概率论第三章答案

第三章 随机变量与分布函数

1、 解：令?n表在n次移动中向右移动的次数，则?n服从二项分布，

kkP{?n?k}?Cnp(1?p)n?k,k?0,1,?n

以Sn表时刻时质点的位置，则

Sn??n?(n??n)?2?n?n。

?n的分布列为

?0??(1?p)n?Sn的分布列为

12122Cnp(1?p)n?1Cnp(1?p)n?2n??。

?pn?????n??(1?p)n??n?2

?n?4122Cnp(1?p)n?1Cnp(1?p)n?2n??。

?pn???2、 解：P{??1}?P{失成}?P{成失}?pq?qp，

P{??2}?P{失失成}?P{成成失}?ppq?qqp?p2q?q2p,?

所以?的概率分布为

p{?k}?pkq?q2p,k?1,2,?。

3、 解： （1）1??f(k)?k?1Nc?N， ?c?1。 N?1 （2）1?c?k!?c(e??1)， ?c?(e??1)k?1??k。

4、 证：f(x)?0，且

?

???f(x)dx????1?|x|edx??e?|x|dx??e?x

0??2????f(x)是一个密度函数。

5、 解：（1）P(6???9)?P?(6?10)?11?1?(??10)?(9?10)? 22?2?11???1??P??1?(??10)????????(?2)?0.285788

22???2?11?1?（2）P(7???12)?P?(7?10)?(??10)?(12?10)?

22?2?1?11??P??1?(??10)?1????1???(?1)?0.774538

2?22?（3）P(13???15)?P?(13?10)?11?1?(??10)?(15?10)? 22?2?1?1?11?1? ?P?1?(??10)?2????2???(1)?0.06059 722222????

6、 解：7+24+38+24+7=100，P{??x4}?(100?7)/100?0.93，P{??x3}?

P{??x3}?(7?24?38)/100?0.69，查表得?(1.5)?0.93,?(0.5)?0.69。

由题设得

1?1??(x)?P?(??60)?(y?60)?x??P{??y}

3?3?1(y?60)?1.5，解得y?64.5，即x4?64.5。由对称性得x1? 3160?(64.5?60)?55.5。再令(y?60)?0.5，解得y?61.5，即x3?61.5。由对

3称性得x2?60?(61.5?60)?58.5。

1?1??1?7、 解：（1）?(1.3)?0.90，而P{??a}?P?(??5)?(a?5)????(a?5)?，

2?2??2?1令(a?5)?1.3解得a?7.6。 21??1（2）由P{|??5|?a}?0.01得P{??5?a}?0.005，从而P?(??5)?a?

2??21=0.995，而?(2.6)?0.995所以a?2.6,a?5.2。

28、 证：（1）设x2?x1,F(x2)?F(x1)?P{x1???x2}?0，所以F(x2)?F(x1)，

F(x)非降。

令x?（2）设x???xn?xn?1???x1?x0，x1?x由概率的可加性得

???P??(xi?1???xi)??P{x???x0} ?i?0???F(x)?F(x)??F(xii?1?0)?F(x)。

由此得 F(x0)?F(x)?lim?F(x0)?F(x)?，

n??i?0?F(x)?limF(xn)?F(x?0),F(x)右连续。

n??（3）1?P{??????}?n???P{n???n?1}

??x???n????F(n?1)?F(n)??limF(n)?n???m???limF(m)。

由单调性得limF(x)与limF(x)均存在且有穷，由0?F(x)?1及上式得

x??F(??)?0,F(?)?1。

9、 证：P{x1???x2}?P{??x2}?P{??x1}?P{??x2}?(1?P{??x2})

?P{??x2}?P{??x1}?1?(1??)?(1??)?1?1?(???).

∴不等式成立。

?0,?10、证法一：定义F(x)??P{0???x},?1,?x?(??,0]x?(0,1]则F(x)是?的分布函数。由题x?(1,?)设得，对任意2x?[0,1]有P{0???x}?P{x???2x}，即有

P{0???2x}?2P{0???x}。由此得F(2x)?2F(x)。逐一类推可得，若nx?[0,1]，

1xmm则F(nx)?nF(x)，或者F(x)?F()。从而对有理数，若x与x都属于[0,1]，

nnnn?m?m则有F?x??F(x)。再由F(x)的左连续性可得，对任意无理数a，若ax与x都

?n?n属于[0,1]，则F(ax)?aF(x)。

因为区间[0,1)与[0,1]的长度相等，由题设得

F(1)?P{0???1}?P{0???1}?1.

