最新人教版高中数学选修2-3《计数原理复习》示范教案

本章复习 整体设计

教材分析

计数问题是数学的重要研究对象之一，分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，也称为基本计数原理，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具．通过本章的学习，学生学会了计数基本原理、排列、组合、二项式定理及其应用，了解到计数原理与现实生活的联系，会解决一些简单的计数问题．

返璞归真地看两个计数原理，它们实际上是学生从小学就开始学习的加法运算与乘法运算的推广，它们是解决计数问题的理论依据．排列、组合是两类特殊而重要的计数问题，而解决它们的基本思想和工具就是两个计数原理．二项式定理的学习过程是应用两个计数原理解决问题的典型过程，其基本思路是“先猜后证”．“学以致用”的思想始终贯穿本章内容，我们特别注意选择一些典型的、富有时代气息的应用问题，引导学生进行分析、论证、探索，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力．

计数原理是高中数学中独立性较强的一部分，也是密切联系实际的一部分，是高考的必考内容，每年都有1～2道与排列、组合有关的试题．题型一般为选择题或填空题，考查排列组合的基础知识、思维能力，多数试题难度与教材习题的难度相当，但又有个别题目难度较大．二项式定理也几乎是每年高考的必考内容，一般以选择题或填空题的形式出现，试题难度不大，常见类型有：应用二项式定理的通项公式求系数或指定项，赋值法在二项展开式中的应用，二项式定理在其他知识方面的应用．

课时分配 1课时

教学目标 知识与技能

掌握两个计数原理、排列、组合、二项式定理及其展开式，能用计数原理和排列组合、二项式定理解决一些简单问题．

过程与方法

应用类比、猜想、归纳、推广等数学思想，培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力，培养学生的抽象概括能力，培养学生的运算能力，分析能力和综合能力．

情感、态度与价值观

通过最容易理解的两个常识(两个原理)，引出排列、组合、二项式定理，进而升华到解决一些与生活息息相关的实际问题，增加了学生们的求知欲，思考、探究的多次出现，使同学们体会到探索的快乐，提高同学们学习数学的兴趣．

重点难点

教学重点：计数原理、排列、组合、二项式定理及其应用．

教学难点：正确运用两个计数原理以及排列、组合概念分析和解决问题，恰当地使用二项式定理解决相关问题．

教学过程

形成网络

【本章知识脉络】 1．两个计数原理

①分类加法计数原理_______________________________________________________；

②分步乘法计数原理________________________________________________________； ③它们的本质区别是________________________________________________________． 2．排列、组合的定义与有关公式

①排列的定义：__________________；排列数公式__________________； ②组合的定义：__________________；组合数公式__________________； ③组合数的两个性质：Ⅰ.________________；Ⅱ.____________________； ④排列、组合的本质区别是____________________________． 3．二项式定理与杨辉三角的性质

①________________________________________________________________________； ②________________________________________________________________________； ③________________________________________________________________________； ④________________________________________________________________________. 答案：1.①完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法

②完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法

③一下子能完成是分类，一下子完不成是分步

2．①从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不n！

同元素中取出m个元素的一个排列 Am＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ n

(n－m)！

②从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)n！素的一个组合 Cm＝ n＝m！m！(n－m)！

mnmrr1r

③Ⅰ.Cn＝Cn Ⅱ.Cn＋1＝Cn＋Cn ④有序问题是排列，无序问题是组合

－

－

n

3．①Cmn＝Cn

－m

rr1r

②Cn＋1＝Cn＋Cn ③当n是偶数时，中间的一项取得最大值，即C

－

n

2

n－1n＋10

n最大；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即Cn＝Cn最大 ④Cn

22

2rnn

＋C1n＋Cn＋…＋Cn＋…＋Cn＝2

【解题方法、数学思想】

作为独立性较强的一章，在学习上可以很容易入手，但是要想掌握并且会做题，就必须体会许多解题方法：优先法、插空法、捆绑法、赋值法等等，在学习知识的过程中注意归纳——类比——证明思想的应用．学好排列组合是学好概率的根本，所以本章有关知识方法的学习，应该引起我们的足够重视．

【活动设计】 学生自由发言，讨论，教师进行补充；教师可以让学生填空，然后贯通其脉络．

典型示例

类型一：两个计数原理的应用

例1在∠AOB的OA边上取m个点，在OB边上取n个点(均除O点外)，连同O点共m＋n＋1个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有( )

2121212

A．C1m＋1Cn＋Cn＋1Cm B．CmCn＋CnCm

212111221

C．C1mCn＋CnCm＋CmCn D．CmCn＋1＋Cm＋1Cn

思路分析：方法一，分成三类，用分类加法原理；方法二，间接法，去掉三点共线的组合．

解析：方法一：第一类：从OA边上(不包括O)任取一点与从OB边上(不包括O)任取

2

两点，可构造一个三角形，有C1mCn个；第二类：从OA边上(不包括O)任取两点与OB边上

1

(不包括O)任取一点，可构造一个三角形，有C2mCn个；第三类：从OA边上(不包括O)任取

1

一点与OB边上(不包括O)任取一点，与O点可构造一个三角形，有C1mCn个．

22111

由分类加法计数原理共有N＝(C1mCn＋CmCn＋CmCn)个三角形． 方法二：从m＋n＋1中任取三点共有C3m＋n＋1种情况，其中三点均在射线OA上(包括O

3

点)，有C3m＋1个，三点均在射线OB上(包括O点)，有Cn＋1个．所以，三角形的个数为N＝333Cm＋n＋1－Cm＋1－Cn＋1.

