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神奇巧解高考数学选择题专题

前 言

高考数学选择题，知识覆盖面宽，概括性强，小巧灵活，有一定深度与综合性，而且分值大，能否迅速、准确地解答出来，成为全卷得分的关键。

选择题的解答思路不外乎两条：一是直接法，即从题干出发，探求结果，这类选择题通常用来考核考生最起码的基础知识和基本技能，这一般适用于题号在前1~6的题目；二是间接法，即从选项出发，或者将题干与选项联合考察而得到结果。因为选择题有备选项，又无须写出解答过程，因此存在一些特殊的解答方法，可以快速准确地得到结果，这就是间接法。这类选择题通常用来考核考生的思维品质，包括思维的广阔性和深刻性、独立性和批判性 、逻辑性和严谨性 、灵活性和敏捷性 以及创造性；同直接法相比，间接法所需要的时间可能是直接法的几分之一甚至几十分之一，是节约解题时间的重要手段。

然而，有相当一部分考生对于用间接手段解题并不放心，认为这样做“不可靠”，以至于在用间接法做过以后又用直接法再做一遍予以验证；甚至有思想不解放的，认为这样做“不道德”，而不明白这其实正是高考命题者的真实意图所在，高考正是利用选择题作为甄别不同层次思维能力的考生的一种重要手段。

解选择题常见的方法包括数形结合、特值代验、逻辑排除、逐一验证、等价转化、巧用定义、直觉判断、趋势判断、估计判断、退化判断、直接解答、现场操作，等等。考生应该有意识地积累一些经典题型，分门别类，经常玩味，以提高自己在这方面的能力。下面主要就间接法分别举例说明之，并配备足够的对应练习题，每题至少提供有一种解法。

例题与题组

1

一、数形结合

画出图形或者图象能够使问题提供的信息更直观地呈现，从而大大降低思维难度，是解决数学问题的有力策略，这种方法使用得非常之多。

【例题】、（07江苏6）设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x?1对称，且当x?1时，f(x)?3x?1，则有（ ）。

A、f( C、f(132231)?f()?f() B、f()?f()?f() 323323213321)?f()?f() D．f()?f()?f() 332233【解析】、当x?1时，f(x)?3x?1，f(x)的 图象关于直线x?1对称，则图象如图所示。 这个图象是个示意图，事实上，就算画出 f(x)?|x?1|的图象代替它也可以。由图知，

符合要求的选项是B，

【练习1】、若P（2，-1）为圆(x?1)的方程是（ ）

A、x?y?3?0 B、2x?y?3?0 C、x?y?1?0 D、2x?y?5?0

（提示：画出圆和过点P的直线，再看四条直线的斜率，即可知选A） 【练习2】、（07取值范围是（ ）

A、???,6? ?5?y2?y?25的弦

2AB的中点，则直线AB

?x?y?2?0?辽宁）已知变量x、y满足约束条件?x?1?x?y?7?0?，则的

xy9 B、????,?9???6,??? ?5? C、???,3???6,??? D、?3,6?

（提示：把看作可行域内的点与原点所在直线的斜率，不难求得答案 ，选

xA。）

2

【练习3】、曲线y?1?4?x(x???2,2?)2

与直线y?k(x?2)?4有两个公共点时，

k的取值范围是（ ）

5)11,)

1243553 C、(,??) D、(,)

12124A、(0, B、(（提示：事实上不难看出，曲线方程

22y?1?4?x(x???2,2?)2的图象为

x?(y?1)?4(?2?x?2,1?y?3)，表示以（1，0）为圆心，2为半径的上半圆，

如图。直线y?k(x?2)?4过定点（2，4），那么斜率的范围就清楚了，选D）]

【练习4】、函数y?|x|(1?x)在区间 A上是增函数，则区间A是（ ）

1?A、???,0? B、? 0,???2? C、?0,??? D、???,??? ?2?1（提示：作出该函数的图象如右，知应该选B） 【练习5】、曲线

|x|2?|y|3?1与直线y?2x?m

有两个交点，则m的取值范围是（ ）

A、mC、m?4或m??4 B、?4?m?4

?3或m??3 D、?3?m?3

（提示：作出曲线的图象如右，因为直线

y?2x?m与其有两个交点，则m?4或m??4，选f(x)?A） ，集合M??x|f(x)?0?【练习6】、（06湖南理8）设函数

'P??x|f(x)?0?，若M?P，则实数ax?ax?1，

的取值范围是（ ）

3

A、(??,1) B、(0,1) C、(1,??) D、[1,??) （提示：数形结合，先画出f(x)的图象。f(x)?a?1时，图象如左；当a?1时图象如右。

x?ax?1?x?1?1?ax?1?1?1?ax?1。当

由图象知，当a?1时函数f(x)在(1,??)上递增，f解集为(1,??)的真子集，选C） 【练习7】、（06湖南理10）若圆x到直线l:ax?by?0的距离为2?A、??,2'(x)?0，同时f(x)?0的