由此及上段证明得，对任意x?[0,1]有F(x)?xF(1)?x，即F(x)为

?0,x?0?F(x)??x,0?x?1

?1,x?1?∴ ?服从[0,1]上均匀分布。

证法二：如同证法一中定义?的分布函数F(x)，由F(x)单调知它对[0,1]上的L－测试几乎处处可微。设x1,x2?(0,1)，当x1??x?[0,1](i?1,2)时，由题设得

F(x1??x)?F(x1)?P{x1???x1??x}

?P{x2???x2??x}?F(x2??x}?F(x2)

等式两端都除以?x，再令?x?0可得，由F'(x1)存在可推得F'(x2)也存在，而且从而对任意x?(0,1)有F'(x)?c。当x?[0,1]时显然有F'(x)?0。F'(x2)?F'(x1)。

一点的长度为0，由题设得P{??0}?P{??1}?0。由上所述可知?是连续型随机变量，F'(x)是其密度函数，从而定出c?1。至此得证?服从[0,1]均匀分布。

?(x?m)2?111、证：（1）f?(x)?exp??? 22?2?????(x?m)2??11?2?exp??(x?m)?ln?exp??ln??ln2???? 0222?2?2??????

若令Q(?)??12,T(x)?(x?m),D(?_??ln?， S(x)??ln2?，则有 02(2)f?(x)?exp{Q(?)T(x)?D(?)?S(x)}

2??(x?m)??exp??? 2??2?2??00??这就证明了正态分布M(m0,?2)是单参数?(??0)的指数族。 （2）fm(x)?1??x2?2mx?m2?m2x21??mx??exp???ln?exp???? ?22222???2?2?2??2??0??000??0?1?m2mx212若令Q(m)?，则 ,T(x)?x,D(m)?,S(x)??ln222?0?02?02??01fm(x)?exp{Q(m)T(x)?D(m)?S(x)}

所以正态分布N(m,?0)是单参数m(???m??)的指数族。 （3）p(k;?)?2?kk!若令Q(?)?ln?,T(k)?k,D(?)???,S(k)??lnk!，则p(k;?)?exp{Q(?)T(k)?D(?)?S(k)}，所以p(k;?)是单参数?(??0)的指数族。

?1/?,0?x??（4）关于[0,?]上的均匀分布，其密度函数为f?(x)??

x??或x?0?0,f?(x)是定义在???x??的函数，由于它是x的分段表示的函数，所以无法写成形式 f?(x)?exp{Q(?)T(x)?D(?)?S(x)}故f?(x)关于?不是一个单参数的指数

