数独方法及技巧(小图)
更新时间:2023-05-03 10:59:02 阅读量: 实用文档 文档下载
数独技巧(Sudoku Strategies)
数独快速入门(上篇)
数独快速入门(中篇)
数独快速入门(下篇)
数独快速入门(上篇)
范例一:
在左边第一个九宫格里,哪格可以放数字1,
先看到再第一列和第二列里已经有了数字1,
所以很明显了,除了棕色格子之外,上面两列格子已经不能放1了。
范例二:
换个进阶范例来看看,
已知第一列和第二列不能放1,但仅就第三列而言,2的旁边似乎都可以放1的样子,
1
但再看看被颜色标示的第三行,
看到第三行有1之后,就知道棕色格子应该放1。
范例三:
来个更进阶点的,想想左上角第一个九宫格里,哪一格可以放1,
再看先看看前两列,应该不能放1,
2
看被颜色标示的第二行与第三行,又是不能放1,
很显然的,就只有棕色格子能放1。
范例四:
再看看这个重要范例,想想左上角第一个九宫格里,哪格可以放1,
先看看被颜色标示的第二列,
3
再看看被颜色标示的第二行,
经过分析后可知1要放在这棕色格子。
范例五:
换个轻松点的范例,
看看第一列,数字有哪些,
显而易见的就是缺1。
数独快速入门(中篇)
范例一:
看看这个比上篇难的,想想1能放在哪里呢,
4
5 被颜色标示起来的第一列和第一行已经不能放1了,
就左上角的九宫格而言,在红色标示区域似乎是可以摆1的,
但在这里而言,似乎无法决定1放在两格红色区域的哪一格,
所以,可以先看看邻近的九宫格,发现到棕色格子能放1喔,这时候就不用怀疑马
上写下1。
范例二:
看看这个有技术性的,想想1能放在哪里,
看到黄色的第一列已经有1,所以不能再放1了,
6 就中央的九宫格而言,合理的推论,1一定是在第二列中央红色三格的其
中之一了,
既然知道第二列的情况,再考虑黄色区域后,
那么可以先确定右方九宫格的1必然放在这棕色格子。
范例三:
由上篇的概念再进阶,考虑这上面三个九宫格,看看能否决定1的位置,
黄色标示的第三行已先被排除,
就第一个九宫格而言,1一定在红色区域,
就黄色标示区域来看,已不能再放1了,
这时可以马上先决定右上九宫格里的棕色格子是能放1的啦。
范例四:
看到这左上方九宫格的第一列,就可以马上知道缺了哪两个数字,
是不是已经看出红色格子不是1就是9了,
但是又看到第二行有1,所以很轻松知道左上棕色格子一定是1,
接下来9就确定在红色格子了。
7
范例五:
先看看这第一列,
左上方的九宫格里,第一列绝对有1、8、9,
再考虑到第一行黄色区域,看到有8和9,
这下就可确定1绝对放在左上角的棕色格子。
数独快速入门(下篇)
范例一:
来看看这个高级进阶例子,可以先把眼光放在第一列和第一行,
8
看到在黄色区域里都有2和3,所以此黄色区域已经不能再放2和3了,
这时可以考虑到左上九宫格里的红色格子能放2和3,
再看到第一列和第三列的黄色区域,这黄色区域里已经不能放1,
在左上九宫格里,能放1的只有红色与棕色格子,但红色格子将会被2和3所占据,所以能确定棕色格子必然为1。
范例二:
看看左上方九宫格里,能否由些微线索决定1的位置,
9
首先,看到第一列后先排除5、6、7,又因左上方九宫格里有2、3、4,再排除这三个数字,这下,在左上方九宫格的第一列,只剩下1、8、9可以填,然后,又看到第一行有8和9,所以,棕色格子必然不会是8和9,那么,就只剩下1可以填入啦!
