2018届吉林省东北师大附中高三四模理科数学试题（word版）

东北师大附中四模——理科数学试题 2018届高三第四次模拟考试理科数学

一、选择题: 本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只 一项是符合题目要求的.

21.已知集合A?xx?1，B?xx?x?0，则（ ）

????A．A?B B．B?A C．A?B?xx?1 D．A?B?xx?0 2.已知a?R，i为虚数单位，若

????a?2i?i为实数，a则的值为（ ） 1?iA．4 B．3 C．2 D．1

3.《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问: 五人各得几何?”其意思为: 有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子.这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是（ ） A．15 B．16 C．18 D． 21

11?1?4.已知a???，b?ln，c?log14则（ ）

2?3?313A．a?b?c B．b?a?c C. b?c?a D．b?a?c 5. 一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的外接球的表面积为（ ） A．34? B．25? C. 41? D．50?

6. 执行如图所示的程序框图，若输出结果为15，则判断框中应填入的条件M为（ ）

A．k?16 B．k?8 C. k?16 D．k?8

7. 商场一年中各月份的收入.支出(单位:万元)情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（ ）

A.2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同 B.支出最高值与支出最低值的比是6:1

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C.第三季度平均收入为50万元 D.利润最高的月份是2月份

8.学校艺术节对同一类的A,B,C,D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:

甲说:“C或D作品获得一等奖”； 乙说:“B作品获得一等奖”； 丙说:“A,D两项作品未获得一等奖”； 丁说:“C作品获得一等奖”. 若这四位同学只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是（ ） A．A作品 B．B作品 C. C作品 D．D作品

9.设抛物线y2?2px?p?0?的焦点为F，过点M?p,0?且倾斜角为45?的直线与抛物线交于A,B两点，若AF?BF?10,则抛物线的准线方程为（ ）

A．x?1?0 B． x?2?0 C. 2x?1?0 D．2x?3?0 10.若函数f?x??sin????x?????3sin???x????0? 满足f?x1???2,f?x2??0且x1?x2的最小值

?2?为

?，则函数f?x?的单调递增区间为（ ） 4??5???5????,2k????k?Z? B．?2k??,2k????k?Z? 66?1212??,k??A．?2k??C. ?k?????3??6?5?????? D．k?Zk??,k??????k?Z?

?1212?x2y211．已知双曲线2?2?1?a?0,b?0?在左，右焦点分别为F1,F2，以O为圆心，以F1O为半径的圆

ab与该双曲线的两条渐近线在y轴左侧交于A,B两点，且?F2AB是等边三角形.则双曲线的离心率为（ ） A．2 B．2 C. 3?1 D．3?2 12.已知函数f?x??12ax??x?1?ex，若对区间?0,1?内的任意实数x1，都有f?x1??f?x2??f?x3?x2，x3，2则实数a的取值范围是（ ）

A． ?1,2? B．?e,4? C. ?1,4? D．?1,2???e,4?

二、填空题: 本题共4 小题，每小题5分，共20 分.

1??13.二项式?2x2??的展开式中的常数项为 ．

x??第页

2

6?x?0?14.若x,y满足约束条件?x?y?3?0，则z?x?2y的取值范围是 ．

?x?2y?0?15.已知向量AB与AC的夹角为120?，且AB?2，AC?3若AP??AB?AC，且AP?BC,则实数?的值为 ． 16. 已知在数列?an?中，a1?1?n?1?an则数列?a?的通项公式为 ． ，an?1?n2n?2nan三、解答题: 共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

17.在?ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且2acosB?ccosB?bcosC. (1)求角B的大小:

(2)若点D为的BC中点，且AD?b,求的值

sinA的值 sinC1BC.若将?AED, ?CFD4E是AB的中点，18.如图1,在正方形ABCD中，点F在线段BC上,且BF?分别沿ED,FD折起，使A,C两点重合于点M,如图2. (1)求证: EF?平面MED;

(2)求直线EM与平面MFD所成角的正弦值

19. 从甲、乙两种棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度(单位: mm) 组成一个样本，且将纤维长度超过315mm的棉花定为一级棉花.设计了如下茎叶图:

x2y220. 已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?的焦点坐标分別为F1??1,0?,F2?1,0?,P为椭圆C上一点，满足

ab3cos?FPF?且 3PF??5PF12125(1) 求椭圆C的标准方程:

(2) 设直线l:y?kx?m与椭圆C交于A,B两点，点Q?,0?，若AQ?BQ，求k的取值范围.

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21. 已知函数f?x??xex?x2?ax?b，曲线y?f?x?在点?0,f?0??处的切线方程为4x?2y?3?0 (1) 求a,b的值； (2) 证明: f?x??lnx.

