初二数学下 第二章《一元一次不等式和一元一次不等式组》

新北师大版八年级数学下第二章《一元一次不等式和一元一次不等组》讲义。讲义分：知识考点、历年中考真题、历年竞赛题组成。

初二数学下

第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组

一．开心一刻

验算

一日期中考,所有题目都是选择题，所以甲生就带了一个骰子去,乙生坐在他旁边以下是考试情形:甲生丢骰子甲:3.1.1.3.4.2.4.2.1然後甲生就写完了,开始睡觉不久甲生起来了,又开始丢骰子。 乙:你在干嘛? 甲:验算啊!

二．大脑扫描

1.不等关系 （1）概念：_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ （2）列不等式 一般步骤：<1>______________________________________________________________ <2>______________________________________________________________ <3>______________________________________________________________ <4>______________________________________________________________ （3）比较大小 常用方法：_________________________________________________________________ 其他方法:_________________________________________________________________ 2.不等式的基本性质 （1）不等式的基本性质

基本性质1：____________________________________________________________________ 基本性质2: ____________________________________________________________________ 基本性质3: ____________________________________________________________________ （2）不等式的其他基本性质（了解） <1>对称性：_____________________________________________________________________ <2>传递性:_____________________________________________________________________ <3>同向相加性：________________________________________________________________ <4>若a b，且b a，则a b。 <5>若a 0，则a 0。

____________________________________________________________________________________________ 2

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3.不等式的解集

（1)不等式的解概念:____________________________________________________________ （2)不等式的解集:__________________________________________________________-___ （3)解不等式：__________________________________________________________________ （4）用数轴表示不等式的解集 4.一元一次不等式

（1）一元一次不等式的概念：_____________________________________________________ __________________________________________________________________________ （2）解一元一次不等式的一般步骤

<1>_______________________________________________ <2>_______________________________________________ <3>_______________________________________________ <4>_______________________________________________ <5>_______________________________________________ （3）含字母系数的一元一次不等式的解法 （4）一元一次不等式的实际应用

列不等式解应用题与列方程解应用题的步骤类似：

<1>__________________________________________________________________________ <2>__________________________________________________________________________ <3>__________________________________________________________________________ <4>__________________________________________________________________________ <5>__________________________________________________________________________ 一元一次不等式与一元一次方程的综合问题 5.一元一次不等式与一次函数

（1）不等式、函数、方程的内在联系

<1>____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ <2>____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ （2）不等式、函数和方程间内在联系的数形表达式 从数的角度看：

<1>____________________________________________________________________________ <2>____________________________________________________________________________ <3>____________________________________________________________________________ 从形的角度看：

<1>____________________________________________________________________________ <2>____________________________________________________________________________ <3>____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________

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6.一元一次不等式组

（1）一元一次不等式组及其解集的概念 <1>一元一次不等式组：___________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ <2>一元一次不等式是解集：_______________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ <3>解不等式组：________________________________________________________________ （3）解一元一次不等式组的步骤：

<1>____________________________________________________________________________ <2>____________________________________________________________________________ （4）利用不等式组解决实际问题

步骤： <1>_______________________________________________ <2>_______________________________________________ <3>_______________________________________________ <4>_______________________________________________ <5>_______________________________________________ <6>_______________________________________________

三．知识刷新 专题一：不等关系

知识点一：认识不等式

例1：下列各式中，哪些是不等式？

（1）2 3 （2）3x2 1 0 （3）2x 5 1 （4）2x 5x 3 （5）3a a 1 （6）y 2x 1 （7）x 1

挑战自我，勇攀高分

1.在数学表达式（1）-3<0；（2）4x 5 0；（3）x 3；（4）x x；（5）x 2 x 1中是不等式的有（ ）

A 2个 B 3个 C 4个 D 5个

____________________________________________________________________________________________ 2

2

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知识点二：列不等式 例1：用不等式表示：

（1）a的2倍与4的差是正数； （2）b的

1

与c的和是负数； 2

（3）a与b的差是非负数； （3）x的绝对值与1的和不小于1； （4）地球上海洋面积大于陆地面积。

例2：某数学活动小组10名同学利用假期到学校图书馆参加装订杂志的劳动，开始2天，每人每天完成5本杂志，那么以后3天，每人每天必须完成基本杂志才能超额完成原计划装订300本杂志的任务？（只要求列出不等式即可）

