智轩考研数学红宝书2010版--线性代数 (第四章 线性方程组)

2010智轩考研数学创高分红宝书系列---线性代数（第四章 线性方程组）

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97 第四章 线性方程组

2009考试内容 (本大纲为数学1，数学2-3和农学数学需要根据大纲作部分增删)

线性方程组的克莱姆（Cramer）法则 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件 非齐次线性方程组有

解的充分必要条件 线性方程组解的性质和解的结构 齐次线性方程组的基础解系和通解 解空间 非齐次线性方程组的通解

考试要求

1. 会用克莱姆法则。

2. 理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件。

3. 理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法。

4. 理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念。

5. 掌握用初等行变换求解线性方程组的方法。

一、 n 元齐次方程组 0AX =(n 为未知数的个数)的解系统

1.1 解的结构

0AX =一定有解。()r A n =有唯一零解；()r A n < 有()n r A -个线性无关的解向量，称为基础解系（它不是唯一的，一般取最简单的整数形式），它构成解的线性空间S （称为解空间），解的空间维度为()()R S n r A =-，它是一个极大无关组，0Ax =的通解都可以由他们线性表出，即

()()()11220 i n R A n R A AX x k k k k x x x --=T=+++L 为不全为零的任意常数

1.2解的性质

若12, x x 是0Ax =的解，则1212, , k k x x x x ±也是0AX =的解。

若0AB =，则B 的列向量是方程0AX =的解向量。

【例1】设方程组123412341234

20253033440x x x x x x x x x x x x +-+=ì?+++=í?+++=?，则下列向量是该方程组的解是(

)。 ()[]()[]()[]()[]

12341, 2, 1, 1 5, 1, 0, 3 2, 1, 5, 3 1, 0, 1, 0T T T T A B C D a a a a =-=-==

解：选()B 。 []123415211211702021102153071051334401330A a a a a -??-?????÷?÷?÷?÷==′′?÷?÷?÷-?÷?÷′′′?÷è?è?è?

显然只有第二列对应的2a 满足0AX =，而134, , a a a 不是，解向量只有一个。注意′号位置不用计算。

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98

【例2】设123212315A -???÷

=?÷?÷-è?

，B 是3阶矩阵，求满足0AB =的所有的B 。

解：将B 分块，设()12

3B b b b =

()()11

2

31

2

323

000A AB A A A A A A b b b b b b b b b =ì?

===?=í?=?，即1

23b b b 是0AX =的解向量。

()()12

312

31231

23710

5123123123421205405401

5315054000000777741745444, ,,055555RREF A k k k B k k k k k k k k k x x ?

?

?÷---???????÷?÷?÷?÷

?÷=?-?-?-?÷?÷?÷?

÷?÷?÷?÷--?÷è?è?è?

?÷?÷è

?---??

???÷

T=-T=-T=1?÷?÷è??÷è?

。 【例2-1】已知方程组()1334010

x x x x +=ìí

-=?；方程组()2的基础解系为()30120,T

a =

()41331T

a =---，求()()12的公共解。

解：()()12101010010100, 101100110011T T

RREF

A a a ????=?T==-?

÷?÷

--è?è? 公共解11223344112233440k k k k k k k k a a a a a a a a T+=+ü+--=

()()1

23

4101011001101301011, 1, 2, 10123001201010000RREF

B k a a a a -????

?÷?÷

--?

÷?÷

=--=?T=-?÷?÷--?÷?÷

-è?è?。 智轩第26技 RREF 法全面解决0AX =和AX b =的解。 1.3求解0AX =的方法定势--- RREF 法

① 将A 化为简化行阶梯形（RREF），如有r 个非零行，则基础解系中有n r -个解向量； ② 确定非主元所在的列的对应的变量的值，共有n r -个非主元；

③ 将非主元表示为主元的线性叠加的，表示式中的系数为对应非主元列向量的负值，缺少的主元分别取

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99 n r -个线性无关的单位向量10000100,,01?????????÷?÷?÷?÷?÷?÷?÷?÷×××?÷?÷?÷?÷?÷?÷?÷?÷è?è?è?è?