?直观法(Direct Elimination Techniques)
?候选数法(Candidates Elimination Techniques)
直观法(Direct Elimination Techniques)
经常在报章杂志上看到的数独谜题,一般就算再难都可以用直观法来解决。它不需要象候选数法(Candidates Elimination Techniques)那样在每个空白的单元格中用铅笔填上一大堆候选数。你只要有相对锐利的眼光和一定的逻辑分析能力,就可以准确地把空余的数字逐个填出来。实际上,直观法就是对数独游戏规则的充分利用。虽然它并不如候选数法(Candidates Elimination Techniques)那样强大,但通常要想体会解决数独谜题的乐趣,使用直观法却是不二之选。
直观法(Direct Elimination Techniques)具有以下的特点:
轻松上手。即便是数独新手,在拿到谜题的一刹那,就可以用直观法来解题了。
无需辅助。在纸上解题时一般只需要一支钢笔就可以。因为是通过推理和逻辑分析来确定哪个格填哪个数,或是哪个数填在哪个格里,所以基本不需要猜测。
容易掌握。对于直观法(Direct Elimination Techniques)中应用的各种算法,可以很快掌握并应用于实际中。
相对简单。比起候选数法(Candidates Elimination Techniques),它的算法相对比较简单,当然能解决的谜题的复杂度也相对要低。
在直观法(Direct Elimination Techniques)中,常用的算法包括:
1.单元唯一法 ( Sole Position Technique )
2.单元排除法 ( Basic Elimination Technique )
3.区块排除法 ( Block Elimination Technique )
4.唯一余数法 ( Sole Number Technique )
5.组合排除法 ( Combination Elimination Technique)
6.矩形排除法 ( Rectangle Elimination Technique)
1.单元唯一法 ( Sole Position Technique )
这应该算是直观法中最简单的方法了。基本上只需要看谜题,推理分析一概都用不上,这是因为要使用它所需满足的条件十分明显。同样,也正是因为它简单,所以只能处理很简单的谜题,或是在处理较复杂谜题的后期才用得上。
我们先来看一个例子:
10
在上图中,观察行B,可以看到除了[B3]外,其他所有的单元格中都已有了数字,根据数独游戏的规则,即每行,列或区块中不能有重复的数字,则[B3]中能填入的数字只能是行B中所未出现过的,也就是数字3。所以可以毫不犹豫地在[B3]中填入3。
这就是单元唯一法在行中的应用。这里的单元(Unit, or group),指的是行,列或区块。所以有三种情况:
当某行有8个单元格中已有数字,或
当某列有8个单元格中已有数字,或
当某区块有8个单元格中已有数字。
无论是哪种情况,我们都可以很快地在该行,列或区块剩余的空格中填入该单元还未出现过的数字。
下面是单元唯一法在列中的应用:
在第7列中,只有[F7]未填入数字,且这一列中数字8还未出现过。所以[F7] = 8。
在区块中也是一样:
11
在起始于[D7]的区块中,只有[E7]还未填入数字,且这个区块中数字5还未出现过,所以可以马上在[E7]中填入5。
单元唯一法在解题初期应用的几率并不高,而在解题后期,随着越来越多的单元格填上了数字,使得应用这一方法的条件也逐渐得以满足。
2.单元排除法 ( Basic Elimination Technique )
单元排除法是直观法中最常用的方法,也是在平常解决数独谜题时使用最频繁的方法。使用得当的话,甚至可以单独处理中等难度的谜题。
使用单元排除法的目的就是要在某一单元(即行,列或区块)中找到能填入某一数字的唯一位置,换句话说,就是把单元中其他的空白位置都排除掉。它对应于候选数法中的隐式唯一法。
那么要如何排除其余的空格呢?当然还是不能忘了游戏规则,即行,列或区块中不能有重复的数字。从另一个角度来理解,就是
