教案：第一讲（力矩和力矩平衡）.doc

2014级高一物理竞赛培训第一讲

力矩和力矩平衡 （两课时）

高一物理组 郭金朋

一：力矩的概念

力矩是改变转动物体的运动状态变化的物理量，门、窗等转动物体从静止状态变为转动状态或从转动状态变为静止状态时，必须受到力的作用。但是，我们若将力作用在门、窗的转轴上，则无论施加多大的力都不会改变其转动状态，可见物体的转动运动状态的变化不仅与力的大小有关，还与受力的方向、力的作用点有关。力的作用点离转轴越远，力的方向与转轴所在平面越趋于垂直，力使转动物体运动状态变化得就越明显。在物理学中力对转动物体运动状态变化的影响，用力矩这个物理量来表示，因此，力矩被定义为力与力臂的乘积。力矩概括了影响转动物体运动状态变化的所有规律，力矩是改变转动物体运动状态的物理量。

力矩是表示力对物体产生转动作用的物理量，是物体转动转动状态改变的原因。它等于力和力臂的乘积。表达式为：M=FL，其中力臂L是转动轴到F的力线的（垂直）距离。单位：Nm 效果：可以改变转动物体运动状态。

转轴： 物体转动时，物体上的各点都沿圆周运动，圆周的中心在同一条直线上，这条直

线就叫转轴。

特点：1，体中始终保持不动的直线就是转轴。

2，体上轴以外的质元绕轴转动，转动平面与轴垂直且为圆周，圆心在轴上。 3，转轴相平行的线上各质元的运动情况完全一样。

大多数情况下物体的转轴是容易明确的，但在有的情况下则需要自己来确定转轴的位置。如：一根长木棒置于水平地面上，它的两个端点为AB，现给B端加一个竖直向上的外力使杆刚好离开地面，求力F的大小。在这一问题中，过A点垂直于杆的水平直线是杆的转轴。象这样，在解决问题之前，首先要通过分析来确定转轴的问题很多，只有明确转轴，才能计算力矩，进而利用力矩平衡条件。

作用于同一物体的同一力，由于所取转轴的位置不同，该力对轴的力矩大小可能发生相应的变化，对物体产生转动作用的方向（简称“转向”）也可能不同。例如如右图中的力F，若以o1为轴（即对o1取矩）其力矩为M1=FL1，使物体逆时针转，若以o2为轴（即对o2取矩）其力矩为M2=FL2，使物体顺时针转，由图可知L1< L2，故M1< M2，且二者反

1

向。由此可见，一谈力矩，必须首先明确是以 何处为轴，或对谁取矩。

力矩的方向：

力矩：力臂(L)和力（F）的叉乘(M)。即：M=L×F。其中L是从转动轴到着力点的矢量, F是矢量力；力矩也是矢量。

补充知识：矢量积（叉乘）

1、定义：对矢量a与b，若矢量c满足 2，c的模c?absin?，?为a与b之间夹角；

3，c的方向垂直于a与b所决定的平面，且c的指向满足右手法则；

则称为c为a与b的向量积，记为a?b，即c?a?b。

右手法则：伸出你的右手，从力臂（指向力的作用线）向力的方向握，那么大拇指的方向就是力矩的方向。

力矩的计算：

①先求出力的力臂，再由定义求力矩M＝FL，如图中，力F的力臂为LF=Lsinθ，则力矩M＝F?L sinθ

2，把力沿平行于杆和垂直于杆的两个方向分解，平行于杆的分力对杆无转动效果，力矩为零；平行于杆的分力的力矩为该分力的大小与杆长的乘积。如图中，力F的力矩就等于其分力F1产生的力矩，M＝F sinθ?L。两种方法不同，但求出的结果是一样的，对具体的问题选择恰当的方法会简化解题过程。

F1 L F θ F2

2

F L LF θ θ

力使物体转动改变的效果不仅跟力的大小有关，还跟力臂有关，即力对物体的转动效果决定于力矩。①当臂等于零时，不论作用力多么大，对物体都不会产生转动作用。②当作用力与转动轴平行时，不会对物体产生转动作用，计算力矩，关键是找力臂。需注意力臂是转动轴到力的作用线的距离，而不是转动轴到力的作用点的距离。 大小一定的力有最大力矩的条件：

1，作用在离转动轴最远的点上；

2，的方向垂直于力作用点和转轴的连线与转轴所构成的平面。

二：定转动轴物体的转动平衡

转动平衡：有转动轴的物体在力的作用下，如果保持静止或匀速转动状态，我们称这个物体处于转动平衡。 平衡条件：

作用于物体上的全部外力对固定转动轴所取力矩的代数和为零。

沿着转轴观察，力矩的转动效应不是使物体沿顺时针转，就是逆时针转，若使物体沿顺时针转的力矩为正，则使物体沿逆时针转的力矩就为负。

当不好判断力是使物体沿哪个方向转动时，可以将力分解带沿杆和垂直于方向沿杆的分力力矩为零（或者垂直于面和平行与面或者轴，其中平行与面或者轴的分力力矩为零）

当作用在有固定转动轴物体上的顺时针方向力矩之和与逆时针方向力矩之和相等时，物体将处于静止或匀速转动状态。有固定转动轴物体的平衡的表达式为：

?M?O或?M???M?

