，DE＝

33AD＝. 22

1

又S△A1QC1＝A1C1·AA1＝1，所以

2

1133

VA1－QC1D＝VD－A1QC1＝DE·S△A1QC1＝××1＝. 3326

3

. 6

17．G4，G5、G11[2013·天津卷] 如图1－3所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．

(1)证明EF∥平面A1CD；

(2)证明平面A1CD⊥平面A1ABB1；

(3)求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．

因此三棱锥A1－QC1D的体积是

图1－3

17．解：(1)证明：如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC∥A1C1，且AC＝A1C1，联结ED，在1

△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE＝AC且DE∥AC，又因为F为A1C1的中点，

2可得A1F＝DE，且A1F∥DE，即四边形A1DEF为平行四边形，所以EF∥DA1.又EF平面A1CD，DA1平面A1CD，所以，EF∥平面A1CD.

(2)证明：由于底面ABC是正三角形，D为AB的中点，故CD⊥AB，又由于侧棱AA1⊥底面ABC，CD平面ABC，所以A1A⊥CD，又A1A∩AB＝A，因此CD⊥平面A1ABB1，而CD平面A1CD，所以平面A1CD⊥平面A1ABB1.

(3)在平面A1ABB1内，过点B作BG⊥A1D交直线A1D于点G，联结CG，由于平面A1CD⊥平面A1ABB1，而直线A1D是平面A1CD与平面A1ABB1的交线，故BG⊥平面A1CD，由此得∠BCG为直线BC与平面A1CD所成的角．

设三棱柱各棱长为a，可得A1D＝BG5

sin∠BCG＝＝. BC5

5a5a，由△A1AD∽△BGD，易得BG＝.在Rt△BGC中，25

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5. 54．G4，G5[2013·浙江卷] 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( ) A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥β C．若m∥n，m⊥α，则n⊥α D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β

4．C [解析] 对于选项C，若m∥n，m⊥α，易得n⊥α.所以选择C.

G5 空间中的垂直关系

所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为 图1－5

18．G5[2013·安徽卷] 如图1－5，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，已知PB＝PD＝2，PA＝6. (1)证明：PC⊥BD；

(2)若E为PA的中点，求三棱锥P－BCE的体积． 18．解：(1)证明：联结AC，交BD于O点，联结PO. 因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，BO＝DO.

由PB＝PD知，PO⊥BD.再由PO∩AC＝O知，BD⊥面APC，又PC平面APC，因此BD⊥PC. (2)因为E是PA的中点，所以VP－BCE＝VC－PEB＝

11

VC－PAB＝VB－APC. 22

由PB＝PD＝AB＝AD＝2知，△ABD≌△PBD. 因为∠BAD＝60°，

所以PO＝AO＝3，AC＝23，BO＝1.又PA＝6，故PO＋AO＝PA，即PO⊥AC.

1

故S△APC＝PO·AC＝3.

21111

由(1)知，BO⊥面APC，因此VP－BCE＝VB－APC＝··S△APC·BO＝. 2322

2

2

2

17．G4，G5，G7[2013·北京卷] 如图1－5，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：

(1)PA⊥底面ABCD； (2)BE∥平面PAD；

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(3)平面BEF⊥平面PCD.

图1－5

17．证明：(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD.

(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点， 所以AB∥DE，且AB＝DE， 所以ABED为平行四边形， 所以BE∥AD.

又因为BE平面PAD，AD平面PAD， 所以BE∥平面PAD.

(3)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形， 所以BE⊥CD，AD⊥CD. 由(1)知PA⊥底面ABCD， 所以PA⊥CD.

又因为AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD， 所以CD⊥PD.

因为E和F分别是CD和PC的中点， 所以PD∥EF， 所以CD⊥EF，

所以CD⊥平面BEF， 所以平面BEF⊥平面PCD.

19．G5、G11[2013·全国卷] 如图1－3所示，四棱锥P—ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是边长为2的等边三角形．

图1－3

(1)证明：PB⊥CD；

(2)求点A到平面PCD的距离．

19．解：(1)证明：取BC的中点E，联结DE，则四边形ABED为正方形．过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O.联结OA，OB，OD，OE.由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA＝PB＝PD，

所以OA＝OB＝OD，即点O为正方形ABED对角线的交点．故OE⊥BD，从而PB⊥OE.因为O是BD的中点，E是BC的中点，所以OE∥CD.

因此PB⊥CD.

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(2)取PD的中点F，联结OF，则OF∥PB. 由(1)知，PB⊥CD，故OF⊥CD.

122又OD＝BD＝2，OP＝PD－OD＝2，

2

故△POD为等腰三角形，因此OF⊥PD. 又PD∩CD＝D，所以OF⊥平面PCD.

因为AE∥CD，CD平面PCD，AE平面PCD，所以AE∥平面PCD. 1

因此O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离，而OF＝PB＝1，

2

所以点A到平面PCD的距离为1.

