高考专题训练(七) 三角恒等变换与解三角形

高考专题训练(七) 三角恒等变换与解三角形

A级——基础巩固组

一、选择题

?π?24

??，则sinα＋cosα＝( ) －，01．已知sin2α＝－25，α∈4??

1

A．－5 7C．－5

?

?

1B.5 7D.5 ?π?

解析 ∵α∈?－4，0?，∴cosα>0>sinα且cosα>|sinα|，则sinα＋cosα＝

1＋sin2α＝ 答案 B

2411－25＝5. ?π?1?π?

2．若sin?4＋α?＝3，则cos?2－2α?等于( )

????

42A.9 7C.9 ??42B．－9 7D．－9 ?π?解析 据已知可得cos?2－2α?＝sin2α ?π???π??7

＝－cos2?4＋α?＝－?1－2sin2?4＋α??＝－9. ?

?

?

?

??

答案 D

π??43π

3．(2014·河北衡水一模)已知sin?α＋3?＋sinα＝－5，－2<α<0，则

??2π??

cos?α＋3?等于( ) ??

4A．－5 4C.5

3B．－5

xkb1.com3D.5 π??43π??解析 ∵sinα＋3＋sinα＝－5，－2<α<0， ??3343

∴2sinα＋2cosα＝－5， 314∴2sinα＋2cosα＝－5.

2π??2π2π134∴cos?α＋3?＝cosαcos3－sinαsin3＝－2cosα－2sinα＝5. ??答案 C

4．(2014·江西卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，π

c.若c＝(a－b)＋6，C＝3，则△ABC的面积是( ) 2

2

A．3 33C.2 解析 ∵c2＝(a－b)2＋6， ∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.① 93B.2 D．33

ππ∵C＝3，∴c2＝a2＋b2－2abcos3＝a2＋b2－ab.② 由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6. 11333

∴S△ABC＝2absinC＝2×6×2＝2. 答案 C

5．(2014·江西七校联考)在△ABC中，若sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)sin(A＋C)，则△ABC的形状一定是( )

A．等边三角形 C．钝角三角形

B．不含60°的等腰三角形 D．直角三角形

解析 sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)sin(A＋C)＝1－2cosAsinB，∴sinAcosB－cosAsinB＝1－2cosA·sinB，∴sinAcosB＋cosAsinB＝1，即sin(A＋B)＝1，

π

则有A＋B＝2，故三角形为直角三角形． 答案 D

6．(2014·东北三省二模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，c－bsinAb，c，且＝，则B＝( ) c－asinC＋sinB

πA.6 πC.3

πB.4 3πD.4 c－babca

解析 由sinA＝2R，sinB＝2R，sinC＝2R，代入整理得＝?c2

c－ac＋b1π

－b＝ac－a，所以a＋c－b＝ac，即cosB＝2，所以B＝3，故答案为C.

2

2222答案 C 二、填空题 π?1?7．设θ为第二象限角，若tan?θ＋4?＝2，则sinθ＋cosθ＝________.

??

π?1＋tanθ1?1

解析 tan?θ＋4?＝＝，解得tanθ＝－3，又θ为第二象限角，

??1－tanθ21031010

得sinθ＝10，cosθ＝－10，所以sinθ＋cosθ＝－5. 10

答案 －5

8．(2014·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，1

已知b－c＝4a,2sinB＝3sinC，则cosA的值为________．

解析 由正弦定理得到边b，c的关系，代入余弦定理的变式求解即可．

[来源学#科#网Z#X#X#K]3由2sinB＝3sinC及正弦定理得2b＝3c，即b＝2c. 111

又b－c＝4a，∴2c＝4a，即a＝2c. x k b 1 . c o m922322c＋c－4c－4cb2＋c2－a241由余弦定理得cosA＝2bc＝＝＝－323c24. 2×2c1

答案 －4 9．(2014·四川卷)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，3≈1.73) X k B 1 . c o m

解析 根据图中给出的数据构造适当的三角形求解．

46根据已知的图形可得AB＝sin67°.在△ABC中，∠BCA＝30°，∠BAC＝ABBC4637°，由正弦定理，得sin30°＝sin37°，所以BC≈2×0.92×0.60＝60(m)．

答案 60

三、解答题

π???5?3

10．(2014·广东卷)已知函数f(x)＝Asin?x＋4?，x∈R，且f?12π?＝2. ????(1)求A的值；

π???3?3

(2)若f(θ)＋f(－θ)＝2，θ∈?0，2?，求f?4π－θ?.

?

?

?

?

xkb1.com?5π??5ππ?2π3

解 (1)f?12?＝Asin?12＋4?＝Asin3＝2， ????

32

∴A＝2·＝3.

