2008级《高等代数(1)》试卷A参考答案及评分标准

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重庆大学《高等代数(1)》参考答案

7. 设A为3级方阵,A?

116?1*,则(3A)?2A?? . 2272008~2009学年 第一学期

开课学院：数理学院 课程号：10021540

命题人： 8. 已知n级方阵A,B满足AB?0,且B?0,则A的行秩

考试日期： 2009-1-13 名姓 密 弊号学作 绝 拒 、 纪 考 肃 严 级、年信 守 实封 诚 、 争 竞 平班、公业专 线 院学考试方式：

考试时间： 120 分钟 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总 分 得 分

一、填空题（每小题3分, 共24分）：

1. 已知多项式f(x)?f1(x)d(x),g(x)?g1(x)d(x), 且(f(x),g(x))?d(x), 则

(f1(x),g1(x))? 1 . 2. 当m,p,q适合??m?q条件时,有x2?mx?1|x3?mq?p?1?0?px?q.

11113. 设多项式f(x)?12?2x144x2,则f(x)的根为1,2,?2. 18?8x3b10b34. 行列式000的所有元素的代数余子式之和等于a2b3?a1b3?a2b1. a1a205. 已知向量组?1?(1,4,3),?2?(2,k,?1),?3?(?2,3,1)线性相关,则参数k??3.

6.非齐次线性方程组??x1?x2??xn?a有解的充分必要条件是?2xb1?2x?2a .

2??2xn?b组二、计算题（共35分）：

题x人1aa： 1.(10分)计算n级行列式Dbx 2a n?,其中a?b.

bbbx审n题解：

人：x1a0x1aax1?a0a Dx20x 2a n?b?b?(xn?b)Dn?1?b?ax2?aa bbxn?bbbb00b命题n?1 ?(x时n?b)Dn?1?ib?1?(ix?. a) ……………………….. ……………(5分) 间：n?1 类似地，D n?Dn'?(xn?a)Dn?1?a? i?1(xi?b). ……………………(8分)

于是解得D1 n? b?a[b(x?a)?an??1ii?1(xi?b)]. ……………………(10分)

教?x1?x2?2x3务2.(15分)当参数?,?取何值时,线性方程组??1??x2?(??1)x3?1处

制? ?3x1??x2?x3???2 (1) 无解; (2) 有唯一解; (3) 有无穷多解并求其通解.

?112??1121解: 系数矩阵为A???0?1??1?, 增广矩阵A???0?1?1?.…(1分) ??3?1????1???3?1??2???

系数行列式|A|??(??2)(??4).………………………………………(3分) (1) 当???2且??4时, |A|?0, 故原方程组有唯一解. ………………(5分)

(2) 当??4时,

?1072??A??01?5?1???.

?000??? (i) 当??0时,R(A)?2?3?R(A), 故原方程组无解. ………………(7分) (ii) 当??0时,R(A)?R(A)?2?3,故有无穷多解. 原方程组的解为??x1?2?7x3?x, 于是有特解?0?(2,2??1?5x?1,0).

3 导出组的解为??x1??7x3?x, 故基础解系为?1?(?7,5,1).

2?5x3 故原方程组的通解为???0?k1?1. …………… …(10分) (3) 当???2时,

?1012?A???011?1??00??6?.

?0?? (i) 当??6时,R(A)?2?3?R(A), 故原方程组无解. ………………(12分) (ii) 当??6时,R(A)?R(A)?2?3,故有无穷多解. 原方程组的解为??x1?2?x3?x??1?x, 于是有特解?0?(2,?1,0). ………(15分)

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导出组的解为??x1??x3?x, 故基础解系为?1?(?1,?1,1).

2??x3 故原方程组的通解为???0?k1?1.