M M M M M M 之一，依次补满到n 维向量，最后每一未知量的解向量全部元素化为互质整数，这样求得的n r -线性无关的解就是基础解系。

⑤ 基础解系中n r -个向量的线性组合就是所求的通解。

■RREF 求解齐次方程组题型题法

【例3】求解齐次方程组123451234512

345123454302355032035670

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++-=ì?+++-=?í-+--=??+++-=?的一个基础解系。 解：1114311143111431021221

3550113101131011311132102262000000000031567022620000000000RREF

A ----?????????÷?÷?÷?÷-------?÷?÷?÷?÷=????÷?÷?÷?÷-----?÷?÷?÷?÷---è?è?è?è? 主元为12, x x 对应的列，选非主元345, , x x x 为待确定量，它们所在的行的数值对应乘以主元12, x x 的系数（恒等于1）的负值，即为三个解向量()122, , x x x 的12, x x 坐标的值，由于原方程有5个未知数，故需要用单位向量3E 的三列分别补上345, , x x x 的位置，则基础解系为：

()()()()()()11

2345212

34531

2345211001301021001T T T T T T x x x x x x x x x x x x x x x x x x ==-==--== 评 注 如果A 化成一般阶梯形时求解很方便，就没必要继续化为简化行阶梯形，而利用等价方程组直接求出基础解系。上述方法还是求矩阵特征向量（对应某一特征值）的基本步骤，望读者务必掌握，下例再次让你掌握其精髓。

【例4】求齐次方程组123412341234

24530364204817110x x x x x x x x x x x x -++=ì?-++=í?-++=?的通解。

解：21201211724535536420010017748171100000000RREF

A éù--êú---éù-éùêúêúêúêúêú=-??????????êúêúêúêú-êú??êú??êúêú??只能行变换只能行变换

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100 在上述的RREF 中，有两个主元13x x 和 ，主元的个数就是秩()2R A =，解向量有

()422n R A -=-=个基础解，又由于有4个未知数，故使用2E 的两列1001?????÷?÷è?è?

和分别补上24x x 和 的位置，最后所求的基础解系如下：

()1122123344112212122227100, 0557******* , 0507x x x x x x x x k k k k k k x x x x x ??

?÷?????????÷?÷?÷?÷?÷?÷?÷?÷?÷?÷====??????=?÷?÷?÷?÷?÷--?÷?÷?÷?÷?÷?÷è?è?è?è??÷è?

?????÷?÷?÷?÷=+=+?÷?÷-?÷?÷è?è?

化为互质的整数通解为不全为零 1.4 n 元齐次方程组0AX =与矩阵秩的联系

将矩阵看成是列向量构成的这个观点十分重要，正是因为这个视角，结合分块矩阵的运算方法，就可以把矩阵的乘积0AB =和齐次方程组联系起来，即B 的列向量就是0Ax =的解。从而可以利用方程组的解系统理论来解决有关矩阵秩的题型。

■有关齐次方程组0AX =与矩阵秩关系题型题法

【例5】设,A B 都是n 阶方阵，齐次方程组0AX =，0BX =有相同的基础解系123, , x x x ，则123, , x x x 必是（ ）的基础解系。

()()()()() 0 0 0 A A B X B ABX

A C X D

B +==??=?֏?

以上都不对 解：齐次方程组的特解向量具有三个要素：一是方程组的解；二是线性无关；三是所有的解都能由()n R A -个解向量线性表出（注意：n 是方程组未知数的个数）。

依题意，()()3R A R B n ==-，显然123, , x x x 是()A ()B ()C 的解，而且是线性无关的，故()D 不对。下面关键是判断()A ()B ()C 中，哪个方程组的系数矩阵的秩是3n -或哪个方程组的任意一个解能由123, , x x x 线性表出。

()A 由于()()R A B R A +1，故不对；

()B 由于()()R AB R A ￡， 故也不对；

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101 ()C 使用排除法，当然对。我们将分析如下：

由于00, 0A X AX BX B ??=?==?÷è?，同时成立。设x 是 0A X B ??=?÷è?

的任意一个解，

则0, 0A B x x ==同时成立，x 就能由0, 0AX BX ==的基础解系123, , x x x 线性表出，故()C 正确。

【例6】设B 是三阶非零矩阵，B 的每一列向量都是下列方程组的解

123123123220

2030

x x x x x tx x x x +-=ì?-+=í?+-=?。 求t 和()R B 。

解： 12221311A t -?

?

?÷=-?÷?÷-è?

B 是三阶非零矩阵，则方程组有非零解。 ()122120

212115101311310

A t t t t -=-=--=-=T=-

依题意，0AB =，则()()3R A R B +￡

()()()()12212012112102

31131032101

t A R A R B R B R B -?