力偶距：

作用在物体上的大小相等.方向相等.作用线平行的两个力组成一个力偶。它对物体只有转动作用，其大小积为力偶距：力偶距=力×力偶臂.力偶臂等于两个力作用线间的距离.力偶距的正负也由它使物体转动方向来确定;逆时针为正,顺时针为负。

利用转动平衡解题的步骤；

（1确定研究对象——哪个物体；

（2分析状态及受力——画示意图；分析研究对象的受力情况，找出每一个力的力臂，分析每一个力矩的转动方向；

（3列出力矩平衡方程：∑M=0或∑M顺＝∑M逆； （4解出字母表达式，代入数据；

3

（5作必要的讨论，写出明确的答案。

一般物体的平衡条件

此处所谈的“一般物体”是指没有固定转动轴物体。

对一个“一般物体”来说，作用在它上面的力的合力为零，对任意一点的力矩之和为零时，物体才能处于平衡状态。也就是说必须一并具有或满足下面两个关系式：

??M?0(对任意转轴）??? ??F?0?注意：∑M=0或∑M顺＝∑M逆，方程转轴可以根据需要可以任意选取，一般原则是尽量多的力力臂为零，或者让未知的力的力矩为零.

例题分析：

例题1： 如图：BO是一根质量均匀的横梁，重量G1＝80N，BO的一端安在B点，可绕通过B点且垂直于纸面的轴转动，另一端用钢绳AO拉着横梁保持水平，与钢绳的夹角

??30o，在横梁的O点挂一个重物，重要G2＝240N，求钢绳对横梁的拉力F1：

（1）本题中的横梁是一个有固定转动轴的物体； （2）分析横梁的受力：拉力F1，重力G1，拉力F2； （3）找到三个力的力臂并写出各自的力矩：

F1的力矩：F1lsin? G1的力矩：G1解：据力矩平衡条件有：

l F2的力矩：G2l 2lF1lsin??G1?G2l?0

2

4

得：F1

?G1?2G2?560N

2sin?例题2：如右上图，半径为R的均匀圆柱体重30 N，在水平绳的拉力作用下，静止于固定斜面上，求：(1)绳子的拉力，(2)斜面对圆柱体的支持力，(3)斜面对圆柱体的摩擦力。

解析：如右下图，圆柱体受重力、斜面的支持力和摩擦力、绳拉力四个力。此四力不是共点力。不可以将绳拉力T，摩擦力f平移到柱体重心处。用共点力平衡条件解决较繁（将斜面对柱体的支持力N和摩擦力f合成为一个力F，则F、T、G共点，然后再将F分解求得N、f）。用力矩解决较好。

取接触点为轴，由力矩平衡有：

T(R+Rcos370)=GRsin370, 得T?G?10N， 3G?10N; 3取柱心为轴，有TR=fR,得f?R?再取拉力作用点为轴，有NRsin370=f（R+Rcos370）, 得N=G=30N。

例题3：如图所示，光滑圆弧形环上套有两个质量不同的小球A和B两球之间连有弹簧，平衡时圆心O与球所在位置的连线与竖直方向的夹角分别为α和β，求两球质量之比。

O

N1 N2 O N3 α A

β

’ m1g B N1

A α

β

B

m2g

解析：此题可以分别分析小球A、B所受共点力，对每个球列共点力平衡方程求解，但是很繁琐。若换一个角度，以O为轴用力矩求解则较方便。如右下图，小球A受到N1、N2、 m1g

5

三个力作用，B受到N1、N3、m2g三个力作用。与弹簧一起看作绕过O点的转动轴平衡问题，其中N2、N3没有力臂，N1和N1的力矩互相抵消。于是有：m1gRsinα=m2gRsinβ，所以有：

’

’

m1sin? 。 ?m2sin?

例题4：一块均匀木板MN长L＝15m，重G1＝400N，搁在相距D＝8m的两个支架A、B上，MA＝NA，重G2＝600N的人从A点向B点走去，如图所示。求：①人走过B点多远木板会翘起来？②为使人走到N点时木板不翘起来，支架B应放在离N多远处？2.67m 、3m

分析和解：当木板刚翘起来时，板的重力对B点产生的力矩和人的重力对B点产生的力矩使板平衡，设人走过B端L时木板会翘起来，则有400?4?600?LB 可解得LB＝2.67m, 同理，可设当人走到N端木板刚要翘起来时，B支架和N端的距离为LBN 则有

400?(7.5?LBN)?600?LBN 可得LBN＝3m

例题5：. 在光滑水平面上有一滑块,滑块上放有一个上端有固定转动轴的木棒,如图1。现用水平力F向右推滑块,但滑块仍静止。试分析滑块对木棒的弹力的变化情况。 分析与解答：

先应弄清施力F前的情况；因为滑块静止,目水平面是光滑的,所以木棒对滑块只有竖直向下的压力

,而无摩擦力。由牛顿第三案律可知,滑块对木棒也只有支持力(弹力)

6

。再

以木棒为研究对象,对于其转动轴,木棒所受的弹力N的力距与木棒的重力距平衡,如图2(a)所示。

施力F点,同样由滑块静止可知,木棒对滑块向左的静摩擦力木棒也有水平向右的静摩擦中

,以与力F平衡。则滑块对

。这样，以木棒为研究对象,对转动轴又增加了一个摩擦

力f的逆时针方向的力距,如图（b）,而木棒的重力对轴的顺时针方向的力距大小是不变的,故木棒所受滑块施的弹力将减小。

[本题交替以滑块和木棒为研究对象,结合物体的平衡条件进行受力分析,正是要求的解题能力]

