2009届全国名校真题模拟专题训练9-立体几何解答题3(数学)

2009届全国名校真题模拟专题训练09

立体几何

三、解答题(第三部分) 51、(河南省开封市2008届高三年级第一次质量检)如图PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB ，PD 的中点。 （1）求证：AF//平面PCE ；

（2）若二面角P —CD —B 为45°，AD=2，CD=3，求点F 到平

面PCE 的距离。

证：（1）取PC 中点M ，连ME ，MF

∵FM//CD ，FM=CD 21，AE//CD ，AE=CD 21

∴AE//FN ，且AE=FM ，即四边形AFME 是平行四边形

∴AE//EM ，

∵AF ?平面PCE ?AF//平面PCE

解：（2）∵PA ⊥平面AC ，CD ⊥AD ，

∴CD ⊥PD

∴∠PDA 是二面角P —CD —B 的平面角，

∴∠PDA=45°

∴△PAD 是等腰Rt ∠，而EM//AF 。

又∵AF ⊥CD

∴AF ⊥面PCD ，而EM//AF

∴EM ⊥面PCD

又EM ?面PEC ，

∴面PEC ⊥面PCD

在面PCD 内过F 作FH ⊥PC 于H 则FH 为点F 到面PCE 的距离

由已知PD=17,221,22===PC PD PF

∵△PFH ∽△PCD ∴PC CD

PF FH = ∴1734

3=FH

52、(河南省濮阳市2008年高三摸底考试)如图，在多面体ABCDE 中，AE ⊥面ABC ，BD ∥AE ，且AC ＝AB ＝BC ＝BD ＝2，AE ＝1，F 为CD 中点．

(1)求证：EF ⊥面BCD ；

(2)求面CDE 与面ABDE 所成的二面角的余弦值．

错误！未找到引用源。

53、(河南省许昌市2008年上期末质量评估)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1＝BC＝2，且M是BC的中点，点N在CC1上．

(Ⅰ)试确定点N的位置，使AB1⊥MN；

(Ⅱ)当AB1⊥MN时，求二面角M－AB1－N的大小．

A

B

C

A 1

B 1

C 1

O

54、(黑龙江省哈尔滨九中2008年第三次模拟考试)已知斜三棱柱111C B A ABC -的

各棱长均为2， 侧棱1BB 与底面ABC 所成角为

3

π，

且侧面⊥11A ABB 底面ABC .

（1）证明：点1B 在平面ABC 上的射影O 为AB 的中点； （2）求二面角B AB C --1的大小 ； （3）求点1C 到平面A CB 1的距离.

（1）证明：过B 1点作B 1O ⊥BA 。∵侧面ABB 1A 1⊥底面ABC ∴A 1O ⊥面ABC ∴∠B 1BA 是侧面BB 1与底面ABC 倾斜角

∴∠B 1BO=

3

π 在Rt △B 1OB 中，BB 1=2，∴BO=

2

1BB 1=1

又∵BB 1=AB ，∴BO=2

1AB ∴O 是AB 的中点。

即点B 1在平面ABC 上的射影O 为AB 的中点

…………4分

（2）连接AB 1过点O 作OM ⊥AB 1，连线CM ，OC ，

∵OC ⊥AB ，平面ABC ⊥平面AA 1BB 1 ∴OC ⊥平面AABB 。

错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。

∴OM 是斜线CM 在平面AA 1B 1B 的射影 ∵OM ⊥AB 1 ∴AB 1⊥CM ∴∠OMC 是二面角C —AB 1—B 的平面角 在Rt △OCM 中，OC=3，OM=

2tan ,2

3==

∠∴OM

OC OMC

∴∠OMC=cosC+sin2

∴二面角C —AB 1—B 的大小为.2arctan

…………8分

（3）过点O 作ON ⊥CM ，∵AB 1⊥平面OCM ，∴AB 1⊥ON

∴ON ⊥平面AB 1C 。∴ON 是O 点到平面AB 1C 的距离

5152

152

332

8433.2

3,3,=

?=

?=

∴=

+

=

∴=

=

?CM

OC OM ON CM OM OC OMC Rt 中在

连接BC 1与B 1C 相交于点H ，则H 是BC 1的中点 ∴B 与C 1到平面ACB 1的相导。

又∵O 是AB 的中点 ∴B 到平面AB 1C 的距离 是O 到平面AB 1C 距离的2倍 是G 到平面AB 1C 距离为

.5

152 …………12分

55、(黑龙江省哈师大附中2008届高三上期末)如图，正方形ABCD 中，AC ∩BD ＝O,PO ⊥平面ABCD ，PO ＝AD ＝3，点E 在PD 上，PE ：ED=2：1。

（1）证明：PD ⊥平面EAC ；

（2）求二面角A —PD —C 的余弦值； （3）求点B 到平面PDC 的距离。 解：（1）

EAC PD PD CE PD AC 平面⊥??

