2018年高考物理专题4 万有引力与航天

1．(多选)(2017·新课标全国Ⅰ·21)我国发射的“嫦娥三号”登月探测器靠近月球后，先在月球表面附近的近似圆轨道上绕月运行；然后经过一系列过程，在离月面4m高处做一次悬停(可认为是相对于月球静止)；最后关闭发动机，探测器自由下落．已知探测器的质量约为1.3×103kg，地球质量约为月球的81倍，地球半径约为月球的3.7倍，地球表面的重力加速度大小约为9.8m/s2.则此探测器( ) A．在着陆前的瞬间，速度大小约为8.9m/s B．悬停时受到的反冲作用力约为2×103N

C．从离开近月圆轨道到着陆这段时间内，机械能守恒

D．在近月圆轨道上运行的线速度小于人造卫星在近地圆轨道上运行的线速度

2．(2017·江苏单科·3)过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51pegb”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕．“51pegb”绕其中心恒星做匀速圆周运1

动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的，该中心恒星与太阳的质量比约

20为( )

1

A.B．1C．5D．10 10

3．(2017·四川理综·5)登上火星是人类的梦想，“嫦娥之父”欧阳自远透露：中国计划于2020年登陆火星．地球和火星公转视为匀速圆周运动，忽略行星自转影响．根据下表，火星和地球相比( )

行星 地球 火星 A.火星的公转周期较小

半径/m 6.4×106 3.4×106 质量/kg 6.0×1024 6.4×1023 轨道半径/m 1.5×1011 2.3×1011

B．火星做圆周运动的加速度较小 C．火星表面的重力加速度较大 D．火星的第一宇宙速度较大

4．(2017·安徽理综·24)由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式，三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动(图1为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况)．若A星体质量为2m、B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求：

图1

(1)A星体所受合力大小FA； (2)B星体所受合力大小FB； (3)C星体的轨道半径RC； (4)三星体做圆周运动的周期T.

1．题型特点

关于万有引力定律及应用知识的考查，主要表现在两个方面：(1)天体质量和密度的计算：主要考查对万有引力定律、星球表面重力加速度的理解和计算．(2)人造卫星的运行及变轨：主要是结合圆周运动的规律、万有引力定律，考查卫星在轨道运行时线速度、角速度、周期的计算，考查卫星变轨运行时线速度、角速度、周期以及有关能量的变化．以天体问题为背景的信息题，更是受专家的青睐．高考中一般以选择题的形式呈现． 2．命题趋势

从命题趋势上看，对本部分内容的考查仍将延续与生产、生活以及航天科技相结合，形成新情景的物理题．

考题一 万有引力定律的理解

1．(2017·安康二模)由中国科学院、中国工程院两院院士评出的2017年中国十大科技进展新闻，于2017年1月19日揭晓，“神九”载人飞船与“天宫一号”成功对接和“蛟龙”号下潜突破7000米分别排在第一、第二．若地球半径为R，把地球看做质量分布均匀的球体．“蛟龙”下潜深度为d，天宫一号轨道距离地面高度为h，“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的加速度之比为( ) R－dA. R＋h?R－d??R＋h?2C. R3?R－d?2B. ?R＋h?2?R－d??R＋h?D.

R22．(2017·海南单科·6)若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为2∶7，已知该行星质量约为地球的7倍，地球的半径为R.由此可知，该行星的半径约为( ) 177A.RB.RC．2RD.R 222

3．(2017·崇明模拟)理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零．现假设地球是一半径为R、质量分布均匀的实心球体，O为球心，以O为原点建立坐标轴Ox，如图2所示．一个质量一定的小物体(假设它能够在地球内部移动)在x轴上各位置受到 的引力大小用F表示，则选项所示的四个F随x变化的关系图正确的是( )

图2

1．辨析下列说法的正误： m1m2由F万＝G2得

r

①r→∞时，F万＝0( √ ) ②r→0时，F万＝∞( × ) 2．万有引力定律的适用条件： (1)可以看成质点的两个物体之间． (2)质量分布均匀的球体之间．

(3)质量分布均匀的球体与球外质点之间．

考题二 天体质量和密度的估算

4．(2017·湖南五市十校5月模拟)如图3所示，“嫦娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨道，观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间t通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ弧度．已知万有引力常量为G，则月球的质量是( )