答案：C

本题考查组合的概念及加法原理，解题中常用分类讨论思想及间接法 【巩固练习】

从甲地到乙地一天有汽车8班，火车3班，轮船2班，则某人一天内乘坐不同班次的汽车、火车或轮船时，共有不同的走法数为( )

A．13种 B．16种 C．24种 D．48种 答案：A，由分类加法计数原理知，答案为8＋3＋2＝13种．

类型二：排列组合综合问题

例2(1)A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果A、B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有( )

A．60种 B．48种 C．36种 D．24种

(2)七个人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的种数是…( ) A．1 440 B．3 600 C．4 820 D．4 800 思路分析：相邻问题可以考虑捆绑法，不相邻问题用插空法．

解：(1)把A、B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人全排列，共有A44

＝24种排法，故选D.

2

(2)除甲、乙外，其余5个全排列为A55种，再用甲、乙去插6个空位有A6种，所以不同

2

排法种数是A55A6＝3 600种，所以选B.

点评：无论相邻还是不相邻，都是建立在对应用题的审题基础上的，通过认真读题，体会题目的要求，就能解决相应的数列问题．

【巩固练习】

A、B、C、D、E五人排成一排，A、B不相邻，C、D要相邻，有________种排法． 答案：24

例3由数字0,1,2,3,4,5组成且没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有( )

A．210个 B．300个 C．464个 D．600个

思路分析：元素多，取出的情况也有多种，可按结果要求，分成不相容的几类情况分别计算，最后总计．

11311

解：按题意，个位数字只可能是0,1,2,3,4共5种情况，分别有A55个，A4A3A3个，A3A3

11311313

A33个，A2A3A3个，A3A3A3个，A3A3个，合计得300个，所以选B.

点评：优先考虑限制条件是解决此类问题的根本，在此题中，还要考虑0的分类． 【巩固练习】

从1,2,3，…100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取

法(不计顺序)共有多少种？

解：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，它们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I，能被7整除的数的集合记作A，则A＝{7,14，…98}共有14个元素，不能被7整除的数的集合B中共有86个元素，由此可知，从A中任取两数的取法，

11

共有C214种，从A中任取一个数又从B中任取一个数的取法，共有C14C86种，两种情形共得

11

符合要求的取法有C214＋C14C86＝1 295种．

例4四个不同的球放入编号为1,2,3,4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有________种．

思路分析：从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上，可用先取后排法．

解：先取四个球中的两个为一组，另二组各有一个球的方法有C24种；再排：在四个盒

23

中每次排三个有A34种，故共有C4A4＝144种．

点评：对于选排问题一般的解法是先选后排． 【巩固练习】

9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？

22

解：先取男、女运动员各二名，有C25C4种方法；这四名运动员混双练习有A2种排法，

22

故共有C25C4A2种方法．

【变练演编】

将6本不同的书按下列分法，

(1)分给学生甲3本，学生乙2本，学生丙1本；有________种分法．

(2)分给甲、乙、丙3人，其中1人得3本、1人得2本、1人得1本；有________种分法．

22

(3)若分法总数是C26C4C2种，则可能的分法情况是________．

(4)分成3堆，一堆3本，一堆2本，一堆1本；有________种分法．

22

(5)若分成3堆，共有分法C2A36C4C2÷3种，则可能的分法情况是________．

(6)分给甲、乙、丙3人，其中一人4本，另两人每人1本；有________种分法． 同学们，将你能想到的所有情况写出来或计算出来吧！

21

答案：(1)是指定人应得数量的非均匀问题：方法数为C36C3C1；(非等分无序)

21

(2)是没有指定人应得数量的非均匀问题：方法数为C3A36C3C1×3；(非等分，有序) (3)分给甲、乙、丙3人，每人2本；

21

(4)是分堆的非均匀问题(与(1)等价)：方法数为C36C3C1；(非等分无序) (5)每堆2本；

11C4A36C2C1×3(6)是部分均匀地分给人的问题：方法数为.(局部等分有序) 2A2

设计意图：课堂教学中，通过变练演编环节的实施，使得学生能够最大限度地理解本节所学，最大限度地发挥主观能动性，使得课堂充满活力．在教学中，教师尽量不要照搬教材上的原例题，而是在尊重原例题编写意图，保证其训练的技能技巧、解题思路、数学思想方法、能力不变的前提下，改变原例题中的数值，或字母，或已知条件，或求解目标等等，即表面上换一个例题，但其实质并没有变化．可以说是换又没有换，这就是很多专家所讲的“换一个的策略”．目的还是保证让全体学生真正做到不仅动手，而且动脑，还又不偏离教学目标，是对学习真实性的保障．

类型三：二项式定理与二项展开式

13例3已知(x＋x2)2n的展开式的系数和比(3x－1)n的展开式的系数和大992，求(2x－)2n

x

的展开式中：①二项式系数最大的项；②系数的绝对值最大的项．

思路分析：先由赋值法列出方程，解出n的值，然后根据二项式的有关性质解题． 解析：由题意22n－2n＝992，解得n＝5.