(二) 选做题: 共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为

??x??1???cos2??2asin??a?0?，过点P??1,?2?的直线l的参数方程为??y??2???于A,B两点

(1) 求C的直角坐标方程和l的普通方程； (2) 若PA,AB,PB成等比数列，求a的值. 23.[选修4-5: 不等式选讲]

2t2（为参数）

，l与C交t2t2已知定义在R上的函数fx?2x?k?2x.k?N.存在实数x0使f?x0??2成立，

?(1) 求实数k的值: (2)若m?

119116，n?且求证f?m??f?n??10，求证??

mn322试卷答案

一、选择题

1-5: BACBA 6-10: ADBAD 11、12：AC

二、填空题

13. 60 14. ?4,??? 15.

12n 16. n

27三、解答题

17.解：（1）在?ABC中，?2acosB?ccosB?bcosC

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?由正弦定理得2sinAcosB?sinCcosB?sinBcosC?sin?B?C??sinA， ?A??0,??，?sinA?0，则cosB?1?，?B??0,??，?B? 232ac11?1?cosB?a2?c2?ac， 在?ABD中，由余弦定理得AD2??a??c2?2?242?2?22222在?ABC中，由余弦定理得b?a?c?2accosB?a?c?ac，

?AD?b，?a2?c2?ac?由正弦定理得

12131a2a?c2?ac，整理得a2?ac，??，

42c342sinAa2?? sinCc318.（1）证明：设正方形ABCD的边长为4，由图1知,AE?BE?2,BF?1,CF?3

?DE?AD2?AE2?25,EF?BE2?BF2?5,DF?CF2?CD2?5

?DE2?EF2?DF2,??DEF?90?,即EF?ED

由题意知，在图2中，MD?ME,MD?MF,ME?平面MEF,MF?平面MEF,且

ME?MF?M,?MD?平面MEF,?EF?平面MEF,?MD?EF.

又ED?平面MED,MD?平面MED,且ED?MD?D,?EF?平面MED

（2）解：由（1）知EF?平面MED，则建立如图所示空间直角坐标系，过点M作MN?ED，垂足为

N

在Rt?DME中，MN?ME?MD4525,EN?EM2?MN2?,从而E?0,0,0? ?ED55

?2545??M??0,5,5?,F5,00,D0,25,0??????,

???2545??2545??,FM???5,?,FD??5,25,0. ?EM??0,,,???55?55?????2545y?z?0??5x?设平面MFD的一个法向量为n??x,y,z?，则?， 55??5x?25y?0?令x?2，则y?1，z?4，?n??2,1,2?.设直线EM与平面MFD所成角为?,

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则sin??cos?EM,n??EM?nEMn?55.?直线EM与平面MFD所成角的正弦值为 3319. 解: (1) 1.乙种棉花的纤维平均长度大于甲种棉花的纤维平均长度(或:乙种棉花的纤维长度普遍大于甲种棉花的纤维长度).

2.甲种棉花的纤维长度较乙种棉花的纤维长度更分散.(或:乙种棉花的纤维长度较甲种棉花的纤维长度更集中(稳定)，甲种棉花的纤维长度的分散程度比乙种棉花的纤维长度的分散程度更大.) 3.甲种棉花的纤维长度的中位数为307mm.乙种棉花的纤维长度的中位数为318mm.

4.乙种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间(均值附近).甲种棉花的纤维长度除一个特殊值(352) 外，也大致对称，其分布较均匀.

(2) 记事件A为“从样本中随机抽取甲、乙两种棉花各2根，其中恰有3根一级棉花”.

1122111C10C15C15?C10C10C15?则P?A?? 224C25C25 (3) 由题意知，X的可能取值是0,1,2,其相应的概率为

P?X?0??326223313236??,P?X?1??????,P?X?2????, 55255555255525所以X的分布列为

X P 0 1 2 6 2513 256 25E?X??0?6136?1 ?1??2?25252553a，r2?a 44220.解：（1）由题意设PF1?1?5r2，又r1?r2?2a，?r1?r1，PF2?r2则3r2r12?r22?F1F2在?PF1F2中，由余弦定理得，cos?F1PF2?2r1r22?5??3?2?a???a??2344?， ?????5352?a?a44x2y2??1 解得a?2，?c?1，?b?a?c?3，?所求椭圆方程为43222?x2y2?1??222（2）联立方程?4，消去y得3?4kx?8kmx?4m?12?0， 3?y?kx?m????8km4m2?1222xx?则x1?x2?，，且??483?4k?m?0?① 12223?4k3?4k??第页 6

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