图3

l2A.3 Gθt

θ3B.2 Glt

l3C.2 Gθtt2D.3 Gθl

5．(2017·湖南省十三校第二次联考)为了测量某行星的质量和半径，宇航员记录了登陆舱在该行星表面做圆周运动的周期T，登陆舱在行星表面着陆后，用弹簧秤称量一个质量为m的砝码读数为N.已知引力常量为G.则下列计算中错误的是( ) N3T4A．该行星的质量为43 16πGm4π2NT2

B．该行星的半径为

m3π

C．该行星的密度为2

GT

NT

D．该行星的第一宇宙速度为 2πm

6．(2017·安阳二模)嫦娥五号探测器由轨道器、返回器、着陆器等多个部分组成．探测器预计在2017年由长征五号运载火箭在中国文昌卫星发射中心发射升空，自动完成月面样品采集，并从月球起飞，返回地球，带回约2kg月球样品．某同学从网上得到一些信息，如表格中的数据所示.

月球半径 月球表面的重力加速度 地球和月球的半径之比 地球表面和月球表面的重力加速度之比 请根据题意，判断地球和月球的密度之比为( ) 2A. 3C．4

3B. 2D．6

估算天体质量的两种方法：

1．如果不考虑星球的自转，星球表面的物体所受重力等于星球对它的万有引力． MmgR2

mg＝G2 M＝ RG

2．利用绕行星运转的卫星，F万提供向心力． Mm4π24π2r3

G2＝m2·r M＝2 rTGT

R0 g0 R＝4 R0g＝6 g0

M3π

特例：若为近地面卫星r＝Rρ＝＝2

VGT

考题三 卫星运行参量的分析

7．(多选)(2017·天津·8)P1、P2为相距遥远的两颗行星，距各自表面相同高度处各有一颗卫星s1、s2做匀速圆周运动．图4中纵坐标表示行星对周围空间各处物体的引力产生的加速度a，横坐标表示物体到行星中心的距离r的平方，两条曲线分别表示P1、P2周围的a与r2的反比关系，它们左端点横坐标相同．则( )

图4

A．P1的平均密度比P2的大 B．P1的“第一宇宙速度”比P2的小 C．s1的向心加速度比s2的大 D．s1的公转周期比s2的大

8．(2017·武汉四月调研)17世纪，英国天文学家哈雷跟踪过一颗慧星，他算出这颗彗星轨道的半长轴约等于地球公转半径的18倍，并预言这颗慧星将每隔一定的时间飞临地球，后来哈雷的预言得到证实，该慧星被命名为哈雷慧星．哈雷彗星围绕太阳公转的轨道是一个非常扁的椭圆，如图5所示．从公元前240年起，哈雷彗星每次回归，中国均有记录，它最近一次回归的时间是1986年．从公元前240年至今，我国关于哈雷慧星回归记录的次数，最合理的是( )

图5

A．24次 C．124次

B．30次 D．319次

9．(2017·襄阳模拟)我国志愿者王跃曾与俄罗斯志愿者一起进行“火星－500”的实验活动．假

11

设王跃登陆火星后，测得火星的半径是地球半径的，质量是地球质量的.已知地球表面的重

29力加速度是g，地球的半径为R，忽略火星以及地球自转的影响，求： (1)火星表面的重力加速度g′的大小；

(2)王跃登陆火星后，经测量，发现火星上一昼夜的时间为t，如果要发射一颗火星的同步卫星，它正常运行时距离火星表面将有多远？

1．基本规律

mvMm4π22

F万＝G2＝man＝＝mω·r＝m2·r

rrTGM

得：an＝2，v＝

r

GM

，ω＝r

GM，T＝r34π2r3 GM

2

r时(an、v、ω)，T 2．宇宙速度 (1)vⅠ＝gR＝

GM＝7.9km/s R

①最小的发射速度． ②(近地面)最大的环绕速度． (2)vⅡ＝2vⅠ＝11.2km/s. (3)vⅢ＝16.7km/s.

