2005~2006学年第二学期高等数学期末试卷(1)

北京工业大学2005-2006学年第二学期《高等数学》期末试卷

一、单项选择题：本大题共5小题，每小题5分，共25 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请将正确结果的字母写在括号内。

1．设可微函数f (x,,y)在点(x0,y0)取得极小值，则下列结论正确的是【 】

（A）f(x0,y)在y y0处的导数等于零. （B）f(x0,y)在y y0处的导数大于零. （C）f(x0,y)在y y0处的导数小于零. （D）f(x0,y)在y y0处的导数不存在.

2．将二重积分 sin

D

x ydxdy(其中D为x y

2222

4)化为二次积分，

下列各式中正确的是 【 】

（A） （C）

2 02 0

d sinrdr （B）

040

22 0

d rsinrdr

020

2

d sinrdr （D） d rsinrdr

3．级数

n 1

1n

的敛散情况是 【 】

（A） 条件收敛 （B）绝对收敛 （C） 发散 （D）敛散性不能确定

4．微分方程xy

x y

2

2

y是 【 】

（A）齐次方程（B）一阶线性方程（C）伯努利方程（D）可分离变量方程

【 】

（A）0 (B)

2

5．将定义在[ , ]上的函数f(x) x展开为以2 为周期的傅立叶级数，其和函数记为S(x)，则S( )

（C） （D）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上.

22

6．L是圆周x y 1的正向，曲线积分ydx xdy= .

2

L

22

7．设空间区域 ：x y 1,0 z 1，则三重积分 f(x y,z)dxdydz在柱面坐标系下的三次积分

2

2

为 .

8．函数f(x)

1a x

(a 0)的麦克劳林级数为 .

22

9．函数f(x,y) 4(x y) x y的极大值点为，极大值为

10．x3 y3 z3 3xyz 0确定了z z(x,y)，

z y

= .

三、计算下列各题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出主要过程或演算步骤. 11．设z f(xy,x y)，其中f具有一阶连续偏导数，求

x2 y2 z2 6

12-1．求曲线 在点P 1，-2，1 处的切线及法平面方程.

x y z 0

z x, z x y

2

.

12-2．求曲面ez z xy 3在点P 2，1，0 处的切平面及法线方程.

13．在平面x y z 1上求一点，使该点与两定点A 1，0，1 的距离平方和最小. 0，1 、B 2，

14．计算 (x yz)dydz (y zx)dzdx 2zdxdy,其中 是曲面z

2

2

x y

22

(0 z 1)的上侧.

15．求：（1）幂级数

n 1

2n 1222

n

n

xx

2n 2

的收敛区间； 的和函数；

（2）幂级数

n 1

2n 1

n

2n 2

（3）级数

n 1

2n 1

之和.

四、 解答题: 本大题共2小题，每小题5分, 共10分.要求写出详细的解答过程. 16．函数f(x)具有连续的导数，且满足f(x)cosx 2 f(t)sintdt x 1.求f(x).

0x

17.已知limnun A,级数 (n 1)(un 1 un)收敛于，证明级数 un也收敛.

n

n 1n 1

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