挑战自我，勇攀高分

1.x的2倍减去7的差不大于-1，可列关系式为（ ）

A 2x 7 1 B 2x 7 1 C 2x 7 1 D 2x 7 4 2.下列列出的不等式关系中，正确的是（ ） A.a是负数可表示为a 0 B.x不大于3可表示为x 3

C.m与4的差是负数，可表示为m 4 0 D.x与2的和是非负数可表示为x 2 0

3.据佛山日报报道，2009年6月1日佛山市最高气温是33c，最低气温是24c，则当天佛山市气温t(c)的变化范围是（ ）

A t 33 B t 24 C 24 t 33 D 24 t 33

4.设a、b、c表示三种不同物体的质量，用天平称两次，情况如图所示，则这三种物体的质量从小到大排序正确的是（ ） A c b a B b c a C c a b D b a c

____________________________________________________________________________________________

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5.某中巴车上表明“限载45人”，意思就是该巴中车的载客数____________，如果用x表示载客数，则有不等式________________。

知识点三：作差比较大小

例1：若x y，请比较4x 8y和3x 9y的大小。

例2：已知n是正整数，比较n 1 n与n n 1的大小。

挑战自我，勇攀高分 1.

-11

（填“>”、“=”或“<”）。 22

2.试比较3a与4a 1的大小。

3.已知A＝2x＋3x＋2，B＝2x－4x－5，试比较A与B的大小

2

2

专题二：不等式的基本性质

知识点一：不等式基本性质

例1：将下列不等式化为或的形式。 “x a”“x a”

（1）4x 3x 3 （2）5x 1 4

____________________________________________________________________________________________

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例2：若a b，则下列不等式边形一定正确的是哪些？说明理由。 （1）2a 2b；（2）2 a 2 b；（3）2 a 2 b；（4）a m b m；（5）am bm

挑战自我，勇攀高分

1.若a b，c为实数，则ac______bc

2.将下列不等式化为“x a”或“x a”的形式。 （1）2x 3x 3 （2）mx 2 3x(m 3)

3.由不等式2 3a 3 3b，根据不等式的性质能否比较出a、b的大小？

4.已知关于x的不等式(1 a)x 2的两边同时除以（1 a)得到x

2

2

2

，试化简1 a

a 1 a 2。

知识点二：不等式的其他性质 例1：（1）若2 x，则x__________2（填“>”或“<”）；

（a 2） 0，则a______________。 （2）若

2

____________________________________________________________________________________________

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专题三：不等式的解集

知识点一：不等式的解

例1：分别判断5，7，9是否为不等式x 2 5的解。

知识点二：不等式的解集

例1:x 5是不等式3x 5 2x的解集，则下列叙述正确的有（ ） （1）5是不等式3x 5 2x的一个解； （2）0是不等式3x 5 2x的一个解；

（3）小于5的任何一个数都是不等式3x 5 2x的一个解； （4）大于或等于5的任何一个数都是不等式3x 5 2x的解； （5）不等式3x 5 2x的解不可能是负数

A 2个 B 3个 C 4个 D 5个

挑战自我，勇攀高分

1.判断下列说法是否正确？为什么？ （1）x=1是不等式2x+1＜7 的解； （2）x=1是不等式2x+1＜7 的解集； （3）不等式2x+1＜7的解集为x＜1； （4）不等式2x+1＜7的解集为x＜3

知识点三：用不等式基本性质解不等式 例1：解不等式2x 5x 6

挑战自我，勇攀高分

1.用不等式基本性质解不等式：

____________________________________________________________________________________________ 3x 2

x 2

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知识点四：用数轴表示不等式的解集

例1： 将下列不等式的解集在数轴上表示出来： （1）x＞2 ； （2）x＜2 ； （3）x≥2 ； （4）x≤2； （5）x≥－3；（6）x≤a （a＞0 ）

例2：分别用x的不等式表示下列用数轴表示的不等式的解集

例3：不等式2x 6 0的解集在数轴上表示正确的是（ ）

A． B． C．

挑战自我，勇攀高分

1.在下图中不等式－1＜x≤2在数轴上表示正确的是（ ）

D．

A

D

C

B

2.把一个不等式组的解集表示在数轴上，如图所示，则该不等式组的解集为（ ）

1 21

Ｃ．0≤x

2

Ａ．0 x≤

Ｂ．x≤

1 2

Ｄ．x 0

2

____________________________________________________________________________________________

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3.不等式2(x 1) 3x的解集在数轴上表示出来应为（ ）