考题四 卫星变轨与对接

10．如图6所示，我国发射了一颗地球资源探测卫星，发射时，先将卫星发射至距离地面50km的近地圆轨道1上，然后变轨到近地点距离地面50km、远地点距离地面1500km的椭圆轨道2上，最后由轨道2进入半径为7900km的圆轨道3，轨道1、2相切于P点，轨道2、3相切于Q点．忽略空气阻力和卫星质量的变化，则以下说法正确的是( )

图6

A．该卫星从轨道1变轨到轨道2需要在P处点火加速 B．该卫星在轨道2上稳定运行时，P点的速度小于Q点的速度 C．该卫星在轨道2上Q点的加速度大于在轨道3上Q点的加速度 D．该卫星在轨道3的机械能小于在轨道1的机械能

11．(2017·黄冈八校第二次联考)美国宇航局的“信使”号水星探测器按计划将在2017年3月份陨落在水星表面．工程师找到了一种聪明的办法，能够使其寿命再延长一个月．这个办法就是通过向后释放推进系统中的高压氦气来提升轨道．如图7所示，设释放氦气前，探测器在贴近水星表面的圆形轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，释放氦气后探测器进入椭圆轨道Ⅱ上，忽略探测器在椭圆轨道上所受外界阻力．则下列说法正确的是( )

图7

A．探测器在轨道Ⅱ上A点运行速率小于在轨道Ⅱ上B点速率 B．探测器在轨道Ⅱ上某点的速率可能等于在轨道Ⅰ上的速率

C．探测器在轨道Ⅱ上远离水星过程中，引力势能和动能都减少 D．探测器在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上A点加速度大小不同

1．变轨问题中，各物理量的变化

v2

(1)当v增大时，所需向心力m增大，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，r脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，但卫星一旦进入新的轨道运行，由v＝速度要减小，但重力势能、机械能均增加．

mv2

(2)当卫星的速度突然减小时，向心力减小，即万有引力大于卫星所需的向心力，因此卫

r星将做向心运动，同样会脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，进入新轨道运行时由v＝知运行速度将增大，但重力势能、机械能均减少． 2．规律总结

(1)卫星变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新轨道上的运行速度变化由v＝

GM判断． r

GMr

GM知其运行r

GMm

(2)卫星绕过不同轨道上的同一点(切点)时，其加速度大小关系可用F＝2＝ma比较得出．

r

考题五 双星与多星问题

12．(2017·上饶三模)双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此圆周运动的周期为( ) A.

nTB.k

n2TC.k

n3TD.k2n3T k

13．(2017·衡水高三下学期期中)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图8所示，三颗质量均为m的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为L，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，万有引力常量为G，下列说法正确的是( )

图8

A．每颗星做圆周运动的角速度为3Gm L3B．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关

C．若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则周期变为原来的2倍 D．若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则线速度变为原来的4倍

1.双星系统具有如下特点：

(1)它们以相互间的万有引力来提供向心力． (2)它们共同绕它们连线上某点做圆周运动． (3)它们的周期、角速度相同． (4)r、an、v与m成反比． 2．N星系统

(1)向心力由其他星对该星万有引力的合力提供．(力的矢量合成) (2)转动的星的T(ω)相等． 注意：运算过程中的几何关系．

专题综合练

1.(2017·山东理综·15)如图9所示，拉格朗日点L1位于地球和月球连线上，处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动．据此，科学家设想在拉格朗日点L1建立空间站，使其与月球同周期绕地球运动．以a1、a2分别表示该空间站和月球向心加速度的大小，a3表示地球同步卫星向心加速度的大小．以下判断正确的是( )

图9

A．a2>a3>a1

B．a2>a1>a3

C．a3>a1>a2 D．a3>a2>a1

2．(多选)(2017·揭阳质检)已知引力常量G、月球中心到地球中心的距离r和月球绕地球运行的周期T.仅利用这三个数据，可以估算的物理量有( ) A．地球的质量 B．地球的密度 C．地球的半径

D．月球绕地球运行速度的大小

3．(2017·泰安二模)设地球半径为R，质量为m的卫星在距地面R高处做匀速圆周运动，地面的重力加速度为g，则( ) A．卫星的线速度为B．卫星的角速度为gC．卫星的加速度为 2D．卫星的周期为4π

