江苏省扬州中学2017届高三上学期12月月考试题 数学 Word版含答案

2017届扬州中学高三数学月考卷 2017.12

第I卷(必做题 共160分)

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在题中横线上． 1．已知复数

1?z?i，则z的实部为＿＿▲＿＿． 1?z2．如图是一次青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1,a2，则a1,a2的大小关系是______▲_______(填a1?a2，a2?a1，a1?a2)

23．命题p:?x0?R,x0?2x0?1?0是 ▲ 命题

（选填“真”或“假”）．

4．若长方体相邻三个侧面的面积分别是2，3，6，则该长方体的体积是 ▲ ． 5．已知圆C：x2?y2?6x?8?0，若直线y?kx与圆C相切，且切点在第四象限，则k?＿▲＿＿＿．

6．已知f?x?为奇函数，当x?0时，f?x??ex?x2，则曲线y?f?x?在x?1处的切 线斜率为 ▲ ． 7．函数y?sinx?3cosx的图像可由函数y?sinx?3cosx的图像至少向右平移

___▲______个单位长度得到．

8．已知直线m,l,平面?,?,且m??，l??，给出下列命题：①若?//?，则m?l；②

若m?l，则?//?；③若???，则m//l；④若m//l，则???.其中正确的命题是_____▲_____________． 9．已知点P(x,y)满足??0?x?1,则点Q(x?y,y)构成的图形的面积为＿＿▲＿＿．

0?x?y?2.?12y2210．以抛物线y?x的焦点为圆心，且与双曲线x??1的渐近线相切的圆的方程是

83___▲___．

11．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D,E分别是边AB,BC的中点，连接DE并延长

????????到点F，使得DE?2EF，则AF?BC的值为 ▲ ．

12．对任意x?R，函数

f(x)满足f(x?1)?f(x?)2f[1x(?，)]设 2

- 1 -

31，则f(15)?＿▲＿＿＿＿． 16x3222213．若实数x，y满足x?4xy?4y?4xy?4，则当x?2y取得最大值时，2的值为

yan?[f(n)]2?f(n)，数列{an}的前15项的和为?▲ ．

14．已知等差数列?an?首项为a，公差为b，等比数列?bn?首项为b，公比为a，其中a,b都

是大于1的正整数，且a1?b1,b2?a3，对于任意的n?N*，总存在m?N*，使得

am?3?bn成立，则a5?b5?___▲___.

二、解答题：(本大题6小题，共90分) 15．(本题满分14分)

在锐角?ABC中,角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,向量

???m??1,coBs?,n?sinB,?3,且m?n.

??(1)求角B的大小; (2)若?ABC面积为

332,3ac?25?b,求a,c的值. 2

16．(本题满分14分)在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是正方形，

AC与BD交于O,EC?底面ABCD，F为BE的中点．

(1)求证：DE∥平面ACF； (2)若AB=EFG?平面BDE使C2CE,在线段EO上是否存在点G，

EG若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．

EO？

CODAB

17．(本题满分14分)

如图所示，把一些长度均为4米（PA＋PB＝4米）的铁管折弯后当作骨架制作“人字形”帐蓬，根据人们的生活体验知道：人在帐蓬里“舒适感”k与三角形的底边长和底边上的高度有关，设AB为x，AB边上的高PH为y，则k?（1）求“舒适感” k的取值范围；

（2）已知M是线段AB的中点，H在线段AB上，设MH＝t，当人在帐蓬里的“舒适感”k

达到最大值时，求y关于自变量t的函数解析式；并求出y的最大值（请说明详细理由）。

x?yx?y22 ，若k越大，则“舒适感”越好。

- 2 -

18．(本题满分16分)

x2y2平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:2?2?1(a?0,b?0)的左、右焦点分别是F1、

abF2．且FF2?23，以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心1为半径的圆相交，且交点１在椭圆错误！未找到引用源。上．

