利用直线倾斜角求椭圆焦半径 Word版含解析(数理化网)

今天我们研究利用直线倾斜角求椭圆焦半径.根据椭圆的第二定义，可以推导出椭圆焦半

径含倾斜角的公式，而且当倾斜角为直角时，焦点弦最短。

先看例题：

x2y2例：已知椭圆C:2?2?1(a＞b＞0),其相应于焦点F(2,0)的准线方程为x=4.已知过点

abF1(－2,0)倾斜角为θ的直线交椭圆C于A,B两点,求证:|AB|?解：

42;

2?cos2??c?2,?2?a2?8,??a?4,根据题目条件，可知?∴可以解得：?2

??b?4.?c222??a?b?cx2y22??1.离心率e?∴椭圆C的方程为 842又F1(－2,0)是椭圆C的左焦点，设l为椭圆的左准线,则l:x=－4. 作AA1⊥l于A1,BB1⊥l于B1,l与x轴交于点H(如图).

∵点A在椭圆上, ∴|AF1|?2|AA1| 2?22(|F1H|?|AF1|cos?)?2?|AF1|cos?. 22∴|AF1|?

2.

2?cos?同理：|BF1|?2.

2?cos?∴|AB|=|AF1|+|BF1|

?22?

2?cos?2?cos?42. 22?cos??

时,记k=tanθ.则AB:y=k(x+2), 2

2

2

?另解：当??

将其代入方程x+2y=8 得(1+2k)x+8kx+8(k－1)=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),

则x1,x2是此二次方程的两个根.

2

2

2

2

8k28(k2?1)?x1?x2??,x1x2?. 221?2k1?2k|AB|?(x1?x2)2?(y1?y2)2 ?(1?k2)(x1?x2)2 ?(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2] ?8k2232(k2?1)?(1?k)[()?]. 221?2k1?2k242(1?k2).① ?21?2k∵k=tanθ,代入①式得|AB|?2

2

42.②

2?cos2?当??

?

时,|AB|?22仍满足②式. 2

∴|AB|?42. 22?cos?注意：另解思考上更直接，但明显运算量较大。

规律整理：

对于焦点在x轴上的椭圆：

x2y2?2?1(a?b?0)，2ab 22ab左焦点F1,焦准距p??c?cc|BF1|?|AF1|?|BF1|?ep

1?ecos?ep

1?ecos?ep

1?ecos?

x2y2??1(a?b?0)，a2b2 22ab右焦点F，焦准距p??c?cc|BF|?ep

1?ecos?ep

1?ecos?|AF|?

再看一个例题，加深印象

x2y23例：已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的离心率为，过右焦点F且斜率为k(k>0)的直

ab2????????线l与椭圆C相交于A，B两点，若AF?3FB，则k=________

解：根据前面的公式，分别表示出

|AF|?epep，|BF|?

1?ecos?1?ecos?ep3ep?

1?ecos?1?ecos?根据题意有：

所以cos??进而tan??3 32k?2

总结： 1.椭圆的焦点在x轴上，利用直线倾斜角可以直接写出椭圆焦半径。 2.本文的公式都是以倾斜角为锐角的情形推导的，若倾斜角为直角或者钝角仍然成立。 3.当倾斜角为直角时，焦点弦最短即为椭圆的通径。 练习：

x2y2??1，过点F1(－2,0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于点A,B和1.已知椭圆C: 84D,E,求|AB|＋|DE|的最小值.

x2y22.设椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左焦点为F,过点F的直线l与椭圆C相交于A,B两点，

ab直线l的倾斜角为60°,AF?2FB. 求椭圆C的离心率; 答案 1.

解：设直线AB倾斜角为θ,由于DE⊥AB,

????????|AB|?4242,. |DE|?2?cos2?2?sin2?4242 ?222?cos?2?sin?|AB|?|DE|??122122?.

2?sin2?cos2?2?1sin22?4当?? 2.

?3?162或??时,|AB|+|DE|取得最小值. 443 解： |AF|?epep|BF|?

1?ecos?1?ecos?ep2ep?

1?ecos?1?ecos?cos??2 31 2e?

另解：设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知y1<0,y2>0. 直线l的方程为y?3(x?c),其中c?a2?b2. ?y?3(x?c),?联立?x2y2得(3a2?b2)y2?23b2cy?3b4?0

?2?2?1b?a?3b2(c?2a)?3b2(c?2a)解得y1? ,y2?3a2?b23a2?b2????????因为AF?2FB,所以?y1?2y2.

3b2(c?2a)?3b2(c?2a)即 ?2?22223a?b3a?b得离心率e?c2?. a3另解：与直接用焦半径公式比较，计算繁琐。

另解：设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知y1<0,y2>0. 直线l的方程为y?3(x?c),其中c?a2?b2. ?y?3(x?c),?联立?x2y2得(3a2?b2)y2?23b2cy?3b4?0

?2?2?1b?a?3b2(c?2a)?3b2(c?2a)解得y1? ,y2?3a2?b23a2?b2????????因为AF?2FB,所以?y1?2y2.

3b2(c?2a)?3b2(c?2a)即 ?2?22223a?b3a?b得离心率e?c2?. a3另解：与直接用焦半径公式比较，计算繁琐。

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