?

?

?

?÷?÷=T=-?-T=?÷?÷?÷?÷-è?è?T￡-=1T=，

【例7】1212

01,0101A t t Ax t éù

êú==êúêú??

为二维解空间，求0AX =通解

解 ()()22101222010011t t A t t t t éù

--êú

Têúêú---êú??

， ()()422r A n r S =-=-=Q ；

1t \= 1210101011011110000001A x k k ????

-???÷?÷

--?÷?÷?÷=T=+?÷?

÷?÷?÷?÷?÷è?è?è?

【例8】 11

2224336A ??

?÷=?÷?÷è?

，求 秩 2=的三阶矩阵B ，使

0AB =。

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102 解 1120000000Ax A ???÷=T=?÷?÷è?，基础解系为：121,001--?????÷?÷?÷?÷?÷?÷è?è?

由于秩 2=，所求矩阵第三列取0向量120100010B --???÷T=?÷?÷è?

【例9】设齐次方程组()()()1231231

231520233020a x x x a x a x x x x x +++=ì?++++=í?-++=?有非零解，且其任一解均和非零向量a 成比例，

求a 的值。

解：0AX =有非零解，知()3r A <，又其任一解均和非零向量a 成比例，知其通解为k a ，故()312r A =-=，对A 做初等变换

152121121121233152110110121233130040a A a a a a a a a a a a +---?????????÷?÷?÷?÷=++?+?-?-?÷?÷?÷?÷?÷?÷?÷?÷-++---è?è?è?è?

显然，当1a =或4a =时，()2r A =。

【例10】已知线性方程组 123123222123000

x x x ax bx cx a x b x c x ì++=?++=í?++=?问： ()1, , a b c 满足何种关系时，方程组仅有零解？

()2, , a b c 满足何种关系时，方程组有无穷多组解，并用基础解系表示全部解。

解：系数行列式显然为范德蒙型，故

()()()2

221

11D a b

c b a c a c b a b c ==--- ()1当 , , 0b a c a c b D 111T1，方程有唯一零解：1230x x x ===

()2分四种情形讨论：

1o 当a b c =1时，原方程变为 123300

x x x x ++=ìí=?，由于方程简单明了，故直接求解（此时使用RREF

反倒麻烦）：()11, 1, 0k x =-

2o

当a c b =1时，原方程变为 123200x x x x ++=ìí=?，由于方程简单明了，故直接求解（此时使用RREF

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103 反倒麻烦）：()20, 1, 1k x =-

3o

当b c a =1时，原方程变为 1231

00x x x x ++=ìí=?，由于方程简单明了，故直接求解（此时使用RREF 反倒麻烦）：()30, 1, 1k x =- 4o 当a b c ==时，原方程变为 1230x x x ++=，使用RREF 求解：

()()451, 1, 01, 0, 1k k x =-+-。

【例11】已知()()()1231231232123123

23001 2350 2 2100x x x x bx cx x x x x b x c x x x ax ++=ì++=ì??++=íí+++=???++=?与同解，求, , a b c 。 解：设()1()2的系数矩阵分别为A ，B 。由于方程组()2的方程个数大于未知数个数，故有无穷多解，()1()2同解，解空间同维度，必有()3R A<，因此： 123

2350211A a a

==T=

()123123123101235011011011 *112011000000RREF

A ?????????÷?÷?÷?÷=?--???÷?÷?÷?÷?÷?÷?÷?÷--è?è?è?è? 故()1的基础解系为：()11, 1, 1T x =--。()()

21101, 1, 1 21T b b c c x ==ìì=--?????íí==??代入方程或。 当11121011012213011011RREF

b B

c =ì??????T=??í?÷?÷?÷=--?è?è?è?显然与()*式同解。 当01011011202000RREF b B c =ì????T=?í

?÷?÷=?è?è?显然与()*式不同解。 所以，终上所述：2, 1, 2a b c ===。

【例12】设A ，B 是n 阶非零矩阵，满足0AB =，*0A 1，若12, , , k a a a L 为0BX =的一个基础解系，a 是任意n 维列向量，证明：B a 可由12, , , , k a a a a L 线性表示，并说明这个表示是否唯一。 解： 由0AB =和0B 1（0AB =有非0解）推知A 不可逆（否则0B =），即()R B n <，又*0A 1，根据

