2007~2010新课标宁夏吉林海南卷（理）数学

2007年普通高等学校招生全国统一考试（宁夏卷）

数学（理科）试卷

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。第II卷第22题为选考题，其他题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上。

2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。 参考公式：

样本数据x1，x2，?，xn的标准差

锥体体积公式

s?1[(x1?x)2?(x2?x)2???(xn?x)2] n

V?1S h3其中x为样本平均数 柱体体积公式

V=Sh

其中S为底面面积、h为高 球的表面积、体积公式

S?4πR2，V?43πR 3其中S为底面面积，h为高

其中R为球的半径

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知命题p:?x?R，sinx≤1，则（ ）

A．?p:?x?R，sinx≥1 B．?p:?x?R，sinx≥1 C．?p:?x?R，sinx>1 D．?p:?x?R，sinx>1

2．已知平面向量a=（1，1），b（1，－1），则向量

A．（－2，－1） B．（－2，1） C．（－1，0） D．（－1，2） 3．函数y?sin?2x?

??? 2?? 313a?b?（ ） 22??π??π?在区间的简图是（ ） ?，π???3??2?y y 1 1 ? x

? ?? ?3O 2O ? 6A． ?1 ? 6? x

y ? ?1B ． y ?? 6?? 21 ? ? O ?62? 31 x ?1 C． O D?1 ． ? 3? x

4．已知{an}是等差数列，a10=10，其前10项和S10=70，则其公差d=（ ）

A．?B．?2 31 3C．

1 32 3D．

5．如果执行右面的程序框图，那么输出的S=（ ）

A．2450 B．2500 C．2550 D．2652

6．已知抛物线y2?2px(p?0)的焦点为F，点P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3）在抛物线上，且2x2=x1+x3， 则有（ ）

A．FP1?FP2?FP3 B．FP1?FP222?FP3

2C．2FP2?FP1?FP3 D．FP22?FP·FP3 1(a?b)27．已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值

cd是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．4

8．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（ ）

A．

40003cm 380003cm 3B．

C．2000cm3 D．4000cm3

9．若

cos2?2，则cos??sin?的值为（ ） ??π2??sin????4??1177 B．? C． D．

22221x2A．?10．曲线y?eA．

在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）

92e 2B．4e2 C．2e2 D．e2

11．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表 甲的成绩

环数 7 8 9 10 频数 5 5 5 5

乙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 6 4 4 6 丙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 4 6 6 4

s 1，s 2，s 3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）

A．s 3>s 1>s 2 B．s 2>s 1>s3 C．s 1>s 2>s3 D．s 2>s3>s1

12．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等。设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h1，h2，h，则h1:h2:h?（ ）

A．3:1:1 B．3:2:2 C．3:2:2 D．3:2:3

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 。 14．设函数f(x)?(x?1)(x?a)为奇函数，则a= 。

x?5?10i? 。（用a+bi的形式表示，a，b?R）

3?4i15．i是虚数单位，

16．某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有 种。（用数字作答）

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分12分）

如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D。现测得?BCD??，?BDC??，CD=s，并在点C测得塔顶A的仰角为?，求塔高AB。

18．（本小题满分12分）

如图，在三棱锥S—ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，?BAC?90°，O为BC中点。

（Ⅰ）证明：SO?平面ABC； （Ⅱ）求二面角A—SC—B的余弦值。

19．（本小题满分12分）

x2?y2?1有两在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，2)且斜率为k的直线l与椭圆2

个不同的交点P和Q。

（Ⅰ）求k的取值范围；

（Ⅱ）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向

????????????量OP?OQ与AB共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由。

20．（本小题满分12分）

如图，面积为S的正方形ABCD中有一个不规则的图形M，可按下面方法估计M的面积：在正方形ABCD中随机投掷n个点，若n个点中有m个点落入M中，则M的面积的估计值为

mS，假设正方形ABCD的边长为2，M的面积为1，并向正方形ABCD中随机n投掷10000个点，以X表示落入M中的点的数目。

（Ⅰ）求X的均值EX；

（Ⅱ）求用以上方法估计M的面积时，M的面积的估计值与实际值之差在区间（－0.03，，0.03）内的概率。

附表：P(k)??Ct?0kt10000?0.25t?0.7510000?t

2425 0.0423 2574 0.9570 2575 0.9590 K P（k）

2424 0.0403 21．（本小题满分12分）

设函数f(x)?ln(x?a)?x

（Ⅰ）若当x=－1时，f（x）取得极值，求a的值，并讨论f（x）的单调性； （Ⅱ）若f（x）存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于ln

