高二数学竞赛自编材料函数不等式导数

高二数学第二学期竞赛辅导资料 【基础练习】

1???1.若曲线y?x在点?a,a2?处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a?_____

?? 函数与导数

?12

4上，?为曲线在点P处的切线的倾斜角，则?的取值范围是xe?1??3???3?] (D) [,?) （ ） (A)[0,) (B)[,) (C)(,4244242.已知点P在曲线y=

3.函数y?x(x?0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴的交点的横坐标为

2ak?1,其中k?N?，若a1?16，则a1?a3?a5? ________

4.若?a?[1,3]，使不等式ax2?(a?2)x?2?0成立，求实数x的范围.

5.若?a?[1,3]，使不等式ax?(a?2)x?2?0成立，求实数x的范围.

6.若?x?[1,3]，使不等式ax?(a?2)x?2?0成立，求实数a的范围.

7.若?x?[1,3]，使不等式ax?(a?2)x?2?0成立，求实数a的范围.

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222【巩固提升】

4x2?71.已知函数f?x??，x??01，?. （Ⅰ）求f?x?的单调区间和值域；

2?x（Ⅱ）设a?1，函数g?x??x2?3a2x?2a，x??01，，?，若对于任意x1??01?，总存在

x0??01，?，使得g?x0??f?x1?成立，求a的取值范围

2.若f1?x??3x?p1，f2?x??2?3x?p2??f?x?,f1?x??f2?x?

，x?R,p1,p2为常数，且f?x???1??f2?x?,f1?x??f2?x?（Ⅰ）求f?x??f1?x?对所有实数成立的充要条件（用p1,p2表示）； （Ⅱ）设a,b为两实数，a?b且p1,p2?a,b?,若f?a??f?b? 求证：f?x?在区间?a,b?上的单调增区间的长度和为． n?m）

b?a（闭区间?m,n?的长度定义为2 2

3.已知函数f(x)?lnx?ax?1?a?1(a?R) x（1）当a??1时，求曲线y?f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；

1时，讨论f(x)的单调性. 21（3）设g(x)?x2?2bx?4.当a?时，若对任意x1?(0,2)，存在x2??1,2?，

4（2）当a?使f(x1)?g(x2)，求实数b取值范围.

124．已知函数f(x)=x-ax+(a-1)lnx,a>1.

2（1）讨论函数f(x)的单调性；

（2）证明：若a<5，则对任意x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2，有

3

f(x1)?f(x2)??1

x1?x25．设a为实数，函数f(x)?ex-2x?2a,x?R. （1）求函数f(x)的单调区间与极值；

x2（2）求证：当a?ln2?1且x>0时，e?x?2ax?1.

6．设函数f(x)=x2+bln(x+1)，其中b≠0 （1）当b>1时，判断函数f(x)在定义域上的单调性； 2（2）求函数f(x)的极值点；

（3）证明：对任意的正整数n，不等式ln(?1)?

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1n11?都成立. n2n3课外作业：

1．已知函数f(x)?(x?k)e. （I）求f(x)的单调区间；

（II）若对于任意的x?(0,??)，都有f(x)?2xk1，求k的取值范围. e

2.已知函数f(x)?alnxb?，曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x?2y?3?0. x?1x（Ⅰ）求a、b的值；

lnx. x?1lnxk?，求k的取值范围. （Ⅲ）如果当x?0，且x?1时，f(x)?x?1x

（Ⅱ）证明：当x?0，且x?1时，f(x)?3.已知函数f(x)?lnx?ax2?(2?a)x. (I)讨论f(x)的单调性； （II）设a?0，证明：当0?x?111时，f(?x)?f(?x)； aaa（III）若函数y?f(x)的图象与x轴交于A,B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：

f?(x0)?0.