??

⊥⊥

（2）∠CEA 为二面角A —PD —C 的平面角，5

1cos -

=∠CEA

（3）点B 到平面PDC 的距离为5

152

56、(湖北省八校高2008第二次联考)如图，已知四棱锥S A B C D -中，SA D ?是边长为a 的正三角形，平面SA D ⊥平面A B C D ，四边形A B C D 为菱形，60D A B ∠= ，P 为A D 的中点，Q 为S B 的中点.

（Ⅰ）求证：//P Q 平面SC D ； （Ⅱ）求二面角B P C Q --的大小． 解：（1）证明取SC 的中点R ，连QR, DR .

由题意知：PD ∥BC 且PD =1

2BC ;

S Q

D A

B

P

C

QR ∥BC 且QP =1

2

BC ,

∴QR ∥PD 且QR=PD . ∴PQ ∥DR , 又PQ ?面SCD , ∴PQ ∥面SCD . …………（6分）

（2）法一：连接SP ，,,.SP A D SC D A B C D SP A B C D ⊥⊥∴⊥ 面面面

,P B H Q H Q H A B C D

Q H SP ∴⊥取的中点，连，得面 .

,,1133,

2

2

2

4

3790,,.

2

2

H G P C G Q G Q G H Q H S P a a P B C P B C P B a B C a P C a ⊥∠=

?

=

?∠==

=∴=

作于连由三垂线定理知：即为所求二面角的平面角.

而＝

在中，

33sin 4

72

7

2a H G P H B P C a a

a

∴=?∠=

?

=.

3

74tan 2

32

7

a Q H Q G H H G

a

∴∠=

==，

B P

C Q ∴--二面角的大小为7arctan

.2

…………（12分）

（2）法二：以P 为坐标原点，PA 为x 轴，PB 为y 轴，PS 为z 轴建立空间直角坐标系，

则S （30,0,

2a

），B （30,

,0

2

a ）,C （3,

,0

2

a a -），Q （330,

,

4

4

a a

）.

面PBC 的法向量为P S

=

（30,0,2a

）,设(,,)

n

x y z =

为面PQC 的一个法向量，

由3300344(,3,3)

2030

4a y a z n P Q n n P C a x a y ??+=???=????=-???=??

-+=????

，

cos 3222,11

11

33311

2

2

a

n P S a -<>=

=-=-

?

，

B P

C Q ∴--二面角的大小为211arcco s

.11

…………（12分）

57、(湖北省三校联合体高2008届2月测试)如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1

中，AD=AA 1=1，AB=2，点E 在棱AB 上移动. （1）证明：D 1E ⊥A 1D ；

（2）当E 为AB 的中点时，求点A 到面ECD 1的距离； （3）AE 等于何值时，二面角D 1—EC —D 的大小为

4

π.

（1）证明：连1A D ，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，1A D 为1D E 在平面1A D 的射影， 而AD=AA 1=1，则四边形11A D D A 是正方形11A D A D ?⊥， 由三垂线定理得D 1E ⊥A 1D ……………3分

（2）解：以点D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴建立如图所示的直角坐标系。则(1,0,0)A

(1,1,0)E 、(1,2,0)B 、(0,2,0)C 、1(0,0,1)D 则(0,1,0)A E = ，(1,1,0)E C =-

，

1(0,2,1)D C =- ，设平面1D E C 的法向量为1(,,)n x y z =

∴11100

::1:1:2200n E C x y x y z y z n D C ??=-+=????=??-=?=?

??

，记1(1,1,2)n = ∴

点A 到面ECD 1的距离11||16

6||6

A E n d n ?===

……………7分

（3）解：设0(1,,0)E y 则0(1,2,0)E C y =-- ，设平面1D E C 的法向量为1(,,)n x y z =

∴

100110(2)0

::(2):1:2200n E C x y y x y z y y z n D C ??=-+-=????=-??-=?=?

??