?y?4x?4y?10?0上至少有三个不同的点

22，则直线l的倾斜角?的取值范围是（ ）

???124??? B、??5????????? C、 D、 ,??63??0,2?1212??????,（提示：数形结合，先画出圆的图形。圆方程化为

(x?2)?(y?2)?(32)222，由题意知，圆心到直线

?2的距离d应该满足0?d径为2，在已知圆中画一个半

的同心圆，则过原点的直线l:ax?by?0与小圆有公共点，∴选B。）

【练习8】、（07浙江文10）若非零向量a，b满足|a-b|=| b |，则（ ） A、|2b| ＞ | a-2b | B、|2b| ＜ | a-2b | C、|2a| ＞ | 2a-b | D、|2a| ＜ | 2a-b |

（提示：关键是要画出向量a，b的关系图，为此 先把条件进行等价转换。|a-b|=| b |?|a-b|2=

4

| b |2? a2+b2-2a·b= b2? a·（a-2b）=0? a⊥（a-2b），又a-（a-2b）=2b，所以|a|，| a-2b |， |2b|为边长构成直角三角形，|2b|为斜边，如上图， ∴|2b| ＞ | a-2b |，选A。

另外也可以这样解：先构造等腰△OAB，使OB=AB， 再构造R△OAC，如下图，因为OC＞AC，所以选A。）

【练习9】、方程cosx=lgx的实根的个数是（ ） A、1 B、2 C、3 D、4

（提示：在同一坐标系中分别画出函数cosx与lgx的图象，如图，

由两个函数图象的交点的个数为3，知应选C） 【练习10】、(06江苏7)若A、B、C为三个集合，A?B?B?C，则一定有（ ）

A、A?C B、C?A C、A?C D、A?? （提示：若A?B?C??，则A?B?A,B?C?B?A

成立，排除C、D选项，作出Venn图，可知A成立） 【练习11】、(07天津理7)在R上定义的函数

f(x)是偶函数，且

f(x)?f(2?x。若)f(x)在区间[1，2]上是减函数，则f(x)（ ）

A、在区间[-2，-1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数 B、在区间[-2，-1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数 C、在区间[-2，-1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数 D、在区间[-2，-1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数

（提示：数形结合法，f(x)是抽象函数，因此画出其简单图象即可得出结

5

【练习3】、（06天津文8）若椭圆的中心点为E（-1，0），它的一个焦点为F（-3，0），相应于焦点的准线方程是x??，则这个椭圆的方程是（ ）

27A、

2(x?1)212?2y32?1 B、

2(x?1)212?2y32?1 C、

(x?1)52?y?1 D、

2(x?1)52?y?1

2（提示：椭圆中心为（-1，0），排除A、C，椭圆相当于向左平移了1个单位长度，故c=2，?a2c?1??272，∴a?22?5，选D）

【练习4】、不等式x?x?1的解集是（ ）

A、(?1,0)?(1,??) B、(??,?1)?(0,1) C、(?1,0)?(0,1) D、(??,?1)?(1,??)

（提示：如果直接解，差不多相当于一道大题！取x?2，代入原不等式，成立，排除B、C；取x??2，排除D，选A）

【练习5】、（06江西理12）某地一年内的气温 Q（t）（℃）与时间t（月份）之间的关系如右图， 已知该年的平均气温为10℃。令C（t）表示时间 段[0，t]的平均气温，C（t）与t之间的函数关系 如下图，则正确的应该是（ ）

A、 B、 C、

11

D、

（提示：由图可以发现，t=6时，C（t）=0，排除C；t=12时，C（t）=10，排除D；t＞6时的某一段气温超过10℃，排除B，选A。）

【练习6】、集合M（ ）

A、M?N??(2n?1)?|n?Z?与集合N??(4k?1)?|k?Z?之间的关系是

B、M?N C、M?N D、M?N

（提示：C、D是矛盾对立关系，必有一真，所以A、B均假； 2n?1表示全体奇数，4k?1也表示奇数，故M念之间矛盾对立的逻辑关系。

当然，此题用现场操作法来解也是可以的，即令k=0，±1，±2，±3，然后观察两个集合的关系就知道答案了。）

【练习7】、当x???4,0?时，a?值是（ ）

A、5 B、 C、? D、?5

3355?x?4x?2?N且B假，只有C真，选C。此法扣住了概

43x?1恒成立，则a的一个可能的

（提示：若选项A正确，则B、C、D也正确；若选项B正确，则C、D也正确；若选项C正确，则D也正确。选D）

【练习8】、（01广东河南10）对于抛物线y0）都满足PQ?a2?4x上任意一点Q，点P（a，

，则a的取值范围是（ ）

A、???,0? B、(??,2] C、[0,2] D、(0,2)

