数学思想在中学解题中的应用4

数学作为一门横断学科, 其方法已成功地渗透于一切科学领域。因此, 重视用各种数学思想指导数学教学是十分重要的同时, 也只有不断加强在数学教学中通过各种思维训练来达到理解、掌握数学思想和数学方法的精髓, 才有利于提高学生运用数学知识解决实际问题的能力,才有利于激发学生学习数学的兴趣。

数学思想在中学解题中的应用

摘要：数学思想在数学解题中有着广泛的应用，其解决问题的核心就在于转化，就是把未知的问题进行变形，直至归结到一类能用基础知识解决的问题，可以说在中学数学解题中，数学思想方法的应用十分广泛。针对现行中学数学教材在思维教学上存在的弊端，本文介绍了化归、函数、辩证思维、数形结合等几种常见的数学思想，并通过例举实例来说明数学思想在解题中的应用技巧，以达到开拓思路，使问题的解决由难化易、由繁化简的目的。 关键字：数学思想 数学解题 化归思想 辩证思维思想 数形结合思想

引言

近十年来，数学学科的蓬勃发展以及现代数学论的发现，使得人们的数学观念产生了革命性的变化，没有人再去认为数学是一门严格的完全性僵化了的科学，相反的是它正经历着剧烈变化的创造性的活动；同样，人们不再认为数学教学是一个按“定理—例题—练习”模式进行的灌输知识的过程，而是一种以学生为中心的数学知识自主创新活动。

本文力求通过例举实例来探索如何在解题教学中培养学生各种数学思想。文中首先阐述了数学思想与数学解题二者之间的关系，介绍了什么是数学解题、数学思想，以及为什么要对其进行培养。然后，通过实例来体现几种常用数学思想在数学解题中的应用，并提出了加强培养数学思想方法的实效性对策。

1. 数学思想与数学解题

1.1数学思想

“数学思想”一词不论是在数学范围内，或是在其他学科中，已被广泛使用。《中学数学教育大纲》中已经明确提出“数学基础知识是指数学中的概念、性质、法则、公式、公理以及由其内容反映出来的数学思想方法。”另外，在《普通高中数学课程标准》中，更是明确提出了高中数学教育有六个具体步骤，其中要求学生探究数学概念、结论所蕴含的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用。

但是，到底什么是数学思想呢？它不能象数学中的概念那样可以明确地给出定义，而只能给出一种解释或界定。在《数学思想方法与中学数学》中将其界定为：“数学思想是对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和数学的认识过程中提炼上升的数学规定，它在认识活动中被反复运用，带有普通的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想”。

数学作为一门横断学科, 其方法已成功地渗透于一切科学领域。因此, 重视用各种数学思想指导数学教学是十分重要的同时, 也只有不断加强在数学教学中通过各种思维训练来达到理解、掌握数学思想和数学方法的精髓, 才有利于提高学生运用数学知识解决实际问题的能力,才有利于激发学生学习数学的兴趣。

对数学知识的掌握，一般可分为三个阶段：第一是增生，第二是重建，最后是融汇贯通。数学思想在数学研究范围的拓展、研究对象的延伸、数学方法的形成、各种方法之间的融合并发展成新的方法之中具有极其重要的作用。同时，它还是把数学知识的学习和培养能力有机的结合起来，来提高个人思维品质和数学能力，从而成为发展智力的关键所在，也是培养创新型人才的基础，更是个人数学素养的重要内涵之一。因此，重视数学思想的教学是现代社会对人才培养的要求。

当然，对绝大部分学生来说，数学思想比形式化的数学知识更为重要，因为数学思想方法具有普遍性，社会各行各业对数学知识要求的深度与广度有很大的差异，但对人的素质来说，它的要求基本上是相同的。数学思想方法越来越受到人们广泛的重视，对数学思想方法的认识也随着社会的进步、知识的发展而不断完善。当然，把数学思想方法成功地运用到学习和解题中去不是一朝一夕的事情，需要不断地积累，逐步内化，是一项长期而艰巨的任务。 1.2 数学解题

问题是数学的中心，解题就是围绕着问题然后再解决问题，即求出答案，这个答案在教学上也叫“解”，所以，数学解题就是求出数学问题的答案。著名数学家、教育家玻利亚认为“掌握数学就是意味着解题”，另外，他还强调：“中学数学教学的首要任务就是加强解题训练”，基础知识要通过解题实践来消化，基本解题技能要通过解题实践来形成，解题方法要通过解题实践来培养。因此，解题教学在数学教学中有着十分重要的地位。