，记10((2),1,2)n y =- 而平面ECD 的法向量2(0,0,1)n = ，则二面角D 1—EC —D 的平面角12,4

n n π

θ=<>=

∴120222

12022

co s 232||||(2)121

n n y n n y θ?===?=-?-++? 。

∴

当AE=23-

时，二面角D 1—EC —D 的大小为

4

π。……………12分

58、(湖北省鄂州市2008年高考模拟)(湖北省鄂州市2008年高考模拟)在正三角形ABC 中，E 、

F 、P 分别是AB 、AC 、BC 边上的点，满足

A E E B

=12

C F C P F A

P B

==（如图1）.将△AEF 沿

EF 折起到EF A 1?的位置，使二面角A 1－EF －B 成直二面角，连结A 1B 、A 1P （如图2） （Ⅰ）求证：A 1E ⊥平面BEP ；

（Ⅱ）求直线A 1E 与平面A 1BP 所成角的大小；

（Ⅲ）求二面角B －A 1P －F 的大小（用反三角函数表示）.

图1

图

2

Ｅ Ｂ

Ｐ Ｃ

Ｆ 错误A

P

F E

C

B

Ｄ

解：不妨设正三角形A B C 的边长为3，则

（1）在图1中，取B E 中点D ，连结D F ，

则∵

12

A E C F C P E B

F A

P B =

==, ∴2A F A D ==而0

60A ∠=，即△

A D F 是正三角形

又∵1A E E D ==, ∴E F A D ⊥ ∴在图2中有1A E E F ⊥,B E E F ⊥, ∴1A E B ∠为二面角1A E F B --的平面角 ∵二面角1A E F B --为直二面角, ∴1A E B E ⊥

又∵B E E F E = , ∴1A E ⊥平面B E F ,即1A E ⊥平面B E P .

（2）由（1）问可知A 1E ⊥平面BEP ，BE ⊥EF,建立如图的坐标系，则Ｅ（0，0，0），A 1（0，0，1）B （2，0，0），F （0，0，3）.在图１中，不难得到ＥF//ＤP 且ＥF ＝ＤP ；ＤＥ// FP 且ＤＥ＝FP

故点Ｐ的坐标Ｐ（1，3，0）

∴1(2,0,1)A B =- ，(1,

3,0)B P =-

，1(0,0,1)E A =

不妨设平面A 1BP 的法向量1(,,)n x y z = ，则1112030

A B n x z B P n x y ??=-=?

??=-=??

令3y =

得1(3,

3,6)n =

∴11111163

co s ,2||||143

n E A n E A n E A ?<>===??

故直线A 1E 与平面A 1BP 所成角的大小为

3

π.

（3）由（2）问可知平面A 1BP 的法向量1(3,

3,6)n =

，1(0,

3,1)A F =-

，(1,0,0)F P =

设平面AEP 的法向量2(,,)n x y z = ，则12130

A F n y z

B P n x ??=-=???==??

令3y =

得2(0,

3,3)n =

故121212217

co s ,8||||4323

n n n n n n ?<>===??

显然二面角B －A 1P －F 为钝角 故二面角B －A 1P －F 为7arcco s

8

π-.

错误！未找到引用源。

【方法探究】本题属于翻折问题，在翻折前的图１中易证E Ｆ⊥AB ，而翻折后保持这一垂直关系，并且易证1A E B E ⊥，从而有“三条直线两两垂直”，所以本例可以建立坐

标系，利用空间向量求解.

【技巧点拨】本题属于翻折问题，这是高考的热点题型. 求解翻折问题的策略是对比翻折前后，分析变与不变，一般地有：（1）分析翻折前后点的变化，注意点与点的重合问题以及点的位置的改变；（2）分析翻折前后长度与角度的变化，注意利用平面图形解决空间的线段长度以及空间角的大小；（3）若翻折后，线与线仍同在一个平面内，则它们的位置关系不发生任何变化；若翻折后，线与线由同一平面转为不同平面，则应特别注意点的位置变化.

59、(湖北省黄冈市麻城博达学校2008届三月综合测试)在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是a 的正方形，

PA ⊥平面ABCD ，且PA=2AB

（Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面PBD ；

（Ⅱ）求二面角B —PC —D 的余弦值.

解：（Ⅰ）证明：∵P A ⊥平面ABCD ∴PA ⊥BD

∵ABCD 为正方形 ∴AC ⊥BD

∴BD ⊥平面PAC 又BD 在平面BPD 内，

∴平面PAC ⊥平面BPD 6分

（Ⅱ）解法一：在平面BCP 内作BN ⊥PC 垂足为N ，连DN ，

∵Rt △PBC ≌Rt △PDC ，由BN ⊥PC 得DN ⊥PC ；

∴∠BND 为二面角B —PC —D 的平面角，

在△BND 中，BN=DN=

a 65，BD=a 2 ∴cos ∠BND =5135

26

5

652222-=-+a a a a

解法二：以A 为原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空

间坐标系如图，在平面BCP 内作BN ⊥PC 垂足为N 连DN ，

∵Rt △PBC ≌Rt △PDC ，由BN ⊥PC 得DN ⊥PC ；

∴∠BND 为二面角B —PC —D 的平面角 设)2,,(λλλλa a a PC PN -==

65

)2)(22()()(0

)2,,()