例题6： 如图3所示,有固定转动轴0的轻板与竖直墙之间夹着一个光滑重球。在板的端点绝竖直向上的力F,使整个装置处于平衡。若缓慢使板与竖直墙的夹角θ增大(仍小于90o),则力F及其对轴o的力距M各将如何变化？

分析与解答：以木板为研究对象，力F对轴o的力距与球对木板的正压力N对轴的力距平衡，因此力F对轴o的力距M的变化情况，取决于弹力N对轴o的力距变化情况，其变化规律如何呢？这就要转移以光滑球的研究对象并应注意抓住球的重力G和半径R这两个不变的因素。设球与板接触点到轴o的距离为X，x?RCot参看图4可知， 板对球的弹力N??2。

G Sin?G?RCot Sin?2对板由力距平衡有，FLSin??Nx?L为板长。

M?FLSin??G?GR RCot??Sin?2Sin22 7

F?GRLSin2?tan?2

可见随增大，M . F都减小。

例题7： 如图5所示，水平轻杆AB长1.5m，其A端有固定转动轴，倾斜轻杆CO与AB夹角为30°AC=1m。在B端有一小定滑轮，绕过定滑轮的细绳左侧成竖直，并连接放在水平支持面重物P，其重G=100N；右侧细绳穿过动滑轮后，端点固定在E点，动滑轮上吊有重物G1=30N。不计滑轮质量及摩擦。求co杆对AB杆的作用力F。

分析与解答：co杆对AB的作用力有两个方面效果，一方面向上支持，另一方沿AB向右推。本题所求是这两个方面效果的合力F，力P的方向沿oc杆斜向上（若计oc方向，这可以对oc杆的转动轴的合力距为零得出）。

另外，在不计绳重和摩擦的前提下，同一根绳沿各方向的拉力（张力）是相等的，本题中定滑轮两侧绳的拉力以及动滑轮两侧的绳拉力都相等。

以动滑轮为研究对象，依题（注意30°角及左右两侧绳的对称性）知它所受的三个力互成120°有

。

以AB杆为研究对象，对轴A有

FACSin30o?GAB?TABSin30o

得F= 135 N。

例题8：如图7所示，一根长为L 重为G0的均匀杆AB，A端顶在粗糙的竖直墙上，与墙的摩擦因数为μ；B端用一根强度足够大的绳挂在墙的C处。此时杆恰好成水平，绳的倾角为。

（1）求杆能保持水平平衡时，μ和应满足的条件。

（2）若P为杆上一点，在BP间挂任意重物都不会使杆的A端下滑，求P点的位置应在何处。

8

分析与解答：（1）以B为轴，由力距平衡，对杆AB如（图8）

fL?GL2 得 f?G002 若以A为轴，则 TLSin??GL02 得 T?G02Si?n 又N?TCos??G02Cot? 要杆不F下滑，应有，

得

(2)设P点到A的距离为X，所挂重物G

?MB?0；

?MC?0：

由1.2得：

要杆F不下滑，需

，

9

即：代入4式得

G0GxTan??xG(??Tan?)?GTan???2LL

xG?GTan??(??Tan?).......5L因为

，所以5，式中左端

，从而右端

应不大于零，否则式中的不等式不成，即：

GTan??

同步达纲练习

xG(??Tan?)?0 L1.如图9所示，长L=4m的均匀吊桥质量m=80kg，成水平时，并未与对岸地面接触，这时牵引绳与桥面成30?角。质量m。=50kg的人站在桥面距轴D为1m处，用水桶打水。桶和水的质量为m=10kg，正以a=0.2m/s的速度上升。此时牵引绳的拉力多大？

简解:水桶加速上升，由牛顿第二定律得 F-mg=ma， F=100N 对轴o，M=o

T=1079N

2.如图10所示，质量为m的均匀杆与地面接触为一固定转动轴，杆与光滑球接触占距0为L/3。求竖直墙对球的弹力T。

简解：对杆

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对球体静止，水平方向有

3.质量为M 边长为a的均匀正方体放在水平地面上，均匀光滑直棒AB长为L，重为G，它的一端A处有一水平轴，使AB放在立方体上，接触点为C，杆对立方体的压力最大？此时立方体所受地面的摩擦力多大？

简解：设杆与地面成o角时，AC距离为x

对轴A：

又

?MO?0

θ=45o时N最大，则

，

力矩平衡条件及应用

力矩平衡难点

（1）从实际背景中构建有固定转动轴的物理模型 （2）灵活恰当地选取固定转动轴

（3）将转动模型从相关系统（连结体）中隔离分析等 物体平衡条件注意点：

实际上一个物体的平衡，应同时满足F合=0和M合=0。

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共点力作用下的物体如果满足F合=0，同时也就满足了M合=0，达到了平衡状态； 而转动的物体只满足M合=0就不一定能达到平衡状态，还应同时满足F合=0方可。 1、如图所示，一根长为L的轻杆OA，可绕水平轴O在竖直平面内自由转动，左端A挂一质量为m的物体，从杆上一点B系一不可伸长的细绳，将绳跨过光滑的钉子C与弹簧K连接，

