高一物理竞赛讲义第2讲教师版

第2讲 相对运动和

匀变速运动

温馨寄语

变速运动的研究是高中物理课本的开始，也是我们训练童鞋们高中物理竞赛能力，必不可少的一步。这个地方的难点主要在于，对于加速度概念的理解，和对匀变速直线运动诸多公式

的熟练运用。

告诉大家个诀窍：就是自己推公式。这是记住公式，并且能够灵活运用的不二法门。 另一方面，童鞋们也会着重的接触物理竞赛运动学的精髓之一：相对运动

知识点睛

一：运动的合成分解：

由于位移、速度、加速度与力一样都是矢量。是分别描述物体运动的位置变化运动的快慢及物体运动速度变化的快慢的。由于一个运动可以看成是由分运动组成的，那么已知分运动的情况，就可知道合运动的情况。

例如轮船渡河，如果知道船在静水中的速度动求合运动叫做运动的合成。

相反，已知合运动的情况，应用平行为四边法则，也可以求出分运动和情况。 例如飞机以一定的速度在一定时间内斜向上飞行一段位移，方向与水平夹角为30?，我们很容易求出飞机在水平方向和竖直方向的位移：这种已知合运动求分运动叫运动的分解。合运动分运动是等时的，独立的这一点必须牢记。

的大小和方向，以及河水流动的速度

的

大小和方向，应用平行四边法则，就可求出轮船合运动的速度v（大小方向）。这种已知分运

以上两例说明研究比较复杂的运动时，常常把这个运动看作是两个或几个比较简单的运动组成的，这就使问题变得容易研究。在上例轮船在静水中是匀速行驶的，河水是匀速流动的，则轮船的两个分运动的速度矢量都是恒定的。轮船的合运动的速度矢量也是恒定的。所以合运动是匀速直线的。一般说来，两个直线运动的合成运动，并不一定都是直线的。在上述轮船渡河的例子中如果轮船在划行方向是加速的行驶，在河水流动方向是匀速行驶，那么轮船的合运动就不是直线运动而是曲线运动了。由此可知研究运动的合成和分解也是为了更好地研究

1

曲线运动作准备。掌握运动的独立性原理，合运动与分运动等时性原理也是解决曲线运动的关键。

运动合成、分解的法则：

运动的合成和分解是指位移的合成与分解及速度、加速度的合成与分解。

因为位移、速度和加速度都是矢量，所以运动的合成（矢量相加）和分解（矢量相减）都遵循平行四边形法则。关于这一点通过实验是完全可以验证的，通过对实际运动观察也能得到证实。

如图所示，若OA矢量代表人在船上行走的位移（速度或加速度）OB矢量代表船在水中行进的位移（速度或加速度），则矢量OC的大小和方向就代表人对水（合运动）的位移（速度或加速度）。

几点说明：

⑴ 掌握运动的合成和分解的目的在于为我们提供了一个研究复杂运动的简单方法。 ⑵ 物体只有同时参加了几个分运动时，合成才有意义，如果不是同时发生的分运动，则合成也就失去了意义。

⑶ 当把一个客观存在的运动进行分解时，其目的是在于研究这个运动在某个方向的表现。

⑷ 处理合成、分解的方法主要有作图法和计算法。计算法中有余弦定理计算、正弦定理计算、勾股定理计算及运用三角函数等。

二、运动的相对性：

因为描述运动要选取参照系，所以参照系的选取将对我们解决问题产生巨大的影响．首先我们要分析一下速度的相对性．

三、运动的合成法则

绝对速度：我们（在高考范围内）一般把质点对地面，或者相对于地面上静止的物体的运动称为“绝对运动”．相应的速度为“绝对速度”．

相对速度：质点相对于运动参考系的运动称为相对运动．相应的速度为相对速度． 牵连速度：运动的参考系相对于地面的运动称为牵连运动．相应的速度为牵连速度． 则有：

v绝对=v相对?v牵连

或者vAC?vAB?vBC

2

注意：这里提到的相对运动的参考系都是匀速运动的参考系．

再看一个位移合成的例子．如图所示，在船上有人把一箱货物从A点搬到B点（以船为参考系），与此同时船上的A点行进到C点（以岸为参考系）．那么以岸为参考系箱子的位移是什么？这可用平行四边形法则来求出：以矢量 AB、 AC为邻边作平行四边形ABDC，则对角线矢量 AD就是箱子相对于岸的位移．