，

族。

12、证：分别对固定的x0和y0有

e???exp{kln????lnk!}。

?1,F(x0,y)???0,y??x0?1,x??x0,F(x,y0)??y??x0?0,x??y0。

由上式显然可得F(x,y)对每个变元非降，左连续，而且满足(2.6)及(2.7)，即

F(??,y)?0,，F(x,??)?0,F(??,??)?1但有

F(1,1)?F(1,0)?F(0,1)?F(0,0)??1,

这说明当取a1?a2?0,b1?b2?1时(2.5)式不成立。所以F(x,y)不是分布函数。

13、证：必要性：

??f(x,y)dxdy???ke令u?x?b?a(x?y)2a?e?ac?b2yadxdy

bby,v?y，得y?v,x?u?v,J?1。设 aa??f(x,y)dxdy??ke?audu?e?????2??ac?b22vadv

2要积分收敛，必须a?0,(ac?b2)/a?0，由此得应有ac?b?0以及c?0。利用

????e?udu??可得

2?∴ k????ke?audu

2????e?ac?b22vadv?k?1a??aac?b2??1

ac?b2?从而题中所列条件全部满足。

以上诸步可逆推，充分性显然。

14、解：设f(x,y)?f1(x)f2(y)?h(x,y)是密度函数，则由f(x,y)?0得

h(x,y)??f1(x)f2(y)。又

1???f(x,y)dxdy??f1(x)dx?f2(y)dy???h(x,y)dxdy?1???h(x,y)dxdy，

所以应有

??h(x,y)dxdy?0。

??h(x,y)dxdy?0，显然有

反之，若h(x,y)??f1(x)f2(y)，h(x,y)可积且

f(x,y)?0且??f(x,y)dxdy?1，即f(x,y)是密度函数。

所以为使f(x,y)是密度函数，h(x,y)必须而且只需满足h(x,y)??f1(x)f2(y)且

15、解：（1）1???h(x,y)dxdy?0。

??0Ae?2xdx??0?1?e?ydy?A??e?2x??2?10???e?y|?0?0??A,A?2 2（2）P???2,??1???202e?2x2?4?1 ?e?y|1?(1?e)(1?e)。dx?e?ydy??e?2x|00????（3）?的边际分布，当x?0时f?(x)?0，当x?0时有

f?(x)??2e?2xe?ydy?2e?2x.

0?（4）P?????2???202e?2xdx?2?x0e?ydy

P{?1?k,?1??2?n}

P{?1??2?n}P{?1?k,?2?n?k}P{?1?k}P{?2?n?k} ? ?P{?1??2?n}P{?1??2?n}（2）P{?1?k|?1??2?n}??k?1k!e??1??k?n2(n?k)!ke??2(?1??2)n?(?1??2) ?en!n?k?n???1???????????k???12?25、证：由题设得

??2????????2??1证毕。

11111????， 2222211111P{???1}?P({??1,???1}?(???1,??1})?????。

22222P{??1,??1}?P({??1}?[{??1,??1}?(???1,???1}])

1?P{??1,??1}?P{??1}P{??1}??P{??1}P{??1}，

4P{??1,???1}?P({??1}?[{??1,???1}?(???1,??1}])

1?P{??1,???1}?P{??1}P{???1}??P{??1}P{???1}，

4同理可证 P{???1,??1}?P{???1}P{??1}，

P{???1,???1}?P{???1}P{???1}.

所以?与?相互独立。用同样的方法可片?与?也相互独立。但

P{??1,??1,??1}?P({??1,??1}?[{??1,??1}?{???1,???1}])，

1P{??1}P{??1}P{??1}?，

8所以?,?,?只两两独立而不相互独立。

P{??1}?P({??1,??1}?(???1,???1})?26、解：P{??k}??kk!e??,k?0,1,2?，

由此得（1）P{??ak?b}? （2）P{??k}?2?kk!e??,k?0,1,2?，

k?0,1,2?。

k!27、解：（1）由P{??0}?0知，?以概率1取有限值。当y?0时，

0??1??1?F?(y)?P??y??P{??0}?P??????p(x)dx??1p(x)dx；

??y?????y?ke??,当y?0时，

0?1??1?F?(y)?P??y??P????0???1p(x)dx；

????y?y当y?0时，

F?(y)??0??p(x)dx。

????（2）F?(y)?P{tg??y}?P??{k?????k??arctgy})??? 2?k?????k???????k?2?k??arctgyp(x)dx

（3）当y?0时，F?(y)?0；当y?0时，

F?(y)?P?|?|?y??P??y???y???28、解：设直径为随机变量d，则

y?yp(x)dx。

?1,a?x?b?pd(x)??(b?a)。

?其它?0,121212圆面积S??d。当?a?y??b时，

4444y?4y?1?12??Fa(y)?P{S?y}?P??d?y??P?d??dx； ??a??b?a?4??1212当y??a时Fa(y)?0；当y??b时Fa(y)?1。由此对Fa(y)求导（利用对参

441212数积分求导法则）得圆面积的分布密度为，当y??a或y??b时pa(y)?0；当

44?y121?a?y??b2时 pa(y)?F'a(y)?。 44(b?a)?y29、解：?与?的密度函数为

?1,0?x?1 （1） p?(x)?p?(x)??0,其它?由卷积公式及独立性得?????的分布密度函数为 y p?(y)?????p?(x)p?(y?x)dx （2） 2 C 把（2）与（1）比较知，在（2）中应有0?x?1，

0?y?x?1，满足此不等式组的解(x,y) 构成 D 图中平面区域平形四边形ABCD，当0?y?1时 1 B 0?x?y ,当1?y?2时y?1?x?1。所以当 0?y?1时（2）中积分为

p?(y)??1?1dx?y A 0 1 x 0y当1?y?2时，（2）中积分为

p?(y)??1?1dx?2?y;

y?11对其余的y有p?(y)?0。 30、解：p?(x)?p?(x)?由求商的密度函数的公式得

12?e1?x221?2(x2?y2)， p??(x,y)? e2?11?2(x2y2?x2)2edx?p?(y)??|x|p(xy,x)dx??|x|????2?2????1??0xe1?x2(1?y2)2dx

111??2x2(1?y2)?1, ???y??? ???e???22?1?y??0?(1?y)??

