解决三角函数各类问题的十种方法

几何精练

解决三角函数各类问题的十种方法

１ 凑角法

一些求值问题通过观察角之间的关系，并充分利用角之间的关系，往往是凑出特殊角，可以实现顺利解答． 例１ 求tan20 4sin20 的值．

解析 原式 sin20 2sin40 sin20 2sin(60 20 ) cos20 cos20

sin20 2(sin60 cos20 cos60 sin20 ) cos20

评注 三角求值主要借助消除三个方面的差异解答，即消除函数名称差异，或者式子结构的差异，或者角度之间的差异，凑角法体现的就是消除非特殊角与特殊角之间的差异．本题注意若将第一步中的分子化为sin(60 40 ) 2sin40 ，或者化为sin(30 10 ) 2sin(30 10 )，都没有上面的方法简捷，请同学们进行操作比较，分析原因，并注意凑角也需谨慎选择！

２ 降幂法

一些涉及高次三角式的求值问题，往往借助已知及sin cos 1，或降幂公式22

sin2 1 cos2 1 cos2 ,cos2 等借助降幂策略解答． 22

226例２ 若cos cos 1，求sin sin 的值．

2解析 由cos cos 1，

得cos

2cos ．由cos cos 1，22又可得cos 1 cos sin ，

263s 则sin sin cos cos ，又由co 2c o s，得1co2 s 1 co，s故co s 3c os co s2( 1 cos )2， 可

o得c os (2 c os ) 2co代 s值cs3cosin2 sin6 评注 若求出cos 的值后直接简单代入，则运算量将大得多，而主动降幂后就截然不同了．涉及非单角形式的三角函数问题，有时也需要考虑降幂进而化为一个角的三角函数形式解答，遇到“高次”问题就特别注意联想“降幂法”解答．

３ 配对法 根据一些三角式的特征，适当进行配对，有时可以实现问题的顺利解答． 例３ 已知x (0,

2)，且cos2x cos22x cos23x 1，求x的值．

2222222解析 设m cosx cos2x cos3x，令n sinx sinx sixn则3m n 3，，

m n cos2x cos4x cos6x，其中，cos6x 2cos23x 1，

cos2x cos4x cos(3x x) cos(3x x) 2cosxcos3x，m n 2cos3x(cosx cos3x) 1，又cosx cosx3 coxs (2x )cxo s(x2 1，故可解)x2cosxm n 4cosxcos2xcos3x ，故

得cosxcos2xcos3x 1(2m 2) 0( m 1)．则cosx 0x 03 0，或cos2，或cosx，又4

x 或x ． x (0，则)642

评注 三角函数中的正弦函数与余弦函数是一对互余函数，有很多对称的结论，如sin cos 1等，因此在解决一些三角求值，求证等问题时，可以构造对偶式，实施配对策略，尝试进行巧妙解答． ４ 换元法

很多给值求值问题都是给的单角的某一三角函数值，但有时会出现给出复合角的三角函数值求值的问题，此时，利用换元法可以将问题转化为熟悉的已知单角的三角函数值求值问题．

例４

求sin的值． （ 75 ） cos（ 45 ）（ 15 ）

解析 令 15

，则原式 sin( 60 ) cos( 30 )

22

(sin cos60 cos sin60 ) (cos cos30 sin sin30 ) 0．

评注 教材求值问题往往是已知单角三角函数值求值，而近几年的高考和期末考试试题，则青睐于已知复合角的三角函数值求值，因此备考时要特别注意此点，解答此类问题的换元法或整体思想也都十分重要．对本题，若直接将三部分借助两角和的正弦公式与余弦公式展开，则要繁杂得多．

５ 方程法 有时可以根据已知构造所求量的方程解答．

33例５ 若cosx sinx 1，试求sinx的值．

解析 令cosx sinx t，则cosxsinx

221(1

t2)，t [．由已知，有 21 t2

(cosx sinx)(cosx sinxcosx sinx) t(1 ) 1，即t3 3t 2 (t 1)2(t 2) 0，得2

t 1，或t 2（舍去）．即cosx sinx 1，又sin2x cos2x 1，整理可得sin2x sinx 0，解得sinx 0或sinx 1．

评注 将已知转化为关于sinx的方程是解题的关键．方程的思想方法是解答诸多三角函数问题的基本大法，如求三角函数的解析式等问题．一般地，若题目中有n个需要确定的未知数，则只要构造n个方程解答即可．