A．

B．

C．

D．

专题四：一元一次不等式

知识点一：认识一元一次不等式

例1：下列各式中，哪些是一元一次不等式？哪些不是？试说明理由。 （1）2x y； （2）x 2x 1 0；

2

11

x (x 1)； 32x1

（4）- x 1

32

（3）-挑战自我，勇攀高分

1、 判断下列式子是否一元一次不等式：（是的打√，否的打x） （1）7>4 ( ) （2） 3x ≥ 2x+1 ( ) （3）

2

0 ( ) （4） x+y>1 ( ) x

2

（5）x+3>2x ( )

知识点二：解一元一次不等式与含字母系数的一元一次不等式的解法 例1：解下列不等式 （1）

2x 1x 2(x 1) 2 （2） 1 323

－2x 1x 3

（3） 2 （4）－3>2

23

____________________________________________________________________________________________

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例2：解不等式

2x 1（3x 1）

1，并将解集在数轴上表示出来。 32

例3：已知关于x的不等式（1﹣a）x＞2的解集为x＜，则a的取值范围是（ ）

A．a＞0 B．a＞1 C．a＜0 D．a＜1

例4：若|a﹣5|﹣5+a=0，则a的取值范围是（ ）

A．a≤5 B．a＜5 C．a≥5 D．a＞5

例5：已知关于x的方程3k－5x＝－9的解是非负数，求k的取值范围

例6：关于x的不等式2x－a≤－1的解集如图所示，则a的取值是（ ）

A、0 B、－3 C、－2 D、－1

例7：解关于x的不等式（3a 1)x 3a 2ax 3

挑战自我，勇攀高分 1.解下列一元一次不等式 （1） x （3）

____________________________________________________________________________________________ 1

（2） (x 1) 2 2

2

x 2＋x （4）3[x 2(x 2)] x 3(x 2) 3

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2.二次根式2x 4有意义，求x的取值范围。

x

1成立，则x的取值范围是____________ 。 3. 2 3

4.已知关于x的不等式（1﹣a）x＞2的解集为x＜ A．a＞0 B．a＞1

，则a的取值范围是（ ）

C．a＜0 D．a＜1

5.已知m，n为常数，若mx+n＞0的解集为x＜，则nx﹣m＜0的解集是（ ）

A．x＞3 B．x＜3

C．x＞﹣3 D．x＜﹣3

6.已知y满足不等式

A．﹣3y

﹣y＞2+，化简|y+1|+|2y﹣1|的结果是（ ）

C．y

D．﹣y+2

B．3y

7.当2(k 3)

10 kk(x 5)

时，求关于x的不等式 x k的解集。

43

知识点三：巧解一元一次不等式 （一）、凑整法 例1．解不等式

。

分析：根据不等式性质，两边同乘以适当的数，将小数转化为整系数。 解：两边同乘以-4，得x+30<-2-x. ∴ x<-16.

____________________________________________________________________________________________

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（二）、化分母为整数 例2．解不等式

。

分析：根据分数基本性质，将两边分母化成整数。 解：原不等式变形，得 8x-3-(25x-4)>15-10x. ∴ -7x>14. 即x<-2. （三）、裂项法 例3．解不等式

。

分析：本题若采用去分母法，步骤较多，由除法意义，裂项相合并，过程简洁。 解：原不等式变形，得移项、合并，得

。

。

（四）、整体处理法 例4．解不等式

解：视“3x-2”为一个整体， 变形，得移项合并，将∴

。

，

， 。

知识点四：不等式的特殊解

例1：求不等式x+3＜6 的正整数解．

例2：求不等式

例3：x取哪些非负整数时，代数式3-

____________________________________________________________________________________________ (3x+4)-3≤7的最大整数解。

的值不小于代数式的值？

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例4：已知不等式4x－a≤0，只有四个正整数解1，2，3，4，那么正数a的取值范围是什么？