2 数学解题中的各种数学思想

回顾处理数学问题的过程和经验时我们就会发现，我们通常是运用各种数学思想把待解决的陌生问题转变成一个或几个简单的问题来解决。我们使用到的数学思想主要有化归思想、函数与方程思想、辨证思维思想、数形结合思想等。 2.1 化归思想

化归，顾名思义就是转化与归结，也就是把数学中待解决的陌生问题，通过观察、分析、联想、类比等思维的过程，择取恰当的方法进行变化、转化、归结到某个或某些已经解决或几个简单的问题，从而最终解决原问题的一种思想。化归思想是解决原问题最基本的思想，其过程实际上就是转化与归结的过程。如一般与特殊的转化、未知向已知转化、数与形的转化、复杂问题向简单问题的转化、空间向平面的转化、高

数学作为一门横断学科, 其方法已成功地渗透于一切科学领域。因此, 重视用各种数学思想指导数学教学是十分重要的同时, 也只有不断加强在数学教学中通过各种思维训练来达到理解、掌握数学思想和数学方法的精髓, 才有利于提高学生运用数学知识解决实际问题的能力,才有利于激发学生学习数学的兴趣。

次向低次的转化等。

2.1.1 一般与特殊的转化

根据哲学中的矛盾论，特殊反映着事物的特殊性，一般则反映着事物的普遍性。由于事物的普遍性包含着特殊性，而普遍性一般存在于特殊性中，因此，特殊与一般不一定完全对立，可以通过特殊去认识一般，也可以从一般的角度去研究特殊。当面临一个很难解决的一般性问题时，我们试着换一个角度，从简单的特殊形式考虑，比如考虑特殊情形、特殊值或特殊图形等，通过研究特殊形式发现一般规律，从而使一般问题得到解决，这就是解决问题的特殊化得方法。当一个具体问题难以解决时，也可以把它看作是某种一般问题的特殊情况，当然这个一般性的问题可以用一般系统的思想方法来解决，这就是解决问题的一般化策的方法。

例1 证明Cauchy 不等式：

n n n

aibj ai bj i 1 i 1 i 1

其中ai,bj(i,j 1,2, ,n) R

n 22

证明：先考虑特殊情况，假设 ai 1, bj 1，则 aibj 1

i 1 i 1i 1

n

n

2

222

1n22

这只需证 aibi 1，实际上， aibj aibj ai bj 1

2i 1i 1i 1i 1

再考虑一般情形，对任意ai,b

j,令

a

'

i

nnn

b

'

j

b显然有 a 1, b'2j 1

'2

ii 1

j 1

nn

n''

（上面的假设起到化归作用），故有 aibj 1

i 1

即

aibj 2 n

n2 n2 1

aibj ai bj . i 1 i 1 i 1 n

2

2.1.2 未知转化为已知

将未知的问题向已知转化, 并找出未知和已知的某种联系, 已达到运用熟悉的知识和方法来解决未知问题的目的.

数学作为一门横断学科, 其方法已成功地渗透于一切科学领域。因此, 重视用各种数学思想指导数学教学是十分重要的同时, 也只有不断加强在数学教学中通过各种思维训练来达到理解、掌握数学思想和数学方法的精髓, 才有利于提高学生运用数学知识解决实际问题的能力,才有利于激发学生学习数学的兴趣。

例2 解方程 x 2 5 x 2 4 0

分析：此题实质为关于未知数(x 2)的一元二次方程。如果盲目把方程展开后再求解会非常麻烦, 所以解此方程应根据其特点,将(x 2)设为y,这样原方程就可以转化为关于y的一元二次方程,问题就可用已知的知识解决了。

解：令y x 2,则原方程变为y2 5y 4 0 y1 1或y2 4 2

即x 2 1或x 2 4 所以x 3或x 5

2.1.3 由复杂向简单的转化

数学中各门学科的知识都是遵循从简单到复杂的原则逐步发展而来。二个方面，一是：从知识的发生过程来看，简单与复杂的对立性是相对的；二是从知识的内容构成来看，一个复杂的问题往往是由几个简单问题组合而成。一个复杂问题时，应设法将其转化为简单问题。众所周知，多样性，常见的有分解、分类、特殊化等。