(1)求椭圆C的方程；

(2) 若P为椭圆错误！未找到引用源。上任意一点，过点错误！未找到引用源。的直线

x2y2y?kx?m错误！未找到引用源。 交椭圆E：??1错误！未找到引用源。于 A，

164B两点，射线ＯＰ交椭圆E于点Q．

(i)若ＯＱ＝?ＯＰ，求错误！未找到引用源。?的值； (ii)求四边形AOBQ面积的最大值．

19．(本题满分16分) 已知数列{an}的前n项和为Sn,且对于任意n?N*,总有

Sn?2(an?1).

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)在an与an?1之间插入n个数,使这n?2个数组成等差数列,当公差d满足3?d?4时,求n的值并求这个等差数列所有项的和T; (3)记an?f(n),如果cn?n?f(n?log2m)(n?N*),问是否存在正实数m,使得数

列{cn}是单调递减数列?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.

20．(本小题满分16分)

- 3 -

设函数f(x)?x?sinx,g(x)?xcosx?sinx.x

（1）对于任意x?(0,?]，使得f(x)?a恒成立，求实数a的取值范围；

（2）若g(bx)?bxcosbx?bsinx(b??1)对x?(0,?]恒成立，求实数b的取值范围．

第Ⅱ卷(附加题 共40分)

??021． 已知矩阵A???1??1?3??，点M??1,1?，N?0,2?．求线段MN在矩阵A?1对应的变换作用2??3??下得到线段M?N?的长度．

?x?sin??cos?22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?(?为参数)，若以直角坐标系

y?sin2??xOy的O点为极点，x轴正方向为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得直线l的极坐标

???方程为2?cos?????1．求直线l与曲线C交点的极坐标．

6??

23. 如图， PC?4，AC?BC?3，PC?平面ABC，在三棱锥P?ABC中，?ACB?90?.点D在线段AB上，AD＝2DB.

⑴ 求异面直线BC与PD所成角的余弦值； ⑵ 求直线BC与平面PAB所成角的余弦值．

- 4 -

24．设某校新、老校区之间开车单程所需时间为?，?只与道路畅通状况有关，对其容量为200的样本进行统计，结果如下： ?（分钟） 25 30 35 40 频数（次） 40 60 80 20 （1）求?的分布列与数学期望??； （2）唐教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求唐教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．

12月考参考答案：第I卷(必做题) 一、1．0 2．a2?a1．3．真 4．

6 5．?1??2． 6．?2 7．． 8．①④

e34319．2. 10． x?(y?2)?1 11． 12．4． 13．42 14．102

822二、15．解：(1) m?n??1,cosB???sinB,?3?1?sinB?cosB??3

????sinB?3cosB

???????m?n,?m?n?0 ?sinB?3cosB?0

??ABC为锐角三角形,?cosB?0 ?tanB?3, ?0?B??2，?B??3

222222(2)由b?a?c?2accosB,得b?a?c?ac,

222代入3ac?25?b得3ac?25?a?c?ac,得a?c?5

?S?ABC?11?3acsinB?ac?sin?ac 2234由题设

333,得ac?6 ac?42EFGCBOA?a?2?a?3?a?c?5联立?, 解得?,或?. c?3c?2ac?6??? - 5 - D

16．(本题满分14分)解：(I)连接OF．

由ABCD是正方形可知，点O为BD中点． 又F为BE的中点，所以OF∥DE 又OF?平面ACF，DE?平面ACF

所以DE∥平面ACF ???????6分

(2)在线段EO上存在点G，使CG?平面BDE． 理由如下： 如图，取EO中点G，连接CG． 在四棱锥E-ABCD中，AB=2CE,CO=2AB=CE， 2 所以CG?EO