挑战自我，勇攀高分 1.求不等式42

2.不等式4(x 1) 8 5(x 2) 7的最小整数解

3.适当选择a的取值范围，使1.7＜x＜a的整数解： （1）x只有一个整数解； （2）x一个整数解也没有。

知识点五：一元一次不等式的实际应用 （一）、速度、时间问题

例1：爆破施工时，导火索燃烧的速度是0.8cm/s，人跑开的速度是5m/s，为了使点火的战士在施工时能跑到不小于100m的安全地区，导火索至少需要多长？

例2：王凯家到学校2.1千米，现在需要在18分钟内走完这段路。已知王凯步行速度为90米/ 分，跑步速度为210米/分，问王凯至少需要跑几分钟？

____________________________________________________________________________________________ x

5(x 4) 0的正整数解。 2

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（二）、工程问题 例1：用每分钟抽1.1吨水的A型抽水机来抽池水，半小时可以抽完；如果改用B型抽水机，估计20分钟到22分可以抽完。B型抽水机比A型抽水机每分钟约多抽多少吨水？

例2：某工人计划在15天里加工408个零件，最初三天中每天加工24个，问以后每天至少要加工多少个零件，才能在规定的时间内超额完成任务？

（三）、价格问题

例1：商场购进某种商品m件，每件在进价的基础上，加价30元售出全部商品的65%，然后再降价10%，这样每件仍可获利18元，又售出全部商品的25%。 (1)试求该商品的进价和第一次的售价；

(2)为了确保这批商品总的利润率不低于25%，剩余商品的售价应不低于多少元？

（四）其他问题

例1：某公司需刻录一批光盘（总数不超过100张），若请专业公司刻录，每张需10元（包括空白光盘费）；若公司自刻，除设备租用费200元以外，每张还需成本5元（空白光盘费）。问刻录这批光盘，是请专业公司刻录费用省，还是自刻费用省？

例2：考试共有25道选择题，做对一题得4分，做错一题减2分，不做得0分，若小明想确保考试成绩在60分以上，那么，他至少做对多少道题？

____________________________________________________________________________________________

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挑战自我，勇攀高分

1.抗洪抢险，向险段运送物资，共有120公里原路程，需要1小时送到，前半小时已经走了50公里后，后半小时速度多大才能保证及时送到？

2.一本英语书98页，张力读了7天(一周)还没读完,而李永不到一周就读完了.李永平均每天比张力多读2页，张力每天读多少页?

3.某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人月工资分别为600元和1000元。现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍,问甲、乙两种工种各招聘多少人时，可使得每月所付的工资最少？

4.某市出租车收费标准如下：3公里以内（含3公里）收费10元，超过3公里的部分每公里收费2元。超过起步里程10公里以上的部分加收50%，即每公里3元。（不足一公里以一公里计算）

（1）小明第一次乘坐出租车行驶4.1公里应付车费多少元？ （2）若小明乘坐出租车行驶14.9公里，问应付费多少元？

（3）小明家距离学校13.1千米，周末小明身边带了31元钱，则小明从学校坐出租车到家的钱够吗？如果够，还剩多少钱？若不够他至少要先走多少公里路？ （4）若小明某次乘出租车花去39元，那么他所乘的路程有多远

____________________________________________________________________________________________

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知识点六：一元一次不等式与一元一次方程的综合问题 例1：已知关于x的方程（m 2)x 3 11 m(3 x) （1）当m取何值时，原方程有不小于1的解？ （2）当m取何值时，原方程有负数解？

（3）当m取何值时，原方程有不大于2的解？

挑战自我，勇攀高分

1.已知方程（3x 2a) 2 x a 1的解适合不等式2(x 5) 8a，求a的取值范

2.已知关于x的方程3x (3 2a) 4x 3(a 2)的解是负数，求a的取值范围。

专题五：一元一次不等式与一次函数

例1：已知y1 x 3，y2 3x 4

（1）当x去何值时，y1 y2？（2）当x取何值时，y1 y2？（3）当x去何值时，y1 y2？

____________________________________________________________________________________________

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例2：如图所示，一次函数y （1）x取何值时，

3

x 3在直角坐标系内的图像，试通过图像回答下列问题。

2

3

x 3 0？ 23

（2）x取哪些值时，x 3 0？

23

（3）x取哪些值时，x 3 0？

2

x y m 2

例3：求方程组4x 5y 6m 3的解x，

y都是正数的m的取值范围。

例4：某种化肥在县城里的甲、乙两个生产资料门市部均有销售，现了解到该化肥在甲、乙两个门市部的标价为600元/吨，但都有一定的优政策，甲门市部是第一吨按标价收费，超出部分每吨优惠25%，乙门市部每吨优惠20%出售。

