2019新版高中数学人教A版必修5习题：第二章数列 2.3.1 含解析

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2.3 等差数列的前n项和

第1课时 等差数列的前n项和

课时过关·能力提升

基础巩固

1等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,S3=12,则a6等于( ).

A.8 B.10

C.12

D.14

答案:C

2数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2n2-18n,则当Sn取得最小值时,n的值为( A.4或5 B.5或6

C.4

D.5

答案:A

3设数列{an}的前n项和Sn=n2,则a8的值为( ). A.15 B.16

C.49

D.64

解析:a8=S8-S7=64-49=15.

答案:A

4已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4=18-a5,则S8等于( ). A.18

B.36

C.54

D.72

解析:∵a4=18-a5,∴a4+a5=18.

∴S 8

答案:D

5在等差数列{an}中,首项a1=0,公差d≠0,若ak=a1+a2+a3+…+a7,则k等于(A.21

B.22

C.23

D.24

解析:由题意得ak=a1+(k-1)d=(k-1)d,

a1+a2+a3+…+a7=21d, 所以(k-1)d=21d.

又d≠0,所以k-1=21,所以k=22. 答案:B

6已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2=1,S5=10,则S7= . 最新中小学教案、试题、试卷

). ). 1

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解析:由S 5

得a 3=2,故a4=3,S7

答案:21

7已知数列{an}的前n项和Sn=2n-3,则数列{an}的通项公式为 . 解析:当n=1时,a1=S1=21-3=-1;

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-3-2n-1+3=2n-1. 又a- 1=-1不满足上式,故an -

答案:a- n -

8等差数列{an}的前n项和为Sn,且S2 016=a2 016=2 016,则a1= . 解析:S 2016

016,解得a1=-2014.

答案:-2 014

9已知数列{an}是等差数列,且a2=1,a5=-5. (1)求{an}的通项公式an; (2)求{an}前n项和Sn的最大值.

解(1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,

由已知条件得 解得 - -

所以an=a1+(n-1)d=-2n+5. (2)(方法一)S -

n=na1 =-n2+4n=4-(n-2)2.

所以当n=2时,Sn取到最大值4.

(方法二)由 - 得

- 即

故当n=2时,Sn最大. 又S2=a1+a2=3+1=4,

所以当n=2时,Sn取得最大值4.

10已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ为常数.

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2

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(1)证明:an+2-an=λ;

(2)是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由. (1)证明由题设,anan+1=λSn-1,an+1an+2=λSn+1-1,

两式相减,得an+1(an+2-an)=λan+1. 因为an+1≠0,所以an+2-an=λ.

(2)解由题设,a1=1,a1a2=λS1-1,可得a2=λ-1.

由(1)知,a3=λ+1.

令2a2=a1+a3,解得λ=4.故an+2-an=4.

由此可得{a2n-1}是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3;{a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1.所以an=2n-1,an+1-an=2.

因此存在λ=4,使得数列{an}为等差数列.

能力提升

1在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,S10=120,则a1+a10等于( ). A.12 解析:S10 答案:B

2等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=4,S3=9,则S4等于( ). A.14

B.19

C.28

D.60

B.24

C.36 D.48

故a1+a10=24.

解析:设等差数列{an}的公差为d,

则有 解得 -

则S4=4a1 答案:A

3已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,Sn是等差数列{an}的前n项和,则使Sn取得最大值的n是( ). A.21

B.20

C.19

D.18

解析:设等差数列{an}的公差为d,

则

- 解得

则Sn=39n

-

-

所以当n=20时,Sn最大.

3

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答案:B ★A.38 解析:S2m-1

4等差数列{an}的前n项和为Sn,已知am-1+am+1 则 等于

B.20

- -

C.10

-

D.9

∵S2m-1=38,∴am≠0.

又am-1+am+1

∴(2m-1)×2=38,m=10.

答案:C

5已知数列{an}的通项公式an=-5n+2,则其前n项和Sn= .

解析:由于an+1-an=-5(n+1)+2-(-5n+2)=-5为常数,则数列{an}是等差数列.又a1=-5+2=-3,公差d=-5,则Sn=-3n

-

或者是

- -

- -

答案:

6设Sn为等差数列{an}的前n项和,S8=4a3,a7=-2,则a9= . 解析:设等差数列{an}的公差为d,由S8=4a3知a1+a8=a3,a8=a3-a1=2d=a7+d,

所以a7=d=-2,所以a9=a7+2d=-2-4=-6. 答案:-6

7已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-2,则S3=

.

解析:对于Sn=2an-2,当n=1时,有S1=2a1-2,即a1=2a1-2,解得a1=2;当n=2时,有S2=2a2-2,即a1+a2=2a2-2,所以a2=a1+2.又a1=2,则a2=4;当n=3时,有S3=2a3-2,即a1+a2+a3=2a3-2,所以a3=a2+a1+2.又a1=2,a2=4,则a3=8,所以S3=2a3-2=14. 答案:14 ★

8已知数列{an},an∈N*,Sn是其前n项和,Sn

(1)求证:{an}是等差数列;

(2)设bn 求数列 的前 项和的最小值 (1)证明当n=1时,a1=S1 解得a1=2.