伽利略相对性原理

在伽利略的《关于哥白尼和托勒密两大世界体系的对话》中，有这么一段话“无论船以任

何的速度前进，只要是匀速的，也不忽左忽右的摆动。你将发现，在船里发生的一切都丝毫没有变化，你无法从其中得到任何的船是如何运动，或者静止的信息。”这段话几种的体现了相对性原理的思想。相对性原理可以表述为：一个对于惯性系做匀速直线运动的其他参考系，其内部发生的一切物理过程，都不受到系统作为整体的匀速直线运动的影响。

例题精讲

暑假多雨，关于雨的描述问题 【例题1】

一木板坚直地立在车上，车在雨中匀速进行一段给定的路程。木板板面与车前进方向垂直，其厚度可忽略。设空间单位体积中的雨点数目处处相等，雨点匀速坚直下落。下列诸因素中与落在木板面上雨点的数量有关的因素是：

A.雨点下落的速度 B.单位体积中的雨点数 C.车行进的速度 D.木板的面积 【答案】BD

某汽车前方的挡风玻璃与水平方向成角度37°，当汽车以30m/s在水平地面上开行时，汽车司机看到雨滴垂直打在挡风玻璃上，实际虽然下雨但是没有风，计算雨滴下落的速度。

【解析】相对速度与玻璃垂直，所以雨滴速度v=【例题2】

4v=40m/s 3车【拯救淡定哥】 据报导：6月8日下午17时，中国内地大部分省区高考结束。

正在此时，江西南昌、上饶、鹰潭、吉安等多地突遭强降雨袭击。在江西南昌二中考点，刚考完的学生面对突如其来的大雨选择在雨中疾步飞奔，而一名戴着眼镜的男生却在全身被大雨淋湿后，淡定走出考场校。“淡定哥”一淋而出名，我们不妨从物理的角度讨论一下淋雨之问题。

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假设雨下落的速度与竖直方向成角度为ξ，雨下落的速度大小为v.“淡定哥”拿起自己的准考证顶在头顶，这样可以忽略从上而下的淋雨量。要淡定哥在一定时间内淋雨最少，他得向着什么方向跑？

【答案】沿着与雨滴的水平速度分量以速度vsinξ跑。

【谣言终结者】有物理大神传言：一个人在雨中从A跑到B，无论人以多大的速度跑，人的侧面淋雨的总量总是恒定的，难道淡定哥是传说中的物理大神？不妨讨论一下。

【例题3】 设河水流速为v1，小船在静水中航行速度为v2，若小船从一岸行驶到对岸，问

当船的航行方向怎样时，才能⑴小船所花的时间最短；⑵小船所经过的路程最短？ 【解析】 分析以地球为参照物，小船渡河的速度是由水速和船速合成的：v?v1?v2，解此题

要注意的是渡河过程中，一是水和船都在同时运动（等时性），二是从此岸到彼岸只有船速才起作用（互不相干性）：

⑴ 小船渡河到对岸所花时间只与船速有关，要使时间最短，必须让航行方向垂直水流直指对 岸．

⑵ 当v2?v1时，显然，最短的路程即河宽s，如图?a?所示，航行方向为偏向上游一个角度，

其角度大小为??arcsinv1/v2．

当v2?v1时，垂直河岸的航行方向驶向对岸是不可能的，但总可以找到一个这样的方向，使得航行的路程最短：如图?b?，设小船实际航行速度为v'，与河岸夹角为?，实际路程为L，则有L?s/sin?，要求L的极小值，即要求sin?的最大值．在速度合成的矢量三角形Ov'v1中，设?Ov'v1??，运用正弦定理