（1）写出甲门市部每次交易的销售额y1（元）与销量x（吨）之间的函数关系式及乙门市部每次交易的销售额y2（元）与销量x（吨）之间的关系式；

（2）种粮食大户张某想一次购买此种化肥4吨，李某想一次购买此种化肥8吨，他们到哪个门市部购买省钱？请给他们分别提出合理建议。

____________________________________________________________________________________________

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挑战自我，勇攀高分

1.已知y1 x 2，y2 3x 4。

（1）在同一直角坐标系中画出这两个函数图像；

（2）根据图像观察，当x取何值时，y1 y2？y1 y2？y1 y2？

2.如图所示，直线y kx b(k 0)与x轴交于，关于x的不等式kx b 0的解集是（3，0）（ ）

A x 3 B x 3 C x 0 D x 0

3.如图，直线y kx b经过点A（-1，-2）和点B（-2,0），直线y 2x过点A，则不等式

2x kx b 0的解集为（ ）

A x 2 B 2 x 1 C 2 x 0 D 1 x 0

4.已知函数y 8x 16,要使y 0，那么x应取（ ） A x 2 B x 2 C x 0 D x 0

____________________________________________________________________________________________

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5.画出函数y 3x 12的图像，利用函数图像回答下列问题：

（1）求方程3x 12 0和3x 12 3的解；

（2）分别求出不等式3x 12 0和3x 12 3的解集

6.我市某医药公司要把药品运往外地，现有两种运输方式可供选择，

方式一：使用快递公司的邮车运输，装卸收费400元，另外每公里再加收4元； 方式二：使用铁路运输公司的火车运输，装卸收费820元，另外每公里再加收2元， （1）请分别写出邮车、火车运输的总费用y1（元）、y2（元）与运输路程x（公里）之间的函数关系式；

（2）你认为选用哪种运输方式较好，为什么？

专题六：一元一次不等式组

知识点一：认识一元一次不等式组

2

x 2 x 0 x x 1 x 3 0 x 1 0

例1：下面给出的不等式组中① ② ③ ④ ⑤

2

x 3 x 2 0 y 1 x x 2 4 x 7

其中是一元一次不等式组的个数是（ ） Ａ．2个

Ｂ．3个

Ｃ．4个

Ｄ．5个

知识点二：解一元一次不等式组 例1：解下列各不等式组

1

6 5(x ) 7x x 3(x 2) 4 5（1） （2） 1 2x

10x 54 2x x 1 3x 3 52

____________________________________________________________________________________________

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例2：若不等式组

x 3x m

的解集是x 3，则m的取值范围是__________。

例3：若|3x-6|+(2x-y-m)=0，求m为何值时y为正数。

例4：若关于x的方程组

2

3x 2y p 1

的解满足x>y，则p的取值范围是_________.

4x 3y p 1

x 7 3x 7

例5：如果不等式组 的解集是x＞7，则n的取值范围是（ ）

x n

A、n≥7 B、n≤7 C、n=7 D、n＜7

x a 0

例6：已知关于x的不等式组 的整数解共有5个，则a的取值范围是？

3 2x 1

挑战自我，勇攀高分 1.解下列各不等式组

1

x 2(x 3) 46 5(x ) 7x 5（1） x （2）

(x 1) 2 x 3x 10x 5 4 2x 2 52

____________________________________________________________________________________________

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2.已知关于x的不等式组 Ａ．m 2

x 2，

无解，则m的取值范围是（

x m

Ｃ．m≥2

）

Ｂ．m 2

Ｄ．不能确定

3.已知关于x，y的方程组

x y 2m 7,

的解为正数，求m的取值范围

x y 4m 3

x 15

x 3, 2

4.若关于x的不等式组 只有4个整数解，求a的取值范围

2x 2 x a 3

知识点三：一元一次不等数组解决实际问题 （一）分配问题

例1：一群女生住若干间宿舍，每间住4人，剩下19人无房住；每间住6人，有一间宿舍住不满。

（1）设有x间宿舍，列出满足x的不等式组； （2）可能有多少间宿舍、多少名学生？

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