高中数学知识点---椭圆、双曲线、抛物线

高中数学专题四

《圆锥曲线》知识点小结

椭圆、双曲线、抛物线

一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹。

其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意：2a?|F1F2|表示椭圆；2a?|F1F2|表示线段F1F2；2a?|F1F2|没有轨迹； （2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：

标准方程 中心在原点，焦点在x轴上 x2y2??1(a?b?0) a2b2中心在原点，焦点在y轴上 y2x2??1(a?b?0) a2b2B2 y F2 O F1 B1 A2 x P A1 y B2 O F2 B1 A2 P A1 图 形 x F1 顶 点 对称轴 焦 点 焦 距 离心率 A1(?a,0),A2(a,0)B1(0,?b),B2(0,b) A1(?b,0),A2(b,0)B1(0,?a),B2(0,a) x轴，y轴；短轴为2b，长轴为2a F1(?c,0),F2(c,0) F1(0,?c),F2(0,c) |F1F2|?2c(c?0)c2?a2?b2 e?c(0?e?1)（离心率越大，椭圆越扁） a通 径 2b2（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段） a22xy3．常用结论：（1）椭圆2?2?1(a?b?0)的两个焦点为F1,F2，过F1的直线交椭圆于A,Bab两点，则?ABF2的周长=

22（2）设椭圆x2?y2?1(a?b?0)左、右两个焦点为F1,F2，过F1且垂直于对称轴

ab的直线交椭圆于P,Q两点，则P,Q的坐标分别是 |PQ|?

二、双曲线：

（1）双曲线的定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹。

其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意：|PF1|?|PF2|?2a与|PF2|?|PF1|?2a（2a?|F1F2|）表示双曲线的一支。

2a?|F1F2|表示两条射线；2a?|F1F2|没有轨迹；

（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质： 标准方程 中心在原点，焦点在x轴上 x2y2?2?1(a?0,b?0) 2ab中心在原点，焦点在y轴上 y2x2?2?1(a?0,b?0) 2abP y F2 B2 x P F1 A1 y x O A2 F2 顶 点 对称轴 焦 点 焦 距 离心率 渐近线 通 径 （3）双曲线的渐近线：

e?图 形 O B1 F1 A1(?a,0),A2(a,0) B1(0,?a),B2(0,a) x轴，y轴；虚轴为2b，实轴为2a F1(?c,0),F2(c,0) 22F1(0,?c),F2(0,c) 2|F1F2|?2c(c?0)c?a?b c(e?1)（离心率越大，开口越大） ay??bx a2b2ay?? ax b2222①求双曲线x?y?1的渐近线，可令其右边的1为0，即得x?y?0，因式分解得到

2222ababxy??0。 ab22x2y2xy②与双曲线2?2?1共渐近线的双曲线系方程是2?2??；

abab222（4）等轴双曲线为x?y?t，其离心率为2 22yx（4）常用结论：（1）双曲线?2?1(a?0,b?0)的两个焦点为F1,F2，过F1的直线交双2ab曲线的同一支于A,B两点，则?ABF2的周长=

22（2）设双曲线x?y?1(a?0,b?0)左、右两个焦点为F1,F2，过F1且垂直于对

a2b2称轴的直线交双曲线于P,Q两点，则P,Q的坐标分别是 |PQ|?

三、抛物线：

（1）抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。 其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。 （2）抛物线的标准方程、图象及几何性质：p?0 标准方程 焦点在x轴上， 开口向右 y2?2px 焦点在x轴上， 开口向左 y2??2px 焦点在y轴上， 开口向上 焦点在y轴上， 开口向下 x2?2py x2??2py P y l x F O l 图 形 O y P x F y P F O x l P y O F x l 顶 点 对称轴 焦 点 离心率 准 线 通 径 焦半径 焦点弦 焦准距 |PF|?|x0|?p 2 O(0,0) F(?p ,0)2pF(0,) 2 x轴 pF(,0) 2y轴 pF(0,?) 2 p 2 p2e?1 x??x?p2 y?? y?p 22p |PF|?|y0|?p 2 p 四、弦长公式：|AB|?1?k2|x1?x2|?1?k2?(x1?x2)2?4x1x2?1?k2?? |A|其中,A,?分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去 y后所得关于x的一元二次方程的判别式和x2的系数