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v2vvv?1，sin??2sin?，sin?max?2 sin?sin?v1v1π，即合速度与船速垂直时，小船才有最短路程，此时船2vπ的航行方向是：偏向上游，与水流的夹角为?arcsin2，其所经过的路程为

2v1sssv1 Lmin???sin?maxv2v2v1

由上可见，只有当??【例题4】

当船速为20km/h时，船桅杆上服役旗与航向成60?角．不改变航向，船速增加一倍时，旗与航向成30?角．试根据这些数据求风速（可视为恒定的），并求当船速为多少时旗与航向所成的角度为90?．

【解析】 船桅杆上旗的方向表示矢量?u?v?的方向，式中v为船速度矢量，u为风速矢量，题

给各矢量关系如图所示，由图中几何关系得：

?CAB?30?， 则：v1?v．

?ABO?60?， 在△AOB中，因v1?v，故为等边三角形，即风速 u?v?20km/h， 与航向成60?角．

在图中作AD?OC，有向线段OD即旗与航向成角90?时船的速度矢量，由图示几何关系知：

v船?10km/h．

【例题5】

如图所示，几辆相同的汽车以等速度v沿宽为c的直公路行驶，每车宽为b，头尾间间距为a，则人能以最小速度沿一直线穿过马路所用的时间为多少？

【解析】 先设想车不动，则人以车速v向左运动，临界情况对应人按图所示虚线方向走过，

vmin即为人安全穿过马路的最小速度，则

bv人min?vsin??v?，

22a?b故所需时间为

c?a2?b2?c． t??v人mincos?abv

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知识点睛

引入：匀变速直线运动的特点

我们把加速度恒定的运动称之为匀变速运动，根据匀变速直线运动的定义可知，它的加速度是

一个恒量，即加速度的大小和方向都不随时间变化，如果用a?t图象来描述，匀变速直线运动的a?t图象就是一条平行于t轴的直线，匀变速直线运动的v?t图象是一条倾斜的直线，图象的斜率是加速度．

一．匀变速直线运动的规律 速度和时间的关系

（1）速度公式的导出：

v?v由加速度的定义式a?t0得：vt?v0?at

t（2）v?t图象

v?t图象直观地反映了速度随时间的变化规律，如图所示．根据v?t图象，可以确定的是

①初速度的大小v0，即图象中纵轴截距．

②判断是加速运动，还是减速运动，在图中，甲是加速的，乙是减速的．

?v③算出加速度，a?，即为图线的斜率

?t④确定某时刻的速度或达到某速度所需要的时间． 平均速度公式

x（1）平均速度的一般表达式：v?

