圆锥摆模型和竖直面内圆周运动

李林中学高三年级物理导学案

班级_____________姓名______________学生使用时间______________第______周 课 题 圆周运动及其应用 主 备 朱凯荣 审 核 使用教师 编 号 编写时间 （2） 课前导学

学习目标： 1、圆锥摆模型

2、竖直面内的圆周运动分析。 学习重点： 1、圆锥摆模型

2、竖直面内的圆周运动分析。 学习难点：

竖直面内的圆周运动分析。 学习方法：

对于圆锥摆模型，是水平面内的圆周运动，一般涉及水平面内圆周运动是匀速的，需要的向心力水平；竖直面内的圆周运动一般是变速的，能在特殊点处分析受力，分析向心力的方向，对应列式求解。

课堂识真

圆周运动规律在实际中的应用

1．圆锥摆类问题分析

图1

圆锥摆是一种典型的匀速圆周运动模型，基本的圆锥摆模型和受力情况如图4所示，拉力(或弹力)和重力的合力提供球做圆周运动的向心力．

v2

F合＝Fn＝mgtan θ＝m

R

其运动情况也相似，都在水平面内做圆周运动，圆心在水平面内，常见的圆锥摆类模型还有：火车转弯(如图2所示)；杂技节目“飞车走壁”(如图3所示)；飞机在水平面内的盘旋(如图4所示)

图2 图3 图4

【例1】 (广东高考)有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图4-3-1所示，长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动．当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ，不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系．

图4-3-1

【例2】．在用高级沥青铺设的高速公路上，汽车的设计时速是108 km/h.汽车在这种

2

路面上行驶时，它的轮胎与地面的最大静摩擦力等于车重的0.6倍．(取g＝10 m/s) (1)如果汽车在这种高速路的水平弯道上拐弯，假设弯道的路面是水平的，其弯道的

最小半径是多少？

(2)如果高速路上设计了圆弧拱桥做立交桥，要使汽车能够以设计时速安全通过圆弧 拱桥，则这个圆弧拱桥的半径至少是多少？

[针对训练1] 铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的．弯道处要求外轨比内轨

高，其内、外轨高度差h的设计不仅与r有关，还取决于火车在弯道上的行驶速率．下 列表格中是铁路设计人员技术手册中弯道半径r及与之对应的轨道的高度差h. 弯道半径r/m 660 330 220 165 132 110 内、外轨高度差h/mm 50 100 150 200 250 300 (1)根据表中数据，试导出h和r关系的表达式，并求出当r＝440 m时，h的设计值． (2)铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内、外轨道均不向车轮施加侧向压力，又已知我国铁路内、外轨的间距设计值为L＝1 435 mm，结合表中数据，算出我国火车的转弯速率v(以km/h为单位，结果取整数．当θ很小时，tan θ≈sin θ)． (3)为了提高运输能力，国家对铁路不断进行提速，这就要求火车转弯速率也需要提高．请根据上述计算原理和上述表格分析提速时应采取怎样的有效措施．

2．竖直面内的圆周运动问题分析

图5

(1)绳(单轨，无支撑，水流星模型)：绳只能给物体施加拉力，而不能有支持力(如图5所示)．

mv2

这种情况下有F＋mg＝≥mg，所以小球通过最高点的条件是v≥gR，通过最高点的

R

最小速度vmin＝gR. ①当v>gR 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力．

②当v

图6

(2)外轨(单轨，有支撑，汽车过拱桥模型)，只能给物体支持力，而不能有拉力(如图6所示)．

有支撑的汽车，弹力只可能向上，在这种情况下有：

2mv

mg－F＝≤mg，

R

所以v≤gR，

物体经过最高点的最大速度vmax＝gR， 此时物体恰好离开桥面，做平抛运动．

(3)杆(双轨，有支撑)：对物体既可以有拉力，也可以有支持力，如图7所示．

图7

①过最高点的临界条件：v＝0.