例3 求极限limsin2x x2cos2x

x 0x2sin2x. 分析：此题属于“0

”型未定式极限，一般直接用洛必达法则求极限，但考虑分

子、分母求导后会更加复杂，求解起来更加麻烦。极限公式等进行化简，再用洛必达法则，这样求极限过程得以简化。解：先化简极限

limsin2x x2cos2x

sinx xcosx sinx xcosx x 0x2sin2x limx 0x4因为lim sinx x 0

x cosx 2，利用洛必达法则求极限

limsinx xcosxcosxx 0x3 lim cos xsinxsinx1x 03x2 limx 03x 32.2 函数与方程的思想

函数与方程是数学中极其重要的内容。构造函数法是运用函数与方程的基本数学思想，对问题进行观察、分析，构造出函数式或方程，从而利用二者的有关性质来解决问题的一种方法。掌握这种方法，对于提高解题能力，的，下面列举实例来说明。

一般来说有因此，当面临实现化繁为简的途径具有

lim sinxx 0 x cosx sinx xcosx x3

所以，原式 23

拓展解题思路是十分有益倘若先利用等价无穷小替换或重要

数学作为一门横断学科, 其方法已成功地渗透于一切科学领域。因此, 重视用各种数学思想指导数学教学是十分重要的同时, 也只有不断加强在数学教学中通过各种思维训练来达到理解、掌握数学思想和数学方法的精髓, 才有利于提高学生运用数学知识解决实际问题的能力,才有利于激发学生学习数学的兴趣。

R2

例4 已知x,y,z都是正实数，且x y z R,x y z （R为常数），试求

2

2

2

2

z的最大值。

分析：欲求z的最大值，需要从已知条件中消去x,y,建立关于z的关系式，由已知条件的结构特征，构造一个非负二次函数。

解：构造非负二次函数f(t) 2t2 2(x y)t (x2 y2) (t x)2 (t y)2

因为x,y R ，则对任意实数t，恒有f t 0,又f t 的二次项系数f x 的判别式 0，即[2(x y)]2 4 2(x2 y2) 0,将x y R z,x2

y2

R2

2

z2代入上式得：

R-z）2

2(R22 z2) 0,解得0 z 223,故zmax 3

R

2.3 辩证思维思想

我觉得学科之间是互通的，比如哲学中的辩证思维思想，有区别的具体方法综合在一起，这里我们主要讨论数学教学中的体抽象法”。

2.3.1 分析综合法

分析综合是辩证思维的一个基本方法。就是要把分析与综合结合起来析—综合—再分析—再综合”的循环过程。数学教学不同于其它科目的教学，自身的特点，因此在教学中, 要求学生既把握数学问题的整体又不忽略各重要细节的特殊因素分析, 进行多角度多方位“立体”思考, 培养辩证思维的发散性例5

已知a,b R ,a b 1. 证法1：采用分析法证明该问题

2 a2 b2

5

2 (a b)2 2ab 5 ab 1

1 a2b2 a2 b2 a2b2 2ab 1 a2 b2 2ab

a 2 0，

“分析综合法”、“具,经过“分它有其, 灵活性。（它是由许多互相联系又

数学作为一门横断学科, 其方法已成功地渗透于一切科学领域。因此, 重视用各种数学思想指导数学教学是十分重要的同时, 也只有不断加强在数学教学中通过各种思维训练来达到理解、掌握数学思想和数学方法的精髓, 才有利于提高学生运用数学知识解决实际问题的能力,才有利于激发学生学习数学的兴趣。

证法2：构造复数z1 1 ai,z2 1

bi,则z1 z2 z1 z2

z1 z2 z1 z2,

22

证法3：令a cosx,b sinx(0 x

2

),则

又

因为0 sin2

xcos2

x 1, 4上题的三种解法各有千秋。证法1利用的是不等式的有关性质和方法，这是学生知识结构中比较熟悉与常用的，该方法一般比较容易掌握；证法2利用了复数的有关性质，且采用了构造法，这样一来既让学生温习了复数的简单性质，也有利于培养他们的构造意识；证法3利用了三角函数中的正余弦来换元，对学生的思维又是一次洗礼与启发。这样，通过一题多解，不但让学生复习、回忆了旧知识，而且让学生沟通了头脑中不同知识之间的联系，同时还对完善学生的数学知识结构起了积极的推动作用。