22,,(=∴=-+-++-=?∴⊥-=+--=-=λλλλλλλa a a a a a a a PC BN PC BN a a a PC a a a a a PB PN BN 即 )3,6,65

(),3,65

,6(a

a

a ND a

a a

NB -=--=∴ 10分

5

136

309

36536

5|

|||cos 2

2

2

2

-

=+

--=

?=

∠∴a

a

a

a

ND NB ND NB BND 12分

解法三：以A 为原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图空间坐标系，作AM ⊥PB 于M 、AN ⊥PD 于N ，易证AM ⊥平面PBC ，AN ⊥平面PDC ， 设)2,0,(a a PB PB

PM -== λ

)

52,54,0(),

52,

0,54(5

40,))1(2,0,()

2,0,(a a AN a a AM PB AM PB AM a a PA PM AM a a PM ===

∴=?∴⊥+-=-=-=∴同理λλλλλ

5

12520254|

|||cos 2

2

=

=?=

∠a

a AN AM AN AM MAN

∵二面角B —PC —D 的平面角与∠MAN 互补 ∴二面角B —PC —D 的余弦值为5

1-

12分

60、(湖北省黄冈中学2008届高三第一次模拟考试)四棱锥S —ABCD 中，底面

ABCD

为平行四边形，侧面

SB C ⊥

底面ABCD . 已知

45,2,22

,3.

A B C A B B C S A S B ∠=====

（1）证明SA

B C

⊥；

（2）求直线SD 与平面SAB 所成角的大小.

解法一：（1）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SB C ⊥底面ABCD ，得SO ⊥

底面ABCD .

因为SA=SB ，所以AO=BO . 又45A B C ∠=

，故A O B ?为等腰直角三角形，.A O B O ⊥ 由三垂线定理，得.SA BC ⊥

（2）由（1）知S A B C ⊥，依题设A D B C ，故S A A D ⊥，由22,3,2A D B C S A A O ====，得1,11.S O S D == 所以S A B ?的面积

2

2

111(

)

2.

2

2

S A B S A A B =

-= 连结DB ，得

D A

B ?的面积

21s i n 1

352.2

S A B A D =

=

设D 到平面SAB 的距离为h ，由D SAB

S ABD

V

V --=，

得

12

113

3

h S S O S =

，解得 2.

h

=

设SD 与平面SAB 所成角为α，则222sin .11

11

h S D

α=

=

=

所以直线SD 与平面SAB 所成的

角为22arcsin

.11

解法二：（1）作S O B C ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SB C ⊥

底面ABCD ，得SO ⊥平面ABCD . 因为SA=SB ，所以AO=BO . 又45A B C ∠=

，AO B ?为等腰直角三角形，.A O B O ⊥ 如图，以O 为坐标原点，OA 为x 轴正向，建立直角坐标

系O —xyz ，

(2,0,0),(0,2,0),(0,2,0),(0,0,1),A B C S -

(2,0,1),(0,22,0),0SA C B SA C B =-==

，所以.SA BC ⊥

（2）取AB 中点E ，

22(

,

,0)

22

E . 连结SE ，取SE 中点G ，连结OG ，

221

22

1

22

(

,

,),(

,

,

),(

,

,1),(2,2,0).44244222G O G S E A B ==-=-

0,0SE O G A B O G ==

，OG 与平面SAB 内两条相交直线SE 、AB 垂直，所以O G ⊥

平面

SAB .O G D S

与的夹角记为α，SD 与平面SAB 所成的角记为β，则α与β互余.