18．G1，G4，G5[2013·广东卷] 如图1－4(1)，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图1－4(2)所示的三棱锥A－BCF，其中BC＝

2. 2

图1－4

(1)证明：DE∥平面BCF； (2)证明：CF⊥平面ABF；

2

(3)当AD＝时，求三棱锥F－DEG的体积．

3

18．解：

8．G4、G5[2013·广东卷] 设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )

A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l⊥α，l⊥β，则α∥β C．若l⊥α，l∥β，则α∥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β

8．B [解析] 根据空间平行、垂直关系的判定和性质，易知选B. 16．G4，G5[2013·江苏卷] 如图1－2，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．

求证：(1)平面EFG∥平面ABC；

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(2)BC⊥SA.

图1－2

16．证明：(1)因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点．又因为E是SA的中点，所以EF∥AB.

因为EF平面ABC，AB平面ABC， 所以EF∥平面ABC.

同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E， 所以平面EFG∥平面ABC.

(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB， 又AF平面SAB，AF⊥SB， 所以AF⊥平面SBC.

因为BC平面SBC，所以AF⊥BC.

又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF，AB平面SAB，所以BC⊥平面SAB. 因为SA平面SAB，所以BC⊥SA.

19．G5，G7[2013·江西卷] 如图1－7所示，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，AA1＝3，E为CD上一点，DE＝1，EC＝3.

(1)证明：BE⊥平面BB1C1C； (2)求点B1到平面EA1C1的距离．

图1－7

19．解：(1)证明：过B作CD的垂线交CD于F，则BF＝AD＝2，EF＝AB－DE＝1，FC＝2.

在Rt△BEF中，BE＝3. 在Rt△CFB中，BC＝6.

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在△BEC中，因为BE＋BC＝9＝EC，故BE⊥BC. 由BB1⊥平面ABCD得BE⊥BB1. 所以BE⊥平面BB1C1C.

1

(2)三棱锥E－A1B1C1的体积V＝·AA1·S△A1B1C1＝2.

3在Rt△A1D1C1中，A1C1＝A1D1＋D1C1＝3 2.

22222

同理，EC1＝EC＋CC1＝3 2，A1E＝A1A＋AD＋DE＝2 3. 故S△A1C1E＝3 5.

设点B1到平面EA1C1的距离为d，则三棱锥B1－A1C1E的体积 1

V＝·d·S△A1C1E＝5d， 3从而5d＝2，d＝

10. 5

22222

图1－4

18．G4，G5[2013·辽宁卷] 如图1－4，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．

(1)求证：BC⊥平面PAC；

(2)设Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC. 18．证明：(1)由AB是圆O的直径，得AC⊥BC. 由PA⊥平面ABC，BC平面ABC，得PA⊥BC. 又PA∩AC＝A，PA平面PAC，AC平面PAC， 所以BC⊥平面PAC.

(2)联结OG并延长交AC于M，联结QM，QO， 由G为△AOC的重心，得M为AC中点， 由Q为PA中点，得QM∥PC. 又O为AB中点，得OM∥BC. 因为QM∩MO＝M，QM平面QMO. MO平面QMO，

BC∩PC＝C，BC平面PBC，PC平面PBC， 所以平面QMO∥平面PBC. 因为QG平面QMO，

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所以QG∥平面PBC.

19．G4，G5[2013·山东卷] 如图1－5，四棱锥P—ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．

(1)求证：CE∥平面PAD；

(2)求证：平面EFG⊥平面EMN.

图1－6

19．证明：(1)证法一：取PA的中点H，联结EH，DH. 因为E为PB的中点， 1

所以EH∥AB，EH＝AB.

21

又AB∥CD，CD＝AB，

2

所以EH∥CD，EH＝CD.

因此四边形DCEH是平行四边形． 所以CE∥DH.

又DH平面PAD，CE平面PAD， 因此CE∥平面PAD.

证法二：联结CF. 因为F为AB的中点， 1

所以AF＝AB.

21

又CD＝AB，

2

所以AF＝CD. 又AF∥CD，

所以四边形AFCD为平行四边形． 因此CF∥AD.

又CF平面PAD，

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所以CF∥平面PAD.

因为E，F分别为PB，AB的中点， 所以EF∥PA.

又EF平面PAD， 所以EF∥平面PAD. 因为CF∩EF＝F，

故平面CEF∥平面PAD. 又CE平面CEF， 所以CE∥平面PAD.

(2)因为E，F分别为PB，AB的中点， 所以EF∥PA. 又AB⊥PA， 所以AB⊥EF. 同理可证AB⊥FG.

又EF∩FG＝F，EF平面EFG，FG平面EFG， 因此AB⊥平面EFG.

又M，N分别为PD，PC的中点， 所以MN∥CD. 又AB∥CD， 所以MN∥AB，

因此MN⊥平面EFG. 又MN平面EMN，

所以平面EFG⊥平面EMN.