2.3.2 具体抽象法

具体抽象法是辩证思维的又一基本方法，因为数学理论具有高度的抽象性和严密的逻辑性，所以现前数学教学过于重视数学理论数学的倾向，而如何运用数学方法解决实际问题则很少涉及，为了改变这种不理性的教学倾向, 强化用数学方法解决实际问题,中学数学教材中已出现“函数的实际应用”、“线性规划的简单应用”等章节，这在数学史上是个突破。已有越来越多的学校把“数学建模”作为发展辩证思维养创造性人才的一个重要成部分,这又是一个很可喜的现象。

例6 （鸡兔同笼问题）笼子里有若干只鸡和兔，这些禽畜共有50个头和问笼子里有多少只鸡和多少只兔子？

解：设笼子里有x只鸡y只兔子，依题意有：

y 50x 30

{

x 2x 4y 140，解得{y 20

,培条腿， 140

数学作为一门横断学科, 其方法已成功地渗透于一切科学领域。因此, 重视用各种数学思想指导数学教学是十分重要的同时, 也只有不断加强在数学教学中通过各种思维训练来达到理解、掌握数学思想和数学方法的精髓, 才有利于提高学生运用数学知识解决实际问题的能力,才有利于激发学生学习数学的兴趣。

答：笼子里有30只鸡和20只兔子。

这个有趣的“鸡笼同笼”问题，我们借助“方程”作工具很容易就解决了。如果我们将这个问题作一个推广，如用字母a代替头数50，用字母b代替腿数140，你还能解决这个问题吗？回答是肯定的，能！依题意列出方程组：

x y a{ { 2x 4y b

x 2a

b

2

b

由此得到解“鸡兔同笼”问题的更一般结论，即“鸡数等于头数的的一半，而兔子数等于腿数的一半减头数”用的“通法”。 2.4 数形结合思想就中等数学而言，发展的过程是数和形结合的过程。数和形紧密联系，互相渗透，互相转化的关系，决定了数形结合是研究数学，从事数学教学的基本手段和方法。数形结合的实质量”三者之间的对应和谐地统一起来了解题思路。另外，例子, 来说明在初等数学中数形结合的作用。例7 当 0分析：如果从代数的角度作此题非常困难，来判定根的个数，其它类型方程则无从下手，因此不妨考虑图像法。解：令

y1y1,y2的图像只有y 2

a

2倍减去腿数。这就说明，方程思想方法是具有广泛应

它研究的是客观世界中空间形式和数学关系的一门学科，数学

, 就是“数”与“点”的对应, 或者说是“点” 、“数” 、“向,它促使了代数几何化, 几何代数化, 并且把代数、几何、三角以利于揭露问题的实质, 使解题方法简单明快, 独辟蹊径, 拓宽它还是开发智力培养能力的一种极其有效的方法。下面仅以几个

k

1

2

kx解的个数。 因为我们只知道通过一元二次方程

y2 kx，在同一坐标系里作出y1,y2图像，由图1可以看到，

3个交点，便知方程有且只有三个解。

,

数学作为一门横断学科, 其方法已成功地渗透于一切科学领域。因此, 重视用各种数学思想指导数学教学是十分重要的同时, 也只有不断加强在数学教学中通过各种思维训练来达到理解、掌握数学思想和数学方法的精髓, 才有利于提高学生运用数学知识解决实际问题的能力,才有利于激发学生学习数学的兴趣。

图

1 y1 y2 kx的图像

例8 求函数y 5 36x 3x2 4x3 在区间 2, 上的最大值和最小值。 解：可能会出现如下的错误：y' 36 6x 12x2,由y' 0得驻点x1 2,x2

