2007~2010新课标宁夏吉林海南卷(理)数学
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2007年普通高等学校招生全国统一考试(宁夏卷)
数学(理科)试卷
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。第II卷第22题为选考题,其他题为必考题。考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的准考证号、姓名,并将条形码粘贴在指定位置上。
2.选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或炭素笔书写,字体工整,笔迹清楚。
3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损。
5.作选考题时,考生按照题目要求作答,并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。 参考公式:
样本数据x1,x2,?,xn的标准差
锥体体积公式
s?1[(x1?x)2?(x2?x)2???(xn?x)2] n
V?1S h3其中x为样本平均数 柱体体积公式
V=Sh
其中S为底面面积、h为高 球的表面积、体积公式
S?4πR2,V?43πR 3其中S为底面面积,h为高
其中R为球的半径
第I卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知命题p:?x?R,sinx≤1,则( )
A.?p:?x?R,sinx≥1 B.?p:?x?R,sinx≥1 C.?p:?x?R,sinx>1 D.?p:?x?R,sinx>1
2.已知平面向量a=(1,1),b(1,-1),则向量
A.(-2,-1) B.(-2,1) C.(-1,0) D.(-1,2) 3.函数y?sin?2x?
??? 2?? 313a?b?( ) 22??π??π?在区间的简图是( ) ?,π???3??2?y y 1 1 ? x
? ?? ?3O 2O ? 6A. ?1 ? 6? x
y ? ?1B . y ?? 6?? 21 ? ? O ?62? 31 x ?1 C. O D?1 . ? 3? x
4.已知{an}是等差数列,a10=10,其前10项和S10=70,则其公差d=( )
A.?B.?2 31 3C.
1 32 3D.
5.如果执行右面的程序框图,那么输出的S=( )
A.2450 B.2500 C.2550 D.2652
6.已知抛物线y2?2px(p?0)的焦点为F,点P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)在抛物线上,且2x2=x1+x3, 则有( )
A.FP1?FP2?FP3 B.FP1?FP222?FP3
2C.2FP2?FP1?FP3 D.FP22?FP·FP3 1(a?b)27.已知x>0,y>0,x,a,b,y成等差数列,x,c,d,y成等比数列,则的最小值
cd是( )
A.0 B.1 C.2 D.4
8.已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积是( )
A.
40003cm 380003cm 3B.
C.2000cm3 D.4000cm3
9.若
cos2?2,则cos??sin?的值为( ) ??π2??sin????4??1177 B.? C. D.
22221x2A.?10.曲线y?eA.
在点(4,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )
92e 2B.4e2 C.2e2 D.e2
11.甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次,三人的测试成绩如下表 甲的成绩
环数 7 8 9 10 频数 5 5 5 5
乙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 6 4 4 6 丙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 4 6 6 4
s 1,s 2,s 3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差,则有( )
A.s 3>s 1>s 2 B.s 2>s 1>s3 C.s 1>s 2>s3 D.s 2>s3>s1
12.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱,这个四棱锥的底面为正方形,且底面边长与各侧棱长相等,这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等。设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h1,h2,h,则h1:h2:h?( )
A.3:1:1 B.3:2:2 C.3:2:2 D.3:2:3
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分,第13题-第21题为必考题,每个试题考生都必须做答,第22题为选考题,考生根据要求做答。
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。
13.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2,焦点到渐近线的距离为6,则该双曲线的离心率为 。 14.设函数f(x)?(x?1)(x?a)为奇函数,则a= 。
x?5?10i? 。(用a+bi的形式表示,a,b?R)
3?4i15.i是虚数单位,
16.某校安排5个班到4个工厂进行社会实践,每个班去一个工厂,每个工厂至少安排一个班,不同的安排方法共有 种。(用数字作答)