2e。 2

22．请考生在A、B、C三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。

A（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B、C两点，圆心O在?PAC的内部，点M是BC的中点。

（Ⅰ）证明A，P，O，M四点共圆； （Ⅱ）求?OAM??APM的大小。

B（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为??4cos?，???4sin?。 （Ⅰ）把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程。

C（本小题满分10分）选修4－5；不等式选讲设函数f(x)?2x?1?x?4。

（Ⅰ）解不等式f（x）>2； （Ⅱ）求函数y= f（x）的最小值。

2007年普通高等学校招生全国统一考试（宁夏卷）

数 学（理科）

参考答案

一、选择题

1．C 2．D 3．A 4．D 5．C 6．C

7．D 8．B 9．C 10．D 11．B 12．B

二、填空题

13．3 14．?1 15．1?2i 16．240

三、解答题

17．解：在△BCD中，?CBD?π???? 由正弦定理得

BCCD?

sin?BDCsin?CBD所以BC?CDsin?BDCs?sin??

sin?CBDsin(???)s?tan?sin?

sin(???)在Rt△ABC中，AB?BCtan?ACB?

18．证明：

（Ⅰ）由题设AB=AC=SB=SC?SA，连结OA，△ABC为等腰直角三角形，所以

OA?OB?OC?2O?BC，BC为等腰三角形，SA，且A又△S故SO?BC， 且

2SO?2SA，从而OA2?SO2?SA2 2所以△SOA为直角三角形，SO?AO

又AO?BO?O． 所以SO?平面ABC （Ⅱ） 解法一：

，OM取SC中点M，连结AM，由（Ⅰ）知SO?OC，SA?AC，得

OM?S，CA?M S∴?OMA为二面角A?SC?B的平面角．

由AO?BC，AO?SO，SO?BC?O得AO?平面SBC

所以AO?OM，又AM?3SA， 2故sin?AMO?AO26 ??AM333 3所以二面角A?SC?B的余弦值为

解法二：

以O为坐标原点，射线OB，OA分别为x轴、y轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系O?xyz．

，0，0)，则C(?1，0，，0)A(01，，，0)S(0，01)， 设B(1?11?SC的中点M??，0，?，

22??z ??????1?1??????11????MO??，0，??，MA??，1，??，SC?(?1，0，?1)2?2??2?2

S M ?????????????????∴MO·SC?0，MA·SC?0

O A y C

?????????故MO?SC，MA?SC，

23、（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

??x?x?cos??已知曲线C1：?，曲线C：2(?为参数)???y?sin??y???2t?22(t为参数)。 2t2（1）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；

（2）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C1'，C2'。写出

C1'，C2'的参数方程。C1'与C2'公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？

说明你的理由。

24、（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知函数f(x)?|x?8|?|x?4|。（1）作出函数y?f(x)的图像；（2）解不等式

|x?8|?|x?4|?2。

2008年普通高等学校统一考试（宁夏卷）

数学（理科）参考答案——由潘老师录入

一、选择题 1．Ｃ 2．Ｄ 7．Ｄ 8．Ｂ 二、填空题 13．3 14．?1 三、解答题

3．Ａ 9．Ｃ

4．Ｄ 10．Ｄ

5．Ｃ 11．Ｂ

6．Ｃ 12．Ｂ

15．1?2i

16．240

17．解：在△BCD中，?CBD?π????． 由正弦定理得所以BC?BCCD． ?sin?BDCsin?CBDCDsin?BDCs·sin??．

sin?CBDsin(???)s·tan?sin?．

sin(???)在Rt△ABC中，AB?BCtan?ACB?18．证明：

（Ⅰ）由题设AB=AC=SB=SC?SA，连结OA，△ABC为等腰直角三角形，所以

OA?OB?OC?2SA，且AO?BC，又△SBC为等腰三角形，故SO?BC，且2SO?2，从而OA2?SO2?SA2． SA2所以△SOA为直角三角形，SO?AO． 又AO?BO?O． 所以SO?平面ABC． （Ⅱ）解法一：