2222

(2,22,0),(2,22,1),co s ,sin ,1111||||

O G D S D D S O G D S αβ-=-===

所以直线SD 与平面SAB 所成的角为22arcsin

.11

61、(湖北省荆州市2008届高中毕业班质量检测)如图：在三棱锥P A B C -中，P B ⊥面

A B C ，A B C ?是直角三角形，90A B C ∠=

，2A B B C ==，45P A B ∠=

，点D E F 、、

分别为A C A B B C 、、的中点。 ⑴求证：E F P D ⊥；

⑵求直线P F 与平面P B D 所成的角的大小； ⑶求二面角E P F B --的正切值。

解：⑴连结B D 。在A B C ?中，90A B C ∠=

A B B C =，点D 为A C 的中点，∴B D A C ⊥

又 P B ⊥面A B C ，即B D 为P D 在平面A B C 内的射影 ∴P D A C ⊥

E F 、分别为A B B C 、的中点∴//E F A C

∴E F P D ⊥

⑵ P B ⊥面A B C ，∴

P B E F ⊥

连结B D 交E F 于点O ， ,E F P B E F P D ⊥⊥，

∴E F ⊥平面P B D

∴F P O ∠为直线P F 与平面P B D 所成的角，且E F P O ⊥

P B ⊥面A B C ，∴,P B A B P B B C ⊥⊥，又 45P A B ∠=

∴

2P B A B ==， 124

2

O F A C =

=

，

F

E

D

C

B

A

P

P

M

O

F

E

D

C

B

A

∴225P F P B B F =+=

∴在R t F P O ?中，10sin 10O F

F P O P F ∠==，∴10arcsin 10F P O ∠=

⑶过点B 作B M P F ⊥于点F ，连结E M ， ,A B P B A B B C ⊥⊥，

∴

A B ⊥面P B C ，即B M 为E M 在平面P B C 内的射影 ∴

E M P

F ⊥，∴E M B ∠为二面角E P F B --的平面角 R t P B F ?中，25P B B F

B M P F

?==， ∴5

tan 2E B

E M B B M ∠==

（其他解法根据具体情况酌情评分）

62、(湖北省随州市2008年高三五月模拟)如图，在底面为平行四边形的四棱锥P A B C D -中，,A B A C P A A B C D ⊥⊥平面，且

P A A B =,点E 是P D 的中点。 ⑴求证：A C P B ⊥；

⑵求证：P B A E C ∥平面；

⑶求二面角E A C B --的大小。

A B P D C

E

63、(湖北省武汉市武昌区2008届高中毕业生元月调研测试)如图,四棱锥ABCD

P-的底面是边长为a的菱形,

60

=

∠DAB,⊥

PD平面

ABCD,

AD

PD=.

（Ⅰ）求直线PB与平面PDC所成的角的正切值;

（Ⅱ）求二面角A－PB－D的大小.

解：（Ⅰ）取DC的中点E.

∵ABCD是边长为a的菱形,

60

=

∠DAB，∴BE⊥

CD.

∵⊥

PD平面ABCD, BE?平面ABCD，∴⊥

PD

BE.

∴BE⊥平面PDC.∠BPE为求直线PB与平面PDC所成的角. ……………………3分

∵BE=3

2a，PE=

5

2

a,∴tan B P E

∠=

B E

P E

=

15

5

. ……………………………6分

（Ⅱ）连接AC、BD交于点O，因为ABCD是菱形，所以AO⊥BD.

∵⊥

PD平面ABCD, AO?平面ABCD，

∴A O⊥PD. ∴AO⊥平面PDB.

作OF⊥PB于F，连接AF，则AF⊥PB.

故∠AFO就是二面角A－PB－D的平面角. ……………………………9分

∵AO=3

2a，OF=

2

4

a，∴tan

A O

A F O

O F

∠==6.

A B

C

D

P

∴AFO ∠=arctan 6. ……………………………12分

64、(湖南省十二校2008届高三第一次联考)已知在四棱锥P 一ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AD=1，AB=2，E 、F 分别是AB 、PD 的中点．

（Ⅰ）求证：AF ∥平面PEC ；

（Ⅱ）求PC 与平面ABCD 所成角的大小；

（Ⅲ）求二面角P 一EC 一D 的大小． 解：（Ⅰ）取PC 的中点O ，连结OF 、

OE ．∴FO ∥DC ，且FO=1

2DC ∴FO ∥AE ……………………2分 又E 是AB 的中点．且AB=DC ．∴FO=AE ．

∴四边形AEOF 是平行四边形．∴AF ∥O E

又OE ?平面PEC ，AF ?平面PEC

∴AF ∥平面PEC

（Ⅱ）连结AC

∵PA ⊥平面ABCD ，∴∠PCA 是直线PC 与平

面ABCD 所成的角……………………6分

在Rt △P A C 中，1

5tan 55P A

P C A A C ∠===

即直线PC 与平面ABCD 所成的角大小为5

arctan 5 ……………………9分

（Ⅲ）作AM ⊥CE ，交CE 的延长线于M ．连结PM ，由三垂线定理．得PM ⊥CE ∴∠PMA 是二面角P —EC —D 的平面角． ……………………11分