1

①(2x－)10的展开式中第6项的二项式系数最大，

x1

即T6＝T5＋1＝C5(2x)5·(－)5＝－8 064. 10·x②设第r＋1项的系数的绝对值最大，

1－－－r则Tr＋1＝C10·(2x)10r·(－)r＝(－1)r·Cr210r·x102r. 10·x

r110r1rr1

???210r≥Cr2，?C10·10·?C10≥2C10，?11－r≥2r，

?∴?r10－rr＋110－r－1得?r即 r＋1

???C·2≥C·2，2C≥C，2(r＋1)≥10－r，?10?1010?10

－

－

－＋

－

811

∴≤r≤，∴r＝3，故系数的绝对值最大的是第4项． 331374即T4＝C310(2x)(－)＝－15 360x. x

点评：对于二项展开式，二项式系数的性质是常考的内容．对于赋值法的考查，在近几年成为一个热点，还应注意的是，二项式系数与系数是两个截然不同的概念，有时候相等，有时候不等，它们之间没有必然的联系．

【巩固练习】

13

设(2＋)n展开式的第7项与倒数第7项的比是1∶6，求展开式中的第7项．

331361n－6－63解：T7＝Cn(2)n6()6，Tn－7＋2＝Tn－5＝C6). n(2)(33333n－616

C6(2)()n

33361n－6C6)n(2)(

33

由

1nn－

＝，化简得6－4＝61，∴－4＝－1.∴n＝9. 633

15639－6163

∴T7＝C6()＝C9·2·＝. 9(2)9333

【拓展实例】

＋

4如果今天是星期一，那么对于任意自然数n，经过23n3＋7n＋5天后的那一天是星期几？

＋

思路分析：先将此题转化为数学问题，即本题实际上是寻求对于任意自然数n,23n3＋

＋＋＋

7n＋5被7除的余数．受近似计算题目启发，23n3＝8n1＝(7＋1)n1，这样就可以运用二项式定理了．

1n2n1

解：由于23n3＋7n＋5＝8n1＋7n＋5＝(7＋1)n1＋7n＋5＝7n1＋Cn＋…＋17＋Cn＋17

n＋1n1n－1n－2

＋Cn＋C2＋…＋Cnn＋17＋Cn＋1＋7n＋5＝7(7＋Cn＋17n＋17n＋1＋n)＋6，

＋

则23n3＋7n＋5被7除所得余数为6.

＋

所以对于任意自然数n，经过23n3＋7n＋5后的一天是星期日．

点评：二项式定理是与数有关的问题，可以解决类似于周期性的问题． 【巩固练习】

求0.955精确到0.01的近似值．

答案：先将0.95化为二项代数和1－0.05，再利用二项式定理计算． ∵0.955＝(1－0.05)5＝1＋C1(－0.05)＋C2(－0.05)2＋C3(－0.05)3＋C4(－0.05)4＋C5(－5·5·5·5·5·0.05)5

∵C30.053＝0.001 25<0.005，而以后各项的绝对值更小． 5×

∴从第4项起，均可忽略不计．∴0.955≈1－5×0.05＋10×0.002 5＝0.775≈0.78. 【达标检测】

1．火车上有10名乘客，沿途有7个车站，乘客下车的可能方式有( )

A．710种 B．107种 C．70种 D．以上都不对 2．下面几个问题：

①由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数；②从40人中选5人组成篮球队；③8个人进行单循环乒乓球比赛；④从40人中选5人担任班长、团支书、副班长、学习委员、体育委员．其中属于排列的有( )

A．①② B．②④ C．①③ D．①④

＋

＋

＋

＋

－

1

3．(|x|＋＋3)5的展开式中的x2的系数是( )

|x|

A．275 B．270 C．540 D．545 答案：1.A 2.D 3.C 课堂小结

活动设计：可以先给学生1～2分钟的时间默写本节的主要基础知识、方法，然后用精练的、精确的语言概括本节的知识脉络，思想方法，解题规律等．

小结：

①理解两个计数原理，并能解决相应的实际问题；

②理解排列组合的有关定义公式，并能解决相应的问题，理解相应的解题方法，如捆绑法、插空法、优先法等等；

③理解二项式定理，会用二项式展开，并能解决相应的问题，理解有关的解题方法，如赋值法、求最值项等等．

补充练习 【基础练习】

1．“渐减数”是指每个数字比其左边数字小的正整数(如98 765)，若把所有的五位渐减数按从小到大的顺序排列，则第20个数为________．

2．在(1＋ax)7的展开式中，x3项的系数是x2项系数与x5项系数的等比中项，则a的值为( )

A.1052525 B. C. D. 5393

3．12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分

配方案种数为( )

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