2弹簧右端固定，这时轻杆在水平位置保持平衡，弹簧处于伸长状态，已知OB=OC=3L，弹簧

伸长量恰等于BC，由此可知，弹簧的劲度系数等于______ 解析：本题中根据给的图确定C点在O的正上方，则已知OB=OC，可以得到BC=2OB 物体的重力产生的力矩M=G×OA=mgL

已知弹簧伸长量Δx=BC，则弹簧的弹力F=kΔx=

k?22L3

光滑钉子C的效果可以等效为光滑的滑轮，则绳子BC的拉力就等于弹簧的弹力

2L3绳子BC的拉力的力臂为O到BC的垂直距离，即为

k?24222LkLL3×3=9

则绳子BC产生的力矩M=

根据力矩平衡，得到则k=9mg/4L

mgL=42kL9

2、如图所示是一种手控制动器，a是一个转动着的轮子，b是摩擦制动片，c是杠杆，O是其固定转动轴。手在A点施加一个作用力F时，b将压紧轮子，使轮子制动。若使轮子制动所需的力矩是一定的，则下列说法正确的是（ ） A、轮a逆时针转动时，所需的力F较小 B、轮a顺时针转动时，所需的力F较小

C、无论逆时针还是顺时针转动，所需的力F相同 D、无法比较F的大小

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解析：如图所示，若轮子a逆时针转动，则此时轮子相对手柄b点是向上运动，则手柄的b点会给轮子向下的摩擦力。

根据作用力和反作用力，轮子会给手柄一个向上的摩擦力f’。 而手柄b点还会受到轮子的弹力N。

分析力矩，则f’产生顺时针力矩，N产生逆时针力矩，A产生顺时针力矩。 因此此时A点施加的力F较小。

反之，若轮a顺时针转动，则轮a对手柄b的摩擦力向下，产生逆时针力矩，而弹力N始终产生逆时针力矩，因此此时需要的力F较大。 故A正确。

3、如图所示，长为L质量为m的均匀木棒，上端用绞链固定在物体上，另一端放在动摩擦因数为μ的小车平台上，小车置于光滑平面上，棒与平台的夹角为θ，当： （1）小车静止时，求棒的下端受小车的支持力； （2）小车向左运动时，求棒的下端受小车的支持力； （3）小车向右运动时，求棒的下端受小车的支持力。

解析：（1）取棒为研究对象.选绞链处为固定转动轴，除转动轴对棒的作用力外，棒的受力情况如图1所示，由力矩平衡条件知：

FN1Lcosθ=mgcosθ/2 得到FN1=mg/2

图1 图2

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（2）小车向左运动，棒另外受到一个水平向左的摩擦力F1作用，受力如图2所示，则有

LFN2FLcosθ=mg2cosθ+μN2Lsinθ

mgF2(1-?tan?)，则FN2＞FN1 所以N2=

（3）小车向右运动时，棒受到向右的摩擦 力F2作用，受力如图3所示，有

LFN3F

Lcosθ+μN3Lsinθ=mg2cosθ

图3

mgF2(1+?tan?) 解得N3=

所以

FN3＜

FN1

5、如图所示 ，AO是质量为m的均匀细杆，可绕O轴在竖直平面内自由转动。细杆上的P点与放在水平桌面上的圆柱体接触，圆柱体靠在竖直的挡板上而保持平衡。已知杆的倾角为θ，AP长度是杆长的0.25倍，各处的摩擦都不计，则挡板对圆柱体的作用力等于____________。

解析：对球和挡板进行受力分析，如图所示

对球进行分析，可以得到，挡板对圆柱体的作用力F等于细杆对球的作用力T水平方向的分力。即F=Tsinθ

再对细杆分析，满足力矩平衡方程

T?312L=mg?Lcos?T=mgcos?423 得到

21F=Tsin?=mgsin?cos?=mgsin2?33则

6、一根木料长5.65 m，把它左端支在地上，竖直向上抬起它的右端时，用力480 N，用相似的方法抬起它的左端时，用力650 N，该木料重___________N

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解析：分别选取木棒的左右两端作 为支点排列力矩平衡方程。 设木棒的重力离开左端距离x，

则离开右端距离为5.65-x 用力F1抬起右端时 Gx=5.65F1 用力F2抬起左端时 G(5.65-x)=5.65F2 两式联立得到G=1130N

7、如图所示，两个等重等长质料均匀直棒AC和BC，其各自一端分别通过转轴与墙壁绞结，其另一端相连于C点，AC棒与竖直墙夹角为45°，BC棒水平放置，当两棒均处于平衡状态时，则BC棒对AC棒作用力方向可能处于哪一区域

A、甲区域 C、丙区域

解析：如图所示A的重力产生顺时针力矩，B的重力产生逆时针力矩。对B分析，则A对B的必须产生顺时针力矩才能够使B平衡，因此A对B的力的范围为B棒上方。 则根据作用力和反作用力，B对A的力的范围就在B棒下方。而对A分析，要使A能够保持平衡，则B对A的力必须产生逆时针力矩，因此B对A的力的范围如图所示，在A棒的上方。那么同时满足B对A的作用范围和B对A的力产生逆时针力矩的范围的区域，即可以使两棒均处于平衡状态的区域，即丁区域。

8、如图所示，均匀木板AB长12 m，重200 N，在距A端3 m处有一固定转动轴O，B端被绳拴住，绳与AB的夹角为30°，板AB水平。已知绳能承受的最大拉力为200 N，那么重为600 N的人在该板上安全行走，离A端的距离应在什么范围？

B、乙区域 D、丁区域

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解析：作出AB板的受力图

人在O轴左端x处，绳子拉直拉力为零.由力矩平衡可得： G人×x-G×CO=0

G?CO200?3G人x==600=1 m.即离A端2 m处.