６ 讨论法

涉及含有参数或正负情形的三角问题，往往需要借助讨论法进行解答．

54,cosB ，求cosC． 135

51212解析 由sinA ，得cosA ．当cosA 时，因为A,B是!ABC的内角，需要满足131313例６ 已知!ABC中，sinA

0 A B ，有0 A B ，而余弦函数在区间(0, )是减函数，得cosA cos( B) cosB，但cosA

可以验证cosA 124 cosB，故此情形不合题意． 1351233符合题意，故cosC cos(A B) sinAsinB cosAcosB ． 1365

评注 分类讨论是将问题化整为零，进而化难为易的重要思想方法，一般含有绝对值的三角函数问题，涉及未确定象限的角的问题等，都要首先考虑“讨论”！

７ 平方法

分析已知和所求，有时借助“取平方”的方法可以实现顺利解题．

例７ 已知sin sin sin 0，cos cos cos 0，求cos( )的值．

解析 有sin sin sin ，cos cos cos ，两式两边平方后对应相加，可得(sin2 sin2 2sin sin ) (cos2 cos2 2cos cos )

1 ( sin )2 ( cos )2 1，即cos( ) ． 2

评注 学习数学要掌握一些基本的操作技能，而“取”就是其中的重要一种，除了“取平方”外，常见的还有“取对数”，“取倒数”等操作，需要注意体会．本题就是借助平方关系实现整体消元后解答的． ８ 猜想法

有时根据已知数据的特征进行必要的猜想，能更好的解决求值问题．

例８

已知sin cos 1，且 为第二象限角，则sin 2

2解析 由sin 0,cos

0及sin cos2 1,()2 (1

212 1，可得sin ． 2评注 实际上，

将sin cos 22与sin cos 1联立所得二元二次方程组只有两组解，

即sin 11cos ,sin ，依题意只可取前者．学习数学，要培养对数据的,cos

22敏感性，能根据数据特征进行积极联想，进而适当猜想，能有效提高解题速度，而且猜想是一种重要的推

理形式，并不是“胡猜乱想”，要紧扣已知和所求进行．

９ 图象法

有时候，借助图象才能更好的解决对应的三角函数问题．

例９ 已知函数f(x) Asinx 1(A 1)的图象与直线y A在x轴右侧的与x轴距离最近的相邻三个交点的横坐标成等比数列，求实数A的值．

解析 如右图，设三个交点的坐标为B(b,A)，C(c,A)，

由三角函数图象的对称性，则有b c 2 D(d,A)，

2 ，

3 c d 2 3 ，有b c，d 3 c，又

2

3 3 22,A)，代入可

得．故函数图象经过(c2 bd ( )c( 3 c) 3 4c， 解c得c 44

A 2．

评注 数和形是数学的两大支柱，三角函数的很多问题都有图形背景，在解决问题时，要充分借助图形进行直观分析，往往能更快捷的实现问题的解答，注意培养做草图的能力．

１０ 比例法

借助比例的性质，有时可以实现快速解答三角函数问题．

例１０ 求证 2(cos sin )cos sin ． 1 sin cos 1 sin 1 cos

解析 若cos 0（或sin 0），因为sin 1(或cos 1),，故sin 1，或cos 1，验证可知等式成立．

若cos 0，则由cos2 (1 sin )(1 sin )，sin2 (1 cos )(1 cos )及比例性质aca ccos 1 sin 1 sin cos ，可得． bdb d1 sin cos 1 sin cos

sin 1 cos 1 sin cos ，代入等式左边可知所证成立． 1 cos sin 1 sin cos

评注 本题有多种证法，而借助比例的性质的方法显得尤为简捷．涉及分式的三角函数问题，可以考虑借助比例法解答．如关于半角的正切公式tan

2 sin 1 cos ，按照比例性质，立得1 cos sin

tan

2 1 cos sin ． 1 cos sin

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