全国高中数学竞赛讲义-直线和圆、圆锥曲线（练习题）

§18直线和圆，圆锥曲线

课后练习

1．已知点A为双曲线x2?y2?1的左顶点，点B和点C在双曲线的右支上，?ABC是等边三角形，则?ABC的面积是

333 （B） （C）33 （D）63 32542．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y?x?的距离中的最小值是

35113434（A） （B） （C） （D）

203017085（A）

3．若实数x, y满足(x + 5)2+(y – 12)2=142，则x2+y2的最小值为 (A) 2 (B) 1 (C)

3 (D) 2

xyx2y2??1相交于A，4．直线??1椭圆B两点，该圆上点P，使得⊿PAB面积等于3，

43169这样的点P共有

(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 5．设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax－y＋b＝0和曲线bx2＋ay2＝ab的图形是

y x y x y x y x A B C D 6．过抛物线y2＝8(x＋2)的焦点F作倾斜角为60o的直线，若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中垂线与x轴交于P点，则线段PF的长等于

A．

16 3B．

8 3C．

163 3D．83

x2y27．方程??1表示的曲线是

sin2?sin3cos2?cos3A. 焦点在x轴上的椭圆 C. 焦点在y轴上的椭圆 8．在椭圆

B. 焦点在x轴上的双曲线 D. 焦点在y轴上的双曲线

x2a2?y2b2?1(a?b?0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B。

5?1，则?ABF= 。 2若该椭圆的离心率是

x2y2??1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1| : |PF2|＝2 : 1，则9．设F1，F2是椭圆94三角形?PF1F2的面积等于______________．

10．在平面直角坐标系XOY中，给定两点M（－1，2）和N（1，4），点P在X轴上移动，当?MPN取最大值时，点P的横坐标为___________________。

11．若正方形ABCD的一条边在直线y?2x?17上，另外两个顶点在抛物线y?x2上.则该正方形面积的最小值为 .

12．已知C0：x?y?1和C1：?2?1(a?b?0)。试问：当且仅当a,b满足什么

222x2y2ab条件时，对C1任意一点P，均存在以P为顶点、与C0外切、与C1内接的平行四边形？并证明你的结论。

x2213． 设曲线C1:2?y?1(a为正常数)与C2:y2=2(x+m)在x轴上方公有一个公共点P。

a（1）实数m的取值范围（用a表示）；

（2）O为原点，若C1与x轴的负半轴交于点A，当0

1时，试求⊿OAP的面积的最大值2（用a表示）。

14．已知点A(0,2)和抛物线y2?x?4上两点B,C使得AB?BC，求点C的纵坐标的取值范围．

15．一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A，且OA＝a. 拆叠纸片，使圆周上某一点A/ 刚好与A点重合，这样的每一种拆法，都留下一条直线折痕，当A/取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合．

16．（04，14）在平面直角坐标系xoy中，给定三点A(0,),B(?1,0),C(1,0)，点P到直线BC的距离是该点到直线AB，AC距离的等比中项。 （Ⅰ）求点P的轨迹方程；

（Ⅱ）若直线L经过?ABC的内心（设为D），且与P点的轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围。

17．过抛物线y?x上的一点A（1,1）作抛物线的切线，分别交x轴于D，交y轴于B.点C在抛物线上，点E在线段AC上，满足

243AEBF??1;点F在线段BC上，满足??2，且ECFC?1??2?1，线段CD与EF交于点P.当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程.

课后练习答案

1.C 2.B 3.B 4.B 5.B 6.A 7.C 8.90o 9.

23 310.设椭圆的长轴、短轴的长及焦矩分别为2a、2b、2c，则由其方程知a＝3，b＝2，c＝5，故，|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又已知[PF1|：|PF2|＝2：1，故可得|PFl|＝4，|PF2|＝2．在△PFlF2中，三边之长分别为2，4，25，而22＋42＝(25)2，可见△PFlF2是直角三角形，且两直角边的长为2和4，故△PFlF2的面积＝4．

11. 解：经过M、N两点的圆的圆心在线段MN的垂直平分线y=3－x上，设圆心为 S（a，3－a），则圆S的方程为：(x?a)2?(y?3?a)2?2(1?a2)

对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，所以，当

?MPN取最大值时，经过M，N，P三点的圆S必与X轴相切于点P，即圆S的方程中的a

值必须满足2(1?a2)?(a?3)2,解得 a=1或a=－7。

即对应的切点分别为P(1,0)和P'(?7,0)，而过点M，N，p'的圆的半径大于过点M，

N，P的圆的半径，所以?MPN??MP'N，故点P（1，0）为所求，所以点P的横坐标为1。

12.解：设正方形的边AB在直线y?2x?17上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为

C(x1,y1)、D(x2,y2)，则CD所在直线l的方程y?2x?b,将直线l的方程与抛物线方程

联立，得x2?2x?b?x1,2?1?b?1.

令正方形边长为a,则a2?(x1?x2)2?(y1?y2)2?5(x1?x2)2?20(b?1).① 在y?2x?17上任取一点（6，,5），它到直线y?2x?b的距离为a,?a?|17?b|5②.

2①、②联立解得b1?3,b2?63.?a2?80,或a2?1280.?amin?80.

13.利用极坐标解决：以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为

1?2?cos2?a2?sin2?b2------（1）

显知此平行四边形ABCD必为菱形，设A(?1,?)，则B(?2,90???) 代入（1）式相加：

1?12?1?22?1a2?1b2

由于该菱形必与单位圆相切，故原点到AB的距离为1，

∴?1?1?1??12??22，从而

1?12?1?22?1，∴

1a2?1b2?1

?x22?2?y?114. 解：(1)由?a 消去y得：x2?2a2x?2a2m?a2?0 ①

?y2?2(x?m)? 设f(x)?x2?2a2x?2a2m?a2，问题(1)化为方程①在x∈(－a，a)上有唯一解或等根． 只需讨论以下三种情况：

a2?1 1°△＝0得：m?，此时xp＝－a2，当且仅当－a＜－a2＜a，即0＜a＜1时适

2合；

2°f (a)f (－a)＜0，当且仅当－a＜m＜a；

3°f (－a)＝0得m＝a，此时xp＝a－2a2，当且仅当－a＜a－2a2＜a，即0＜a＜1时适合．

f (a)＝0得m＝－a，此时xp＝－a－2a2，由于－a－2a2＜－a，从而m≠－a． a2?1 综上可知，当0＜a＜1时，m?或－a＜m≤a；

2 当a≥1时，－a＜m＜a．

(2)△OAP的面积S? ∵0＜a＜

1ayp 21，故－a＜m≤a时，0＜?a2?aa2?1?2m＜a， 2 由唯一性得 xp??a2?aa2?1?2m

显然当m＝a时，xp取值最小．由于xp＞0，从而yp＝1?x2pa2取值最大，此时

yp?2a?a2，∴S?aa?a2．

a2?11 当m?时，xp＝－a2，yp＝1?a2，此时S?a1?a2．

221 下面比较aa?a2与a1?a2的大小：

211 令aa?a2?a1?a2，得a?

23111 故当0＜a≤时，aa?a2≤a1?a2，此时Smax?a1?a2．

232111 当?a?时，aa?a2?a1?a2，此时Smax?aa?a2．

23215.解：设B点坐标为(y1?4,y1)，C点坐标为(y?4,y)．

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