人在O轴右端y处，绳子的拉力T=200 N，由力矩平衡得： Tsin30°×BO-G人y-G×CO=0

1200??9?200?3Tsin30??BO?G?CO2?G人600y==0.5 m

即离A端3.5 m。

所以人在板上安全行走距A端的距离范围为2 m≤x≤3.5 m 提示：分别选取A点和B点作为转动轴来排列力矩平衡方程。

9、均匀球重为G，置于倾角为30°的斜面上，在球的最高点用水平力F拉住使球静止在斜面上，则F多大？为能使球静止在斜面上，又最省力可将F力施于何处？力F的方向如何？力F的取值为？

解析：以球和斜面的接触点为转轴，排列力矩平衡方程。 重力G，力臂为y，y=Rsin30° 拉力F，力臂为x，x=R+Rcos30°

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Gy=Fx，就能够求出F了

要使得力最小，那么选择力臂最大的点，也就是经过支点的直径的最高点。如图所示。 GRsin30°=F'2R，得到F'=G/4

不需要考虑摩擦力，因为摩擦力过转动轴，不产生力矩。

10、直杆AB和直角弯杆BCD按如图所示连接，A、B、D处均为铰链，杆与铰链的质量都不计。ABCD构成一长方形，将重力为G、可视为质点的物块放在图中P处，则 A、 AB杆对BCD杆的作用力方向沿BC连线向下 B、 BCD杆对AB杆的作用力方向 沿DB连线斜向上 C、 若AP间距变大，BCD杆对AB杆的作用力变大 D、 若AP间距变大，AB杆对BCD干的作用力对转动

轴D的力矩不变

解析：杆和铰链的质量都不计，所以首先很明确的是P产生的力矩是顺时针的。然后注意，题目中有提到“转动轴D”，其实就在提示，D点也要作为转动轴来考虑。

以A点为转动轴来分析，P产生顺时针力矩，那么BCD对AB的力就要产生逆时针的力。不过这时还不能确定力的方向。重点是以D为转动轴来分析BCD上的力矩。因为轻杆不计质量，所以BCD上只有受到2个力，一个是AB对BCD的力，一个是墙壁的弹力。那么墙的弹力产生的力矩为零，因为过D点，而BCD又平衡，所以AB对BCD的力产生的力矩也要为零。 因此只有可能是AB对BCD的力的作用线也过D点。 因此，这个力的方向就是B选项中说的方向。

力矩 有固定转动轴物体的平衡练习题

1.如图所示，轻杆BC的C端铰接于墙，B点用绳子拉紧，在BC中点O 挂重物G.当以C为转轴时，绳子拉力的力臂是(

(A)OB (B)BC (C)AC (D)CE

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D )

2.关于力矩，下列说法中正确的是( AB )

(A)力对物体的转动作用决定于力矩的大小和方向 (B)力矩等于零时，力对物体不产生转动作用 (C)力矩等于零时，力对物体也可以产生转动作用 (D)力矩的单位是“牛·米”，也可以写成“焦”

3.有大小为F1=4N和F2=3N的两个力，其作用点距轴O的距离分别为L1=30cm和L2=40cm，则这两个力对转轴O的力矩M1和M2的大小关系为( (A)因为F1>F2，所以M1>M2

D )

(B)因为F1

(C)因为F1L1=F2L2，所以M1=M2 (D)无法判断M1和M2的大小 4.如图所示是单臂斜拉桥的示意图，均匀桥板aO重为G，三根平行钢 索与桥面成30°角，间距ab=bc=cd=dO.若每根钢索受力相同，左侧 桥墩对桥板无作用力，则每根钢索的拉力大小是(D )

(A)G (B)

3G 6

G 32G(D)

3(C)

5.如图所示，直杆OA可绕O轴转动，图中虚线与杆平行.杆的A端分别受到F1、F2、F3、F4四个力的作用而静止，它们与OA杆在同一竖直平面内，则它们对O点的力矩M1、M2、M3、M4的大小关系是( A )

(A)M1=M2=M3=M4

(B)M1>M2>M3>M4 (C)M1>M2=M3>M4

(D)M1

6.如图所示的杆秤，O为提纽，A为刻度的起点，B为秤钩，P为秤砣.关于杆秤的性能，下列说法中正确的是( AD )

(A)不称物时，秤砣移至A处， 杆秤平衡

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(B)不称物时，秤砣移至B处， 杆秤平衡

(C)称物时，OP的距离与被测物的质量成正比 (D)称物时，AP的距离与被测物的质量成正比

7.如图所示是一根弯成直角的杆，它可绕O点转动.杆的OA段长30cm，AB段长40cm.现用F=10N的力作用在杆上，要使力F对轴O逆时针方向的力矩最大，F应怎样作用在杆上?画出示意图，并求出力F的最大力矩. 图略，5N·m

8.如图所示，质量为m的运动员站在质量为m的均匀长板AB的中点，板位于水平地面上，可绕通过A点的水平轴无摩擦转动.板的B端系有轻绳，轻绳的另一端绕过两个定滑轮后，握在运动员的手中.当运动员用力拉绳子时，滑轮两侧的绳子都保持在竖直方向，则要使板的B