R ggR 2g 4R

4．(2017·雅安三诊)2017年3月5日，国务院总理李克强在十二届全国人民代表大会上所作的政府工作报告中提到：“超级计算、探月工程、卫星应用等重大科研项目取得新突破”，并对我国航天事业2017年取得的发展进步给予了充分肯定．若已知地球半径为R1，赤道上物体随地球自转的向心加速度为a1，第一宇宙速度为v1；地球同步卫星的轨道半径为R2，向心加速度为a2，运动速率为v2，判断下列比值正确的是( ) a1R1A.＝ a2R2v1R1C.＝ v2R2

a1R1B.＝()2 a2R2v1D.＝v2

R1 R2

5．(2017·龙岩市5月模拟)如图10所示，一个质量均匀分布的星球，绕其中心轴PQ自转，AB与PQ是互相垂直的直径．星球在A点的重力加速度是P点的90%，星球自转的周期为T，万有引力常量为G，则星球的密度为( )

图10

0.3πA.2 GT10πC. 3GT23πB.2 GT30πD.2 GT

6．(多选)(2017·南通二模)据报道，一颗来自太阳系外的彗星于2017年10月20日擦火星而过．如图11所示，设火星绕太阳在圆轨道上运动，运动半径为r，周期为T，该慧星在穿过太阳系时由于受到太阳的引力，轨道发生弯曲，彗星与火星在圆轨道的A点“擦肩而过”．已知万有引力常量G，则( )

图11

A．可计算出太阳的质量

B．可计算出彗星经过A点时受到的引力 C．可计算出彗星经过A点的速度大小

D．可确定慧星在A点的速度大于火星绕太阳的速度

7．(多选)(2017·绥化二模)我国研制的“嫦娥三号”月球探测器于2017年12月1日发射成功，并成功在月球表面实现软着陆．如图12所示，探测器首先被送到距离月球表面高度为H的近月轨道做匀速圆周运动，之后在轨道上的A点实施变轨，使探测器绕月球做椭圆运动，当运动到B点时继续变轨，使探测器靠近月球表面，当其距离月球表面附近高度为h(h<5m)时开始做自由落体运动，探测器携带的传感器测得自由落体运动时间为t，已知月球半径为R，万有引力常量为G.则下列说法正确的是( )

图12

A．“嫦娥三号”的发射速度必须大于第一宇宙速度 B．探测器在近月圆轨道和椭圆轨道上的周期相等

C．“嫦娥三号”在A点变轨时，需减速才能从近月圆轨道进入椭圆轨道

D．月球的平均密度为

3h

2πGRt28．(2017·银川二模)我国第一颗绕月探测卫星——嫦娥一号于2007年10月24日成功发射．如图13所示，嫦娥一号进入地月转移轨道段后，关闭发动机，在万有引力作用下，嫦娥一号通过P点时的运动速度最小．嫦娥一号到达月球附近后进入环月轨道段．若地球质量为M，月球质量为m，地心与月球中心距离为R，嫦娥一号绕月球运动的轨道半径为r，G为万有引力常量，则下列说法正确的是( )

图13

A．P点距离地心的距离为

M

R

M＋m

M

B．P点距离地心的距离为R

M＋mC．嫦娥一号绕月运动的线速度为D．嫦娥一号绕月运动的周期为2πRGM rR Gm

9．(多选)(2017·潍坊二模)2017年2月7日，木星发生“冲日”现象．“木星冲日”是指木星和太阳正好分处地球的两侧，三者成一条直线．木星和地球绕太阳公转的方向相同，公转轨迹都近似为圆．设木星公转半径为R1，周期为T1；地球公转半径为R2，周期为T2，下列说法正确的是( ) T1R12A.＝() T2R23T1R13B.＝() T2R22

2T1T2C．“木星冲日”这一天象的发生周期为 T1－T2D．“木星冲日”这一天象的发生周期为

T1T2 T1－T2

10．(2017·北京朝阳区4月模拟)第一宇宙速度又叫做环绕速度，第二宇宙速度又叫做逃逸速度．理论分析表明，逃逸速度是环绕速度的2倍，这个关系对其他天体也是成立的．有些恒星，在核聚变反应的燃料耗尽而“死亡”后，强大的引力把其中的物质紧紧地压在一起，它的质量非常大，半径又非常小，以致于任何物质和辐射进入其中都不能逃逸，甚至光也不能