19．G4，G5，G7，G11[2013·四川卷]

图1－8 如图1－8，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝2AA1＝2，∠BAC＝120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD上异于端点的点．

(1)在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；

1

(2)设(1)中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A1－QC1D的体积．(锥体体积公式：V＝Sh，

3其中S为底面面积，h为高)

19．解：(1)如图，在平面ABC内，过点P作直线l∥BC，因为l在平面A1BC外，BC在平面A1BC内，由直线与平面平行的判定定理可知，l∥平面A1BC.

由已知，AB＝AC，D是BC的中点，

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所以，BC⊥AD，则直线l⊥AD.

因此AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥直线l.

又因为AD，AA1在平面ADD1A1内，且AD与AA1相交， 所以直线l⊥平面ADD1A1. (2)过D作DE⊥AC于E.

因为AA1⊥平面ABC，所以DE⊥AA1.

又因为AC，AA1在平面AA1C1C内，且AC与AA1相交， 所以DE⊥平面AA1C1C.

由AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，有AD＝1，∠DAC＝60°， 所以在△ACD中，DE＝

33AD＝. 22

1

又S△A1QC1＝A1C1·AA1＝1，所以

2

1133

VA1－QC1D＝VD－A1QC1＝DE·S△A1QC1＝××1＝. 3326

3

. 6

17．G4，G5、G11[2013·天津卷] 如图1－3所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．

(1)证明EF∥平面A1CD；

(2)证明平面A1CD⊥平面A1ABB1；

(3)求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．

因此三棱锥A1－QC1D的体积是

图1－3

17．解：(1)证明：如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC∥A1C1，且AC＝A1C1，联结ED，在1

△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE＝AC且DE∥AC，又因为F为A1C1的中点，

2可得A1F＝DE，且A1F∥DE，即四边形A1DEF为平行四边形，所以EF∥DA1.又EF平面A1CD，DA1平面A1CD，所以，EF∥平面A1CD.

(2)证明：由于底面ABC是正三角形，D为AB的中点，故CD⊥AB，又由于侧棱AA1⊥底面ABC，CD平面ABC，所以A1A⊥CD，又A1A∩AB＝A，因此CD⊥平面A1ABB1，而CD平面A1CD，所以平面A1CD⊥平面A1ABB1.

(3)在平面A1ABB1内，过点B作BG⊥A1D交直线A1D于点G，联结CG，由于平面A1CD⊥平面

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A1ABB1，而直线A1D是平面A1CD与平面A1ABB1的交线，故BG⊥平面A1CD，由此得∠BCG为直线BC与平面A1CD所成的角．

设三棱柱各棱长为a，可得A1D＝BG5

sin∠BCG＝＝. BC5

5. 5

19．G5[2013·新课标全国卷Ⅰ] 如图1－5所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.

(1)证明：AB⊥A1C；

所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为

(2)若AB＝CB＝2，A1C＝6，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．

5a5a，由△A1AD∽△BGD，易得BG＝.在Rt△BGC中，25

图1－5

19．解：(1)取AB的中点O，联结OC，OA1，A1B，

因为CA＝CB，所以OC⊥AB.

由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB. 因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C. 又A1C平面OA1C，故AB⊥A1C.

(2)由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，所以OC＝OA1＝3.

222

又A1C＝6，则A1C＝OC＋OA1，故OA1⊥OC.

因为OC∩AB＝O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC－A1B1C1的高．

又△ABC的面积S△ABC＝3，故三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝S△ABC·OA1＝3.

4．G4，G5[2013·浙江卷] 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( ) A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥β C．若m∥n，m⊥α，则n⊥α D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β

4．C [解析] 对于选项C，若m∥n，m⊥α，易得n⊥α.所以选择C.

19．G2和G5[2013·重庆卷] 如图1－4所示，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，PAπ

＝2 3，BC＝CD＝2，∠ACB＝∠ACD＝.

3

(1)求证：BD⊥平面PAC；

(2)若侧棱PC上的点F满足PF＝7FC，求三棱锥P－BDF的体积．

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图1－4

19．解：(1)证明：因为BC＝CD，即△BCD为等腰三角形，又∠ACB＝∠ACD，故BD⊥AC. 因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD，从而BD与平面PAC内两条相交直线PA，AC都垂直，所以BD⊥平面PAC.

112π

(2)三棱锥P－BCD的底面BCD的面积S△BCD＝BC·CD·sin∠BCD＝·2·2·sin＝3.

223由PA⊥底面ABCD，得

11

VP－BCD＝·S△BCD·PA＝×3×2 3＝2.