2mg端离开地面，运动员作用于绳的最小拉力是多少？ 3

9.如图所示，均匀杆AB每米重为30N，将A端支起，在离A端0.2m的C处挂一重300N的物体，在B端施一竖直向上的拉力F，使杆保持水平方向平衡，问杆长为多少时，所需的拉力F最小?最小值为多大? 2m, 60N

10.右图所示是用电动砂轮打磨工件的装置，砂轮的转轴通过图中O点垂直于纸面，AB是一

19

长度l=0.60m、质量m1=0.50kg的均匀刚性细杆，可绕过A端的固定轴在竖直面(图中纸面)内无摩擦地转动，工件C固定在AB杆上，其质量m2=1.5kg，工件的重心、工件与砂轮的接触点P以及O点都在过AB中点的竖直线上，P到AB杆的垂直距离d=0.1m，AB杆始终处于水平位置，砂轮与工件之间的动摩擦因数μ=0.6.

(1)当砂轮静止时，要使工件对砂轮的压力F0=100N，则施于B端竖直向下的力FB应是多大?

(2)当砂轮逆时针转动时，要使工件对砂轮的压力仍为F0=100N，则施于B端竖直向下的力FB′应是多大?

11、(1)40N(2)30N

解析：（1）当砂轮静止时，把AB杆和工件看成一个物体，

它受到的外力对A轴的力矩有：重力的力矩（

(m1?m2)gl2）

砂轮对工件的支持力的力矩

F0l2

FB的力矩FBl

由力矩的平衡，得

F0ll?(m1?m2)g?FBl22 ○1

解得

1FB?[F0?(m1?m2)g]2 ○2

代入数据得

FB?40N ○3

?FB（2）当砂轮转动时，除重力、支持力和的力矩外，还有砂轮作用于工件的摩擦力的

力矩

?F0d。

由力矩的平平衡；得

F01l????F0d?(m1?m2)g?FB?FBl22 ○4

解得

20

d?1FB?[F0?(m1?m2)g]??F02I ○5 ?F?30N ○

代入数据得B6

有固定转动轴物体的平衡A卷

一、填空题

1.如图所示，均匀杆OB长为l、重为G1，B端所挂物体重为G2，杆可绕过O点的水平轴在竖直平面内自由转动.B端用轻绳AB系于地面，杆与地面成60。角，轻绳与地面成30°角，则轻绳AB拉力对O点的力臂为 AB的拉力大小为

，挂物体的轻绳对杆的拉力对O点的力矩大小为 ，轻绳

GlG2lG2?12 答案：2,2,

2.如图所示，在半径为R的轮边缘最高点A处用力F使轮滚上台阶，轮与台阶的接触点为P，要使力F最小，则力F的方向应是

，在使轮滚动过程中，力F的力矩是(填“顺时针”

h?或“逆时针”)的.若轮的质量为M，台阶高为小至少为

.

R2，则F的大

答案：与AP连线垂直向右上方，

Mg顺时针，2

3.如图所示，OAB为均匀直角尺，重为2G，且OA＝AB，直角尺可绕过O点的水平轴在竖直平面内自由转动.为使杆的OA部分保持水平，则在B端施加的最小作用力应为 力于A端，则最小作用力为

.

；若施

3G32G答案：4,2

21

4.如图所示，将粗细均匀直径相同的两根棒A和B粘合在一起，并在粘合处悬挂起来，恰好处于水平平衡.如果A棒的密度是B棒的2倍，那么A棒的重力是B棒的重力的 答案：2

5.如图所示，等边的直角拐尺每边的质量均为m，拐角处用铰链铰于天花板上，左端用细绳与放在地面上的质量也为m的物体相连.平衡时绳子保持竖直，那么绳子拉力的大小为 物体对地面的压力大小为

.

，倍.

mg3?1mg3?322答案：,

6.如图所示，是人手臂骨骼与肌肉的生理结构示意图，手上托着重为G的物体.(1)在方框中画出前臂受力示意图(把手、手腕、尺骨和桡骨看成一个整体，它们所受重力不计，图中O点看作固定转动轴，O点受力可以不画)；(2)根据图中标尺估算出手臂的二头肌此时的收缩力大小约为

.

????

答案：8G

7.如图所示，杆CO长为0.5m，C端铰于墙上，O端用轻绳OE系于墙上，并在O端下面挂一个光滑轻滑轮，滑轮下用轻绳跨过滑轮悬挂两个物体，物体A重2N，物体B重5N，物体B放在地面上，两绳都恰竖直，整个装置处于静止状态，则绳OD对杆的拉力对E点的力矩为 答案：2N·m

22

.

8.如图所示，力矩盘转轴在其圆心O点，重心在G点(恰在O点的正下方)，半径OA恰水平.现在A点加一竖直向下的拉力使盘缓慢转动，直到A点到达最低点前，在此过程中，竖直向下的拉力的大小将 答案：增大，增大

二、选择题

9.如图所示，T字形轻质支架abO可绕过O点的水平轴在竖直平面内自由转动，支架受到图示方向的F1、F2和F3的作用，则关于O点 A.F1和F3的力矩同方向. B.F2和F3的力矩同方向.

C.若三个力矩不平衡，为使它平衡， 在a点施力可使力最小.