逃逸，这种天体被称为黑洞．已知光在真空中传播的速度为c，太阳的半径为R，太阳的逃cR

逸速度为.假定太阳能够收缩成半径为r的黑洞，且认为质量不变，则应大于( )

500rA．500 C．2.5×105

B．5002 D．5.0×105

11．(多选)(2017·陕西西安交大附中四模)物体在万有引力场中具有的势能叫做引力势能．若取两物体相距无穷远时的引力势能为零，一个质量为m0的质点距质量为M0的引力中心为r0时，其万有引力势能Ep＝－

GM0m0(式中G为引力常量)．一颗质量为m的人造地球卫星以半r0

径为r1圆形轨道环绕地球飞行，已知地球的质量为M，要使此卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径增大为r2，则在此过程中( ) 11

A．卫星势能增加了GMm(－) r1r2GMm11

B．卫星动能减少了(－)

3r1r2GMm11

C．卫星机械能增加了(－)

2r1r2

2GMm11

D．卫星上的发动机所消耗的最小能量为(－) 3r2r1

12．(2017·合肥二质检)如图14所示，P是一颗地球同步卫星，已知地球半径为R，地球表面处的重力加速度为g，地球自转周期为T.

图14

(1)设地球同步卫星对地球的张角为2θ，求同步卫星的轨道半径r和sinθ的值．

π

(2)要使一颗地球同步卫星能覆盖赤道上A、B之间的区域，∠AOB＝，则卫星可定位在轨道3某段圆弧上，求该段圆弧的长度l(用r和θ表示)．

答案精析

专题4 万有引力与航天

真题示例

GMmGMGM

1．BD [在星球表面有2＝mg，所以重力加速度g＝2，地球表面g＝2＝9.8m/s2，则

RRR1GM813.7×3.7GM11

月球表面g′＝＝×2≈g，则探测器重力G＝mg′＝1300×

181R66?R?23.7×9.8N≈2×103N，选项B正确；探测器自由落体，末速度v＝2g′h≈

4×9.8m/s≠8.9 m/s，3

选项A错误；关闭发动机后，仅在月球引力作用下机械能守恒，而离开近月轨道后还有制动GM′m

悬停，所以机械能不守恒，选项C错误；在近月轨道运动时万有引力提供向心力，有R′2mv

，所以v＝R′

2

＝

1GM81

＝1R3.7

3.7GM＜81RGM，即在近月圆轨道上运行的线速度小于人R

造卫星在近地圆轨道上运行的线速度，选项D正确．]

Mm4π24π2r3

2．B [根据万有引力提供向心力，有G2＝m2r，可得M＝2，所以恒星质量与太阳rTGT

2

M恒r3行T地1365

质量之比为＝32＝()3×()2≈1，故选项B正确．]

4M太r地T行20

Mm4π2

3．B [由G2＝m2r＝ma知，T＝2π

rTr3GM

，a＝2，轨道半径越大，公转周期越大，GMr

MmMg地M地?R火?2

加速度越小，A错误，B正确；由G2＝mg得g＝G2，＝·?≈2.6，火星表面的RRg火M火??R地?vMm

重力加速度较小，C错误；由G2＝m得v＝

RR宙速度较小，D错误．]

m2m27

4．(1)23G2 (2)7G2 (3)a (4)πaa4

a3 Gm

2

GMv地

，＝Rv火M地R火

·≈2.2，火星的第一宇M火R地

mAmB2m2

解析 (1)由万有引力定律，A星体所受B、C星体引力大小为FBA＝G2＝G2＝FCA

ra

方向如图所示

m2

则合力大小为FA＝FBA·cos30°＋FCA·cos30°＝23G2

a(2)同上，B星体所受A、C星体引力大小分别为 mAmB2m2

FAB＝G2＝G2

ramCmBm2

FCB＝G2＝G2

ra方向如图

由余弦定理得合力FB＝

2FAB＋F2FCB·cos120°＝CB－2FAB·

m2

7G2 a

(3)由于mA＝2m，mB＝mC＝m

通过分析可知，圆心O在BC的中垂线AD的中点 则RC＝

?3a?2＋?1a?2＝7a ?4??2?4

a3 Gm

m22π

(4)三星体运动周期相同，对C星体，由FC＝FB＝7G2＝m()2RC，可得T＝πaT

考题一 万有引力定律的理解

M

1．C [令地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的的万有引力大小相等，有：g＝G2.R4G·ρπR3