t此式表示作变速运动的物体通过的位移与通过这段位移所用时间的比值为物体在这一段位移上

的平均速度，此式适于任何形式的运动．

v?v（2）匀变速运动的平均速度公式：v?0t

2即平均速度为初、末速度的算术平均值．注意：上式成立的条件是物体作匀变

速直线运动．

位移和时间的关系

（1）匀速直线运动的位移x?vt，位移x的大小可由v?t图象上的“面积”的

大小表示，如图所示．

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（2）匀变速直线运动的位移

① 根据平均速度的意义，作任何变速运动物体的位移都可表示为x?vt，此式具有普遍性，

即任何情况下都成立．

v?v而在匀变速直线运动中，平均速度v?0t，所以匀变速直线运动的位移

2v?v x?vt?0tt

21② 位移公式x?v0t?at2的推导

2v?v【公式代入法】由于位移x?vt，而v?0t，又因为vt?v0?at，在此三式中消去v和vt，

21得到位移公式x?v0t?at2

2【图象法】如图所示为物体作匀变速直线运动的v?t图象，在时间t内的位移由 “面积”的

数值可以表示出来．位移x大小等于梯形面积： v?vv?(v0?at)1x?0tt?0t，也即x?v0t?at2

222速度和位移的关系式

v?vv?vv?v0由于x?vt?0tt，又有a?t0即t?t，代入前式可得：

2tav?vv?vx?0t?t0，即：2ax?vt2?v02，这便是速度和位移的关系式．

2a一般解题方法

（1）确定某一运动过程为研究对象，判断物体运动的性质（匀加速或匀减速运动） （2）对匀减速运动，设初速度方向为正方向，则加速度为负值，写出各已知量． （3）代入公式进行计算，并对计算结果作必要讨论

定性与定量

阿基米德曾经放话说给他支点就可以翘起地球.然而，研究物理应该有审慎的思考：如果给的是一个理想的杠杆和支点，要翘起地球一个厘米，阿基米德能使出的力是1000N的力，那么撬动地球他需要把支点放在什么位置？他手持杠杆的一端要移动多远？他移动这么远的距离需要多少时间？这样看，他还能翘起地球么？有些时候，定性的分析以为正确的事情，定量的一分析就发现不对了.这也正是我们高中物理和初中物理的一个区别所在：从描述性的定性分析为主，到高中的科学的定量的分析为主.

例题精讲

【例题6】

如图所示，以8m/s 匀速行驶的汽车即将通过路口，绿灯

还有2 s将熄灭，此时汽车距离停车线18m．该车加速时最大时速

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度大小为2m/s2，减速时最大加速度大小为5m/s．此路段允许行驶的最大速度为

212.5m/s，下列说法中正确的有

A．如果立即做匀加速运动，在绿灯熄灭前汽车可能通过停车线 B．如果立即做匀加速运动，在绿灯熄灭前通过停车线汽车一定超速 C．如果立即做匀减速运动，在绿灯熄灭前汽车一定不能通过停车线 D．如果距停车线5m处减速，汽车能停在停车线处

【答案】 AC 【解析】 熟练应用匀变速直线运动的公式，是处理问题的关键，对汽车运动的问题一定要注意

所求解的问题是否与实际情况相符．如果立即做匀加速直线运动，t1=2s内的位移

12a1t1=20m>18m，此时汽车的速度为v1?v0?a1t1?12m/s<12.5m/s，汽2v车没有超速，A项正确；如果立即做匀减速运动，速度减为零需要时间t2?0?1.6a212s，此过程通过的位移为x2?a2t2?6.4m，C项正确、D项错误．

2x?v0t1?【例题7】

A、B、C三物体同时同地出发做直线运动.它们运动情况如图所示，则在20s的时间内，它们的平均速率关系是（ ）

A．vA?vB?vC B．vA?vB?vC C．vA?vC?vB D．vA?vB?vC

【解析】在图所示的x?t图象中，由图象中各点切线的斜率表示物体的速度可知：A物体开始

时做速度减小的变速运动，速度减小到零后反向做速度增大的变速运动.在20s内，它正向运动到离原点距离大于x0后又做反向运动回到离原点x0处.B物体是做匀速直

线运动.C物体做速度不断增大的变速运动.在20s内，三物体的位移为x0，但在20s内，B、C二物体都是单方向直线运动.路程与位移大小相等，即为x0，而A物体离

出发点的最远距离大于x0，且又回头运动，所以它的路程大于x0的大小，为三物体中最大的，它们运动的时间一样，故路程大平均速率大，综上所述，B选项正确.