()()()()()()**, 1, 1 110, 1

n R A n R A R A n R A R A n R A n =ì?==-T=T=-í?<-?则有

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104 又()()()()()0111AB R A R B n R B n n R B =T+￡T￡--=T=

推得0BX =的解空间为()()1R S n R B n =-=-维，设为121, , , n a a a -L 。

故，若a 与121, , , n a a a -L 线性相关，则a 是0BX =的解，即0B a =，显然B a 可由

()12, , , , 1k k n a a a a =-L 线性表示但表示法不唯一；

若a 与121, , , n a a a -L 线性无关，则a 不是0BX =的解，即0B a 1，显然B a 也可由

()12, , , , 1k k n a a a a =-L 线性表示但表示法唯一。 二、 n 元非齐次方程组Ax b =的解系统

2.1无解充要条件 ()()r A r A b 1M

2.2 有解充要条件 ()()r A r A b =M

● ()()r A r A b n ==M 有唯一解0D A ?=1，

其解由克莱姆法则得出 i i D x D =

（1,2,i n =××××××）求得。 ● ()()r A r A b =M n < 有无穷多个解

2.3 AX b =与0AX =解的关系

①0AX =称为AX b =的导出组。

② 0AX =的解无条件存在，但由此不能推出Ax b =是否有解；反过来，如果Ax b =有唯一解，

则0Ax =只有零解，如果AX b =有无穷多个解，则0AX =有非零解。

③AX b =的一般解为AX b =的一个特解和其导出租一般解的和，设 0 AX b h =是一个特解，

12,,0n r AX h h h -××××=是的基础解系，则Ax b =有无穷解时，可表示为

()()01122n R A n R A X k k k h x x x --=++++L 评 注 特解是指不含待定系数的解，通解是含待定系数的解，当待定系数被确定时，通解就变成了特解。

2.4 无解和有解的本质---同维解空间

关系()()r A r A b 1M 究竟有什么内涵？首先如果()1r A r =，就意味0AX =有1r 个独立方程和1r 个独立的自由变量，其余的1n r -个变量可以由这r 个线性无关向量组成的极大无关组表示出来，也就是说0AX =的解空间为1n r -维；()2r A b r =M 表示有2r 个独立的合理方程，即2r 个方程不仅相互独立，而且相互没有矛盾，也就是AX b =的解空间为2n r -维，如果()()1212r A r A b r r n r n r 1T1T-1-M ，意味两个解空间不同维，不同维度的向量是不能相互叠加的，也不能相互表出，犹如三维和二维坐标空间不能相互运算一样，原方程必无解。同理()()r A r A b =M 必有解，在同维解空间内，即()()r A r A b =M 时，如果AX b =独立方程的个数()r A 或()r A b M 等于未知数的个数n ，则有唯一解，否则，有无穷多

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105 个解。

2.5 AX b =的求解方法-----RREF 法

把增广矩阵()A b M 化成简化行阶梯形（RREF ），最右边的一列就是Ax b =的特解。去掉最右边的一列，剩下的矩阵就是系数矩阵A 的简化行阶梯形，据此可求出基础解系。例如，假如

()102101110000A b ??

?÷?--?÷?÷è?

M ， 则 ()()01110, 211T T h x =-=- ()()011110211T T

x k x k h x T=+T=-+-

2.6 AX b =解的三大性质 ·12, h h 是Ax b =的两个解T

122

h h +也是AX b =的一个特解，而12h h -是导出组0AX =的一个解；但12h h +不是导出组0AX =的解；而且122h h +与12h h -是线性无关的。 ·h 是Ax b =的一个解，x 是导出组0Ax =的一个解h x T+是Ax b =的一个解。

·123, , h h h 是AX b =的三个线性无关的解，则导出组0Ax =至少有两个线性无关的解()()112213, 2n R A x h h x h h =-=--3，依次类推。并且AX b =的通解可以写成 ()()1112213112, 0, 0k k k k x x h h h h h ==-+-+11。

■RREF 求解非齐次方程组题型题法

【例13】设方程组

1231231232123020 2140

x x x x x ax x x x a x x a x ì++=?++=++=-í?++=? 与方程

有公共解，求a 的值和所有公共解。

解：联立两个方程得非齐次方程组得

12312321231

2302040

21x x x x x ax x x a x x x x a ++=ì?++=?í++=??++=-? 依题意此方程必须有解

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106 ()()()()()()()23211110111012001101214000210121100111110110100 100000011000011100112RREF

a a A

b R A R A b a a a a a a a a A b x k a a A b x ?????÷?÷-?÷?÷=?T=T=?÷?÷--?÷?÷---è?è?