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分12分)
如图,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D。现测得?BCD??,?BDC??,CD=s,并在点C测得塔顶A的仰角为?,求塔高AB。
18.(本小题满分12分)
如图,在三棱锥S—ABC中,侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形,?BAC?90°,O为BC中点。
(Ⅰ)证明:SO?平面ABC; (Ⅱ)求二面角A—SC—B的余弦值。
19.(本小题满分12分)
x2?y2?1有两在平面直角坐标系xOy中,经过点(0,2)且斜率为k的直线l与椭圆2
个不同的交点P和Q。
(Ⅰ)求k的取值范围;
(Ⅱ)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B,是否存在常数k,使得向
????????????量OP?OQ与AB共线?如果存在,求k值;如果不存在,请说明理由。
20.(本小题满分12分)
如图,面积为S的正方形ABCD中有一个不规则的图形M,可按下面方法估计M的面积:在正方形ABCD中随机投掷n个点,若n个点中有m个点落入M中,则M的面积的估计值为
mS,假设正方形ABCD的边长为2,M的面积为1,并向正方形ABCD中随机n投掷10000个点,以X表示落入M中的点的数目。
(Ⅰ)求X的均值EX;
(Ⅱ)求用以上方法估计M的面积时,M的面积的估计值与实际值之差在区间(-0.03,,0.03)内的概率。
附表:P(k)??Ct?0kt10000?0.25t?0.7510000?t
2425 0.0423 2574 0.9570 2575 0.9590 K P(k)
2424 0.0403 21.(本小题满分12分)
设函数f(x)?ln(x?a)?x
(Ⅰ)若当x=-1时,f(x)取得极值,求a的值,并讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)若f(x)存在极值,求a的取值范围,并证明所有极值之和大于ln
2e。 2
22.请考生在A、B、C三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。作答时,用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。
A(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,已知AP是⊙O的切线,P为切点,AC是⊙O的割线,与⊙O交于B、C两点,圆心O在?PAC的内部,点M是BC的中点。
(Ⅰ)证明A,P,O,M四点共圆; (Ⅱ)求?OAM??APM的大小。
B(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为??4cos?,???4sin?。 (Ⅰ)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)求经过⊙O1,⊙O2交点的直线的直角坐标方程。
C(本小题满分10分)选修4-5;不等式选讲设函数f(x)?2x?1?x?4。
(Ⅰ)解不等式f(x)>2; (Ⅱ)求函数y= f(x)的最小值。
2007年普通高等学校招生全国统一考试(宁夏卷)
数 学(理科)
参考答案
一、选择题
1.C 2.D 3.A 4.D 5.C 6.C
7.D 8.B 9.C 10.D 11.B 12.B
二、填空题
13.3 14.?1 15.1?2i 16.240
三、解答题
17.解:在△BCD中,?CBD?π???? 由正弦定理得
BCCD?
sin?BDCsin?CBD所以BC?CDsin?BDCs?sin??
sin?CBDsin(???)s?tan?sin?
sin(???)在Rt△ABC中,AB?BCtan?ACB?
18.证明:
(Ⅰ)由题设AB=AC=SB=SC?SA,连结OA,△ABC为等腰直角三角形,所以
OA?OB?OC?2O?BC,BC为等腰三角形,SA,且A又△S故SO?BC, 且
2SO?2SA,从而OA2?SO2?SA2 2所以△SOA为直角三角形,SO?AO
又AO?BO?O. 所以SO?平面ABC (Ⅱ) 解法一:
,OM取SC中点M,连结AM,由(Ⅰ)知SO?OC,SA?AC,得
OM?S,CA?M S∴?OMA为二面角A?SC?B的平面角.
由AO?BC,AO?SO,SO?BC?O得AO?平面SBC
所以AO?OM,又AM?3SA, 2故sin?AMO?AO26 ??AM333 3所以二面角A?SC?B的余弦值为
解法二:
以O为坐标原点,射线OB,OA分别为x轴、y轴的正半轴,建立如图的空间直角坐标系O?xyz.
,0,0),则C(?1,0,,0)A(01,,,0)S(0,01), 设B(1?11?SC的中点M??,0,?,
22??z ??????1?1??????11????MO??,0,??,MA??,1,??,SC?(?1,0,?1)2?2??2?2
S M ?????????????????∴MO·SC?0,MA·SC?0
O A y C