24．已知a?0，函数f(x)=lnx-ax,x>0.（f(x)的图像连续不断）

（Ⅰ）求f(x)的单调区间； （Ⅱ）当a=13时，证明：存在x0?(2, )，使f(x0)=f()； 82（Ⅲ）若存在均属于区间1,3的?,?，且????1，使f(a)=f(b)，证明

[]ln3?ln2ln2 ?a?53

5

故当?x?(0,??)，f(x)?11时，k的取值范围是[?,0). e2

12. （2011·新课标全国高考理科·Ｔ21）已知函数f(x)?alnxb?，曲线y?f(x)在点x?1x(1,f(1))处的切线方程为x?2y?3?0.

（Ⅰ）求a、b的值；

lnx. x?1lnxk?，求k的取值范围. （Ⅲ）如果当x?0，且x?1时，f(x)?x?1x（Ⅱ）证明：当x?0，且x?1时，f(x)?【思路点拨】第（1）问，对函数f(x)求导得f?(x)，f?(1)对应为切线的斜率，切点(1,f(1))即在切线上又在原函数f(x)上，利用上述关系，建立方程组，求得a,b的值； 第（2）问，f(x)?alnxbalnxb??f(x)?(?)?0，首先化简函数式 x?1xx?1xf(x)?(alnxb?)，再来证明不等式成立即可，必要时分类讨论. x?1x?(【精讲精析】（Ⅰ）f'(x)?x?1?lnx)1bx??x?2y?3?0由于直线的斜率为，且

(x?1)2x22?f(1)?1,?过点(1,1)，故?1f'(1)??,??2 ?b?1,?即?a1?b??,??22

解得a?1，b?1.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=

lnx1?,所以 x?1xlnx1??2lnx?f(x)??2?x?11?x?考虑函数h(x)?2lnx?x2x2?1??

x???1 x 16

则h′(x)=

22x?x?1???2xx2?2??x?1?

2x2所以x≠1时h′(x)＜0而h(1)=0故 x??0,1?时h(x)>0可得f(x)?lnx x?1,lnx x?1,

lnx. x?1x??1，??? h(x)<0可得f(x)?从而当x?0，且x?1时，f(x)?

（Ⅲ）由（Ⅰ）知f(x)?lnx1?，所以 x?1x

lnxk1(k?1)(x2?1)f(x)?(?)?(2lnx?). 2x?1x1?xx(k?1)(x2?1)(k?1)(x2?1)?2x(x?0)，则h'(x)?考虑函数h(x)?2lnx?. 2xxk(x2?1)?(x?1)2(i)设k?0，由h'(x)?知，当x?1时，h'(x)?0，h(x)递减.而h(1)?0，

x21h(x)?0； 1?x21当x?（1，+?）时，h（x）<0，可得 h（x）>0

1?x2lnxklnxk从而当x>0,且x?1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.

x?1xx?1x故当x?(0,1)时， h(x)?0，可得

（ii）设0

22??4?4(k?1)2?0，对称轴x=

'11?1当x?（1，）时，（k-1）（x2 +1）+2x>0,1?k1?k.

11）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与21?k1?x故h (x）>0,而h（1）=0，故当x?（1，题设矛盾.

2（iii）设k?1.此时x?1?2x，(k?1)(x?1)?2x?0?h（x）>0,而h（1）=0，故当

2'x?（1，+?）时，h（x）>0，可得

1 h（x）<0,与题设矛盾. 1?x2 综合得，k的取值范围为（-?，0]

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18.（2011·辽宁高考理科·Ｔ21）(本小题满分12分)已知函数f（x）=lnx-ax2=（2-a）x. (I)讨论f（x）的单调性； （II）设a＞0，证明：当0＜x＜

111时，f（+x）＞f（－x）； aaa（III）若函数y=f（x）的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f’（ x0）＜0.