（提示：用逻辑排除法。画出草图，知a＜0符合条件，则排除C、D；又取a?1，则P是焦点，记点Q到准线的距离为d，则由抛物线定义知道，此时a＜d＜|PQ|,即表明a?1符合条件，排除A，选B。另外，很多资料上解此题是用的直接法，照录如下，供“不放心”的读者比较——

12

设点Q的坐标为(y0(y0?16?8a)?022y042,y0)，由

PQ?a，得y?(20y042?a)?a22，整理得

，

20∵ ya?220?0，∴y?16?8a?0，即a?2?y082恒成立，而2?y082的最小值是2，∴

，选B）

2【练习9】、（07全国卷Ⅰ理12）函数f(x)?cos（ ）

?A、??x?cos2x2的一个单调增区间是

2????????????? B、 C、 D、,0,???????,? 62333???????66?,（提示：“标准”答案是用直接法通过求导数解不等式组，再结合图象解得的，选A。建议你用代入验证法进行筛选：因为函数是连续的，选项里面的各个端点值其实是可以取到的，由f(??6)?f(?6)，显然直接排除D，在A、B、C中只

要计算两个即可，因为B中代入会出现

6??12，所以最好只算A、C、现在就验

算A，有f(?3)?f(2?3)，符合，选A）

四、等价转化

解题的本质就是转化，能够转化下去就能够解下去。至于怎样转化，要通过必要的训练，达到见识足、技能熟的境界。在解有关排列组合的应用问题中这一点显得尤其重要。

【例题】、（05辽宁12）一给定函数y意a1??0,1?，由关系式an?1?象是（ ）

13

?f(x)的图象在下列图中，并且对任

?f(an)得到的数列满足an?1?an(n?N)，则该函数的图

A、 B、 C、 D、

【解析】问题等价于对函数y?【练习1】、设tA、[-2?sin??cos?f(x)图象上任一点(x,y)都满足y?x，只能选A。

，且sin3?+ cos3?2,2?0，则t的取值范围是（ ）

，0） B、[?2]

3,??)

C、（-1，0）?(1, ] D、（-

3，0）?(（提示：因为sin3?+ cos3?=（sin?+ cos?）（sin2?- sin?cos?+ cos2?），而sin2?- sin?cos?+ cos2?＞0恒成立，故sin3?+ cos3??0?t＜0,选A。

另解：由sin3?+ cos3? ?0知?非锐角，而我们知道只有?为锐角或者直角时

t?sin??cos??2，所以排除B、C、D，选A）

x2【练习2】、F1,F2是椭圆最大值是（ ）

4右焦点，点P?y?1的左、

2?????????在椭圆上运动，则PF1?PF2的

A、4 B、5 C、1 D、2 （提示：设动点P的坐标是(F1(?3,0)?????????PF1?PF2?|?|3cos??2|?222cos?,sin?)，由F1,F2是椭圆的左、右焦点得

，

22，

??(??F2(3,0)?2则

o?|4cos??c3?sin??|

?s，选D。这里利用椭圆的参数方程把问题等价转化为三角函数求

最值的问题。特别提醒：下列“简捷”解法是掉进了命题人的“陷阱”的——

??????????????????|PF1|?|PF2|2PF1?PF2??a?4）

2【练习3】、若loga2?logb2?0，则（ ）。

A、0?a?b?1 B、0?b?a?1 C、a?b?1 D、b?a?1

14

（提示：利用换底公式等价转化。

loga2?logb2?0?lg2lga?lg2lgb?0?lgb?lga?0∴0?b?a?1，选B）

【练习4】、ab,,,cdA、d?b?a?c?c?aR,?且d?c，a?b?c?d,a?d?b?c，则（ ）

?a B、b?c?d D、b?d

C、b?d?a?c（提示：此题条件较多，又以符号语言出现， 令人眼花缭乱。对策之一是“符号语言图形化”， 如图 ，用线段代表a,b,c,d,立马知道选C。当然

这也属于数形结合方法。对策之二是“抽象语言具体化”， 分别用数字1，4，2，3代表a,b,c,d,容易知道选C。也许你认为对策一的转化并不等价，是的，但是作为选择题，可以事先把条件“a,b,c,d?R”收严一些变为“a,b,c,d?R”。