?????????故MO?SC,MA?SC, 23、(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 ??x?x?cos??已知曲线C1:?,曲线C:2(?为参数)???y?sin??y???2t?22(t为参数)。 2t2(1)指出C1,C2各是什么曲线,并说明C1与C2公共点的个数; (2)若把C1,C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲线C1',C2'。写出 C1',C2'的参数方程。C1'与C2'公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同? 说明你的理由。 24、(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数f(x)?|x?8|?|x?4|。(1)作出函数y?f(x)的图像;(2)解不等式 |x?8|?|x?4|?2。 2008年普通高等学校统一考试(宁夏卷) 数学(理科)参考答案——由潘老师录入 一、选择题 1.C 2.D 7.D 8.B 二、填空题 13.3 14.?1 三、解答题 3.A 9.C 4.D 10.D 5.C 11.B 6.C 12.B 15.1?2i 16.240 17.解:在△BCD中,?CBD?π????. 由正弦定理得所以BC?BCCD. ?sin?BDCsin?CBDCDsin?BDCs·sin??. sin?CBDsin(???)s·tan?sin?. sin(???)在Rt△ABC中,AB?BCtan?ACB?18.证明: (Ⅰ)由题设AB=AC=SB=SC?SA,连结OA,△ABC为等腰直角三角形,所以 OA?OB?OC?2SA,且AO?BC,又△SBC为等腰三角形,故SO?BC,且2SO?2,从而OA2?SO2?SA2. SA2所以△SOA为直角三角形,SO?AO. 又AO?BO?O. 所以SO?平面ABC. (Ⅱ)解法一: 取SC中点M,连结AM,O,M由(Ⅰ)知 . OM?,SC?AM∴?OMA为二面角A?SC?B的平面角. SO?,得,OC?SA由AO?BC,AO?SO,SO?BC?O得AO?平面SBC. 所以AO?OM,又AM?3SA, 2故sin?AMO?AO26. ??AM333. 3所以二面角A?SC?B的余弦值为 解法二: 以O为坐标原点,射线OB,OA分别为x轴、y轴的正半轴,建立如图的空间直角坐标系 O?xyz. ,,0),则C(?10,,,0)A(010),,,S(0,01,). 设B(10??1?1??????11?????11?????0,??,MA??,1,??,SC?(?1,0,?1). 0,?,MO??,SC的中点M??,2?2??2?2?22??????????????????∴MO·SC?0,MA·SC?0. ?????????故MO?SC,MA?SC, ??????????????????MO·MA3cos?MO,MA????????????, 3MO·MA所以二面角A?SC?B的余弦值为3. 319.解:(Ⅰ)由已知条件,直线l的方程为y?kx?2, x2代入椭圆方程得?(kx?2)2?1. 2整理得??12?2?k?x?22kx?1?0 ① 2???122?2??8k?4?k?4k?2?0, Q直线l与椭圆有两个不同的交点P和等价于???2???2??222?∞,???,?∞?解得k??或k?.即k的取值范围为?. ?????2222????????????(Ⅱ)设P(x1,y1),Q(x2,y2),则OP?OQ?(x1?x2,y1?y2), 由方程①,x1?x2??42k. ② 21?2k又y1?y2?k(x1?x2)?22. ③ ????而A(2,,0)B(01),,AB?(?21),. 所以OP?OQ与AB共线等价于x1?x2??2(y1?y2), ???????????? 将②③代入上式,解得k?2. 2由(Ⅰ)知k?? 20.解: 22或k?,故没有符合题意的常数k. 22每个点落入M中的概率均为p?依题意知X~B?10000,?. (Ⅰ)EX?10000?1 . 4 ??1?4?1?2500. 4(Ⅱ)依题意所求概率为P??0.03???X??4?1?0.03?, 10000?X??P??0.03??4?1?0.03??P(2425?X?2575) 10000??2574?t?24262574?Ct10000?0.25t?0.7510000?t 2425t?0?t?2426?Ct10000?0.25?0.75t10000?tt??C10000?0.25t?0.7510000?1 ?0.9570?0.0423?0.9147. 21.解: (Ⅰ)f?(x)?1?2x, x?a3. 2依题意有f?(?1)?0,故a?2x2?3x?1(2x?1)(x?1)f?(x)??从而. 33x?x?223?3??∞?,当??x??1时,f?(x)?0; f(x)的定义域为??,2?2?当?1?x??当x??1时,f?(x)?0; 21时,f?(x)?0. 2 ?1?,?∞?单调增加,在区间??1,?从而,f(x)分别在区间??,??,2x2?2ax?1,∞?),f?(x)?(Ⅱ)f(x)的定义域为(?a. x?a方程2x2?2ax?1?0的判别式??4a2?8. (ⅰ)若??0,即?(ⅱ)若??0,则a??3?2??1??2????1??单调减少. 2?2?a?2,在f(x)的定义域内f?(x)?0,故f(x)的极值. 2或a??2. (2x?1)2若a?2,x?(?2. ,∞?),f?(x)?x?2当x??无极值. ??2??22?2,???,?∞时,f?(x)?0,当x??时,f?(x)?0,所以f(x)???????2??22??(2x?1)2若a??2,x?(2?0,f(x)也无极值. ,∞?),f?(x)?x?2(ⅲ)若??0,即 20两个不同的实根a?2或a??2,则2x?2ax?1?有 ?a?a2?2,?a?a2?2. x1?x2?22当a??值. 当a?2时,x1??a,x2??a,从而f?(x)有f(x)的定义域内没有零点,故f(x)无极2时,x1??a,x2??a,f?(x)在f(x)的定义域内有两个不同的零点,由根值 判别方法知f(x)在x?x1,x?x2取得极值. ?∞). 综上,f(x)存在极值时,a的取值范围为(2,f(x)的极值之和为 1ef(x1)?f(x2)?ln(x1?a)?x12?ln(x2?a)?x22?ln?a2?1?1?ln2?ln. 2222.A (Ⅰ)证明:连结OP,OM. 因为AP与?O相切于点P,所以OP?AP. 因为M是?O的弦BC的中点,所以OM?BC.
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