34GM4

由于地球的质量：M＝ρ·πR3，所以重力加速度的表达式可写成：g＝2＝＝πGρR.23RR3质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为d的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于(R－d)的球体在其表面产生的万有引力，故“蛟龙”号所在处的重力加速度g′R－d4Mm

g′＝πGρ(R－d)，所以有＝.根据万有引力提供向心力G＝ma，“天宫一号”

3gR?R＋h?2g′?R－d??R＋h?2GMaR2

的加速度为a＝，所以＝所以＝.]

g?R＋h?2aR3?R＋h?22．C [平抛运动在水平方向上为匀速直线运动，即x＝v0t，在竖直方向上做自由落体运动，

1

即h＝gt2，所以x＝v0

2

g行x22h地7

，两种情况下，抛出的速率相同，高度相同，所以＝2＝，gg地x行4

M行g地

·＝2，解得R行＝2R，故C正确．] M地g行

R行MmGM

根据公式G2＝mg可得R2＝，故＝RgR地

GM

3．A [设地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有：g＝2.

R44πGRρ

由于地球的质量为M＝πR3·ρ，所以重力加速度的表达式可写成：g＝. 33

根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零，故在深度为(R－r)的地球内4πGρ

部，受到地球的万有引力即为半径等于r的球体在其表面产生的万有引力，g′＝r，当

3rR后，g与r的平方成反比．即质量一定的小物体受到的引力大小F在地球内部与r成正比，在外部与r的平方成反比．]

考题二 天体质量和密度的估算

ll

4．C [l＝Rθ则R＝；v＝ θt

vGMml3

“嫦娥三号”绕着月球做匀速圆周运动，F＝2＝m.代入v与R，解之可得M＝2] RRGθtNGM

5．B [用弹簧秤称量一个质量为m的砝码读数为N，g＝＝2，登陆舱在该行星表面做圆

mrGMm2π2GM2π2NT2N3T4

周运动的周期T，2＝mr()，2＝r()，解以上二式得，r＝，M＝43；行

rTrT4mπ216πGmMM3π

星的密度ρ＝＝＝2；该行星的第一宇宙速度为v＝

V43GT

πr3Mm

6．B [在地球表面，重力等于万有引力，故：mg＝G2

RgR2GgR2M3g

解得：M＝.故密度：ρ＝＝＝ GV434πGR

πR33g0同理，月球的密度：ρ0＝ 4πGR0

ρgR013

故地球和月球的密度之比：＝＝6×＝.] ρ0g0R42

GMNT

＝.] r2πm

2

考题三 卫星运行参量的分析

M

7．AC [由题图可知两行星半径相同，则体积相同，由a＝G2可知P1质量大于P2，则P1

r平均密度大于P2，故A正确；第一宇宙速度v＝GM，所以P1的“第一宇宙速度”大于R

GM

P2，故B错误；卫星的向心加速度为a＝，所以s1的向心加速度大于s2，故C正确；

?R＋h?2GMm4π2由＝m2(R＋h)得T＝

T?R＋h?24π2?R＋h?3，故s1的公转周期比s2的小，故D错误．] GM

R313＝R2

R3T18．B [设彗星的周期为T1，地球的公转周期为T2，由开普勒第三定律2＝k得：＝

TT2

240＋1986

183≈76，可知哈雷彗星的周期大约为76年，≈29.所以最合理的次数是30次．故

76B正确，A、C、D错误．] 3gR2t214

9．(1)g (2) －R

936π22

GMm0解析 (1)在地球表面，万有引力与重力相等，2＝m0g

RGM′m04对火星2＝m0g′ 联立解得g′＝g 9R′

(2)火星的同步卫星做匀速圆周运动的向心力由火星的万有引力提供，且运行周期与火星自转周期相同．设卫星离火星表面的高度为h，则 3gR2t21GM′m02π2

＝m0()(R′＋h) 解得：h＝－R

t36π22?R′＋h?2

考题四 卫星变轨与对接

10．A [人造卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，设卫星的质量为m、GMmmv

轨道半径为r、地球质量为M，有：2＝＝ma，解得：v＝

rr

2

GM.卫星在轨道上运行时，r

轨道的半长轴越大，需要的能量越大，由于轨道2半长轴比轨道1半径大，因此该卫星从轨道1变轨到轨道2需要在P处点火加速，故A正确；该卫星在轨道2上稳定运行时，根据开普勒第二定律可知，近地点P点的速度大于远地点Q点的速度，故B错误；根据牛顿第二定GMmmvGM