?服从柯西分布。 ?111(s?t),y?(s?t),|J|?。由?2221??s?t??s?t????????2???2??2?22?31、解：作变换，令s?x?y,t?x?y，得x?与?独立知，它们的联合密度应是它们单个密度的乘积，由此得U，V的联合密度函数为

pUV(s,t)? ?12?1e4?e1?x22??12?e11?y221e?|J|?2?e1?s?????2??2?2????1 21?(s2?t2)42??2?12??2e1?t?????2??2?2?pU(s)pV(t)

所以U,V两随机变量也相互独立，且均服从N（0，2）。

32、解：当y?0时由独立性得

1?F?(y)?P{??y}?P{?1?y,?2?y,?,?n?y}

??P{?1?y}??(1?F?i(y))??(ei?1i?1i?1n????F?(y)?1?exp??y???i?

??nnn??iy)?exp(?y??i)

i?1n当时。求导得的密度函数为，当时；当时

33、解：设(0,a)在内任意投两点?1,?2，其坐标分别为x,y，则?1,?2的联合分布密度为

(x,y)?(0,a)?(0,a)?0,?p(x,y)??1。

,(x,y)?(0,a)?(0,a)??a2设??|?1??2|，则?的分布函数为，当z?0时F?(z)?0；当z?a时F?(z)?1；当0?z?a时，

11F?(z)?P{|?1??2|?z}???p(x,y)dxdy?2??dxdy?2S，

a?z?x?y?za?z?x?y?z0?x,y?a0?x,y?a积分S为平面区域ABCDEF的面积，其值为 y a2?(a?z)2?2az?z2，所以 E D F?(z)?(2az?z2)/a2.

34、证：由独立性得，V?(x,y,z)的概率密度为 Fz C p(x,y,z)?S?1(2?)?33e?12?2(x2?y2?z2) 0 A Bz a x x2?y2?z2的分布函数为，当s?0时，

F(s)?Px?y?z?s??222?x2?y2?z2?S2??1(2?)?33e?12?2(x2?y?z2)dxdydz

?2sin?，

作球面坐标变换，x??cos?sin?,y?sin?sin?,z??cos?，则|J|?F(s)??2?0d??sin?d??0?a01(2?)3?31??2/?22e1??2/?22??2d?

?2??2?a01(2?)3?3e??2d?

由此式对s求导可得，当s?0时，S的密度函数为

?s2?? F'(s)?f(s)?exp??22?????2??35、证：（3.14）式为

2s2p(x)?1?1?2??n??2?1n2x11n?1?x22e,x?0。

令y?x??1?12，则x?ny,x'y?2ny，由p(y)?p[f(y)]|[f(y)]'|得，的密nn度函数为，当y?0时

p?/n(y)?(ny)1n21n?122?1?2????2?e1?ny22?2ny?2nyn?1?1?2????2?1n21n2e1?ny22

?与

?n仍独立。记T??/??/n，则由商的密度函数公式得T的密度函数为

(y)dy??y??/n0?pT(t)??|y|p?(ty)p??1n212?e1?t2y22?2ny1n21n2n?1e1?ny22?1?2??n??2?dy

?1?2?2??n??2?du222令u?y(n?t)，则dy?，得

(n?t2)0 ???n1n2?(y)21(n?1)?12e1?y2(n?t2)2dy2，

pT(t)?n(n?t)1n21n221?(n?1)2?1?2?2??n??2?n12??u0?11(n?1)?1?u22edu

??1?2?2????2?1n2?1???(n?1)?1?(n?1)2??2?(n?t)2

?1????2?1(n?1)2?1?1??(n?1)?2?2(n?1)t?2?????pT(t)??1? ???t?? ??1n???n???n???2?