取SC中点M，连结AM，O，M由（Ⅰ）知

． OM?，SC?AM∴?OMA为二面角A?SC?B的平面角．

SO?，得，OC?SA由AO?BC，AO?SO，SO?BC?O得AO?平面SBC． 所以AO?OM，又AM?3SA， 2故sin?AMO?AO26． ??AM333． 3所以二面角A?SC?B的余弦值为

解法二：

以O为坐标原点，射线OB，OA分别为x轴、y轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系

O?xyz．

，，0)，则C(?10，，，0)A(010)，，，S(0，01，)． 设B(10??1?1??????11?????11?????0，??，MA??，1，??，SC?(?1，0，?1)． 0，?，MO??，SC的中点M??，2?2??2?2?22??????????????????∴MO·SC?0，MA·SC?0．

?????????故MO?SC，MA?SC，

??????????????????MO·MA3cos?MO，MA????????????，

3MO·MA所以二面角A?SC?B的余弦值为3． 319．解：（Ⅰ）由已知条件，直线l的方程为y?kx?2，

x2代入椭圆方程得?(kx?2)2?1．

2整理得??12?2?k?x?22kx?1?0 ① 2???122?2??8k?4?k?4k?2?0， Q直线l与椭圆有两个不同的交点P和等价于???2???2??222?∞，???，?∞?解得k??或k?．即k的取值范围为?． ?????2222????????????（Ⅱ）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则OP?OQ?(x1?x2，y1?y2)，

由方程①，x1?x2??42k． ② 21?2k又y1?y2?k(x1?x2)?22． ③

????而A(2，，0)B(01)，，AB?(?21)，．

所以OP?OQ与AB共线等价于x1?x2??2(y1?y2)，

????????????

将②③代入上式，解得k?2． 2由（Ⅰ）知k??

20．解：

22或k?，故没有符合题意的常数k． 22每个点落入M中的概率均为p?依题意知X~B?10000，?． （Ⅰ）EX?10000?1

． 4

??1?4?1?2500． 4（Ⅱ）依题意所求概率为P??0.03???X??4?1?0.03?，

10000?X??P??0.03??4?1?0.03??P(2425?X?2575)

10000??2574?t?24262574?Ct10000?0.25t?0.7510000?t

2425t?0?t?2426?Ct10000?0.25?0.75t10000?tt??C10000?0.25t?0.7510000?1

?0.9570?0.0423?0.9147．

21．解： （Ⅰ）f?(x)?1?2x， x?a3． 2依题意有f?(?1)?0，故a?2x2?3x?1(2x?1)(x?1)f?(x)??从而． 33x?x?223?3??∞?，当??x??1时，f?(x)?0； f(x)的定义域为??，2?2?当?1?x??当x??1时，f?(x)?0； 21时，f?(x)?0． 2

?1?，?∞?单调增加，在区间??1，?从而，f(x)分别在区间??，??，2x2?2ax?1，∞?)，f?(x)?（Ⅱ）f(x)的定义域为(?a．

x?a方程2x2?2ax?1?0的判别式??4a2?8． （ⅰ）若??0，即?（ⅱ）若??0，则a??3?2??1??2????1??单调减少． 2?2?a?2，在f(x)的定义域内f?(x)?0，故f(x)的极值． 2或a??2．

(2x?1)2若a?2，x?(?2． ，∞?)，f?(x)?x?2当x??无极值．

??2??22?2，???，?∞时，f?(x)?0，当x??时，f?(x)?0，所以f(x)???????2??22??(2x?1)2若a??2，x?(2?0，f(x)也无极值． ，∞?)，f?(x)?x?2（ⅲ）若??0，即

20两个不同的实根a?2或a??2，则2x?2ax?1?有

?a?a2?2，?a?a2?2．

x1?x2?22当a??值． 当a?2时，x1??a，x2??a，从而f?(x)有f(x)的定义域内没有零点，故f(x)无极2时，x1??a，x2??a，f?(x)在f(x)的定义域内有两个不同的零点，由根值

判别方法知f(x)在x?x1，x?x2取得极值．

?∞)． 综上，f(x)存在极值时，a的取值范围为(2，f(x)的极值之和为

1ef(x1)?f(x2)?ln(x1?a)?x12?ln(x2?a)?x22?ln?a2?1?1?ln2?ln．

2222．Ａ

（Ⅰ）证明：连结OP，OM．

因为AP与?O相切于点P，所以OP?AP． 因为M是?O的弦BC的中点，所以OM?BC．

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