由△AME ∽△CBE ，可得2

2A M =，∴tan 2P A

P M A A M ∠==

∴二面角P 一EC 一D 的大小为arctan 2 ……………………13分

解法二：以A 为原点，如图建立直角坐标系，

则A （0．0，0），B （2，0，0），C （2，l ，0），

D （0，1，0），F （0，

12，12），E （1，0，0）， P （0，0，1）

（Ⅰ）取PC 的中点O ，连结OE ，则O （1，

12，12），

1111(0,,),(0,,)2222

A F E O == ∴A F E O ……………………5分 又OE ?平面PEC ，AF ?平面PEC ，∴AF ∥平面PEC ………………… 6分

（Ⅱ）由题意可得(2,1,1)P C =- ，平面ABCD 的法向量(0,0,1)P A =- P A D

B C F E

16co s ,6||||6P A P C P A P C P A P C ?<>===

即直线PC 与平面ABCD 所成的角大小为-2π

6

arccos 6 …………9分

（Ⅲ）设平面PEC 的法向量为(,,),(1,0,1),(1,1,0)m x y z P E E C ==-=

则00m P E m E C ??=???=??

，可得00

x z x y -=??+=?，令1z =-，则(1,1,1)m =-- ……11分 由（2）可得平面ABCD 的法向量是(0,0,1)P A =-

13co s ,3||||3

m P A m P A m P A ?<>=== ∴二面角P 一EC 一D 的大小为3

arcco s 3 ……………………13分

65、(湖南省长沙市一中2008届高三第六次月考)在直三棱柱111C B A ABC -中，A 1A=AB=32，AC=3，

P CAB ,90?=∠、Q 分别为棱BB 1、CC 1上的点，且

1132,31

CC CQ BB BP ==.

（1）求平面APQ 与面ABC 所成的锐二面角的大小.

（2）在线段A 1B （不包括两端点）上是否存在一点M ，使AM+MC 1最小？ 若存在，求出最小值；若不存在，说明理由.

解：（1）建立如图所示空间直角坐标系A ),,(z y x

A （0，0，0），P （32，0，2），Q （0，3，22）. 设平面APQ 的一个法向量为),,(1z y x n =

?????=+?=?=+?=?.

02230.0223011z y AQ n z x AP n 令3=z ，则)3,22,1(,22,11--=∴-=-=n y x

平面ABC 的一个法向量).1,0,0(2=n

错误！未找到引用源。 .22

9813),cos(21=++=∴n n

∴平面APQ 与面ABC 所成的锐角大小为45°.…………………………………………（6分） （1）问也用传统方法求解.（并参照计分）

（2）沿A 1B 将面A 1BC 1与面A 1BA 展开，连结AC 1与A 1B 交于点M ，此时AM+MC 1有最小值. ∵,45,,90111?=∠∴=?=∠AB A AB AA AB A 又C 1A 1⊥面ABB 1A 1，∴C 1A 1⊥A 1B.

∴△AA 1C 1中，∠AA 1C 1=135°

AC 1=.5318918135cos C A 211112121=++=???-+AA C A AA

∴存在点M ，使AM+AC 1取最小值为.53………………………………………（12分） 66、(湖南省雅礼中学2008年高三年级第六次月考)如图，棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的所有棱长都等于2，∠ABC =60°，平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ，∠A 1AC =60°。

（Ⅰ）证明：BD ⊥AA 1；

（Ⅱ）求二面角D —A 1A —C 的平面角的余弦值；

（Ⅲ）在直线CC 1上是否存在点P ，使BP //平面DA 1C 1？若存在，求出点P 的位置；若不存在，说明理由。 解：连接BD 交AC 于O ，则BD ⊥AC ，

连接A 1O

在△AA 1O 中，AA 1=2，AO=1，

∠A 1AO=60°

∴A 1O 2=AA 12+AO 2－2AA 1·Aocos60°=3

∴AO 2+A 1O 2=A 12

∴A 1O ⊥AO ，由于平面AA 1C 1C ⊥

平面ABCD ，

所以A 1O ⊥底面ABCD

∴以OB 、OC 、OA 1所在直线为x 轴、

y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，

则A （0，－1，0），B （3，0，0），C （0，1，0），D （－3，0，0），A 1（0，0，3）

……2分

（Ⅰ）由于)0,0,32(-=BD

)3,1,0(1=AA

则00301)32(01=?+?+-?=?BD AA

∴BD ⊥AA 1 ……………………4分 （Ⅱ）由于OB ⊥平面AA 1C 1C

∴平面AA 1C 1C 的法向量)0,0,1(1=n

设2n ⊥平面AA 1D

则),,(2212z y x n AD

n AA n =?????⊥⊥设

得到)1,3,1(03032-=?????=+-=+n y x z y 取 (6)