?2?1?2?3??3. (10分)已知矩阵A??0212???,且X?AX?A2?E,求矩阵X. ?0021??000?1??解: 由已知, (E?A)X?(E?A)(E?A). ………………(3分)

??1123?? 而E?A??0?1?1?2???可逆, ………………(6分) ?00?1?1??0002???3?1?2?3??故X?E?A???0312???. ………………(10分) ?0031??0000??

三、证明题(共41分)：

1.(8分)设f(x),p(x)?Q[x],且p(x)在Q上不可约,若f(x)与p(x)有一个公共复根,证明: p(x)|f(x).

证明：(反证)假设p(x)不整除f(x).由于p(x)是不可约, 故(f(x),p(x))?1, ………………(2分)

从而存在u(x),v(x)使得u(x)f(x)?v(x)p(x)?1. ………………(5分)

设a是p(x)和f(x)的公共复根,则代入上式得出矛盾. 故p(x)|f(x).…………(8分)

2.(8分)若xp?1?xp?2??x?1|f1(xp)?xfp2(x)??xp?2fp?1(xp),其中p是素

数.证明: x?1|fi(x),i?1,2,,p?1.

证明: 设??ei2?n是n次单位根,即有?n?1.于是

xp?1??x?1?(x??)x(??2)x?(?p?1. ………………)(2分) 由已知有

??f1(1)??f2(1)???p?2fp?1(1)?0??f22p?21(1)??f2(1)??(?)fp?1(1)?0………………(4分) ???f1(1)??p?1fp?12(1)??(?)p?2fp?1(1)?01??p?22又因为

1?2(?2)p??0,………………(6分)

1?p?1(?p?1)p?2故f1(1)?f2(1)??fp?1(1)?0.

从而x?1|fi(x),i?1,2,,p?1.………………(8分)

3. (9分)设A是实数域上的n级方阵,R(A)?r?n,X0是AX?0的非零解. 证明: R(A',X0)?r?1.(注:(A',X0)是A'添上列向量X0构成的n?(n?1)矩阵)

??A1?证明: 设A??A?2??, 则由AX0?0得A1X0?A2X0??AnX0.………(2分)

???A?n?重庆大学试卷 教务处07版 第 3 页 共 4 页

因为R(A)?r,故向量组A1,A2,,An的秩为r. 不妨设其极大无关组为

A1,A2,,Ar.则A1',A2',,Ar'也是A1',A2',,An'的极大无关组. …………(4分)

假设A1',A2',,Ar',X0线性相关,则有

X0?k1A1'?k2A2'??krAr'.

上式两端同时乘以X0'得

X0'X0?kX1'0A?'1kX2A'0?'2?krXAr'0?'.………………0(7分) 这与X0是不等于0的实向量矛盾.故A1',A2',,Ar',X0线性无关,从而是

A1',A2',,An',X0的一个极大无关组. 所以A1',A2',,An',X0的秩为r?1.

于是R(A',X0)?r?1.………………………………(9分)

4. (8分)设A是n级方阵(n?2). 证明: (A*)*?An?2A.

证明:

(1) 当|A|?0时,

因为AA*?|A|E, 所以A*?|A|A?1, |A*|?|A|n|A?1|?|A|n?1?0.

?1 于是(A*)*?|A*|(A*)?1?|A|n?1A|A|?|A|n?2A?1. ………………(4分) (2) 当|A|?0时,

(i) 当R(A)?n?1时, R(A*)?1. 于是 (A*)*?0?|A|n?2.…………(6分)

(ii) 当R(A)?n?1时, A*?0. 于是(A*)*?0?|A|n?2.………………(8分)

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5. (8分)证明

证明: 因为

A?BBA?A?iBA?iB，其中A,B为n级方阵, i是虚数单位.

?E?iE???A?B??E???E???BA???iE??A?iB???E??0?B?,………………(4分) ?A?iB?所以

A?B?E0ABAiEEB………………(8分)

?BEA?iE0A?iBE?0?BA?iB?|A?iB||A?iB|

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