D.为使加在a点的2N的力产生最大 力矩可使此力方向与ab杆垂直. 答案：A、C

10.如图所示，一均匀杆AB，能绕过A端的水平轴在竖直平面内转动.在杆的另一端B用一始终竖直向上的力拉杆，当杆沿逆时针缓慢转过一个小角度时，拉力F的大小及拉力的力矩M的大小与原来相比是 (

A.F变大，M变大. B.F变大，M不变. C.F不变，M变大. D.F不变，M不变. 答案：C

11.如图所示，均匀直杆AB的A端装有垂直于纸面的水平转动轴，B端搁在小车上，杆与车的水平上表面间滑动摩擦系数为μ，小车静止时，杆对车的压力大小为N1.当小车水平向左运动时，杆对车

)

(

)

，该拉力的力矩大小将

.(填“增大”、“不变”或“减小”)

23

的压力大小为N2，则 (

A.N1＝N2. B.N1＜N2. C.N1＞N2. D.无法确定. 答案：C

)

12.如图所示，长为lm的轻杆OA可绕过O点的水平轴自由转动，在A端挂一个质量为M的物体.现将长也为lm的轻绳系在杆上的某点B，另一端系于墙上.为使杆保持水平，选取适当的B点位置，能使绳子拉力最小，此时绳子拉力的大小与B点到O点的距离分别是 (

)

A.Mg，3m.

3m2B.Mg，.

2mC.2Mg，2m. D.2Mg，2.

答案：D

13.如图所示，密度为ρ、边长为L的均匀立方体，表面光滑，静止在水平面上，并抵住一个小木桩.有风与水平方向成45°角斜向上地吹到立方体的一个面上，产生压强为p，则使立方体刚要翻动的p户值为 (

)

2L?g3. A.2L?g. B.

C.L?g. 答案：C

15.如图所示，用单位长度质量为P的材料制成的长方形框架ABCD，已知AB＝a，BC＝b，可绕过AB边的水平轴自由转动.现在CD边的中点施加一个水平力F，为使框架静止时与竖直方向成α角，则力F的大小应为

A.pg(a+b)tgα.

(

)

2L?g2. D.

B.pg(a+b)ctgα.

?g?a?2b?tg?C.答案：A

2. D.pg(a+2b)ctgα.

24

三、计算题

17.如图所示，力矩盘因偏心，在距轴心水平距离6cm的A处挂10g钩码后盘转过30°静止在如图位置.若在A点处挂30g钩码，则圆盘与最初相比要转过多大角度才能平衡? 答案：60°

18.如图所示，ABO为直角轻杆，O为水平转轴，在B点用细绳吊一个重为G＝12N的小球并靠在BO杆上.已知AB＝30cm，BO＝40cm，细绳BC长L＝20cm，小球半径，＝10cm，在杆的A端加外力F，使OB杆在竖直方向保持静止.问:(1)力F竖直向下时大小为多少?(2)力F的最小值是多少? 答案：(1)4N(2)2.4N

19.如图所示，重200N的均匀杆OA，可绕过O点的水平轴自由转动，杆斜靠在竖直墙上，杆与水平面间的夹角θ＝60°，墙与杆间夹有一张纸，纸的重及纸与墙间的摩擦力不计，纸与杆间的滑动摩擦系数μ＝0.2.问要多大的竖直向上的力才能将纸向上匀速抽出? 答案：10.35N(提示:纸共点力平衡而杆力矩平衡)

25

有固定转动轴物体的平衡B卷

一、填空题

1.如图所示，用两块长都为L的砖块叠放在桌面边缘，为使砖块突出桌面边缘的距离最大且不翻倒，则上面的第一块砖突出下面的第二块砖的距离为 的距离为

.

，下面第二块砖突出桌面边缘

LL答案：2,

4

2.如图所示，半径为R的轮放在台阶边上，现在轮的边缘处施加力F使轮缓慢地滚上台阶，轮与台阶的接触点为P，要使力F最小，则力F的方向应是

，在使轮滚动过程中F的力

h?矩的方向是 小至少应为

(填“顺时针”或“逆时针”)的.若轮的质量为M，台阶的高.

R2，则力F的大

答案：垂直于OP方向，顺时针，

3Mg 23.如图所示，质量不计的杆O。B和02A，长度均为l，O1和O2为光滑固定转轴，A处有一凸起物搁在O，B的中点，B处用细绳系于O2A的中点，此时两短杆组合成一根长杆。今在O，B杆上的C点(C为AB的中点)悬挂一重为G的物体，则A处受到的支撑力大小为 B处细绳的拉力大小为 答案：G/2，G

4.如图所示，一个半径为R、重为G的匀质半球体，放在地面上，其重心位置在球心O下的C点，OC?.

，

3RG.现在半球体上表面的平面上放一重为的小物体P，已知小物体与半球体的84平面问的滑动摩擦系数μ＝0.2，则要保证半球体倾斜后小物体不滑下，小物体的位置离开半球体球心的最大距离为

.

26

答案：0.3R

5.一根粗细不均匀的木棒，长为4m，当支点在距其粗端1.4m时，木棒恰好水平平衡.如果在其细端挂一个重为80N的物体，就必须将支点向其细端移动0.4m，木棒才能平衡.则棒重为

.