【练习5】、已知??0,若函数f(x)?sin??x2sin???x2在???????,43??上单调递增，

则?的取值范围是（ ）

A、??0,?2??3? B、?0,? C、?0,2? D、?2,??? 3???2?12sin?x，∵sinx（提示： 化简得f(x)?∴??2??x?在???????,?22?上递增， 上单调递增

?2???2??x??2?，而f(x)在???????,43????3?????????,????,?0????2?43??2?2??，又??0,∴选B）

【练习6】、把10个相同的小球放入编号为1，2，3的三个不同盒子中，使盒子里球的个数不小于它的编号数，则不同的放法种数是（ ）

15

沿虚线DE和CE折起，使AE和BE重合于P，则面 PCD和面ECD所成的二面角为（ ）度。

A、 15 B、30 C、 45 D、60

【解析】、你当然可以用三垂线定理来解，但不如现场操作更快：用正方形纸片折叠出三棱锥E-PCD，不难看出PE⊥面PCD，设二面角大小为?，则由射

3

影面积公式有cos??S?PCDS?ECD?412DCDC22?32，??30?，选B。 的值（ ）

【练习1】已知(2?1)?n2an?bn(n?N?)，则bnA、必为奇数 B、必为偶数 C、与n的奇偶性相反 D、与n的奇偶性相同

（提示：原始操作：令n=1、2，再结合逻辑排除法，知选A；也可以展开看）

【练习2】如果f(x)的定义域为R， f(x?2)?f(2)?lg3?lg5，则f(2008)=（ ）

f(x?1)?f(x)，且f)1(gl3?gl2?，

A、1 B、-1 C、 lg2?lg3 D、-lg3-lg5

（提示：2008是个很大的数，所以立即意识到这应该是一个周期函数的问题！关键是求出周期值。现在进行现场操作：f（1）=lg3-lg2，f（2）=lg3+lg5，f（3）=f（2）-f（1）=?=1，f（4）= f（3）-f（2）=?lg2-lg3，f（5）= f（4）- f（3）=?-lg5-lg3，f（6）=f（5）- f（4）=?-1，f（7）=f（6）- f（5）=?lg3-lg2= f（1），所以周期是6。f(2008)=f（334×6+4）= f（4）= lg2-lg3，选C。当然你如果演算能力好，可以这样做：

f(x?2)?f(x?1)?f(x)?f(x)?f(x?1)?f(x)

=?f(x?1)???f(x?2)?f(x?3)?=

36

??f(x?3)?f(x?4)?f(x?3)??f(x?4)，所以周期是

6。其实凡属于抽象函数、抽

象数列、抽象不等式问题，解题诀窍都不过是不断利用题目所给的规则而已）

【练习3】、如图所示是某城市的网格状道路，中 间是公园，公园四周有路，园内无公路。某人驾车从 城市的西南角的A处要到达东北角的A处，最短的 路径有多少条？（据加拿大数学竞赛题改编） A、210 B、110 C、24 D、206

（提示：原始操作：先假设已经到达了与B共线的各交叉点，标注上此时的走法数（都是1）；再退回至离B最近的对角顶点处，标注上此时的走法数是2；??，这样步步回退，直到A处，就知道答案了！这有点类似于杨晖三角的规律。当然也可以用公式法：先求出没有公园时的走法数C，再求出经

610过公园中心的走法数C35?C53，所以答案是C-C61035?C53=110，选B）

【练习4】、如上图所示是一个长方体 骨架，一只蚂蚁在点M处得到信息：N处 有糖！为了尽快沿着骨架爬行到N处，该 蚂蚁可走的最短路径有（ ） A、10 条 B、20 C、30 D、40

（提示：原始操作：假设从点N处逆着 往点M方向退回来，则在所经过的交点处的 走法数都容易写出，如图。所以从点M处出 发时一共有4+4+12=20种走法。选B）

【练习5】、有编号为1、2、3、4的四个小球放入有同样编号的四个盒子中，每盒一球，则任意一球的编号与盒的编号不同的放法种数共有（ ）

37

A、9 B、16 C、25 D、36

（提示：这道高考题是典型错位排列问题，思维清晰的时候，你可能这样考虑：完成这件事情即每个盒子都按要求放入小球，应该用乘法原理，1号盒可以选2、3、4号球，有3种选择；2号盒可以选1、3、4号球，也有3种选择；此时3、4号盒都只有唯一选择，3×3×1×1=9，因此答案是9。也可用现场操作之法破解，如图，每一列对应一种放法，一共有9种，选A）