分

55||||,cos 212121=??>=<∴n n n n n n

所以二面角D —A 1A —C 的平面角的余弦值是55

……………………8分

（Ⅲ）假设在直线CC 1上存在点P ，使BP//平面DA 1C 1 设),,(,1z y x P CC CP λ= 则)3,1,0(),1,(λ=-z y x 得)3,1,3()3,1,0(κλλλ+-=+BP P ……………………9分 设113C DA n 平面⊥ 则?????⊥⊥1

3113DA n C A n 设),,(3333z y x n = 得到)1,0,1(0

33023333-=?????=+=n z x y 不妨取 ……………………10分 又因为//BP 平面DA 1C 1 则3n ·10330-==--=λλ得即BP

即点P 在C 1C 的延长线上且使C 1C=CP ……………………12分

67、(湖南省岳阳市2008届高三第一次模拟)如图，在四棱锥P —ABCD 中，侧面PAD 是正三角形，且与底面ABCD 垂直，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，N 是PB 中点，截面DAN 交PC 于M .

（Ⅰ）求PB 与平面ABCD 所成角的大小；

（Ⅱ）求证：PB ⊥平面ADMN ； （Ⅲ）求以AD 为棱，PAD 与ADMN 为面的二面角的大小.

解：解法一：（I ）取AD 中点O ，连结PO ，BO .

△PAD 是正三角形，所以PO ⊥AD ，

又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，

所以PO ⊥平面ABCD ，

BO 为PB 在平面ABCD 上的射影，

所以∠PBO 为PB 与平面ABCD 所成的角

由已知△ABD 为等边三角形，所以PO ＝BO ＝3， 所以PB 与平面ABCD 所成的角为45°. （Ⅱ）△ABD 是正三角形，所以AD ⊥BO ，所以AD ⊥PB ，

又，PA ＝AB ＝2，N 为PB 中点，所以AN ⊥PB ，

所以PB ⊥平面ADMN .

（Ⅲ）连结ON ，因为PB ⊥平面ADMN ，所以ON 为PO 在平面ADMN 上的射影， 因为AD ⊥PO ，所以AD ⊥NO ， 故∠PON 为所求二面角的平面角.

因为△POB 为等腰直角三角形，N 为斜边中点，所以∠PON ＝45°，

即所求二面角的大小为45°

解法二：（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）因为PO ⊥平面ABCD ，

所以PO ⊥BO ，△ABD 是正三角形，所以AD ⊥BO ， 以O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知O （0，0，0），B （0，3

，0，），P （0，0，3），A （1，0，0），D （－1，0，

0），N （0，

2

3,23），

所以(2,0,0),(0,3,

3),A D B P =-=-

33(1,

,)

22A N =-

，

所以0,0=?=?BP AN BP AD ，

所以AD ⊥PB ，AN ⊥PB ，所以PB ⊥平面ADMN ，

（Ⅲ）因为AD ⊥PB ，AD ⊥BO ，所以AD ⊥平面POB ， 所以ON ⊥AD ， 又PO ⊥AD ，所以故∠PON 为所求二面角的平面角. 因为)23,23,

0(),3,

0,0(==ON OP

设所求二面角为θ，则2

22

6323

|

|||cos =

?

=

?=

ON OP ON OP θ

，

所以θ＝45°，即所求二面角的大小为45°.

68、(湖南省株洲市2008届高三第二次质检)如图，已知平行六面体1111D C B A ABCD -的底面为正方形，O O 、1分别为上、下底面中心，且1A 在底面ABCD 上的射影为O ， （1）求证：平面⊥DC O 1平面ABCD ；

（2）若点E 、F 分别在棱1AA 、BC 上，且12EA AE =，问点F 在何处时，AD EF ⊥？

（3）若01

60=∠AB A ，求二面角B A A C --1

的大小．

解法一：（1）证明: 建立空间直角坐标系如图所示，设地面正方形的边长为a ，h OA =1，

则 )0,0,2

2(),0,0(,)0,0,2

2(

1a

C ，h A a A -

， 错误！未找到引用源。

A 1

B 1

C 1

D 1

A

B

C

D

O

E F

O 1

由 11O A AO =，得 ),0,2

2(1h a O -

∴),0,0(1h CO = ⊥∴1CO 平面

ABCD

又?1CO 平面DC O 1， ∴平面⊥DC O 1平面ABCD …………………4分 （2） 由（1）及12EA AE =，

得 )0,2

2,0(),0,22,0(),32,0,62(a B a D h a E - 设FC BF λ=，则)0,12

2

,

12

2

(λ

λ

λ++-a

a

F ， )3

2,12

2

,

6

2122

(h a

a a

EF -+-

+-=λλ

λ )0,2

2,2

2(a a AD -

-

=

由

AD EF ⊥0

=??AD EF 2

1=?λ

FC BF 2

1=

∴ …………… 8分

（3）由0

160

=∠AB A ，a h 2

2=

? 从而 )0,2

2,

2

2(a a AB -

=，

)22,

0,22(1a a AA -

=

设 )1,,(1y x n =是平面1

BAA

的一个法向量， 则 ????

