201503东莞一模文科数学试题及答案

东莞市2015届高三模拟试题(一)

文科数学

一、选择题：本大题共10 小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求.

1.若集合A=x|x?1，x?R，B=?x|x?0，x?R?，则A?B=

A. ?x|?1?x?1? B. ?x|x?0? C. ?x|0?x?1? D. ?

2．已知复数z1?2?i，z2?1?ai，a?R，若z = z1?z2在复平面上对应的点在虚轴上，则a的值是 A．-

??11 B． C．2 D．-2 22n3．已知数列?an?的通项公式是an???1??n?1?，则a1?a2?a3???a10?

A．?55 B．?5 C．5 D．55

?2x?y?10?4.若x,y满足约束条件?0?x?4,则z?4x?3y的最小值为

?0?y?8?A．20 B．22 C．24 D．28

5．在回归分析中，残差图中纵坐标为 A.残差 B.样本编号 C.x D.μyi 6．如图所示的程序框图运行的结果是

_11 B． 2012201320112012C． D．

20122013A．

7．函数y?Asin(?x??)的部分图像如图所示，则其解析式可以是 A．y?3sin(2x?C．y?3sin(x?

?3) B．y??3sin(2x??3)

121?) D．y??3sin(x?) 12212? 1

8．已知抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C交于A，B两点，若P?2,2?为

AB的中点，则抛物线C的方程为

A．y2?4x B. y2?－4x C. x2?4y D. y2?8x

3，4，2个暖瓶去打开水，热水龙头只有一个。要使他们打完水所花9. A,B,C,D四位同学分别拿着5，的总时间（含排队、打水的时间）最少，他们打水的顺序应该为 A. D，B，C，A

B. A,B,C,D

C. A,C,B,D

D. 任意顺序

10．对任意实数x,y，定义运算x?y?ax?by?cxy，其中a,b,c是常数，等式右边的运算是通常

的加法和乘法运算。已知1?2?3,2?3?4，并且有一个非零常数m，使得对任意实数x,都有x?m?x，则m的值是

A.4 B.?4 C.?5 D.6

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只需选做

其中一题，两题全答的，只以第一小题计分．）

（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题都必须做答。 11．若f(x)?1?a是奇函数，则a? ． x2?112．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的

等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体 的体积是 ．

13．已知直线l:x?2y?k?1?0被圆C:x?y?4所截

22正视图 侧视图

????????得的弦长为2，则OA?OB的值为 ．

（二）选做题（14—15题，考生只能从中选做一题） 14.（几何证明选讲选做题）如图，圆O是?ABC的

外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，

俯视图

CDOBACD?27，AB?BC?3，则AC? ．

15.（坐标系与参数方程选做题）已知在极坐标系下，点A(1 , )，B(3 , ?32?)，O是极点，则?AOB3的面积等于 ．

2

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（本题满分12分）

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c（其中a?b?c），设向量m?，（cosB，sinB）??n?(0,??3)，且向量m?n为单位向量．

（1）求∠B的大小；

（2）若b?3,a?1，求△ABC的面积．

17．（本小题满分14分）

?如图，平行四边形ABCD中，CD?1，?BCD?60，且BD?CD，正方形ADEF和平面

ABCD垂直，G,H是DF,BE的中点．

（1）求证：BD?平面CDE； （2）求证：GH//平面CDE； （3）求三棱锥D?CEF的体积．

B F G E

A H D

C 3

18．（本题满分12分）

某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下左图所示.

（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图； （2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？ （3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求第4组至少有一名学生被考官A面试的概率？

第5组 [180,185] 10 合计 100 0.100 1.000 第2组 第3组 第4组 频率分布表 组号 第1组 分组 频数 频率 5 ① 30 20 0.050 0.350 ② 0.200 ?160,165? ?165,170? ?170,175? ?175,180? 4

19．（本题满分14分）

f(n)*已知函数f(x)?log3(ax?b)的图象经过点A(2,1)和B(5,2)，记an?3,n?N.

（1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn?

5

an,Tn?b1?b2???bn，若Tn?m(m?Z)对n?N*恒成立，求m的最小值. n2

．（本题满分14分）

如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N 在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e， 直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵 坐标从大到小依次为A，B，C，D． （1）设e?12，求BC与AD的比值； （2）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．6

20

21.（本小题满分14分）

已知函数f(x)?lnx?ax?1?a?1(a?R)． x（1）当a??1时，求曲线y?f(x)在点(2,f(2))处的切线方程； （2）当a?1时，讨论f(x)的单调性. 2

7

东莞市2015届高三文科数学模拟试题(一)

参考答案

一、选择题

1～5：CDCBA； 6～10：DBABA 二、填空题

31? 13．2 14．37 15.33 11. 12．6224三、解答题

16．（本题满分12分）

??????解：（1）?m?n?(cosB,sinB?3),|m?n|?1 --------------------2分

∴cos2B?(sinB?3)2?1,sinB?3 --------------------4分 2又B为三角形的内角，由a?b?c，故B??3 --------------------6分

（2）根据正弦定理，知

ab13?，即， ??sinAsinBsinAsin3∴sinA??1，又a?b?c，∴A? --------------------9分

62故C＝

?13，△ABC的面积＝ab? ----------------------12分 22217．（本题满分14分）

（1）证明：平面ADEF?平面ABCD，交线为AD

F G E

?ED?AD

∴ED?平面ABCD ----------2分 ∴ED?BD

又?BD?CD

∴BD?平面CDE --------4分 （2）证明：连结EA，则G是AE的中点

8

B A H D

C ∴?EAB中，GH//AB ---------------6分 又?AB//CD ∴GH//CD

∴GH//平面CDE -------------8分

（3）解：设Rt?BCD中BC边上的高为h 依题意：

11?2?h??1?3 22 ∴h?3 23 ---------------10分 2 即：点C到平面DEF的距离为

∴VD?CEF?VC?DEF?

18．（本题满分12分）

1133 -----------------14分 ??2?2??3223解：（1）由题可知，第2组的频数为0.35?100?35人, ……………… 1分

第3组的频率为

30?0.300, ……………… 2分 100频率分布直方图如下: ……………… 5分

9

（2）因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别为：

30?6?3人, ……… 6分 6020?6?2人, ……… 7分 第4组:6010?6?1人, ……… 8分 第5组:60第3组:

所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人。

（3）设第3组的3位同学为A1,A2,A3,第4组的2位同学为B1,B2,第5组的1位同学为C1,

则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下:

(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1), …………

… 10分

第4组至少有一位同学入选的有:

(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(B1,B2),(A3,B2),(B1,C1),(B2,C1),9种可

能。 所以其中第4组的2位同学为B1,B2至少有一位同学入选的概率为12分

19．（本题满分14分）

93?………… 155?log3(2a?b)?1?a?2解：（1）由题意得?，解得?， …………3分

b??1log(5a?b)?2??3?f(x)?log3(2x?1)

（2）由（1）得bn?an?3lo3g(2n?1)?2n?1,n?N* ………6分

2n?1， n21352n?32n?1?Tn?1?2?3???n?1?n ①

222221132n?52n?32n?1Tn?2?3???n?1??n?1 ② n222222①-②得

10

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