答案：440N(提示:木棒的重心在距粗端1.4m处)

6.如图所示，一支杆秤有两个提纽，已知OA＝7cm，OB＝5cm，秤锤质量为2kg，秤杆重不计.使用0处提纽时，秤的最大称量为10kg，则可知使用B处提纽时，秤的最大称量为 答案：40kg

7.如图所示，均匀杆重为G，通过图示滑轮装置用力F将杆拉成水平.若保持与杆相连的绳子均垂直于杆，拉力F与竖直方向成60°角，滑轮重与摩擦均不计，B为杆的中点，则拉力的大小F＝

.

G答案：2?3(提示:先找出B处绳子 拉力和A处绳子拉力的关系，TB?3TA)

8.如图所示，均匀棒AB的A端铰于地面，B端靠在长方体物体C上，C被压在光滑竖直墙面上.若在C上再放一物体，整个装置

仍平衡，则B端与C物体间的弹力大小将比原来(填“大”、“不变”或“小”). 答案：变大

二、选择题

9.图所示为四种悬挂镜框的方案，设墙壁光滑，镜框重心位置在镜框的正中间，指出图中可能实现的方案是

( )

27

答案：B(提示:用共点力平衡和力矩平衡讨论)

10.如图所示，一质量为m的金属球与一细杆连接在一起，细杆的另一端用铰链铰于墙上较低位置，球下面垫一木板，木板放在光滑水平地面上，球与板间的滑动摩擦系数为μ，下面说法中正确的有 ()

A.用水平力将木板向右匀速拉出时，拉力F＝μmg. B.用水平力将木板向右匀速拉出时，拉力F＜μmg. C.用水平力将木板向左匀速拉出时，拉力F＞μmg. D.用水平力将木板向左匀速拉出时，拉力F＜μmg. 答案：D(提示:球所受摩擦力向右，对杆的力矩是顺时针的)

11.如图所示，均匀光滑直棒一端铰于地面，另一端搁在一个立方体上，杆与水平面间的夹角α为30°左右.现将立方体缓慢向左推，则棒对立方体的压力大小将 ( A.逐渐增大. B.逐渐减小.

)

C.先增大后减小. D.先减小后增大.

答案：C(提示:可证明夹角为45°时压力最大)

12.如图所示，物体放在粗糙平板上，平板一端铰接于地上，另一端加一竖直向上的力，使板的倾角θ缓慢增大，但物体与木板间仍无相对滑动，则下列量中逐渐增大的有( A.板对物体的静摩擦力. B.物体对板的正压力. C.拉力F.

)

D.拉力F的力矩. 答案：A

13.如图所示，两根均匀直棒AB、BC，用光滑的铰链铰于B处，两杆的另外一端都用光滑铰链铰于墙上，棒BC呈水平状态，a、b、c、d等箭头表示力的方向，则BC棒对AB棒的作用力的方向可能是 (

)

28

A.a. B.b. C.C. D.d.

答案：A(提示:先分析出BC对AB作用力的可能范围，再分析AB对BC作用力的可能范围，从而得出BC对AB作用力的又一 范围，在上述两者的交集中的是可能的)

14.如图所示，直杆OA可绕过O点的水平轴自由转动，图中虚线与杆平行，杆的另一端A点受到四个力F1、F2、F3、F4的作用，力的作用线与OA杆在同一竖直平面内，它们对转轴O的力矩分别为M1、M2、M3、M44，则它们间的大小关系是( A.M1＝M2＞M3＝M4. B.M2＞M1＝M3＞M4. C.M4＞M2＞M3＞M1. D.M2＞M1＞M3＞M4.

答案：B(提示:将各力分解成沿杆 方向和垂直于杆方向的两个力， 只比较后者的力矩即可)

15.如图所示，用长为2R的细直杆连结的两个小球A、B，它们的质量分别为m和2m，置于光滑的、半径为R的半球面碗内.达到平衡时，半球面的球心与B球的连线和竖直方向间的夹角的正切为

(

)

)

A.1.

1B.2.

1C.3.

1D.4.

答案：B(提示:把两球与杆看成整体，用力矩平衡解)

16.如图所示，在静止的小车上固定一个天平杆架，当杆的一端用细线挂一个物体时，杆的另一端用一轻绳系于小车底板上，轻绳恰竖直，杆恰水平.在小车向右作匀加速直线运动的过程中，轻绳的拉力与原来相比将( A.增大. C.变小.

)

B.不变. D.无法判断.

29

答案：B(提示:悬挂物体的细 线拉力对杆的力矩不变) 三、计算题

17.如图所示，均匀长板AB重300N、长为12m，可绕过O点的水平轴转动，O点距A点为4m，B端用轻绳系于天花板上的C点，BC与杆成θ＝30°角，板恰水平.绳子能承受的最大拉力为200N，有一重为500N的人在板上行走，求人能安全行走的范围. 答案：从O点以左1.2m到O点以右2.8m

18.如图所示，球重为G，半径为R，由轻杆BC支持并斜靠在墙上.轻杆长为L，C端铰于墙上，B端用水平绳拉住，系于墙上，求:当杆与墙的夹角α为多大时水平绳所受拉力最小，最值为多少.

4GRL答案：60°，

{提示:球共点力平衡而杆力矩平衡，

T?GR???2??Lsi?nco?tsan2Lsi2n??1?2sin?22?2?

GR2sin2当

?2?1?2sin2?2时有极小值]

30

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