36、解：U的分布函数为，当t?0时F(t)?0；当t?0时有

tt?x0t?x?y0F(t)?x?y?z?t???p(x,y,z)dxdydz??dx?0dy?6dz 4(1?x?y)

tt?2t22 ???dxdy 33??00(1?t)2(1?x?y?z)tt?t2t11tt2 ????dx?dx?1???3222300t?1(1?t)(1?t)(1?t)(1?x)(1?t)3t2对F(t)求导可得U的密度函数为，当t?0时p(t)?0；当t?0时p(t)?。 4(1?t)37、证：（U，V）联合分布函数为

1?2(x2?y2)F(u,v)???edxdy

2?x2?y2?ux?vy122当s?0时作变换，s?x?y,t?x，反函数有两支 yJ?1??ssx??t?x?t?(1?t2)(1?t2)??与 ??ss?y??y??s??(1?t2)(1?t2)??2x2y2x21x??2?2??2(t2?1)，|J|??1 2?2y2(1?t)yy考虑到反函数有两支，分别利用两组

????11uv1?2s1??1?2(x2?y2)F(u,v)????????edxdy?2??e?dt 20??2?2(1?t)?x2?y2?ux2?y2?u?2?x?x?v,y?0?v,y?0?y?y?对F(u,v)求导，得（U，V）的联合密度为（其余为0）

1?u1p(u,v)?e2?,22?(1?v)1?2u若令pU(u)?e(u?0),211u?0,0?v??

1(???v??)， 2?(1?v)则U服从指数分布，V服从柯西分布，且p(u,v)?pU(u)?pV(v)，所以U，V两随机变

pV(v)?量独立。

38、证：当x?o时，?与?的密度函数分别为

?(r2)?当x?0时，p?(x)?p?(x)?0。设U????,V?。当s?0或t?0时，（U，V）

?xst联合密度为p(s,t)?0；当s?0,t?0时，作变换s?x?y,t?，得x?，

y(1?t)ss而|J|?，所以 y?(1?t)(1?t)2p(s,t)?p?(x)??r1?(r1)xr1?1??xe,p?(x)??r2xr2?1e??x;

?r?r12?(r1)?(r2)xr1?1yr2?1e??(x?y)|J|

r?1r?112s?st??s???s ?????e?(r1)?(r2)?1?t??1?t?(1?t)2??r1?r2tr1?1r1?r2?1??s???(r1?r2)??se?????(r)?(r)?(r)?(r)(1?t)r1?r222?1??112?r?r???pU(s)pV(t) ?

由此知U服从分布服从分布，且U与V相互独立。 39、解：令U????,V??(???)，当s?0或t?(0,1)时，U，V联合密度p(s,t)?0；

当s?0且t?(0,1)时作变换s?x?y,y?p(s,t)?e?xe?y由此得U服从??分布G(1,2)，V服从(0,1)分布，且U与V相互独立。

40、解:（2.22）式为

x，则x?st,y?s?st,|J|?s，

(x?y)|J|?se?(x?y)?se?s?1?pU(s)pV(t)

p(x,y)?12??1?2??(x?n)22r(x?a)(y?b)(y?b)2??1??exp???????2222??2(1?r)???1?r1212?????

设Ui????,Vi????;U?U1?a?b,V?V1?a?b。作变换s?x?y?a?b，

t?x?y?a?b则x?a?数为

111(s?t)，y?b?(s?t), |J|?。U，V的联合密度函222f(s,t)?p(x,y)|J|

??(s?t)22r(s?t)(s?t)(s?t)2??111????exp????? ??222222??1?21?r4?1?24?2????2(1?r)?4?1?

?14??1?2??1222exp??s2?12??2?2?1?2?t2?12??2?2?1?2?2st(?2??12)? 2221?r2?8(1?r)?1?2???????设U，V的边际分布密度函数分别为fU(s),fV(t)，欲U与V独立，必须且只需

2??12?0时成立。U，f(s,t)?fU(s)?fV(t)，由f(s,t)的表达式可知，这当且仅当?2V相互独立与Ui,Vi相互独立显然是等价的，所以Ui????,Vi????相互独立的充要条件是?1??2。当?1??2??时，得

????s21s2fU(s)?exp??f(t)?exp?， ?V2?2?2??(1?r)2??(1?r)?4(1?r)???4(1?r)??1U~N(0,2(1?r)?2),V~N(0,2(1?r)?2)。