【答案】B

知识点睛

能力进阶：

对于位置，位移，速度，加速度的理解，是我们以后研究其他物理知识的基础。这里面的关键词是变化，变化量，变化率。

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物理学家研究的多数问题都是动态变化着的，可能随时间变化，随空间位置变化，随温度变化，但是所有的变化都可以用数学表达式，或者用图像来描述。

如果把我们研究的物理过程简化抽象为某个函数y?f(x) 变化量：

那么我们用?y表示这个函数在自变量发生?x变化所对应的变化量。广义上讲我们就用??物理量来表示这个物理量在某个条件变化时候的变化量

变化率：

我们用因变量和自变量的变化量之比做成一个新的物理量——变化率。数学上写起来就是

k??y。可以看出，当我们的函数关系时一次函数的时候，变化率就是这个函数的斜率。如果?x这个函数不是一次的，那么我们取不同的?x也会得到不同的变化率。所以此时我们就研究最有代表意义的，当?x无穷趋近于零（对于无穷趋近于零，大家可以理解为：很小很小，但是大于零，你随便说出任意一个非常小的正数，?x都比这个正数小……）时候的变化率。

这样我们就发现，当我们以时间为自变量（最为常见）时，速度就是位置矢量的变化率。加速度就是速度矢量的变化率。由于变化率的特性，我们一般研究瞬时速度和平均速度，以及瞬时加速度。

相反的，从图像中我们看到，变化率函数“下面”的面积，就是变化量：加速度时间图像的面积表示的是速度的变化量，速度时间图像的面积表示的是位置的变化量——位移。

注意：变化率本身也可以是函数哦~

思考：初中我们学过哪些物理量是变化量，哪些物理量是变化率？

研究变化量和变化率最好的工具就是微积分~>.<~ 我们现在的手段就是微积分的爸爸：微元法+图像法 怎么？不相信？

思考：某个函数的变化率是个最简单的过原点的二次函数：y?x2，那么这个函数是神马

8函数？求这个函数从x?0~x?2的变化量（答案）

3（教师版）把x?0~x?2等分成无限多的n份：则

2n??2i?2?8n28n(n?1)(2n?1)8?s????????3?i?3??

n63i?1???n?n??ni?1

总之，大家要时刻保持一个清醒的头脑，我们学习运动学，绝不仅仅是为了学习运动学本身，这些思考和分析的方法，无论从数学上还是物理上，都是会对将来的知识进行推广的。

还有，不要忘记，始终注意考虑运动的相对性哦！

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例题精讲

【例题8】

A火车以v1=20m/s速度匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距100m处有另一列火车B正以v2=10m/s速度匀速行驶，A车立即做加速度大小为a的匀减速直线运动。要使两车不相撞，a应满足什么条件？

解1：（公式法）

两车恰好不相撞的条件是两车速度相同时相遇。 由A、B 速度关系： v1?at?v2 由A、B位移关系： v1t?12at?v2t?x0 2（包含了时间关系）

(v1?v2)2(20?10)2a??m/s2?0.5m/s2

2x02?100?a?0.5m/s2

解2：（图像法）

在同一个v-t图中画出A车和B车的速度时间图像图线，根据图像面积的物理意义，两车位移

之差等于图中梯形的面积与矩形面积的差，当t=t0时梯形与矩形的面积之差最大,为图中阴影部分三角形的面积.根据题意,阴影部分三角形的面积不能超过100 .

1?(20?10)t0?100 2?t0?20s

20?10a?tan???0.5

20?a?0.5m/s2

解3：（相对运动法）

以B车为参照物， A车的初速度为v0=10m/s，以加速度大小

a减速，行驶x=100m后“停下”，末速度为vt=0。

2vt2?v0?2ax0

2vt2?v00?102a??m/s2??0.5m/s2

2x02?100物体的v-t图像的斜率表

示加速度,面积表示位移。

（由于不涉及时间，所以选用速度位移公式。 ）

?a?0.5m/s2

备注：以B为参照物,公式中的各个量都应是相对于B的物理量.注意物理量的正负号。 解4：（二次函数极值法）

若两车不相撞，其位移关系应为

1v1t?at2?v2t?x0

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