?=?=?0

0111n AA n AB

)1,1,1(11

1=??

??==?n y x

又 平面1CAA 的一个法向量为)0,1,0(2=n 3

1,c o s 2

12121=

??>=

<∴n n n n n n ∴ 所求二面角的大小为

3

3a r c c o s ………12分

解法二：用欧氏几何推证的方法也可以解决。（略）

69、(吉林省吉林市2008届上期末)如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1=5，

AC=BC=2，∠C=90°，点D 是A 1C 1的中点. （1）求证：BC 1//平面AB 1D ；

（2）求二面角A 1—B 1D —A 的正切值.

（1）证明：连结A 1B 交AB 1于点O ，连结OD

∵点D 是A 1C 1的中点，点O 是A 1B 的中点，∴OD ∥BC 1 …………………………2分

A B C

D

A

B

C

D O

E

F

O

x

y

z

错误！未找到引用源。

又∵OD ?平面A 1B 1C 1，BC 1?平面A 1B 1C 1

∴BC 1∥平面AB 1D ………………………………………………………………5分 （2）过点A 1作A 1E 垂直B 1D 交B 1D 延长于点E ，连结AE

∵ABC —A 1B 1C 1是直三棱柱 ∴A 1A ⊥平面A 1B 1C 1

又∵A 1E ⊥B 1D ∴AE ⊥B 1D ∴∠AEA 1是二面角A —B 1D —A 1的平面角 ………9分

5

525

215

2

,9011=

?=

∴=

∴===∠E A D B BC AC C

2

55

525tan 1

=

=

∠∴AEA

…………………………………………………………12分

解法二：利用空间向量法（略）

70、(吉林省实验中学2008届高三年级第五次模拟考试)如图，正三棱柱

111C

B A AB

C -中，

D 是BC 的中点，11==AB AA （Ⅰ）求证：C A 1∥平面D AB 1； （Ⅱ）求二面角D AB B --1的大小。

解法一：（Ⅰ）证明：连接。，连接设DE E AB B A B A =111, A B C ，是正三棱柱，且AB AA C B A =1111 是正方形，四边形11ABB A ∴

的中点，是的中点，又是BC D B A E 1∴

DE ∴∥C A 1。 ……………………3分

，平面，平面D AB C A D AB DE 111?? C A 1∴∥平面D AB 1 …………………………5分

（Ⅱ）解：在平面内作，在面于点内作11ABB A F AB DF ABC ⊥

。，连接于DG G AB FG 1⊥ ，平面，平面平面111

1ABB A DF ABC ABB

A ⊥∴⊥

1111AB DG AB FG ABB A DG FG ⊥∴⊥，上的射影，在平面是

B FGD 是二面角

∠∴—1AB —的平面角

D ……………………8分

设4

3

,11=

?==DF ABC AB A A 中，在正。

在3

6tan 8

234

3=

=

?=

?=

?FG

DF FGD DFG Rt BE FG ABE 中，，在中，

所以，二面角B —1AB —D 的大小为3

6arctan

。 ………………12分

解法二：建立空间直角坐标系D —xyz ，如图，

（Ⅰ）证明：连接，设E AB B A B A =111, 连接DE 。设11==AB A A

则），，，（），，，（12

300001

A D ），，（），，，

（0021

21434

1C E -

），，

（），，，（

2

1

434

112

32

11-=--=∴DE C A C A DE C A 112∴-=∴∥DE 。 …………………………3分

C A

D AB C A D AB D

E 1111∴??，平面，平面 ∥平面D AB 1…………5分

（Ⅱ）解：)1,0,2

1(

)0,2

3,

0(),1,0,2

1(),0,2

3,

0(11-==∴-

D B AD B A

设0,0),,(11111=?=?=D B n AD n D AB r q p n 且的法向量，则是平面

故 );1,0,2(,1.02

1,

02

31===-=-

n r r p q 得取

同理，可求得平面)0,1,3(21-=n B AB 的法向量是。………………9分

设二面角B —1AB —D 的大小为θ5

15cos 2

121=

?=

n n n n θ

B 二面角∴ 1AB D 的大小为5

15arccos

。 (12)

分

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/vvgq.html