如果某行中已经有了某一数字,则该行中的其他位置不可能再出现这一数字。
如果某列中已经有了某一数字,则该列中的其他位置不可能再出现这一数字。
如果某区块中已经有了某一数字,则该区块中的其他位置不可能再出现这一数字。
单纯理解上面的规则还是不足以解题,但是在实践中这些规则却可以交叉使用。在实际解题过程中,应用最多也最方便的是对区块的单元排除法,我们可以先看下面这个例子:
12
对于起始于[D1]的区块,其未填数字的空格有6个之多,如果不使用单元排除法,是很难为这一区块填入任何数字的。这时我们就可以利用行,列及区块的相互关系,即一个单元格既在某一行上,也同时在某一列上以及某一区块中的这种关系来解题。
观察数字9在谜题中的位置,可以看到它出现在[B2],[A4],[C7],[D8],[I1]和[H9]。而这些位置中,只有[B2],[D8]和[I1]与起始于[D1]的区块有关联。因为[I1]=9,它所在的第1列上的其他单元格中不可能再出现9, 而区块中的[D1]和[F1]正好也在第1列上,所以这两个单元格填入9的可能性被排除。同理,因为[B2]=9,它所在的第2列中的其他单元格不可能再填入9,而区块中的[D2]和[E2]也正好在第2列上,因此,这两个单元格填入9的可能性也被排除掉了。再看行D,因为[D8]=9,所以该行上的[D1],[D2]和[D3]也不可能再填入9,而这些单元格正好也在起始于[D1]的区块中。所以,这个区块中能填入数字9的位置就只剩下了[E3],这样就通过排除法找到了答案,即[E3]=9。
下面再看一个在行中使用单元排除法的例子:
在谜题中观察数字4和行H,在行H有5个空单元格无法确定数字,但是[C3]位置上的4使得其所在的第3列中的其他单元格上不能再出现4,所以[H3]不能填入4。[I4]上的4使得其所在的区块中也不能再填入4,它帮助行H排除了两个单元格[H4]和[H6],而第8列上的[E8]中的数字4使得同样位于这一列上的[H8]也排除了填入4的可能。这样,行H中能填入4的位置就只剩下[H9]了。
在列中也可以使用单元排除法:
13
在第7列中,我们试图确定能填入数字1的位置。在行B中,数字1已经出现在[B2]上,所以[B7]不可能再填入数字1了。而位于[D8]的数字1也使得[F7]排除了填入数字1的可能,因为它们位于同一区块中。这样,第7列上就只有[A7]能填入数字1了。
通过上面的示例,可以看到,要对区块使用单元排除法,需要观察与该区块相交的行和列。要对行使用单元排除法,需要观察与该行相交的区块和列。要对列使用单元排除法,需要观察与该列相交的区块和行。
在实际解题过程中,行,列和区块之间的关系并不象上面这些图中所示的那么明显,所以需要一定的眼力和细心观察。一般来说,先看哪个数字在谜题中出现得最多,就从哪个数字开始下手,找到还未填入这个数字的单元(行,列或区块),利用已填入该数字的单元格与单元之间的关系,看能不能排除一些不可能填入该数字的位置,直到剩下唯一的位置。如果害怕搞不清已经处理过哪些数字的话,可以从数字1开始,从左上角的区块开始一直检查到右下角的区块,看能不能在这些区块中应用单元排除法。然后测试数字2,以此类推。
单元排除法是应用得最多的直观法,虽然在实践中经常会因为粗心而漏掉很多使用这一方法的机会,但只要勤加练习,就可以运用自如。
3.区块排除法 ( Block Elimination Technique )
区块排除法是直观法中进阶的技法。虽然它的应用范围不如单元排除法那样广泛,但用它可能找到用单元排除法无法找到的解。有时在遇到困难无法继续时,只要用一次区块排除法,接下去解题就会势如破竹了。
区块排除法实际上是利用区块与行或列之间的关系来实现的,这一点与单元排除法颇为相似。然而,它实际上是一种模糊排除法,也就是说,它并不象单元排除法那样利用谜题中现有的确定数字对行,列或区块进行排除,而是在不确定数字的具体位置的情况下进行排除的。这句话听起来似乎不好理解,让我们先从一个例子入手,看看区块排除法是怎么应用的。
对于上面这个谜题,用基本的单元排除法或是单元唯一法都无法再找到解。这时可以尝试使用区块排除法。