33

111111

由PF＝7FC，得三棱锥F－BCD的高为PA，故VF－BCD＝·S△BCD·PA＝×3××2 3＝，

83838417

所以VP－BDF＝VP－BCD－VF－BCD＝2－＝. 44

G6 三垂线定理

8．G1，G6[2013·北京卷] 如图1－2，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有( )

图1－2 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

8．B [解析] 设棱长为1，∵BD1＝3，∴BP＝△ABD1≌△CBD1≌△B1BD1，

3， 3

联结AP，PC，PB1，则有△ABP≌△CBP≌△B1BP， ∴∠ABD1＝∠CBD1＝∠B1BD1，且cos∠ABD1＝∴AP＝CP＝B1P＝

6

，同理DP＝A1P＝C1P＝1， 3

32 3，D1P＝.联结AD1，B1D1，CD1，得33

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∴P到各顶点的距离的不同取值有4个．

G7 棱柱与棱锥

17．G4，G5，G7[2013·北京卷] 如图1－5，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：

(1)PA⊥底面ABCD； (2)BE∥平面PAD；

(3)平面BEF⊥平面PCD.

图1－5

17．证明：(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD.

(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点， 所以AB∥DE，且AB＝DE， 所以ABED为平行四边形， 所以BE∥AD.

又因为BE平面PAD，AD平面PAD， 所以BE∥平面PAD.

(3)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形， 所以BE⊥CD，AD⊥CD. 由(1)知PA⊥底面ABCD， 所以PA⊥CD.

又因为AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD， 所以CD⊥PD.

因为E和F分别是CD和PC的中点， 所以PD∥EF， 所以CD⊥EF，

所以CD⊥平面BEF， 所以平面BEF⊥平面PCD.

10．G2，G7[2013·北京卷] 某四棱锥的三视图如图1－3所示，该四棱锥的体积为________．

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图1－3

10．3 [解析] 正视图的长为3，侧视图的长为3，因此，该四棱锥底面是边长为3的正1

方形，且高为1，因此V＝×(3×3)×1＝3.

3

8．G7[2013·江苏卷] 如图1－1，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1

的中点，设三棱锥F－ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2＝________．

图1－1

8．1∶24 [解析] 设三棱柱的底面积为S，高为h，则V2＝Sh，又D，E，F分别为AB，1111111

AC，AA1的中点，所以S△AED＝S，且三棱锥F－ADE的高为h，故V1＝S△AED·h＝·S·h42323421

＝Sh，所以V1∶V2＝1∶24. 24

19．G5，G7[2013·江西卷] 如图1－7所示，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，AA1＝3，E为CD上一点，DE＝1，EC＝3. (1)证明：BE⊥平面BB1C1C； (2)求点B1到平面EA1C1的距离．

图1－7

19．解：(1)证明：过B作CD的垂线交CD于F，则BF＝AD＝2，EF＝AB－DE＝1，FC＝2.

在Rt△BEF中，BE＝3.

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在Rt△CFB中，BC＝6. 222在△BEC中，因为BE＋BC＝9＝EC，故BE⊥BC. 由BB1⊥平面ABCD得BE⊥BB1. 所以BE⊥平面BB1C1C.

1

(2)三棱锥E－A1B1C1的体积V＝·AA1·S△A1B1C1＝2.

3在Rt△A1D1C1中，A1C1＝A1D1＋D1C1＝3 2.

22222

同理，EC1＝EC＋CC1＝3 2，A1E＝A1A＋AD＋DE＝2 3. 故S△A1C1E＝3 5.

设点B1到平面EA1C1的距离为d，则三棱锥B1－A1C1E的体积 1

V＝·d·S△A1C1E＝5d， 3

10. 5

18．G4，G7，G11[2013·新课标全国卷Ⅱ] 如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．

(1)证明：BC1∥平面A1CD；

从而5d＝2，d＝

(2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝22，求三棱锥C－A1DE的体积．

2

2

图1－7

18．解：(1)证明：联结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点．又D是AB中点，联结DF，则BC1∥DF.因为DF平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.

图1－8

(2)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD.由已知AC＝CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB.又AA1∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB1A1.

由AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2 2得∠ACB＝90°，CD＝2，A1D＝6，DE＝3，A1E＝3，

222

故A1D＋DE＝A1E，即DE⊥A1D.

11

所以VC－A1DE＝××6×3×2＝1.

32

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19．G4，G5，G7，G11[2013·四川卷]

图1－8 如图1－8，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝2AA1＝2，∠BAC＝120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD上异于端点的点．

(1)在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；

1

(2)设(1)中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A1－QC1D的体积．(锥体体积公式：V＝Sh，

3其中S为底面面积，h为高)

19．解：(1)如图，在平面ABC内，过点P作直线l∥BC，因为l在平面A1BC外，BC在平面A1BC内，由直线与平面平行的判定定理可知，l∥平面A1BC.

由已知，AB＝AC，D是BC的中点，

所以，BC⊥AD，则直线l⊥AD.

因此AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥直线l.

又因为AD，AA1在平面ADD1A1内，且AD与AA1相交， 所以直线l⊥平面ADD1A1. (2)过D作DE⊥AC于E.

因为AA1⊥平面ABC，所以DE⊥AA1.

又因为AC，AA1在平面AA1C1C内，且AC与AA1相交， 所以DE⊥平面AA1C1C.

由AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，有AD＝1，∠DAC＝60°， 所以在△ACD中，DE＝

33AD＝. 22

1

又S△A1QC1＝A1C1·AA1＝1，所以

2

1133

VA1－QC1D＝VD－A1QC1＝DE·S△A1QC1＝××1＝. 3326

3

. 6

8．G2和G7[2013·重庆卷] 某几何体的三视图如图1－3所示，则该几何体的表面积为( )

因此三棱锥A1－QC1D的体积是

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图1－3

A．180 B．200 C．220 D．240

8．D [解析] 该几何体为直四棱柱，其高为10，底面是上底为2，下底为8，高为4，1

其腰为5的等腰梯形，所以底面面积和为(2＋8)×4×2＝40.四个侧面的面积和为(2＋8＋

25×2)×10＝200，所以该直四棱柱的表面积为S＝40＋200＝240，故选D.

G8 多面体与球

10．G8[2013·天津卷] 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为则正方体的棱长为________．

4?3a?39

10.3 [解析] 设正方体的棱长为a，则π??＝π，解之得a＝3.

3?2?2

3 2

15．G8[2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知正四棱锥O－ABCD的体积为，底面边长为3，

2

则以O为球心，OA为半径的球的表面积为________．

13 23 2

15．24π [解析] 设O到底面的距离为h，则×3×h＝h＝，OA＝

322

9π

，2

?6?22

h＋??＝6，故球的表面积为4π×(6)＝24π.

?2?

2

16．G8[2013·湖北卷] 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．

(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)

16．3 [解析] 积水深度为盆深的一半，故此时积水部分的圆台上底面直径为二尺，圆122

台的高为九寸，故此时积水的体积是π(10＋6＋10×6)×9＝196×3π(立方寸)，盆口的面

3

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196×3π2

积是π×14＝196π，所以平均降雨量是＝3寸．

196π

15．G8[2013·新课标全国卷Ⅰ] 已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为________．

9π2

15. [解析] 截面为圆，由已知得该圆的半径为1.设球的半径为r，则AH＝r，所以

2311299π2222

OH＝r，所以r＋1＝r，r＝，所以球的表面积是4πr＝. 3382

G9 空间向量及运算

G10 空间向量解决线面位置关系

G11 空间有与距离的求法

19．G5、G11[2013·全国卷] 如图1－3所示，四棱锥P—ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是边长为2的等边三角形．

图1－3

(1)证明：PB⊥CD；

(2)求点A到平面PCD的距离．

19．解：(1)证明：取BC的中点E，联结DE，则四边形ABED为正方形．过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O.联结OA，OB，OD，OE.由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA＝PB＝PD，

所以OA＝OB＝OD，即点O为正方形ABED对角线的交点．故OE⊥BD，从而PB⊥OE.因为O是BD的中点，E是BC的中点，所以OE∥CD.

因此PB⊥CD.

(2)取PD的中点F，联结OF，则OF∥PB. 由(1)知，PB⊥CD，故OF⊥CD.

122

又OD＝BD＝2，OP＝PD－OD＝2，

2故△POD为等腰三角形，因此OF⊥PD. 又PD∩CD＝D，所以OF⊥平面PCD.

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因为AE∥CD，CD平面PCD，AE平面PCD，所以AE∥平面PCD. 1

因此O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离，而OF＝PB＝1，

2

所以点A到平面PCD的距离为1.

11．G11[2013·全国卷] 已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1

所成角的正弦值等于( )

23A. B. 33C.

21 D. 33

11．A [解析] 如图，联结AC，交BD于点O.由于BO⊥OC，BO⊥CC1，可得BO⊥平面OCC1，

从而平面OCC1⊥平面BDC1，过点C作OC1的垂线交OC1于点E，根据面面垂直的性质定理可得CE⊥平面BDC1，∠CDE即为所求的线面角．设AB＝2，则OC＝2，OC1＝18＝32，所以CE＝

CC1·OC4 24CE2

＝＝，所以sin ∠CDE＝＝. OC1CD33 23

22．G11[2013·江苏卷] 如图1－2所示，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．

(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；

(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值．

图1－2

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22．解：(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(1，1，0)，A1(0，0，4)，

→→

C1(0，2，4)，所以A1B＝(2，0，－4)，C1D＝(1，－1，－4)．

→→A1B·C1D18310→→

因为cos〈A1B，C1D〉＝＝＝，所以异面直线A1B与C1D所成角

→→1020×18|A1B||C1D|310

的余弦值为. 10

→→

(2)设平面ADC1的法向量为n1＝(x，y，z)，因为AD＝(1，1，0)，AC1＝(0，2，4)，所以

n1·AD＝0，n1·AC1＝0，即x＋y＝0且y＋2z＝0，取z＝1，得x＝2，y＝－2，所以，n1＝(2，

－2，1)是平面ADC1的一个法向量．取平面AA1B的一个法向量为n2＝(0，1，0)，设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为θ.