球的编号 1号盒 2 2 2 3 3 3 4 4 4 2号盒 1 3 4 1 4 4 3 3 1 3号盒 4 4 1 4 1 2 1 2 2 4号盒 3 1 3 2 2 1 2 1 3

【练习6】、如图A、B、C是固定在桌面上的三根立柱，其中A柱上有三个大小不同的圆片，下面的直径总比上面的大，现将三个圆片移动到B柱上，要求每次只移动一片（叫移动一次），被移动的圆片只能放入A、B、C三个柱子之一，且大圆片不能叠在小圆片的上面，那么完成这件事情至少要移动的次数是（ ）

A、3 B、5 C、7 D、9 （提示：现场操作，选C）

【练习7】、如左图，正方体容器AC中，棱长为1，E，F分别是所在棱的

'中点，G是面ABB（ ）

'A'的中心，在E、F、G三处各开有一小孔，则最大盛水量是

38

A、 B、 C、 D、

6785671112

（提示：你可以看着图现场想象一下，怎样才能使盛水量最大呢？你首先难免考虑由E、F、G确定一个水平面，如中图，经计算发现盛水量是，此时

87DD/着地；难道不考虑只有点D着地的情形吗？?使水平面如右图那样呢？计算得盛水量是

1112，原来点F并不在水平面内！选D）

【练习8】、一个正四棱锥的底面边长与侧棱长都是a，现用一张正方形的包装纸将其完成包住（不能裁剪但可以折叠），那么包装纸的边长最小应该是（ ） A、(2?6)a B、2?21?236a

P1 P2 C、(1?3)a D、a

P3 （提示：现场用纸做一个正四棱锥，

P4 先如图放样，其实不待你做成就知 道思路了——这已经相当于把正四

棱锥展开了，那么包装纸的边长就是正方形P1P2P3P4的边长，选B） 【练习9】、一直线与直二面角的两个面所成的角分别是?和?，则?围是（ ） A、(0,

??的范

?2] B、(?2,?) C、??0,???2?? D、??0,????2?

39

（提示：你可以拿一本书竖立在桌面上，拿一支笔代表直线去比划，会发现当

?,?中有一个角等于的时候，另一个角等于0，?2???可以取到；当直线与

2?二面角的棱重合时，???可以取到0，所以选C）

【练习10】、（05全国）不共面的四个定点到平面?的距离都相等，这样的平面共有（ ）个。

A、3 B、4 C、6 D、7

（提示：先画一个三棱锥，然后想象用一个平面以各种方式置于四个顶点之间，发现四个顶点有被平面分成2+2或者1+3两类情形，分别有3，4种可能，如图。选D）

【练习11】、（07高考模拟）若一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1＜a2且a3 ＜a2，则称这样的三位数为凸数（如343、275、120等），那么所有凸数个数为（ ）

A.240 B.204 C.729 D.920

（ 提示：进行原始操作以发现规律：第二位数字不可能为1，若为2，则左边有1，右边有0、1可选，此时有1×2个凸数；若为3，则左边有1、2，右边有0、1、2可选，此时有2×3个凸数；若为4，则左边有1、2、3，右边有0、1、2、3可选，此时有3×4个凸数；??若为9，则??此时有8×9个凸数，所以一共有1×2+2×3+3×4+??+8×9=240个凸数，选A）

40

A、? B、?或? C、? D、

3344344334【解析】、由题目中出现的数字3、4、5是勾股数以及x的范围，直接意识到sinx??35,cosx?45，从而得到tanx??，选C 。

43【练习1】、如图，已知一个正三角形内接于一个边长为a的正三角形中， 问x取什么值时，内接正三角形的面积最小（ ）

A、 B、 C、 D、

234aaa32a

（提示：显然小三角形的边长等于大三角形的边长之半时面积最小，选A。）

【练习2】、（课本题改编）测量某个零件直径的尺寸，得到10个数据：

x1,x2,x3,?x10,2如果用

2x作为该零件直径的近似值，当

22x取什么值时，

(x?x1)?(x?x2)?(x?x3)???(x?x10)最小？（ ）

A、x1，因为第一次测量最可靠 B、x10，因为最后一次测量最可靠 C、

x1?x102，因为这两次测量最可靠 D、

x1?x2?x3???x1010

（提示：若直觉好，直接选D。若直觉欠好，可以用退化策略，取两个数尝试便可以得到答案了。）

【练习3】、若(1?2x)7?a0?a1x?a2x2???a7x7，则|a0|?|a1|?|a2|???|a7|?（ ） A、-1 B、1 C、0 D、3

7（提示：直觉法，系数取绝对值以后，其和会相当大，选D。或者退化判断法将7次改为1次；还有一个绝妙的主意：干脆把问题转化为:已知

(1?2x)?a0?a1x?a2x???a7x，求a0?a1?a2???a7，这与原问题完全等价，此

727时令x?1得解。）

【练习4】、已知a、b是不相等的两个正数，如果设p?(a?