2

mv

②在最高点，如果小球的重力恰好提供其做圆周运动的向心力，即mg＝，v＝gR，

R

杆或轨道内壁对小球没有力的作用．

当0

当v>gR时，小球受到重力和杆向下的拉力(或外轨道对球向下的压力)．

【例3】 如图4-3-2所示，位于竖直平面内的光滑轨道，由一段斜的直轨道和与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R.一质量为m的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动．要求物块能通过圆形轨道的最高点，且在该最高点与轨道间的压力不能超过5mg(g为重力加速度)．求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高

度h的取值范围．

图4-3-2

[针对训练2] 在2008年北京奥运会上，我国体操小将邹凯夺得单杠、自由体操、男子团体三枚金牌，以一届奥运会收获三金的佳绩与84年的体操王子李宁比肩．如图所示为邹凯做单杠动作单臂大回旋的瞬间．他用一只手抓住单杠，伸展身体，以单杠为轴做圆周运动．假设他的质量为60 kg，要完成动作，则他运动到最低点时手臂受的拉力至少约

2

为(忽略空气阻力，取g＝10 m/s)( )

A．600 N B．2 400 N C．3 000 N D．3 600 N

[针对训练3] 如图所示，小物块位于半径为R的半圆柱形物体顶端，若给小物块一水平速度v0＝2gR，则物块( )

A．立即做平抛运动 B．落地时水平位移为2R C．落地速度大小为2gR

D．落地时速度方向与地面成60°角

【基础演练】 1．(2011·陕西省西安市统测)如图1所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆环轨道上做圆周运动．圆环半径为R，小球经过圆环最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时，下列说法错误的是( ) A．小球对圆环的压力大小等于mg B．小球受到的向心力等于重力mg C．小球的线速度大小等于gR D．小球的向心加速度大小等于g

图1 图2 图3

2．如图2所示，质量为m的物块，沿着半径为R的半球形金属壳内壁滑下，半球

形金属壳竖直固定放置，开口向上，滑到最低点时速度大小为v，若物体与球壳之间 的动摩擦因数为μ，则物体在最低点时，下列说法正确的是( )

v2

A．受到向心力为mg＋m

R2v

B．受到的摩擦力为μm

R

v2

C．受到的摩擦力为μ(mg＋m)

R

D．受到的合力方向斜向右上方

3．如图3所示，长为L的细绳一端固定，另一端系一质量为m的小球．给小球一个合适的初速度，小球便可在水平面内做匀速圆周运动，这样就构成了一个圆锥摆，设细绳与竖直方向的夹角为θ.下列说法正确的是( ) A．小球受重力、绳的拉力和向心力作用 B．小球只受重力和绳的拉力作用 C．θ越大，小球运动的速度越小 D．θ越大，小球运动的周期越大

4．在高速公路的拐弯处，路面造得外高内低，即当车向右拐弯时，司机左侧的路面比右侧的要高一些，路面与水平面间的夹角为θ.设拐弯路段是半径为R的圆弧，要使车速为v时车轮与路面之间的横向(即垂直于前进方向)摩擦力等于零．θ应等于( )

v2v2

A．arcsin B．arctan

RgRg2

12vv2C.arcsin D．arccot 2RgRg

5．一根轻绳长0.5 m，它最多能承受140 N的拉力．在此绳一端系一质量为1 kg的 小球，另一端固定，使小球在竖直面内做圆周运动，为维持此运动，小球在最高点 处的速度大小取值范围是( ) A．0≤v≤5 m/s

B.5 m/s≤v≤35 m/s C．0≤v≤35 m/s

D．35 m/s≤v≤55 m/s

6．水平光滑直轨道ab与半径为R的竖直半圆形光滑轨道bc相切，一小球以初速度 v0沿直轨道向右运动，如图4所示，小球进入半圆形轨道后刚好能通过c点，然后

小球做平抛运动落在直轨道上的d点，则下列说法错误的是( ) A．小球到达c点的速度为gR B．小球到达b点时对轨道的压力为5mg

C．小球在直轨道上的落点d与b点距离为2R

R

D．小球从c点落到d点所需时间为2 g

图4

图5

7．如图5所示，在竖直的转动轴上，a、b两点间距为40 cm，细线ac长50 cm，bc 长30 cm，在c点系一质量为m的小球，在转动轴带着小球转动的过程中，下列说法 不正确的是( )

A．转速小时，ac受拉力，bc松弛 B．bc刚好拉直时ac中拉力为1.25mg C．bc拉直后转速增大，ac拉力不变 D．bc拉直后转速增大，ac拉力增大

8．(2010·重庆理综·24)小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动．当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d后落地，如图6所示．已知握绳的手离地面高度

3

为d，手与球之间的绳长为d，重力加速度为g.忽略手的运动半径、绳重和空气阻力．

4

(1)求绳断时球的速度大小v1和球落地时的速度大小v2.