当n≥2时,an=Sn-Sn-1 即8an=(an+2)2-(an-1+2)2, 整理得(an-2)2-(an-1+2)2=0,

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4

即(an+an-1)(an-an-1-4)=0.

∵an∈N*,∴an+an-1>0, ∴an-an-1-4=0,

即an-an-1=4(n≥2).

故数列{an}是以2为首项,4为公差的等差数列. (2)解设数列{bn}的前n项和为Tn,

∵b

n 且由(1)知an=2+(n-1)×4=4n-2, ∴b

n

故数列{bn}是单调递增的等差数列. 令2n-31=0,得n=1

∵n∈N*,∴当n≤15时,bn<0;

当n≥16时,bn>0,

即b1

故当n=15时,T- -

n取得最小值,最小值为T15

一、选择题．下列属于相对脆弱的自然生态系统的是．绿洲荒漠交界带．水土流失严重区．地质灾害易发区．高寒带生态系统解析：选相对脆弱的自然生态系统常见的有海岛生态系统、干旱区生态系统和高寒带生态系统等。．下列属于非洲的荒漠化问题特别严重的自然原因是．气候干旱．乱垦滥伐．过度放牧．破坏植被解析：选非洲北部为热带沙漠气候，降水稀少，气候干旱，荒漠化问题特别严重；乱垦滥伐、过度放牧和破坏植被为人为原因。新中国成立以来，我国沙漠化土地面积不断扩大，河北怀来沙漠离北京天安门已不足70 km。我国形成的沙漠化土地有85%是滥垦、滥牧和滥伐森林的结果；10%是水资源利用不当和工矿建设破坏林草造成的；5%是沙丘入侵农田和草场所致。据此完成～题。．这些沙漠化土地主要分布在．华南、华东和华北地区．西北、西南和东北地区．西北、东北和华北地区．东北、华北和西南地区．这些沙漠化土地的形成．主要是人类对土地进行不合理的开发和利用，使植被受到破坏所致．是人类发展工农业所致．主要是由于降水减少，蒸发加剧．是由于气候干旱，沙丘不断向农牧业土地推进解析：3.4.A第题，沙漠化土地主要分布在干旱、半干旱和具有旱害的半湿润地区，在我国主要分布在东北、华北和西北地区。第题，由材料可知，我国形成的沙漠化土地有85%是滥垦、滥牧和滥伐森林的结果。位于长江中上游的某茶场，茶园面积600亩，每年四月、七月、十一月要锄草三次，久而久之，茶园“消瘦”了。同时，锄草需要大量劳动力，困惑之际，茶场主人想到“羊喜吃嫩草，却不吃嫩茶”，于是把羊引进茶园，既节约人力、物力，又保持了水土，肥沃了茶园，可谓一举两得。据此完成～题。．长江中上游植被破坏后，给下游地区带来的危害是．泥沙淤积河、湖，洪水排泄不畅，致使洪涝灾害频繁．水土流失日趋严重．气候恶化，导致全球气候变暖．河流径流的季节变化减小．根据长江流域地理特征可以推知，三次锄草中，水土流失最严重的是．四月、七月．四月．七月．十一月．茶园“消瘦”的主要原因是．缺乏分解者．缺少枯枝落叶．土壤中有机质被微生物分解．表层土壤被大量冲走解析：5.6.C7.D第题，长江中上游植被破坏后，导致水土流失加重，河流含沙量增大，因而造成下游淤积严重，洪水排泄不畅，致使洪涝灾害频繁。第题，长江流域降水夏季最为集中，在暴雨冲刷下，水土流失严重，因此四月、七月、十一月相比，水土流失最严重的是七月。第题，从材料中可以看出茶园“消瘦”的主要原因是水土流失造成的表层土壤被大量冲走。二、综合题一、选择题．下列属于相对脆弱的自然生态系统的是．绿洲荒漠交界带．水土流失严重区．地质灾害易发区．高寒带生态系统解析：选相对脆弱的自然生态系统常见的有海岛生态系统、干旱区生态系统和高寒带生态系统等。．下列属于非洲的荒漠化问题特别严重的自然原因是．气候干旱．乱垦滥伐．过度放牧．破坏植被解析：选非洲北部为热带沙漠气候，降水稀少，气候干旱，荒漠化问题特别严重；乱垦滥伐、过度放牧和破坏植被为人为原因。新中国成立以来，我国沙漠化土地面积不断扩大，河北怀来沙漠离北京天安门已不足70 km。我国形成的沙漠化土地有85%是滥垦、滥牧和滥伐森林的结果；10%是水资源利用不当和工矿建设破坏林草造成的；5%是沙丘入侵农田和草场所致。据此完成～题。．这些沙漠化土地主要分布在．华南、华东和华北地区．西北、西南和东北地区．