3

π??

(2)由(1)得：f(x)＝3sin?x＋4?，

??

π?π??????∴f(θ)＋f(－θ)＝3sinθ＋4＋3sin－θ＋4? ????ππ??

?＝3sinθcos4＋cosθsin4?＋ ??ππ????sin?－θ?cos＋cos?－θ?sin344? ?π3＝23cosθsin4＝6cosθ＝2w W w .X k b 1.c O m

π??610??∴cosθ＝4，又∵θ∈0，2，∴sinθ＝4. ??π??3π??3π1030

∴f?4－θ?＝3sin?4－θ＋4?＝3sin(π－θ)＝3sinθ＝3×4＝4. ????11．(2014·辽宁卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，→·→＝2，cosB＝1，b＝3.求： 且a>c.已知BABC3

(1)a和c的值； (2)cos(B－C)的值．

→·→＝2，得c·解 (1)由BABCacosB＝2，

1

又cosB＝3，所以ac＝6.

由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accosB. 又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.

??ac＝6解?22，得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2. ??a＋c＝13

因a>c，所以a＝3，c＝2. (2)在△ABC中，sinB＝1－cos2B＝ ?1?221－?3?2＝3， ??c22242由正弦定理，得sinC＝bsinB＝3·3＝9. 因a＝b>c，所以C为锐角，因此cosC＝1－sinC＝ 于是cos(B－C)＝cosBcosC＋sinBsinC 17224223＝3·9＋3·9＝27. B级——能力提高组

1．(2014·重庆卷)已知△ABC的内角A，B，C满足sin2A＋sin(A－B＋1C)＝sin(C－A－B)＋2，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式一定成立的是( )

A．bc(b＋c)>8 C．6≤abc≤12

B．ab(a＋b)>162 D．12≤abc≤24

2?42?27

?＝. 1－?9?9?1

解析 由sin2A＋sin(A－B＋C)＝sin(C－A－B)＋2， 1

得sin2A＋sin[A－(B－C)]＋sin[A＋(B－C)]＝2， 1

所以sin2A＋2sinAcos(B－C)＝2.

1

所以2sinA[cosA＋cos(B－C)]＝2，

1

所以2sinA[cos(π－(B＋C)＋cos(B－C)]＝2， 1

所以2sinA[－cos(B＋C)＋cos(B－C)]＝2， 1

即得sinAsinBsinC＝8.

1

根据三角形面积公式S＝2absinC，①1

S＝2acsinB，② 1

S＝2bcsinA，③

1

因为1≤S≤2，所以1≤S≤8.将①②③式相乘得1≤S＝8

3

3

[来源:学。科。网Z。X。X。K]

a2b2c2sinAsinBsinC≤8，即64≤a2b2c2≤512，所以8≤abc≤162，故排除C，D选项，而根据三角形两边之和大于第三边，故b＋c>a，得bc(b＋c)>8一定成立，而a＋b>c，ab(a＋b)也大于8，而不一定大于162，故选A.

答案 A

2．(2014·课标全国卷Ⅰ)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，则△ABC面积的最大值为________．

解析 由正弦定理，可得(2＋b)(a－b)＝(c－b)·c. ∵a＝2，∴a2－b2＝c2－bc，即b2＋c2－a2＝bc. b2＋c2－a21

由余弦定理，得cosA＝2bc＝2. 3

∴sinA＝2.由b2＋c2－bc＝4，得b2＋c2＝4＋bc. ∵b2＋c2≥2bc，即4＋bc≥2bc，∴bc≤4.

1

∴S△ABC＝2bc·sinA≤3，即(S△ABC)max＝3. 答案

3

3．(2014·河北唐山统考)在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且4sin

2B＋C

7

2－cos2A＝2.

(1)求角A的大小；

(2)若BC边上高为1，求△ABC面积的最小值． 解 (1)因为A＋B＋C＝π， B＋Cπ－AA

所以sin2＝sin2＝cos2， A7

所以由已知得4cos22－cos2A＝2， 7变形得2(1＋cosA)－(2cosA－1)＝2，2

2w W w .X k b 1.c O m 1

整理得(2cosA－1)＝0，解得cosA＝2. π

因为A是三角形的内角，所以A＝3.

111133(2)△ABC的面积S＝2bcsinA＝2×sinC×sinB×2＝4sinBsinC. 设y＝4sinBsinC， ?2π???＝23sinBcosB＋2sin2B＝3sin2B＋1－cos2B＝－B则y＝4sinBsin3??π??

??2B－2sin6?＋1. ?

π2ππ因为0

πππ3

故当2B－＝，即B＝时，S的最小值为.

623新课标第一网系列资料 www.xkb1.com

3

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/vw7.html