我们先从填入数字最多的区块着手,也就是起始于[G4]的区块,该区块中只有[H6]和[I5]为空,且剩余数字1和2还未填入。这样,我们可以想办法确定这两个数字的位置。
观察全局,可以看到[D2]=2,根据单元排除法,它所在的第2列上不能再出现数字2,所以[H2]和[I2]将不能填入2,这使得起始于[G1]的区块中数字2可能出现的位置仅剩下[I1]和[I3],见下图:
14
虽然我们无法确定2在起始于[G1]的区块中的确定位置,但幸运的是,能填入2的位置正好都在行I 上,也就是说,无论2在[I1]还是在[I3],行I的其他单元格中将不可能再出现数字2,所以可以毫不犹豫地排除在[I5]填入2的可能性,这样,对于起始于[G4]的区块而言,能填入数字2的位置就只剩下[H6]了。所以[H6]=2。接下来,当然毫无疑问,利用单元唯一法,在[I5]填入数字1。
先小结一下上面的求解方法:解题时,实际上是在对目标区块(主区块)有影响的区块(辅助区块)中应用单元单元排除法,使辅助区块满足某些条件并能参与对主区块的数字排除。
实际应用中,可能出现下面四种情况:
当某数字在某个区块中可填入的位置正好都在同一行上,因为该区块中必须要有该数字,所以这一行中不在该区块内的单元格上将不能再出现该数字。
当某数字在某个区块中可填入的位置正好都在同一列上,因为该区块中必须要有该数字,所以这一列中不在该区块内的单元格上将不能再出现该数字。
当某数字在某行中可填入的位置正好都在同一区块上,因为该行中必须要有该数字,所以该区块中不在该行内的单元格上将不能再出现该数字。
当某数字在某列中可填入的位置正好都在同一区块上,因为该列中必须要有该数字,所以该区块中不在该列内的单元格上将不能再出现该数字。
其中1,2两种情况相对常见,也比较容易判断。上面的示例就是第1种情况。下面我们会看到第2种情况的例子:
15
虽然在起始于[A7]的区块中,未填入数字的空单元格多达4个,但我们还是可以轻松地确定数字5的位置。这是因为在起始于[G7]的区块中,我们欣喜地发现数字5可能出现的位置正好都在第8列上,这时5的确切位置已经不重要了,因为它已经满足了上面介绍的第2种情况的条件,因此可以参与对起始于[A7]的区块进行数字排除了。在它的影响下,[A8]和[B8]中填入数字5的可能性已经不存在,因为它们都在第8列上。这样,在起始于[A7]的区块中,数字5能填入的位置只剩下[A9]和[C9]了。这时,我们再利用单元排除法,通过[A4]位置上的数字5再消除其所在行A上的[A9],最终得到能填入5的唯一位置[C9]。
下面看几个比较少见的例子
在行C上,数字3的位置可以通过下面的方法来确定:
先看行B,利用单元排除法,通过[H2]和[F3]位置上的3进行列排除,得到行B中能填入3的位置为[B4]和[B5]。碰巧的是,这两个单元格都在起始于[A4]的区块中,这时已经满足了上述情况3的条件。利用单元排除法的区块排除,则行C上的[C4]和[C5]都不能再填入3;再加上[F3]的列排除的共同努力,最终确定数字3在行C上的唯一位置就是[C1]。
第4种情况的例子如下:
在这个示例中,只是使用单元排除法和单元唯一法到这一步就继续不下去了。要想求得数字8在第6列的位置,就必须要借助区块排除法。先看第4列,通过位于[C3]和[I8]的数字8的行排除,使8在第4列可能填入的位置只剩下[D4]和[F4],而这两个单元格正好都在起始于[D4]的区块中。因为第4列不能没有数字8,而数字8如果填在区块中的其他位置(如[D6],[E6]或[F6])时将迫使[D4]和[F4]上不能再填
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入8,这样会导致第4列没有数字8。因此,第6列中的[D6],[E6]和[F6]能填入数字8的可能性被排除。这样第6列中就只剩下[B6]能填入8了。
实际解题过程中,还会碰到比较复杂的情况,看下面的谜题:
你能确定数字3在起始于[A1]的区块中的位置吗?先看位于[C5]的数字3,它不仅排除了同一行中[C1]和[C3]中填入3的可能性,也同时排除了同一行中[C8]和[C9]填入3的可能性,这使得在起始于[A7]的区块中,能填入3的位置只剩下[B8]和[B9],见下图:
利用区块排除法,在起始于[A7]的区块中,无论3在[B8]还是[B9],行B中的其他位置都不能再填入3,所以[B1],[B2]和[B3]都被排除。于是,在起始于[A1]的区块中,能填入3的位置仅剩下[A1]和[A2]了。但至此我们还无法确定3的准确位置,这时我们还要借助于其他的辅助区块来进一步排除。
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观察起始于[D1]的区块,利用[D7]位置上的3排除同一行的[D1],以及用[G3]位置上的3排除同一列的[E3]和[F3],使区块中可能填入3的位置只余[E2]和[F2],刚好这两个位置都在第2列中,符合上面介绍的第2种情况,于是可以把[A2]也排除掉。最后,我们就可以很肯定地在[A1]中填入数字3了。
这个例子同时使用了多个辅助区块同时参与排除。在实际使用中虽然这种情况并不常见,但却也不少见。关键在于如何能正确识别并恰当应用区块排除法。相信通过大量的练习并勤于分析思考,这种方法就可以运用自如,得心应手。
下面是其他的一些例子,可以帮助更好地理解并掌握这种技法:
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4.唯一余数法 ( Sole Number Technique )
唯一余数法是直观法中较不常用的方法。虽然它很容易被理解,所以说明这个方法不需要很大篇辐,然而在实践中,却不易看出能够使用这个方法的条件是否得以满足,从而使这个方法的应用受到限制。与单元唯一法相比,唯一余数法是确定某个单元格能填什么数的方法,而单元唯一法是确定某个数能填在哪个单元格的方法。另外,应用单元唯一法的条件十分简单,几乎一目了然。
与候选数法相比,唯一余数法相当于显式唯一法。虽然显式唯一法是候选数法中最简单且应用最容易的方法,但在直观法中却正好相反。
先看一个例子:
19
对于单元格[G9]应该填入什么数字,就算你把前面介绍的所有直观技法都用上,也不得而知。然而,我们通过观察它所在的行,列和区块,可以发现除了数字2以外,1到9中其他的数字都出现了,其中行G中包含了7,6,9,5,3和8,第9列中包含了数字5,8,7和1,起始于[G7]的单元格中包含了3,8,4,7,5和1。这样,如果[G9]不填入数字2,就一定会违反游戏“行,列或区块不能出现重复数字”的规则。所以[G9]中的数字一定是2
总结一下,就是如果某一单元格所在的行,列及区块中共出现了8个不同的数字,那么该单元格可以确定地填入还未出现过的数字。
怎么样,很简单吧,但在实践中却不那么容易识别。看下面的谜题:
你能看出来对哪个单元格应用唯一余数法吗?
还有这个谜题:
20
答案分别是[E6]=9和[I7]=9。
一般来说,只有在使用基本的排除方法都失效的情况下,才试着使用这个方法来解题。
5.组合排除法 ( Combination Elimination Technique)
组合排除法和区块排除法一样,都是直观法中进阶的技法,但它的应用范围要更小一点。一般情况下,基本没有机会用到这种方法解题,所以要找到相应的例子也都很困难。当然,如果你希望优先以这个技法来解题的话,还是能碰到很多能符合使用组合排除法条件的情况。
组合排除法,顾名思义,要考虑到某种组合。这里的组合既包括区块与区块的组合,也包括单元格与单元格的组合,利用组合的关联与排斥的关系而进行某种排除。它也是一种模糊排除法,同样是在不确定数字的具体位置的情况下进行排除的。下面先看一个例子:
对于上面这个谜题,你能确定数字6在起始于[G4]的区块中的位置吗?
要想获得正确的答案初看起来有些困难。因为虽然在[G9]和[H3]已经存在了两个6,但是利用它们只能行排除区块中的[G4]和[H6]两个单元格,还是无法确定6到底是在[I4]还是在[I5]中。这时候,组合排除法就派上用场了。
现在撇开起始于[G4]的区块,先看它上面的两个区块,即起始于[A4]和[D4]的区块。这几个区块的共
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