由EC?平面ABCD,BD?平面ABCD 所以EC?BD 由ABCD是正方形可知，AC?BD

又AC?EC?C,AC,EC?平面ACE

所以BD?平面ACE 而BD?平面BDE

所以，平面ACE?平面BDE，且平面ACE?平面BDE?EO 因为CG?EO，CG?平面ACE 所以CG?平面BDE 故在线段EO上存在点G，使CG?平面BDE． 由G为EO中点，得

EG1=.???????14分 EO2?17．解析：(1) k?1,2? ???????6分

?4?t2(2) y?4(0?t?22?2)， 220?tt?0时，ymax?45???????14分 518. 解：(I)由题意知2a?3?1，即a?2，又因为FF2?23，所以c?3，b?1，所以１x2?y2?1． ???????4分 椭圆C的方程为4(2)(i)设P(x0,y0)，，由题意知Ｑ（?ｘ0,?y0)．由

?2x0216?2?2y04?1，知

?2x024(4?y02)?1，

x02?y02?1，所以??2.．??????8分 又因为4(ii)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，将y?kx?m代

22入椭圆E的方程，可得(1?4k)x?8kmx?4m?16?0，由??0可得

2m2?4?16k2． ①

- 6 -

8km4m2?16416k2?4?m2又x1?x2??，x1x2?，所以x1?x2?． 2221?4k1?4k1?4k因为直线y?kx?m与y轴交点坐标为(0,m)，所以

S?OAB216k2?4?m2m1??m?x1?x2?? 21?4k222mm2(16k2?4?m2)m2． ?2(4?)2221?4k1?4k1?4k将y?kx?m代入椭圆C的方程可得(1?4k)x?8kmx?4m?4?0，由??0可得

222m2m?1?4k ②．令?t，则由①及②知0?t?1，因此21?4k22S?OAB?2(4?t)t?2?t2?4t，解得S?OAB?23，当且仅当t?1时取等号．由( i )知

SAOBQ?2S?OAB，?(SAOBQ)max?43???????16分

19．解：(1)当n?1时,由已知a1?2(a1?1),得a1?2.

当n?2时,由Sn?2(an?1),Sn?1?2(an?1?1),两式相减得an?2an?2an?1, 即an?2an?1,所以{an}是首项为2,公比为2的等比数列所以

an?2n(n?N*) ……………….. 4分

(2)由题意,an?1an?1?an2n,即d?, ………………..6分 ?an?(n?1)d,故d?n?1n?12x2n(x?1)， 因为3?d?4,故3??4,令f(x)?x?1n?1ln2?2x?(x?1?ln2)ln2?02(x?1)f,(x)?，所以

f(x)单调增，又

123216?(3,4),f(5)??4，故n?4, 所以d?. 56516所以所得等差数列首项为16,公差为,共有6项，所以这个等差数列所有项的和

36?(16?32)T??144 ，所以,n?4,T?144 ………………..10分

2f(3)?2?3,f(4)?

- 7 -

(3)由(1)知f(n)?2,所以cn?n?f(n?logn2m)?n?2n?log2m?n?2n?log2m

2?n?22n?log2m?n?(2log2m)2n?n?m2n ………………..12分

由题意,cn?1?cn,即(n?1)?m所以m2?2n?2?n?m2n对任意n?N*成立,

n1对任意n?N*成立 ?1?n?1n?111因为g(n)?1?在n?N*上是单调递增的,所以g(n)的最小值为g(1)?.

n?12?12???. 所以m?.由m?0得m的取值范围是0,?22???2所以,当m??0,???2??时,数列{cn}是单调递减数列. ………………..16分 2??x?sinxsinxxcosx?sinx?1?，所以f'(x)?，因为当x??0,??xxx220．（Ⅰ） 因为f(x)?时，g'(x)?cosx?xsinx?cosx??xsinx?0，

所以g(x)在?0,??上单调递减，又g(0)?0，所以当x??0,??时，g(x)?0 即当x??0,??时，xcosx?sinx?0，所以f'(x)?0?????????6分 所以f(x)在?0,??上单调递减，则当x??0,??时，f(x)min?f(?)?1?????8分 由题意知，f(x)?a在?0,??上恒成立，所以a?1????????8分