1a)(b?1b)，

21

q?(ab?1ab)2，r?(a?b2?2a?b)2，那么数值最大的一个是（ ）

A、p B、q C、r D、与a、b的值有关。

（提示：显然p、q、r都趋向于正无穷大，无法比较大小，选D。要注意，这里似乎是考核均值不等式，其实根本不具备条件——缺乏定值条件！）

【练习5】、（98高考）向高为H的水瓶中注水，注满为止。如果注水量V与水深h的函数关系如下列左图，那么水瓶的形状是（ ）。

O

A B C D

（提示：抓住特殊位置进行直觉思维，可以取OH的中点，当高H为一半时，其体积过半，只有B符合，选B）

【练习6】、（07江西理7文11）四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自不同的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图，盛满酒好他们约定：先各自饮杯中酒的一半。设剩余酒的高度从左到右依次为

h1,h2,h3,h4,则它们的大小关系正确的是（ ）

22

A、h2?h1?h4 B、h1?h2?h3 C、h3?h2?h4 D、h2?h4?h1

（提示：选A）

【练习7】、（01年高考）过点A（1，-1）、B（-1，1）且圆心在直线x?y?2?0上的圆的方程是（ ）

A、(x?3)C、(x?1)2?(y?1)?4 B、(x?3)?(y?1)?4

2222?(y?1)?4 D、(x?1)?(y?1)?4

222（提示：显然只有点（1，1）在直线x?y?2?0上，选C） 【练习8】、（97全国理科）函数y?sin(?2?3?2x)?cos2x的最小正周期是（ ）

A、 B、? C、2? D、4? （提示：因为总有asin?x?bcos?x?有关，这里??2，所以选

所以函数yAsin(?x??)，的周期只与?B）

的解集是（ ）

【练习9】、（97A、?x|0?C、?x|0??x?0,?年高考）不等式组?3?x2?x?3?x?2?x?x?2? B、?x|0?x?2.5?

x?6? D、?x|0?x?3?

3?x3?x3?x3?x|的根！，代入验

（提示：直接解肯定是错误的策略；四个选项左端都是0，只有右端的值不同，在这四个值中会是哪一个呢？它必定是方程证：2不是，3不是， 2.5也不是，所以选C）

【练习10】、△ABC中，cosAcosBcosC的最大值是（ ） A、

383?| B、 C、1 D、

8211（提示：本题选自某一著名的数学期刊，作者提供了下列 “标准”解法，特抄录如下供读者比较：

23

设y=cosAcosBcosC，则2y=[cos（A+B）+ cos（A-B）] cosC，

∴cos2C- cos（A-B）cosC+2y=0，构造一元二次方程x2- cos（A-B）x+2y=0，则cosC是一元二次方程的根，由cosC是实数知：△= cos2（A-B）-8y≥0， 即8y≤cos2（A-B）≤1，∴y?，故应选B。

81这就是“经典”的小题大作！事实上，由于三个角A、B、C的地位完全平等，直觉告诉我们：最大值必定在某一特殊角度取得，故只要令A=B=C=60゜即得答案B，这就是直觉法的威力，这也正是命题人的意图所在。）

【练习11】、（07浙江文8）甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜，根据以往经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛中甲获胜的概率为（ ）

A、0.216 B、0.36 C、0.432 D、0.648

（提示：先看“标准”解法——甲获胜分两种情况：①甲：乙=2：0，其概率为0.6×0.6=0.36，②甲：乙=2：1，其概率为[C甲获胜的概率为0.36+0.288=0.648，选D。

现在再用直觉法来解：因为这种比赛没有平局，2人获胜的概率之和为1，而甲获胜的概率比乙大，应该超过0.5，只有选D。）

nissoc??2【练习12】、

120.6?0.4]?0.6?0.288，所以

??，则tan??cot??（ ）

A、1 B、2 C、-1 D、-2 （提示：显然?七、趋势判断

趋势判断法，包括极限判断法，连同估值法，大致可以归于直觉判断法一类。具体来讲，顾名思义，趋势判断法的要义是根据变化趋势来发现结果，要

24

??4，选B）

求化静为动，在运动中寻找规律，因此是一种较高层次的思维方法。

【例题】、（06年全国卷Ⅰ，11）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棍围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为多少？