??--?????÷?÷?÷?÷=T=?????????=T=?÷?÷?÷?÷?÷?÷è?è?è?-=T=基础解系为-=个解向量或()()3, 1000000101100000011-10

0110000R A R A b RREF x a a ==???????÷?÷?÷?÷?÷????????????=?÷?÷?÷-?÷?÷?÷è?--è?è?有唯一解(特解) 【补充例】求解1235123451234512345312224233453

82

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x --+=-ì?--++=-?í--++=-??-+++=?

解：()21314123111031111031221242001220|331453002440111182002

153r r r r r r A b ---------?????÷?÷----?÷?÷=?????÷?÷----?÷?÷-è?è? 43234421232111031111031001220001220000000000131000393000000r r r r r r r --?-------?????÷?÷--?÷?÷?????????÷?÷--?÷?÷-è?è? 3221211103111007

1001042001042000131000131000000000000r r r r RREF

-++----?????÷?÷?÷?÷?????????÷?÷----?÷?÷è?è? 主元有3个，即134, , x x x ，秩等于主元的个数=3，方程组有532-=个线性无关的向量解，即

齐次方程的两个特解为1217**, 24**01x x --?????÷?÷?÷?÷

?÷?÷==--?÷?÷?÷?÷?÷?÷è?è?

，*位置是非主元数，可以任意取值，但需要保证1x 和2x

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107

无关即可，一般取单位列向量填充，即121710, 240101x x --?????÷?÷?÷?÷

?÷?÷==--?÷?÷?÷?÷?÷?÷è?è?

。

非齐次方程的特解为1*21*h ??

?÷?÷

?÷=?÷-?÷?÷è?

，由于特解只有一个，谈不上相关问题，故*位置取值为0，即

10210h ???÷?÷?÷=?÷-?÷?÷è?。所以，原方程组的通解为112212171100242011010k k k k x x x h --???????÷?÷?÷?÷?÷?÷

?÷?÷?÷=++=++--?÷?÷?÷-?÷?÷?÷?÷?÷?÷è?è?è?

。12,k k 为任意常数。

【例14】设矩阵45A ′的行向量线性无关，则下列错误的是（ ）

()()()() 0 0 , ,

T T T A A X B A AX C b A X b D b AX b =="="=只有零解必有无穷多解有唯一解总有无穷多解 解：选()C 。

()A ()()()()T 44R A R A =?=Q 行满秩列满秩，则0T A X =只有零解正确。 ()B

T A A 是5阶方阵，()()40T T R A A R A A A ==T=，故0T A AX =必有无穷多解正确。 ()C ()()54, 4T

T A A R A R A ′===，则T A X b =中b 必为5维列向量，且完全可以取这样的b ，使

()()5T

T R A b R A =1，从而使T A X b =无解。故, T b A X b "=有唯一解不正确。

()D

AX b =中b 必为4维列向量，A 有4个线性无关的列向量，任意b 和4个线性无关的列向量就构

成5个4维列向量，故必线性相关，也就是b 可由A 的4个线性无关的列向量线性表出，而导出组0AX =是个5元齐次方程组，()4R A =T0AX =有非零解，()()45R A

b R A n ==<=，故

, b AX b "=总有无穷多解正确。

【例15】已知列向量123124115,,0132411h h h ??????

?÷?÷?÷

-?÷?÷?÷===?÷?÷?÷--?÷?÷?÷è?è?è?

是方程组112334421223442122344324335a x x a x a x d x b x x b x d x c x x c x d +++=ì?

+++=í?+++=? 的

三个解，求通解。

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108

解： 211212h h ???÷?÷-=?÷-?÷è?， 313639h h ???÷?÷-=?÷-?÷è?

是0Ax =的两个线性无关解T()()2r S n r A =-3 ()22r A n T￡-= 又1342

424243

35

a a a A

b b c

c ??

?

÷

=?

÷?÷è

?

中至少有4335???÷è?

二阶子式不为0()2r A T3

故()2r A =故基础解系正好只有两个，()()1121231x k k h h h h h =+-+-。

【例16】k 为何值时1232

12312

3424

x x kx x kx x k x x x ++=ì?-++=í?-+=-? 有唯一解、无解和无穷多解。

解： ()()41A k k =--+

① 当 04,1A k 1T1-时方程组有唯一解， 212232124121i i k k

x k D k k x x D k k x k ì+=

?+?