3115

所以函数的最大值为：f(-2) 57,最小值为：f() 。

24

3

， 2

此种做法错在，认为驻点一定是最值点，其实f( 2)不是最大值，而且本题不存在最大值。

作出图形是最能说服学生的。从图2可见，最小值为f(32) 图2 y 5 36x 3x2

4x3

的图像

例9

求函数y

的最大值。

分析：y

，于是y可以看成动点P(cosx,sinx

)与点率，而动点 P 在单位圆x2 y2 1上，问题转化为求KMP的最值。线段点M

固定在处，另一端点P在单位圆x2 y2 1上运动，不难看出斜率最大值和最小值来。

解：如图3

，过点M）作⊙o的两条切线MP1和MP2，115

4

,而无最大值。

MPM KMP的

连线的斜

的一个端

数学作为一门横断学科, 其方法已成功地渗透于一切科学领域。因此, 重视用各种数学思想指导数学教学是十分重要的同时, 也只有不断加强在数学教学中通过各种思维训练来达到理解、掌握数学思想和数学方法的精髓, 才有利于提高学生运用数学知识解决实际问题的能力,才有利于激发学生学习数学的兴趣。

KMP1 0,所以KMP2最大。在KOM

所以 MOXymin 0,ymax

世界伟人马克思指出“一种科学而数学因其自身学科的重要性和与其他学科的贯通性，因此，为了让社会有更多的数学乃至于数学有关领域的人才，：

任樟辉. 数学思维理论[M]. 南宁：广西教育出版社，何小亚. 数学——学与教的心理学徐利治. 数学方法论选讲[M]. 张奠宙. 过佰祥 数学方法论稿解恩泽. 徐本顺 数学思想方法顾莉蕾. 孙名符，数学思维与数学方法论王仲春. 数学思维与数学方法论顾亚平. 数形结合思想方法之教学研究张奠宙. 宋乃庆 数学教育概论杨开俊. 浅谈数形结合思想在解题中的应用（1):62-67.

向昭红. 数学教学中学生辩证思维能力的培养图3 例9几何图Rt MOP2中，30。，

从而KMP2, 只有在成功地运用数学时不断加强数学教学中各种思维的训练，才能更好激发学生学习数学的兴趣，

[M]. 广州：华南理工大学出版社，上海：上海教育出版社，济南：山东教育出版社，[M]. 高等教育出版社，[D]. 南京师范大学，北京高等教育出版社，[J].

OM 2,OP2tan（30。+302003.112-138.

1983.78-91. 1996.125-233. 1989.57-73.

1989. 31-48.

2004. 79-123. 2004. 215-253. 甘肃教育学院学报长沙大学学报，

,所以 OMP2=tan60。

,才算达到了真正完其方法已成功地渗透于2003.214-281. 1989.112-135. （自然科学版）1998,12（4）30。

我们必1994,1因为

1 。

又因为 进而得。）结束语善的地步”。在当今快速发展的社会，只掌握一门学科的基础知识，很难为社会做出贡献，一切科学领域。须加强数学教学中的方法使用，因材施教，让学生领悟和掌握数学思想和数学方法，才能更好提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，为社会提供更多富有创造力的人才。因此，我觉得数学方法的重要性毋庸置疑了。参考文献[1] [2] [3] 武汉：华中理工学院出版社，[4] [M].[5] [M]. [6] 高等教育出版社，[7] [M]. [8] [9] [M]. [10] ，[11] [J]. :78-83.

数学作为一门横断学科, 其方法已成功地渗透于一切科学领域。因此, 重视用各种数学思想指导数学教学是十分重要的同时, 也只有不断加强在数学教学中通过各种思维训练来达到理解、掌握数学思想和数学方法的精髓, 才有利于提高学生运用数学知识解决实际问题的能力,才有利于激发学生学习数学的兴趣。

[12] 刘颖. 浅谈高等数学解题的化归策略[J]. 天津农学院学报，2007,14:18-21.

Problem solving mathematical thoughts in middle school

applications

Name: WangWenChao student Number: 200725020233

Advisor: Sun WeiWei

Abstract: mathematical thoughts in mathematics problem-solving plays a very important role in solving problems, its core is the transformation, is to solve the problem or unresolved until boils down to a shape, known to solve the problem, say, in middle school mathematics problem-solving in the application of mathematical way of thinking everywhere. According to the existing in mathematics teaching material on the disadvantages of the teaching of thinking, this paper introduces the return, function, dialectical thinking, number form combining several common mathematical thought etc, and lists some examples in the application of mathematical thinking, problem solving, has reached exploit ideas to solve the problem of the easy, seasons have numerous reduction purposes.

Key word: mathematical thought mathematics problem-solving of dialectical thinking to ideological function thought form combining ideas. Several thoughts

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/vwoj.html