（2）由g(bx)?bxcosbx?bsinx(b??1)得sinbx?bsinx(b??1)对x??0,??恒成立，

b??1,0,1时，不等式显然成立????????9分

②当b?1时，因为bx??0,b??，所以取x0??b??0,??，则有sinbx0?0?bsinx0，从而

此时不等式不恒成立?????????????????????11分 ③当0?b?1时，由(Ⅱ)可知h(x)?∴

sinx在?0,??上单调递减，而0?bx?x??， xsinxsinbx?， ∴sinbx?bsinx成立???????????13分 xbx④当?1?b?0时，当x??0,??时，0??bx?x??，则 sinxsin(?bx)sinbx??，∴sinbx?bsinx不成立，????????15分 x?bxbx综上所述，当b??1或0?b?1时，有g(bx)?bxcosbx?bsinx(b??1)对x?(0,?]恒成立。?16分

- 8 -

第Ⅱ卷

??0?ab??1?121． 解析：设A???，则AA??cd?1????1?3??ab??10?????01?， 2??cd?????3??1122所以c?1,d?0,a?c?0,b?d?1，

3333?21?解得a?2,b?1,c?3,d?0，即A?1???． 30???21???1???1??21??0??2?由????，????，知点M???1,?3?,N??2,0?， ???????30??1???3??30??2??0?所以M?N????1?2?2???3?0??32．

222.解析：直线l的直角坐标方程为y?3x?1，故直线l的倾斜角为曲线C的普通方程为x2?y?1?2?x?2 ,

?3．

????x?0????y?3x?1由? , 解得?. 所以交点的极坐标为?1,??.

2?2???y??1?x?y?1?2?x2??00)，A(3，，00)，23．证明：如图，以C为原点建立空间直角坐标系C?xyz，则C(0，，B(0，3，0)， P(0，，04)，D(1,2,0)．

????????⑴ BC?(0，?3，0)，PD?(1，2，?4)．

设BC与PD所成的角为?，则

????????BC?PD6221cos????????????,

21321BCPD∴异面直线BC与PD所成角的余弦值为221．…… 5分 21????????⑵ PA?(3设平面PAB的一个法 ，0，?4)，PB?(0，3，?4)．

yz)，则由n?PA?0，n?PB?0，得?向量为n?(x，，?????????3x?4z?0，43)，则．可取n?(4，，3y?4z?0?????n?BC?4?0?4?(?3)?3?0?12?．设直线BC与平面PAB所成角为?，则

????n?BC?????si?n?|n|?|BC|

?12242?42?3?3?441，∴直线BC与平面PAB所成角的余弦值为41- 9 -

cos??1?sin2??541． ……10分 4124．（I）由统计结果可得T的频率分步为 ?（分钟） 25 30 35 40 频率 0.2 0.3 0.4 0.1 以频率估计概率得T的分布列为 ? 25 30 35 40 ? 0.2 0.3 0.4 0.1 从而 ET?25?0.2?30?0.3?35?0.4?40?0.1?32（分钟）……4分

(II)设T1,T2分别表示往、返所需时间，T1,T2的取值相互独立，且与T的分布列相同.设事件A表示“唐教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“唐教授在途中的时间不超过70分钟”.

解法一：P(A)?P(T1?T2?70)?P(T1?25,T2?45)?P(T1?30,T2?40)

?P(T1?35,T2?35)?P(T1?40,T2?30)?1?0.2?1?0.3?0.9?0.4?0.5?0.1?0.91.

解

法

二

：

P(=1AT+2)+P(T40,T2=40)T>1=1

P=T?0.4?0.1?0.1?0.4?0.1?0.1?0.09

故

P(A)=1-P(A)=0.91. 答：略。

……10分

- 10 -

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