A、85 cm2 B、610 cm2 C、355 cm2 D、20 cm2

【解析】、此三角形的周长是定值20，当其高或底趋向于零时其形状趋向于一条直线，其面积趋向于零，可知，只有当三角形的形状趋向于最“饱满”时也就是形状接近于正三角形时面积最大，故三边长应该为7、7、6，因此易知最大面积为610cm2，选B。）

【练习1】、在正n棱锥中，相邻两侧面所成二面角的平面角的取值范围是（ ）

A、(n?2n?,?) B、(n?1n?,?) C、(0,?2) D、(n?2n?,n?1n?)

（提示：进行极限分析，当顶点无限趋近于底面正多边形的中心时，相邻两侧面所成二面角???，且???；当锥体h??n??且底面正多边形相对固定不

n?2n变时，正n棱锥形状趋近于正n棱柱，?n?2?,且???,选A）

4【练习2】、设四面体四个面的面积分别为它们的最大值为S，记?则?一定满足（ ）

A、2???4 B、3???4 C、2.5???4.5?S?i?1iS，

D、3.5???5.5

对面

（提示：进行极限分析，当某一顶点A无限趋近于对面时，S=S设S=S1，则S2+S3+S4?S1那么??2，选项中只有

，不妨

A符合，选A。当然，我们也

?4可以进行特殊化处理：当四面体四个面的面积相等时，?

，凭直觉知道选A）

25

【练习3】、正四棱锥的相邻两侧面所成二面角的平面角为?，侧面与底面 所成角为

，则2cos??cos2?的值是（ ）

12A、1 B、 C、0 D、-1

（提示：进行极限分析，当四棱锥的高无限增大时，?2cos??cos2??2cos90?cos180??1，选D）

???90,??90,??那么

【练习4】、在△ABC中，角A、B、C所对边长分别为a、b、c，若c-a等于AC边上的高，那么sin12C?A2?cos1C?A2的值是（ ）

A、1 B、 C、 D、-1

3(提示：进行极限分析，??0?时，点CC?180,A?0，所以sin?????，此时高h?0,c?a，那么

?C?A2?cosC?A2?sin90?cos0?1，选A。）

【练习5】、若0??????4,sin??cos??a,sin??cos??b,则（ ）

A、a?b B、a?b C、ab?1 D、ab?2 （提示：进行极限分析，当?选A）

【练习6】、双曲线x2?0时，a?1；当???4b?时，

2，从而b?a，

?y?1的左焦点为

2F， 点P为左支下半支异于顶点的任意一点，则直 线PF的斜率的变化范围是（ ） A、 (??,0) B、(??,?1)?(1,??) C、(??,0)?(1,??) D、(1,??)

（提示：进行极限分析，当P?不存在，即k????时，PF的斜率k?0；当PF?x时，斜率C。）

或k???；当P在无穷远处时，PF的斜率k2xx?1。选

【练习7】、（06辽宁文11）与方程y?e对称的曲线方程为（ ）

?2e?1(x?0)的曲线关于直线y?x26

A、y?ln(1?C、y??ln(1?x) B、y?ln(1?x) D、y??ln(1?x)

x)

x（提示：用趋势判断法：显然已知曲线方程可以化为y?(e个增函数。再令x?y????1)(x?0)2，是

??,那么y???,那么根据反函数的定义，在正确选项中当??,只有

时应该有x?A符合。当然也可以用定义法解决，直接求出反

函数与选项比较之。）

【练习8】、若sin??cos??1，则对任意实数n，sin??cos??nn（ ）

A、1 B、区间（0，1） C、（提示：用估值法，由条件sin?12n?1 D、不能确定

中必定有

?cos??1完全可以估计到sin?,cos?一个的值是1，另一个等于0，则选A。另外，当n=1，2时，答案也是1）

【练习9】、已知c?1，且x?系是（ ）

A、x?y B、x?y C、x?y D、与c的值有关

（提示：此题解法较多，如分子有理化法，代值验证法，单调性法，但是用趋势判断法也不错：当c?1时，x?t?1?tc?1?c，y?c?c?1，则x,y之间的大小关

2?1；当x???时，x?0，可见函数

递减，∴选B）

八、估值判断

有些问题，属于比较大小或者确定位臵的问题，我们只要对数值进行估算，或者对位臵进行估计，就可以避免因为精确计算和严格推演而浪费时间。

【例题】、已知x1是方程x?lgx?3的根，x2是方程x?10（ ）

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x?3的根，则x1?x2?A、6 B、3 C、2 D、1