→→

n1·n2225

由|cos θ|＝＝＝，得sin θ＝. |n1||n2|39×13

5

. 3

18．G4，G7，G11[2013·新课标全国卷Ⅱ] 如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．

(1)证明：BC1∥平面A1CD；

因此，平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为

(2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝22，求三棱锥C－A1DE的体积．

图1－7

18．解：(1)证明：联结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点．又D是AB中点，联结DF，则BC1∥DF.因为DF平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.

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图1－8

(2)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD.由已知AC＝CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB.又AA1∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB1A1.

由AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2 2得∠ACB＝90°，CD＝2，A1D＝6，DE＝3，A1E＝3，

222

故A1D＋DE＝A1E，即DE⊥A1D.

11

所以VC－A1DE＝××6×3×2＝1.

32

18．G4，G11[2013·陕西卷] 如图1－5，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝2.

图1－5

(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1； (2)求三棱柱ABD－A1B1D1的体积． 18．解： (1)证

明：由题设知，BB1

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瘙綊DD1，

∴四边形BB1D1D是平行四边形， ∴BD∥B1D1.

又BD平面CD1B1， ∴BD∥平面CD1B1. ∵

A1D1

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瘙綊B1C1

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瘙綊BC，

∴四边形A1BCD1是平行四边形， ∴A1B∥D1C.

又A1B平面CD1B1， ∴A1B∥平面CD1B1. 又∵BD∩A1B＝B，

∴平面A1BD∥平面CD1B1. (2)∵A1O⊥平面ABCD，

∴A1O是三棱柱ABD－A1B1D1的高．

1

又∵AO＝AC＝1，AA1＝2，

2∴A1O＝AA1－OA＝1，

1

又∵S△ABD＝×2×2＝1，

2

∴VABD－A1B1D1＝S△ABD·A1O＝1.

19．G4，G5，G7，G11[2013·四川卷]

2

2

图1－8 如图1－8，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝2AA1＝2，∠BAC＝120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD上异于端点的点．

(1)在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；

1

(2)设(1)中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A1－QC1D的体积．(锥体体积公式：V＝Sh，

3其中S为底面面积，h为高)

19．解：(1)如图，在平面ABC内，过点P作直线l∥BC，因为l在平面A1BC外，BC在平面A1BC内，由直线与平面平行的判定定理可知，l∥平面A1BC.

由已知，AB＝AC，D是BC的中点，

所以，BC⊥AD，则直线l⊥AD.

因此AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥直线l.

又因为AD，AA1在平面ADD1A1内，且AD与AA1相交， 所以直线l⊥平面ADD1A1. (2)过D作DE⊥AC于E.

因为AA1⊥平面ABC，所以DE⊥AA1.

又因为AC，AA1在平面AA1C1C内，且AC与AA1相交， 所以DE⊥平面AA1C1C.

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由AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，有AD＝1，∠DAC＝60°， 所以在△ACD中，DE＝

33AD＝. 22

1

又S△A1QC1＝A1C1·AA1＝1，所以

2

1133

VA1－QC1D＝VD－A1QC1＝DE·S△A1QC1＝××1＝. 3326

3

. 6

17．G4，G5、G11[2013·天津卷] 如图1－3所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．

(1)证明EF∥平面A1CD；

(2)证明平面A1CD⊥平面A1ABB1；

(3)求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．

因此三棱锥A1－QC1D的体积是

图1－3

17．解：(1)证明：如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC∥A1C1，且AC＝A1C1，联结ED，在1

△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE＝AC且DE∥AC，又因为F为A1C1的中点，

2可得A1F＝DE，且A1F∥DE，即四边形A1DEF为平行四边形，所以EF∥DA1.又EF平面A1CD，DA1平面A1CD，所以，EF∥平面A1CD.

(2)证明：由于底面ABC是正三角形，D为AB的中点，故CD⊥AB，又由于侧棱AA1⊥底面ABC，CD平面ABC，所以A1A⊥CD，又A1A∩AB＝A，因此CD⊥平面A1ABB1，而CD平面A1CD，所以平面A1CD⊥平面A1ABB1.

(3)在平面A1ABB1内，过点B作BG⊥A1D交直线A1D于点G，联结CG，由于平面A1CD⊥平面A1ABB1，而直线A1D是平面A1CD与平面A1ABB1的交线，故BG⊥平面A1CD，由此得∠BCG为直线BC与平面A1CD所成的角．

设三棱柱各棱长为a，可得A1D＝BG5

sin∠BCG＝＝. BC5

所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为

5. 5

5a5a，由△A1AD∽△BGD，易得BG＝.在Rt△BGC中，25

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G12 单元综合

图1－3

15．G12[2013·安徽卷] 如图1－3，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．

1

①当0

21

②当CQ＝时，S为等腰梯形；

2

31

③当CQ＝时，S与C1D1的交点R满足C1R＝；

433

④当

4⑤当CQ＝1时，S的面积为

6. 2

15．①②③⑤ [解析] 对于①②，如图(1)所示，因为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，12