五、弦的中点坐标的求法

法（一）：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y,得关于x的一元二次方程Ax2?Bx?C?0,设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由韦达定理求出

x1?x2??x?x2B；（3）设中点M(x0,y0)，由中点坐标公式得x0?1；再把x?x0代A2入直线方程求出y?y0。

法（二）：用点差法，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，中点M(x0,y0)，由点在曲线上，线段的中点坐标公式，过A、B两点斜率公式，列出5个方程，通过相减，代入等变形，求出x0,y0。

六、求离心率的常用方法：法一，分别求出a,c，再代入公式

法二、建立a,b,c满足的关系，消去b,再化为关于e的方程，最后解方程求e (求e时，要注意椭圆离心率取值范围是0﹤e﹤1，而双曲线离心率取值范围是e﹥1)

高考专题训练 椭圆、双曲线、抛物线

一、选择题：

1．(2011·辽宁)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点M到y轴的距离为( )

3

A.4 5

C.4

答案：C

2．(2011·湖北)将两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则( )

B．1 7

D.4 A．n＝0 C．n＝2

B．n＝1 D．n≥3

答案：C

3．(2011·全国Ⅱ)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝( )

4A. 53C．－5 答案：D

x2y2y22

4．(2011·浙江)已知椭圆C1：a2＋b2＝1(a>b>0)与双曲线C2：x－4＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则( )

13A．a2＝2 1

C．b2＝2 B．a2＝13 D．b2＝2 3B. 54D．－5

答案：C

5．(2011·福建)设圆锥曲线的两个焦点分别为F1，F2，若曲线上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|＝4：3：2，则曲线的离心率等于( )

13A.2或2 1

C.2或2 答案：A

x2y2

6．(2011·邹城一中5月模拟)设F1，F2是双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的左、右两个→→→焦点，若双曲线右支上存在一点P，使(OP＋OF2)·F2P＝0(O为坐标原点)，且|PF1|＝3|PF2|，则双曲线的离心率为( )

A.C.2＋1

2 3＋12 B.2＋1 D.3＋1 2B.3或2 23D.3或2

答案：D 二、填空题：

1x2y2

7．(2011·江西)若椭圆a2＋b2＝1的焦点在x轴上，过点?1，2?作圆x2＋y2＝1的切

??线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．

x2y2

答案：5＋4＝1

8．(2011·课标)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为

2

，过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C2

的方程为________．

x2y2

答案：16＋8＝1

x22

9．(2011·浙江)设F1，F2分别为椭圆3＋y＝1的左、右焦点，点A，B在椭圆上，→→

若F1A＝5F2B，则点A的坐标是____________．

答案：(0，±1)

x2y210．(2011·全国)已知F1、F2分别为双曲线C：－＝1的左、右焦点，点A∈C，

927点M的坐标为(2,0)，AM为∠F1AF2的角平分线，则|AF2|＝________.

答案：6 三、解答题：

x2y2

11．(12分)(2011·江西)P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：a2－b2＝1(a>0，b>0)上一点，1M、N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为5.

(1)求双曲线的离心率；

(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，→→→

C为双曲线上一点，满足OC＝λOA＋OB，求λ的值．

c30解：(1)e＝a＝5. (2)λ＝0或λ＝－4.

12．(13分)(2011·辽宁)如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e.直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.

1

(1)设e＝2，求|BC|与|AD|的比值；

(2)当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由． 3

解：(1)|BC|:|AD|＝4. (2)t＝0时的l不符合题意，t≠0时，BO∥AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等时成立

基础巩固题目 椭圆、双曲线、抛物线

（2） 双曲线?x??y???的实轴长是

（A）2 (B)?? (C) 4 (D) 4? 【解析】选C.

(5) 在极坐标系中，点(?,??)到圆??2cos?的圆心的距离为

[来源:学#科#网]

（A）2 (B) 4??29 (C) 1??29（D) 3 【解析】选D.

（21）（本小题满分13分）

uuuruur设???，点A的坐标为（1,1），点B在抛物线y?x上运动，点Q满足BQ??QA，

?经

过Q点与Mx轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足

uuuruuurQM??MP,求点P的轨迹方程。

(3) 双曲线?x?y??的实轴长是

??解：点P的轨迹方程为y?2x?1.

（A）2 (B)?? (C) 4 (D) 4? 【解析】选C.