【解析】、我们首先可以用图象法来解：如图，在同一 坐标系中作出四个函数，y?10，y?lgx，y?3?x，

xy?x的图象，设y?3?x与y?lgx的图象交于点A，其

x横坐标为x1；y?10与y?3?x的图象交于点C，其横坐标 为x2；y?3?x与y?x的图象交于点B，其横坐标为。因为y?10与y?lgx为

x32反函数，点A与点B关于直线y?x对称，所以x1?x2?2×=3，选B。

23 此属于数形结合法，也算不错，但非最好。现在用估计法来解它：因为x1是方程x?lgx?3的根，所以2?2?x1?x2?4,选

x1?3,x2是方程x?10x?3的根，所以0?x2?1,所以

B。

【练习1】、用1、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）

A、24个 B、30个 C、40个 D、60个

（ 提示：如果用直接法可以分两步：先排个位，在两个偶数中任取一个有

C2种方法；第二步在剩下的

14个数字中任取两个排在十位与百位有A种，由

2435乘法原理，共有C12A42=24个，选B。用估计法：五个数字可以组成A?60个三

位数，其中偶数不到一半，选B。）

【练习2】、农民收入由工资性收入和其它收入两部分组成，2003年某地农民人均收入为3150元，其中工资性收入为1800元，其它收入1350元。预计该地区农民自2004年起工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其它收入每年增加160元，根据以上数据，2008年该地区农民人均收入介于（ ）元 A、（4200，4400） B、（4400，4600）C、（4600，4800）D、（4800，5000） （提示：由条件知该地区农民工资性收入自2004年起构成以

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a1?1800,q?1?6%5的等比数列，所以2008年工资性收入为

a6?1800(1?0.06)?1800?(1?5?0.06)?2340元；其它收入构成以1350为首项，公

差为160的等差数列，所以所以2008年其它收入为1350+160×5=2150元，所以2008年该地区农民人均收入约为2340+2150=4490元，选B。）

【练习3】、已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是（ ）

A、

169? B、

83? C、4? D、

649?

233（提示：用估计法，设球半径R，△ABC外接圆半径为 r?则S球=4?R2，

?4?r?2163??5?，选D）

【练习4】、如图，在多面体ABCDEF中， 四边形ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，

EF?32，EF与平面ABCD的距离为2，则 该多面体的体积为（ ）

A、 B、5 C、6 D、

29152 （提示：该多面体的体积比较难求，可连接BE、CF，问题转化为四棱锥E-ABCD与三棱锥E-BCF的体积之和，而VE?ABCD=6，所以只能选D）

【练习5】、在直角坐标平面上，已知A（-1，0）、B（3，0），点C在直线y?2x?2上，若∠ACB ＞90，则点C的纵坐标的取值范围是（ ）

?A、(??,C、(?455)?(455,??) B、(1?255,1?255)

455,0)?(0,455) D、(?4545,) 55?（提示：如图，M、N在直线y?2x?2上，且∠AMB=∠ANB=90，要使∠ACB ＞

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90?，点C应该在M、N之间，故点C的纵坐标应该属于某一开区间，而点C的

纵坐标是可以为负值的，选D）

【练习6】、已知三棱锥P-ABC的侧面与底面所成二面角都是60?，底面三角形三边长分别是7、8、9，则此三棱锥的侧面面积为（ ）

A、125 B、245 C、65 D、1855 （提示：你可以先求出?ABC的面积为12面积为245，再利用射影面积公式求出侧面

5；你也可以先求出?ABC的面积为12，之后求出P在底面的射影

到个侧面的距离，都是三棱锥P-ABC的高的一半，再利用等体积法求得结果，但好象都不如用估值法：假设底面三角形三边长都是8，则面积为

34?8?1632，这个面积当然比原来大了一点点，再利用射影面积公式求出侧3面面积为32，四个选项中只有245与之最接近，选B）

【练习7】、（07海南、宁夏理11文12）甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中个射箭20次，三人测试成绩如下表

甲的成绩

乙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 6 4 4 6 丙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 4 6 6 4 环数 7 8 9 10 频数 5 5 5 5

S1,S2,S3分别表示三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）

A、S3?S1?S2 B、S2?S1?S3 C、S1?S2?S3 D、S2?S3?S1

（提示：固然可以用直接法算出答案来，标准答案正是这样做的，但是显然时间会花得多。你可以用估计法：他们的期望值相同，离开期望值比较近的数据越多，则方差——等价于标准差会越小！所以选B。这当然也可以看作是直觉

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