律和万有引力定律2＝＝ma得：a＝2，所以卫星在轨道2上经过Q点的加速度等

rrr于在轨道3上经过Q点的加速度，故C错误；卫星在轨道上运行时，轨道的半长轴越大，需要的能量越大，由于轨道3半径比轨道1半径大，所以该卫星在轨道3的机械能大于在轨道1的机械能．故D错误．]

11．B [根据开普勒第二定律知探测器与水星的连线在相等时间内扫过的面积相同，则知A点速率大于B点速率，故A错误；在圆轨道A点实施变轨成椭圆轨道是做逐渐远离圆心的运动，要实现这个运动必须万有引力小于飞船所需向心力，所以应给飞船加速，故A点在轨道

2

Ⅱ上的速度大于在轨道Ⅰ上的速度

GM

，在轨道Ⅱ远地点速度最小为rAGM

，故探测器在rB

GM

，故B正确；探rA

轨道Ⅱ上某点的速率在这两数值之间，故可能等于在轨道Ⅰ上的速率

测器在轨道Ⅱ上远离水星过程中，引力势能增加，动能减小，故C错误；探测器在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上A点所受的万有引力相同，根据F＝ma知加速度大小相同，故D错误．]

考题五 双星与多星问题

12．D [两恒星之间的万有引力提供各自做圆周运动的向心力，则有G

m1m22π2

)，2＝m1r1(LT

23

m1m22π224πLG2＝m2r2()，又L＝r1＋r2，M＝m1＋m2，联立以上各式可得T＝，故当两恒星总LTGM

质量变为kM，两星间距变为nL时，圆周运动的周期T′变为n3T.] k

13．C [三星中其中两颗对另外一颗星的万有引力的合力来提供向心力，由于是等边三角形，m2L所以每个角都是60°，根据万有引力提供向心力G2×2cos30°＝mω2r，其中r＝，得出ω

L3＝

3Gmm23Gm

所以A项错误；根据G2×2cos30°＝man，得出向心加速度的表达式an＝2，3，LLL

m24π2

圆周运动的加速度与三星的质量有关，所以B项错误；根据G2×2cos30°＝m2r，解出周

LT期的表达式T＝4π2L3，距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，周期为T′＝3Gm

Gm，若距离L和每L

v24π3?2L?3m2

＝2T，所以C项正确；根据G2×2cos30°＝m得出v＝

Lr3G?2m?

颗星的质量m都变为原来的2倍，线速度不变，所以D项错误．]

专题综合练

4π2

1．D [因空间站建在拉格朗日点，故其周期等于月球的周期，根据a＝2r可知，a2>a1，

TGM

对空间站和地球的同步卫星而言，由于同步卫星的轨道半径较空间站的小，根据a＝2可知

ra3>a2，故选项D正确．]

Mm4π24π2r3

2．AD [根据万有引力提供向心力有：G2＝m2r，得地球的质量为：M＝2，故A正

rTGT确．根据题目条件无法求出地球的半径，故也无法求得地球的密度，故B、C错误．根据v＝

2πr

，则可求得月球绕地球运行速度的大小，故D正确．故选A、D.] T

gR

，选2

v2Mm0Mm

3．A [对地面上的物体有：G2＝m0g；对卫星G＝m，联立解得：v＝

R2R?2R?2

v

项A正确；卫星的角速度为ω＝＝2RC错误；卫星的周期为T＝

2π

＝4πω

gg

，选项B错误；卫星的加速度为a＝ωv＝，选项8R4

2R

，选项D错误．] g

4．A [因为地球同步卫星的角速度和地球赤道上的物体随地球自转的角速度相同，由a1＝a1R1ω2R1，a2＝ω2R2可得：＝，故A正确，B错误；对于地球同步卫星和以第一宇宙速度运