当CQ＝时，PQ＝，这时过A，P，Q三点的截面与DD1交于D1，

22

AP＝D1Q＝

5

，且PQ∥AD1，截面S为等腰梯形． 2

1当CQ<时，过A，P，Q三点的截面与直线DD1的交点在棱DD1上，截面S为四边形，故①②

2正确．

对于③④⑤，

如图(2)所示，联结QR并延长交DD1的延长线于N点，联结AN交A1D1于M，

1

取AD中点G，作GH∥PQ交DD1于H点，可得GH∥AN，且GH＝AN.设CQ＝t(0≤t≤1)，

2则DN＝2t，ND1＝2t－1，

ND1D1R2t－1＝＝， C1QRC11－t

3D1R21

当t＝时，＝，可得C1R＝，故③正确；

4C1R133

当

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当t＝1时，Q与C1重合，M为A1D1的中点， S为菱形PC1MA，AM＝AP＝PC1＝C1M＝6

，故⑤正确． 2

51

，MP＝2，AC1＝3，S的面积等于×2×3＝22

20．G12[2013·湖北卷] 如图1－4所示，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A1处发现矿藏，再继续下钻到A2处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为A1A2＝d1.同样可得在B，C处正下方的矿层厚度分别为B1B2＝d2，C1C2＝d3，且d1＜d2＜d3.过AB，AC的中点M，N且与直线AA2平行的平面截多面体A1B1C1－A2B2C2所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面，其面积记为S中．

(1)证明：中截面DEFG是梯形；

(2)在△ABC中，记BC＝a，BC边上的高为h，面积为S.在估测三角形ABC区域内正下方的矿藏储量(即多面体A1B1C1－A2B2C2的体积V)时，可用近似公式V估＝S中·h来估算，已知V1

＝(d1＋d2＋d3)S，试判断V估与V的大小关系，并加以证明． 3

图1－4

20．解：(1)证明：依题意A1A2⊥平面ABC，B1B2⊥平面ABC，C1C2⊥平面ABC， 所以A1A2∥B1B2∥C1C2.又A1A2＝d1，B1B2＝d2，C1C2＝d3，且d1＜d2＜d3， 因此四边形A1A2B2B1，A1A2C2C1均是梯形，由AA2∥平面MEFN，AA2平面AA2B2B，且平面AA2B2B∩平面MEFN＝ME，

可得AA2∥ME，即A1A2∥DE.同理可证A1A2∥FG，所以DE∥FG. 又M，N分别为AB，AC的中点．

则D，E，F，G分别为A1B1，A2B2，A2C2，A1C1的中点， 即DE，FG分别为梯形A1A2B2B1，A1A2C2C1的中位线．

11

因此DE＝(A1A2＋B1B2)＝(d1＋d2)，

2211

FG＝(A1A2＋C1C2)＝(d1＋d3)，

22

而d1

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由A1A2⊥平面ABC，MN平面ABC，可得A1A2⊥MN. 而EM∥A1A2，所以EM⊥MN，同理可得FN⊥MN.

11

由MN是△ABC的中位线，可得MN＝BC＝a即为梯形DEFG的高，

221?d1＋d2d1＋d3?aa

＋因此S中＝S 梯形DEFG＝?·＝(2d1＋d2＋d3)．

2?2?2?28ah

即V估＝S中h＝(2d1＋d2＋d3)，

8

11ah

又S＝ah，所以V＝(d1＋d2＋d3)S＝(d1＋d2＋d3)．

236

ahahah

于是V－V估＝(d1＋d2＋d3)－(2d1＋d2＋d3)＝[(d2－d1)＋(d3－d1)]．

6824

由d10，d3－d1>0，故V－V估>0，即V估

2．G2[2013·四川卷] 一个几何体的三视图如图1－1所示，则该几何体可以是( )

图1－1

A．棱柱 B．棱台 C．圆柱 D．圆台

2．D [解析] 结合三视图原理，可知几何体为圆台．

16．G8、G12[2013·全国卷] 已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O3

的半径，OK＝，且圆O与圆K所在的平面所成的一个二面角为60°，则球O的表面积等于

2________．

16．16π [解析] 设两圆的公共弦AB的中点为D，则KD⊥DA，OD⊥DA，∠ODK即为圆O和圆K所在平面所成二面角的平面角，所以∠ODK＝60°.由于O为球心，故OK垂直圆K所在

OK32

平面，所以OK⊥KD.在直角三角形ODK中，＝sin 60°，即OD＝×＝3，设球的半径

OD23为r，则DO＝332

r，所以r＝3，所以r＝2，所以球的表面积为4πr＝16π. 22

20．G12[2013·浙江卷] 如图1－6所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝BC

＝2，AD＝CD＝ 7，PA＝ 3，∠ABC＝120°，G为线段PC上的点．

(1)证明：BD⊥平面APC；

(2)若G为PC的中点，求DG与平面APC所成的角的正切值；

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PG

(3)若G满足PC⊥平面BGD，求的值．

GC

图1－6

20．解：(1)证明：设点O为AC，BD的交点． 由AB＝BC，AD＝CD，得BD是线段AC的中垂线． 所以O为AC的中点，BD⊥AC.