(2)问绳能承受的最大拉力多大？

(3)改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？

图6

课后见功 拾遗补缺

拓展空间

圆周运动规律在实际中的应用

1．圆锥摆类问题分析

图1

圆锥摆是一种典型的匀速圆周运动模型，基本的圆锥摆模型和受力情况如图4所示，拉力(或弹力)和重力的合力提供球做圆周运动的向心力．

v2

F合＝Fn＝mgtan θ＝m

R

其运动情况也相似，都在水平面内做圆周运动，圆心在水平面内，常见的圆锥摆类模型还有：火车转弯(如图2所示)；杂技节目“飞车走壁”(如图3所示)；飞机在水平面内的盘旋(如图4所示)

图2 图3 图4

【例1】 (广东高考)有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图4-3-1所示，长为L

的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动．当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ，不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系．

图4-3-1

【例2】．在用高级沥青铺设的高速公路上，汽车的设计时速是108 km/h.汽车在这种 路面上行驶时，它的轮胎与地面的最大静摩擦力等于车重的0.6倍．(取g＝10 m/s2)

(1)如果汽车在这种高速路的水平弯道上拐弯，假设弯道的路面是水平的，其弯道的 最小半径是多少？

(2)如果高速路上设计了圆弧拱桥做立交桥，要使汽车能够以设计时速安全通过圆弧 拱桥，则这个圆弧拱桥的半径至少是多少？

[针对训练1] 铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的．弯道处要求外轨比内轨

高，其内、外轨高度差h的设计不仅与r有关，还取决于火车在弯道上的行驶速率．下 列表格中是铁路设计人员技术手册中弯道半径r及与之对应的轨道的高度差h. 弯道半径r/m 660 330 220 165 132 110 内、外轨高度差h/mm 50 100 150 200 250 300 (1)根据表中数据，试导出h和r关系的表达式，并求出当r＝440 m时，h的设计值． (2)铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内、外轨道均不向车轮施加侧向压力，又已知我国铁路内、外轨的间距设计值为L＝1 435 mm，结合表中数据，算出我国火车的转弯速率v(以km/h为单位，结果取整数．当θ很小时，tan θ≈sin θ)． (3)为了提高运输能力，国家对铁路不断进行提速，这就要求火车转弯速率也需要提高．请根据上述计算原理和上述表格分析提速时应采取怎样的有效措施．

2．竖直面内的圆周运动问题分析

图5

(1)绳(单轨，无支撑，水流星模型)：绳只能给物体施加拉力，而不能有支持力(如图5所示)．

2mv

这种情况下有F＋mg＝≥mg，所以小球通过最高点的条件是v≥gR，通过最高点的

R

最小速度vmin＝gR.

①当v>gR 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力．

②当v

图6

(2)外轨(单轨，有支撑，汽车过拱桥模型)，只能给物体支持力，而不能有拉力(如图6所示)．

有支撑的汽车，弹力只可能向上，在这种情况下有：

2mv

mg－F＝≤mg，

R

所以v≤gR，

物体经过最高点的最大速度vmax＝gR， 此时物体恰好离开桥面，做平抛运动．

(3)杆(双轨，有支撑)：对物体既可以有拉力，也可以有支持力，如图7所示．

图7

①过最高点的临界条件：v＝0.

mv2

②在最高点，如果小球的重力恰好提供其做圆周运动的向心力，即mg＝，v＝gR，

R

杆或轨道内壁对小球没有力的作用．

当0

当v>gR时，小球受到重力和杆向下的拉力(或外轨道对球向下的压力)．

【例3】 如图4-3-2所示，位于竖直平面内的光滑轨道，由一段斜的直轨道和与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R.一质量为m的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动．要求物块能通过圆形轨道的最高点，且在该最高点与轨道间的压力不能超过5mg(g为重力加速度)．求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度h的取值范围．