a2R2动的近地卫星，由万有引力提供做匀速圆周运动所需向心力得到： v2v2MmMm12

G2＝m，G2＝m R1R1R2R2v1解得：＝v2

R2，故C、D错误．] R1

5．D [因为两极处的万有引力等于物体的重力， 故：GP＝

GMm

R2由于赤道处的向心力等于万有引力与物体在赤道处的重力之差， GMmGMm4π2

故：2－0.92＝m2R

RRT40π2R3

解得：M＝

GT2M30π

则星球的密度ρ＝.] 3＝4πRGT23

GMm4π2

6．AD [火星绕太阳在圆轨道上运动，根据万有引力提供向心力，列出等式：2＝m2r，

rT4π2r3

得：M＝2，故A正确；由于不知道彗星的质量，所以无法求解彗星经过A点时受到的引

GT力，故B错误；彗星经过A点做离心运动，万有引力小于向心力，不能根据v＝

GM求解r

彗星经过A点的速度大小，该彗星在穿过太阳系时由于受到太阳的引力，轨道发生弯曲，彗星与火星在圆轨道的A点“擦肩而过”，所以可确定彗星在A点的速度大于火星绕太阳的速度，故C错误，D正确．]

7．ACD [“嫦娥三号”在地表的发射速度大于第一宇宙速度小于第二宇宙速度，A项正确；椭圆轨道的轨道半长轴和近月圆轨道的轨道半径不相等，因此周期不相同，B项错误；从近gR2

月圆轨道需要点火减速才能进入椭圆轨道，C项正确；月球质量M＝，除以体积得到月球

G3g12h

密度ρ＝，根据自由落体运动下落高度为h，运动时间为t，有h＝gt2得到g＝2代入

4πGR2t上述密度表达式中，ρ＝

3h

，D项正确．] 2πGRt2

8．A [据题知嫦娥一号通过P点时地球和月球对卫星的万有引力大小相等，设P点到地心GMm卫mm卫M

和月心的距离分别为r1和r2，则有2＝G2，又r1＋r2＝R，解得：r1＝R，故

r1r2M＋mmm卫

A正确，B错误；嫦娥一号绕月运动时，由月球的万有引力提供向心力，则有：G2＝m卫

rv24π2

＝m卫r2，解得线速度v＝rT

Gm，T＝2πrr

r，故C、D错误．] Gm

R3R131

3＝()，故A错误，B正确；当再R2R22

R3R3T112

9．BD [由开普勒第三定律得2＝2，解得：＝T1T2T2

2π2π

次发生“木星冲日”时，地球与木星两者转过的角度相差2π，所以t－t＝2π，解得：t＝

T2T1T1T2，故C错误，D正确．] T1－T2

2v1Mm

10．C [太阳收缩成半径为r的黑洞后G2＝m，解得v1＝

rr

GM

，其逃逸速度为v2＝2r

v1＝2GM2GM，由题意可知：>c；对太阳来说rr2GMcR

＝，联立两式可得：>2.5×105，R500r

故选C.]

GMmGMm11

11．AC [引力势能的增加量ΔEp＝－－(－)＝GMm(－)，故A正确；根据万有

r2r1r1r2v2Mm1GMmGMm1

引力提供向心力有：G2＝m，解得Ek1＝mv2.同理，Ek2＝，所以，动能的减1＝r1r122r12r2GMmGMmGMm11小量为ΔEk＝－＝(－)．故B错误；根据能量守恒定律，卫星机械能增加

2r12r22r1r2GMm11

等于发动机消耗的最小能量，即E＝ΔEp－ΔEk＝(－)．故C正确，D错误．]

2r1r23R2T2g34π2Rπ

12．(1) 2 2 (2)2r(－θ) 4πTg3

Mm2π解析 (1)设地球和同步卫星的质量分别为M和m，则：G2＝m()2r

rT又有GM＝gR2，且rsin θ＝R 3R2T2g34π2R

解得：r＝；sin θ＝ 4π2T2g

ππ

(2)如图所示，由几何关系可知α＝－θ，所以l＝r·2α＝2r(－θ)

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