又因为PA⊥平面ABCD，BD平面 ABCD， 所以PA⊥BD.

所以BD⊥平面APC.

(2)联结OG.由(1)可知OD⊥平面APC，则DG在平面APC内的射影为OG，所以∠OGD是DG与平面APC所成的角．

13

由题意得OG＝PA＝. 22在△ABC中，

AC＝AB＋BC－2AB·BC·cos∠ABC＝2 3， 1

所以OC＝AC＝3.

2在直角△OCD中，OD＝CD－OC＝2. OD4 3

在直角△OGD中，tan∠OGD＝＝. OG3

2

2

22 4 3

所以DG与平面APC所成的角的正切值为. 3(3)因为PC⊥平面BGD，OG平面BGD，所以PC⊥OG. 在直角△PAC中，得PC＝15， AC·OC2 15

所以GC＝＝.

PC5

3 15PG3

从而PG＝，所以＝.

5GC2

1．[2013·烟台莱州一中月考] 一个简单几何体的正视图和侧视图如图K29－2所示，则其俯视图不可能为下列图形中的( )

①长方形；②直角三角形；③圆；④椭圆．

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A．① B．② C．③ D．④

图K29－2 1．C [解析] 当俯视图为圆时，由三视图可知为圆柱，此时正视图和侧视图应该相同，所以俯视图不可能是圆，选C.

2．[2013·天津模拟] 如图X5－3所示，△PAD为等边三角形，四边形ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝2，E，F，G分别为PA，BC，PD的中点，AD＝2 2.

(1)求PB与平面ABCD所成的角； (2)求证：AG⊥EF；

(3)求多面体P－AGF的体积．

图X5－3 2．解：(1)取AD中点M， 联结PM，BM.

∵平面PAD⊥平面ABCD，交线为AD， 等边三角形△PAD中，M为AD的中点， ∴PM⊥AD，

∴PM⊥平面ABCD， ∴∠PBM即为所求．

PM＝3

2

×2 2＝6，MB＝6，而△PMB为直角三角形，

∴∠PBM＝45°，即PB与平面ABCD所成角为45°. (2)证明：等边三角形PAD中， ∵G是PD中点，∴GA⊥PD，

△APD中，E是AP的中点，M是AD的中点，∴EM∥PD， ∴AG⊥ME.

∵平面PAD⊥平面ABCD，交线为AD，又∵MF⊥AD， ∴MF⊥平面PAD. ∵AG?平面PAD， ∴MF⊥AG. ∵EM∩MF＝M， ∴AG⊥平面EMF， ∴AG⊥EF.

(3)V1112 3

P－AGF＝VF－AGP＝3MF·S△AGP＝3×2×2 2×6＝3

.

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3．[2013·北京朝阳区期末] 在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P1，P2分别是线段AB，BD1(不包括端点)上的动点，且线段P1P2平行于平面A1ADD1，则四面体P1P2AB1的体积的最大值是( )

1111A. B. C. D. 241262

3．A [解析] 过P2作P2O⊥底面于O，联结OP1，则OP1⊥AB，即OP1为三棱锥P2－P1AB1

OP1BP11

的高，设AP1＝x，0

ADAB2

11111?x＋1－x?21

所以四面体P1P2AB1的体积为S△AP1B1·OP1＝·x(1－x)＝x(1－x)≤??＝，当

33266?2?2411

且仅当x＝1－x，即x＝时，取等号，所以四面体P1P2AB1的体积的最大值为，选A.

224

4．[2013·潍坊高三月考] 四棱锥P－ABCD的三视图如图K30－5所示，四棱锥P－ABCD的五个顶点都在一个球面上，E，F分别是棱AB，CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为2 2，则该球的表面积为( )

A．12π B．24π C．36π D．48π

4．A [解析] 将三视图还原为直观图如图所示，可得四棱锥P－ABCD的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球，该正方体的棱长为a.设外接球的球心为O，则O也是正方体的中心，设EF中点为G，联结OG，OA，AG.根据题意，直线EF被球面

2

所截得的线段长为2 2，即正方体面对角线长是2 2，可得AG＝2＝a，所以正方体棱

2

1

长a＝2，则在Rt△OGA中，OG＝a＝1，AO＝3，即外接球半径R＝3，得外接球表面积为4

2

2

πR＝12π，选A.

5．[2013·丹东四校协作体摸底] 设某几何体的三视图如图K30－6所示(尺寸的长度单

2

位为：m)，若该几何体的各个顶点都在同一球面上，则此球的表面积等于________m(答案用含有π的式子表示)．

图K30－6

5．100π [解析] 由三视图可得该几何体是一个三棱柱，底面外接圆的半径r满足2r

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3 322＝6，则r＝3.棱柱的高为8，则球心到底面的距离d＝4，则球的半径R＝r＋d＝sin 60°2

5.故此球的表面积S＝4πR＝100π，故答案为100π.

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/vx1o.html