图4-3-2

[针对训练2] 在2008年北京奥运会上，我国体操小将邹凯夺得单杠、自由体操、男子团体三枚金牌，以一届奥运会收获三金的佳绩与84年的体操王子李宁比肩．如图所示为邹凯做单杠动作单臂大回旋的瞬间．他用一只手抓住单杠，伸展身体，以单杠为轴做圆

周运动．假设他的质量为60 kg，要完成动作，则他运动到最低点时手臂受的拉力至少约为(忽略空气阻力，取g＝10 m/s2)( )

A．600 N B．2 400 N C．3 000 N D．3 600 N

[针对训练3] 如图所示，小物块位于半径为R的半圆柱形物体顶端，若给小物块一水平速度v0＝2gR，则物块( )

A．立即做平抛运动 B．落地时水平位移为2R C．落地速度大小为2gR

D．落地时速度方向与地面成60°角

【基础演练】 1．(2011·陕西省西安市统测)如图1所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆环轨道上做圆周运动．圆环半径为R，小球经过圆环最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时，下列说法错误的是( ) A．小球对圆环的压力大小等于mg B．小球受到的向心力等于重力mg C．小球的线速度大小等于gR D．小球的向心加速度大小等于g

图1 图2 图3

2．如图2所示，质量为m的物块，沿着半径为R的半球形金属壳内壁滑下，半球

形金属壳竖直固定放置，开口向上，滑到最低点时速度大小为v，若物体与球壳之间 的动摩擦因数为μ，则物体在最低点时，下列说法正确的是( )

v2

A．受到向心力为mg＋m

R2v

B．受到的摩擦力为μm

R

v2

C．受到的摩擦力为μ(mg＋m)

R

D．受到的合力方向斜向右上方

3．如图3所示，长为L的细绳一端固定，另一端系一质量为m的小球．给小球一个合适的初速度，小球便可在水平面内做匀速圆周运动，这样就构成了一个圆锥摆，设细绳与竖直方向的夹角为θ.下列说法正确的是( ) A．小球受重力、绳的拉力和向心力作用 B．小球只受重力和绳的拉力作用 C．θ越大，小球运动的速度越小 D．θ越大，小球运动的周期越大

4．在高速公路的拐弯处，路面造得外高内低，即当车向右拐弯时，司机左侧的路面比右侧的要高一些，路面与水平面间的夹角为θ.设拐弯路段是半径为R的圆弧，要使车速为v时车轮与路面之间的横向(即垂直于前进方向)摩擦力等于零．θ应等于( )

22vv

A．arcsin B．arctan

RgRg22

12vvC.arcsin D．arccot 2RgRg

5．一根轻绳长0.5 m，它最多能承受140 N的拉力．在此绳一端系一质量为1 kg的 小球，另一端固定，使小球在竖直面内做圆周运动，为维持此运动，小球在最高点 处的速度大小取值范围是( ) A．0≤v≤5 m/s

B.5 m/s≤v≤35 m/s C．0≤v≤35 m/s

D．35 m/s≤v≤55 m/s

6．水平光滑直轨道ab与半径为R的竖直半圆形光滑轨道bc相切，一小球以初速度 v0沿直轨道向右运动，如图4所示，小球进入半圆形轨道后刚好能通过c点，然后 小球做平抛运动落在直轨道上的d点，则下列说法错误的是( ) A．小球到达c点的速度为gR B．小球到达b点时对轨道的压力为5mg

C．小球在直轨道上的落点d与b点距离为2R

R

D．小球从c点落到d点所需时间为2 g

图4

图5

7．如图5所示，在竖直的转动轴上，a、b两点间距为40 cm，细线ac长50 cm，bc 长30 cm，在c点系一质量为m的小球，在转动轴带着小球转动的过程中，下列说法 不正确的是( )

A．转速小时，ac受拉力，bc松弛 B．bc刚好拉直时ac中拉力为1.25mg C．bc拉直后转速增大，ac拉力不变 D．bc拉直后转速增大，ac拉力增大

8．(2010·重庆理综·24)小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动．当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d后落地，如图6所示．已知握绳的手离地面高度

3

为d，手与球之间的绳长为d，重力加速度为g.忽略手的运动半径、绳重和空气阻力．

4

(1)求绳断时球的速度大小v1和球落地时的速度大小v2. (2)问绳能承受的最大拉力多大？

(3)改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？

图6

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/vwup.html