【思路点拨】(I)要先考虑定义域，再求导数，然后对a进行讨论，从而所求函数的单调性； （II）可先构造函函数g(x)?f(11?x)?f(?x)，将所证结论转化为证明g(x)?0恒aa成立，再对g(x)求导，利用单调性可解决问题；

（III）先设A（x1，０），B（x2，０），结合(Ⅰ) 可知a?0且f(x)先增后减，利用（Ⅱ）的结论，可证 f(论得证．

【精讲精析】(Ⅰ)f(x)的定义域为?0,???，

22?x1)?0，从而x2??x1，确定x0的取值范围，最后利用(Ⅰ)的结aaf?(x)?1(2x?1)(ax?1)?2ax?(2?a)??. xx（ⅰ）若a?0，则f?(x)?0，所以f(x)在?0,???单调递增. （ⅱ）若a?0，则由f?(x)?0得x?当x?11，且当x?(0,)时，f?(x)?0， aa1时， f?(x)?0， a所以f(x)在?0,??1??1??单调递增，在?,???单调递减. ……4分 a??a?11?x)?f(?x)，则 aa（Ⅱ）设函数g(x)?f(g(x)?ln(1?ax)?ln(1?ax)?2ax，

aa2a3x2g?(x)???2a?. 221?ax1?ax1?ax当0?x?1时，g?(x)?0，而g(0)?0，所以g(x)?0. a 18

故当0?x?111时，f(?x)?f(?x). ……8分 aaa1a1a（Ⅲ）由(Ⅰ)可得，当a?0时，函数y=f（x）的图象与x轴至多只有一个交点，故a?0，从而f(x)的最大值为f()，且f()?0．

不妨设A（x1，０），B（x2，０），0?x1?x2，则0?x1?由（Ⅱ）得f(1?x2， a211?x1)?f(??x1)?f(x1)?0． aaa从而x2?x?x212?x1，于是x0?1?． a2a由(Ⅰ)知，f?(x0)?0． ……12分

27．（2011.天津高考理科.T19.）已知a?0，函数f(x)=lnx-ax2,x>0.（f(x)的图像连续不断）

（Ⅰ）求f(x)的单调区间； （Ⅱ）当a=13时，证明：存在x0?(2, )，使f(x0)=f()； 82（Ⅲ）若存在均属于区间1,3的?,?，且????1，使f(a)=f(b)，证明

[]ln3?ln2ln2?a? 53【思路点拨】（1）由导数求单调区间；

'（2）设函数g(x)=f(x)-f()，任取x>2，利用函数f(x)的单调性证明在

32x0?(2,x'),使g(x0)0；

（3） 利用（1）的结论，寻找f(a),f(b)的不等关系分离出a。

11-2ax2,x?(0, )， 令【精讲精析】 （I）【解析】f'(x)=-2ax=x2f'(x)=0解得,x=2a .2a当x变化时，f'(x),f(x)的变化情况如下表：

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x (0,2a) 2a2a 2a0 (- 2a,??) 2af'(x) + f(x) 所以，f(x)的单调递增区间是(0,（II）证明：当a=时,f(x)=lnx-极大值 2a2a )f,x(的单调递减区间是)(,??).2a2a12x. 由（I）知f(x)在（0，2）内单调递增， 83在(2,+ )内单调递减.。令g(x)=f(x)-f().由于f(x)在（0，2）内单调递增，故

218341-9e2<0.所以存在取x'=e>2,则g(x')=3f(2)>f(),即g(2)>0.2322x0?(2,x'),使g(x0)0,即存在x0?(2,?),使f(x0)3f(). 2（说明：x'的取法不唯一，只要满足x'?2,且g(x')?0即可）

（III）证明：由f(?)?f(?)及（I）的结论知??2a??， 2a从而f(x)在[?,?]上的最小值为f(a).又由????1，?,??[1,3],知

1???2???3.

?f(2)?f(?)?f(1),?ln2?4a??a,故? 即?f(2)?f(?)?f(3).ln2?4a?ln3?9a.??从而

ln3?ln2ln2?a?. 53

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