西北、东北和华北地区．东北、华北和西南地区．这些沙漠化土地的形成．主要是人类对土地进行不合理的开发和利用，使植被受到破坏所致．是人类发展工农业所致．主要是由于降水减少，蒸发加剧．是由于气候干旱，沙丘不断向农牧业土地推进解析：3.4.A第题，沙漠化土地主要分布在干旱、半干旱和具有旱害的半湿润地区，在我国主要分布在东北、华北和西北地区。第题，由材料可知，我国形成的沙漠化土地有85%是滥垦、滥牧和滥伐森林的结果。位于长江中上游的某茶场，茶园面积600亩，每年四月、七月、十一月要锄草三次，久而久之，茶园“消瘦”了。同时，锄草需要大量劳动力，困惑之际，茶场主人想到“羊喜吃嫩草，却不吃嫩茶”，于是把羊引进茶园，既节约人力、物力，又保持了水土，肥沃了茶园，可谓一举两得。据此完成～题。．长江中上游植被破坏后，给下游地区带来的危害是．泥沙淤积河、湖，洪水排泄不畅，致使洪涝灾害频繁．水土流失日趋严重．气候恶化，导致全球气候变暖．河流径流的季节变化减小．根据长江流域地理特征可以推知，三次锄草中，水土流失最严重的是．四月、七月．四月．七月．十一月．茶园“消瘦”的主要原因是．缺乏分解者．缺少枯枝落叶．土壤中有机质被微生物分解．表层土壤被大量冲走解析：5.6.C7.D第题，长江中上游植被破坏后，导致水土流失加重，河流含沙量增大，因而造成下游淤积严重，洪水排泄不畅，致使洪涝灾害频繁。第题，长江流域降水夏季最为集中，在暴雨冲刷下，水土流失严重，因此四月、七月、十一月相比，水土流失最严重的是七月。第题，从材料中可以看出茶园“消瘦”的主要原因是水土流失造成的表层土壤被大量冲走。二、综合题一、选择题．下列属于相对脆弱的自然生态系统的是．绿洲荒漠交界带．水土流失严重区．地质灾害易发区．高寒带生态系统解析：选相对脆弱的自然生态系统常见的有海岛生态系统、干旱区生态系统和高寒带生态系统等。．下列属于非洲的荒漠化问题特别严重的自然原因是．气候干旱．乱垦滥伐．过度放牧．破坏植被解析：选非洲北部为热带沙漠气候，降水稀少，气候干旱，荒漠化问题特别严重；乱垦滥伐、过度放牧和破坏植被为人为原因。新中国成立以来，我国沙漠化土地面积不断扩大，河北怀来沙漠离北京天安门已不足70 km。我国形成的沙漠化土地有85%是滥垦、滥牧和滥伐森林的结果；10%是水资源利用不当和工矿建设破坏林草造成的；5%是沙丘入侵农田和草场所致。据此完成～题。．这些沙漠化土地主要分布在．华南、华东和华北地区．西北、西南和东北地区．西北、东北和华北地区．东北、华北和西南地区．这些沙漠化土地的形成．主要是人类对土地进行不合理的开发和利用，使植被受到破坏所致．是人类发展工农业所致．主要是由于降水减少，蒸发加剧．是由于气候干旱，沙丘不断向农牧业土地推进解析：3.4.A第题，沙漠化土地主要分布在干旱、半干旱和具有旱害的半湿润地区，在我国主要分布在东北、华北和西北地区。第题，由材料可知，我国形成的沙漠化土地有85%是滥垦、滥牧和滥伐森林的结果。位于长江中上游的某茶场，茶园面积600亩，每年四月、七月、十一月要锄草三次，久而久之，茶园“消瘦”了。同时，锄草需要大量劳动力，困惑之际，茶场主人想到“羊喜吃嫩草，却不吃嫩茶”，于是把羊引进茶园，既节约人力、物力，又保持了水土，肥沃了茶园，可谓一举两得。据此完成～题。．长江中上游植被破坏后，给下游地区带来的危害是．泥沙淤积河、湖，洪水排泄不畅，致使洪涝灾害频繁．水土流失日趋严重．气候恶化，导致全球气候变暖．河流径流的季节变化减小．根据长江流域地理特征可以推知，三次锄草中，水土流失最严重的是．四月、七月．四月．七月．十一月．茶园“消瘦”的主要原因是．缺乏分解者．缺少枯枝落叶．土壤中有机质被微生物分解．表层土壤被大量冲走解析：5.6.C7.D第题，长江中上游植被破坏后，导致水土流失加重，河流含沙量增大，因而造成下游淤积严重，洪水排泄不畅，致使洪涝灾害频繁。第题，长江流域降水夏季最为集中，在暴雨冲刷下，水土流失严重，因此四月、七月、十一月相比，水土流失最严重的是七月。第题，从材料中可以看出茶园“消瘦”的主要原因是水土流失造成的表层土壤被大量冲走。二、综合题

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