41、解：（1）因为指数中二次项x2,y2,xy的系数分别为?1,?（见上题解答）比较知，可设其配方后的形式为

1,?1，所以与(2.22)式21?1?(x?s)2?(y?t)2?1?(x?s)(y?t)。

2??2s?t?11??比较系数得 ? ?s?t?7??s2?1t2?st?321?22?此方程组有唯一解s??4,t??3，由此得

??11??exp???x?4)2?(y?3)2?(x?4)(y?3)?? 2?2??????2??11(y?3)1(x?4)(y?3)????2exp??(x?4)??2? ?? ??12121?2???2(1?)?2??1?21???2??21（2）与（2.22）式比较得，a?4,b?3,?1?1,?2?2,r??。

2?(x?4)2??(y?3)2?11（3） p1(x)?exp??exp???， p2(y)??。

242?2?????p(x,y)?

2?p(x,y)11??????1?（4）p(x|y)??exp???x???y?5???，它服从

p2(y)2????????2?11??1N??y?5,?。

22??242、解：|B?1|?27,|B|?

11. ?|B?1|27p(x,y,z)?(2?)11n2|B|12?1?exp??(x?a)B?1(x?a)??

?2??1n? ?exp???rjk(x1?a1)(xk?ak)? 11n2j,k?1??22(2?)|B|1?1?222exp?(7x?4y?2z?6xy?4xz?2yz) ???. 321??(2?)227(?1,?2)的边际密度函数为（积分时在指数中对z配方）

1p(x,y)?????p(x,y,z)dz?(2?)132127e11?(5x2?3y2?4xy)22????e1?(z?x?y)22dz

?21令z?x?y?t，利用?e?tdt??得

??2361?1?p(x,y)?exp??(5x2?4xy?3y2)?。

4?2?2?43、证：以f记?的密度函数，则(?,?)的联合密度为f(x0f(y)。作变换，令s?x?y，

111t?x?y得x?(s?t),y?(s?t),|J|?。若改记s为x，t为y，则由此可得

2221?1??1?(???,???)的联合密度为f?(x?y)?f?(x?y)?。另一方面，由卷积公式得

2?2??2????和???的密度分别为

g(x)?????f(x?s)f(s)ds, h(y)?????f(y?t)f(t)dt.

故由???与???独立得

12?1??1?f?(x?y)?f?(x?y)??g(x)h(y)。 ?2??2?

令m(x)?logf(x)（此处用了f(x)?0），则有

?1??1?m?(x?y)??m?(x?y)??logg(x)?log2h(y)。 ?2??2?由假定知m(x)有二阶导数，上式对x求导得

?x?y??x?y??x?y??x?y?'m'??m????????(logg(x))x ?2??2?x?2??2?x再对y求一次导数得

''1?1?1?1?m???(x?y)??m???(x?y)??0. 4?2?4?2?11对任意u,v，选择x,y使u?(x?y),v?(x?y)则由上式得m??(u)?m??(v)?0.

22由u,v的任意性得m????常数，因而m(x)?a?bx?cx2，即有

f(x)?exp(a?bx?cx2).

所以?,?，从而???,???均匀正态分布。

44、解：（1）将弦的一端A固定，另一端B在圆周上等可能分布，记?1表示沿逆时针方向AB弧长，则?1在(0,2?)上服从均匀分布，

4?/314??1?2?P{弦长?3}?P???1?dx? ???2?/33?2?3?3?（2）假定弦垂直于某直径，取该直径为x轴，圆心为坐标原点，记?2表示弦的中点坐标，则?2在[-1,1]上服从均匀分布，

1?11?1P{弦长?3}?P????2????21dx?

?2?22?22（3）以圆心为原点建立直角坐标系XOY，记弦中点的坐标为??(?1,?2)，则?在圆内

1{(x,y):x2?y2?1}2服从均匀分布，记D?{(x,y):x2?y2?}，则

211P{弦长?3}?P???D????dxdy?

?4221x?y?21三种解法的随机变量虽都服从均匀分布，但由于随机变量不同，所以就得出了不同的结

论。

??则f(?)??B?，必存在某个?0??使f(?)?B?0，?B?????，

?????????1亦有??f?1(B?0)，从而???f(B?)，

45、证：（1）若??f?1????

反之，若???????1?1??f(B)?fB??????? （1）

?????????1?1，必存在某个使???f(B)??f(B?0)亦有f(?)?B?0，即?0?

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