(4) 若直线?x?y?a??过圆x?y??x??y??的圆心,则a的值为

??（A）1 (B) 1 (C) 3 (D) 3

【解析】a?1. （17）（本小题满分13分）

设直线l1:y?k1x+1 ，l2:y=k2x?1，其中实数k1?k2满足k1k2+2?0，（I）证明l1与l2相交；

（II）证明l1与l2的交点在椭圆2x+y=1上.

证明：（I）反证法

223.在极坐标系中，圆???2sin?的圆心的极坐标是 A.(1,) B.(1,?) 【解析】：(1,??2?2 C.(1,0) D.(1,?)

?2)，选B。

x2?y2?1，过点（m，0）作圆x2?y2?1的切线l交椭圆G于A，B两19.已知椭圆G：4点。

（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率；

（2）将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值。

解：（Ⅰ）e?c3?. a2（Ⅱ）当m??3时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2.

8．已知点A（0,2），B（2,0）．若点C在函数y = x的图像上，则使得ΔABC的面积为2的点

C的个数为 A A．4 B．3 C．2 D．1

19．（本小题共14分）

x2y26已知椭圆G:2?2?1(a?b?0)的离心率为，右焦点为（22,0），斜率为I

ab3的直线l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（-3,2）.

（I）求椭圆G的方程；（II）求?PAB的面积.

x2y2??1. 解：（Ⅰ）椭圆G的方程为

124（Ⅱ）△PAB的面积S=

7．设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足PF1:F1F2:PF2=4:3:2，

则曲线r的离心率等于 A

A．或19|AB|?d?. 22123 2B．

2或2 3C．或2 D．或12233 217．（本小题满分13分）

已知直线l：y=x+m，m∈R。 （I）若以点M（2,0）为圆心的圆与直线l相切与点P，且点P在y轴上，求该圆的方程； （II）若直线l关于x轴对称的直线为l?，问直线l?与抛物线C：x2=4y是否相切？说明理由。

（I）圆的方程为(x?2)?y?8.

（II）当m=1时，直线l'与抛物线C相切；当m?1时，直线l'与抛物线C不相切。

2221.（2）（本小题满分7分）坐标系与参数方程

在直接坐标系xOy中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为

?x?3cos??． （?为参数）???y?sin?（I）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x

轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，

π），判断点P与直线l的位置关系； 2（II）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．

解：（I）点P在直线l上 （II）最小值为2.

11．设圆锥曲线G的两个焦点分别为F1、F2，若曲线G上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|

＝4：3：2，则曲线G的离心率等于A

13A.2或2

18.（本小题满分12分）

如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A。 （Ⅰ）求实数b的值；

（Ⅱ）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程。

解：（I）b=-1

（II）圆A的方程为(x?2)?(y?1)?4.

222123B．3或2 C．2或2 D．3或2

14.（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为

52??x?tx?5cos???(0≤?＜?)和4(t?R)，它们的交点坐标为 .????y?sin???y?t19.（本小题满分14分）

[来源:Zxxk.Com]

22设圆C与两圆（x+5）?y2?4,（x?5）?y2?4中的一个内切，另一个外切.

（1）求C的圆心轨迹L的方程. （2）已知点M(3545且P为L上动点，求MP?FP的最大值及 ，)，（F5，0），55此时点P的坐标.

x2?y2?1. （1）解：L的方程为4（2）解：最大值2。

21.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy上,给定抛物线L:y?12x.实数p,q满足p2?4q?0,x1,x2是方程4x2?px?q?0的两根,记?(p,q)?max{|x1|,|x2|}.12p0)(p0?0)作L的切线交y轴于点B.证明:对线段AB上的作一点Q(p,q),4|p|有?(p,q)?0;22（2）设M(a,b)是定点，其中a,b满足a?4b＞0，a≠0.过M(a,b)作L的两条切线(1)过点A(p0,l1,l2，切点分别为E(p1,121p1),E'(P2,P22)，l1,l2与y分别交于F,F'.线段EF上异于两44|P1|；

2端点的点集记为X.证明：M(a,b)?X?P1?P2??(a,b)??15?(3)设D??(x,y)y?x?1,y?(x?1)2??,当点（p,q）取遍D时，求44? ??（p,q）的最小值(记为?min)和最大值(记为?max).解：

（３）??max?

x5；??min?|0|min?1． 42

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