++?

=T=í+?

-?=?+?

② 1k =-时

111411141111000511240238A -×-×éùéùêúêú=--×?×êúêú

êúêú-×--×-????

， ()()

()2,3r A r A r A ==1无解。

③ 4k =时

1144103014116011411240000A ××éùéù

êúêú=-×?×êúêú

êúêú-×-×????

()()

23r A r A n ==<=有多个解，基础解系只有一个3310x -???÷=-?÷?÷è?，特解即040??

?÷

?÷?÷è?

。

故通解为：()0341 001x k k -????

?÷?÷

=+-1?÷?÷?÷?÷è?è?

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109

【例17】 123211101,1,1,111l a a l a b l l l ??+??????

?÷?÷?÷?÷

==+=?÷?÷?÷?÷

?÷?÷?÷?÷+è?è?è?è?

。问l 为何值时： （1）b 可由123,,a a a 线性表示，且唯一； （2）b 可由123,,a a a 线性表示，且不唯一； （3）b 不能由123,,a a a 线性表示。

解：设112233x x x b a a a =++，则()()()123123212310

11x x x x x x x x x x l l l l

ì+++=?

+++=í?+++=?

()

()2

2

221110111111011100

312A l

l l l l l

l l l l l l l l l l ??

+×+×

???÷

?÷=+×?-×-?÷?÷?÷

?÷+×?÷-+×--è?è?

可见：

（1）解唯一时可满足0l T1且3l 1-。

（2）当0l =时，b 可由123,,a a a 线性表示，且不唯一。 （3）当3l =-时，b 不能由123,,a a a 线性表示。

【例18】 已知 ()1234,,,,i A a a a a a =为四维列向量，其中234,,a a a 线性无关，1232, a a a =-

1234b a a a a =+++； 求AX b =的通解。 解： 令 1234x x X x x ???÷?÷=?÷?÷?÷è?

AX b =T112233441234x x x x a a a a a a a a +++=+++

把1232a a a =-代入上式得：()()()122133442310x x x x x a a a +-+-++-=

12134

2301x x x x x +=ì?

T-+=í?=?

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110

000001

01001

01001

010*******

10032

10032

100310100

10100

00000

000110

00110

00110

00110

0000A ×-×-×-×????????

?÷?

÷?

÷?

÷

××××?

÷?÷?÷?÷=????÷?÷?÷?÷

-×-×××?÷?

÷?

÷?

÷

××××è?è?è?è?

()431n r A -=-=，为一维解空间； 101321100X x ?????÷?÷-?÷?÷T=+?÷?÷?÷?÷è?è?

【例19】确定常数a ，使向量()()()1231, 1, , 1, , 1, , 1, 1T

T

T

a a a a a a ===可由向量组

()()()1231, 1, , 2, , 4, 2, , T T T

a a a a

b b b ==-=-线性表出，123, , b b b 不能由123, , a a a 表出。

解：根据题意，向量组A 能由向量组B 线性表示()A B ?， B 不能由A 线性表示，说明系数矩阵不可

逆，即0A =。故()()1111210 1 211

a

A a a a a a ==-+-=T=-或

●当1a =时，

()111111221

2211111, 11

111111141411111221111221

11122|11111100003300003311114100006300006a A a B a a a a a A B ----????????

?÷?÷?÷?÷====?÷?÷?÷?÷?÷?÷?÷?÷è?è?è?è

?

------?????÷?÷=?--?--?

÷?÷?÷?÷---è?è?3111122111122 000011000011000021000001??

?÷

?÷?÷-è?

----?????÷?÷

???÷?÷

?÷?÷-è?è?

()()()()()()()

1; |3122111|0110003; |3001000 1 R A R A B R A AX B B A B A R B R B A R B BX A A B a T==1T=--??

?÷

=T===?÷?÷-è?

T==无解，不能由线性表示； 有解，能由线性表示；故满足全部条件。

● 当2a =-时，

1111212212211121, 1122112114242a A a B a a a a a -----?????????÷?÷?÷?÷==-==--?÷?÷?÷?÷?÷?÷?÷?÷---è?è?è?è?

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111

()()()()112122112122|121122033000211242033006112122112122 0330000110000000060000012; |2 A 2A B R A R A B R A AX B B a ------????

?÷?÷

=---?-?÷?÷?÷?÷-----è?è?------????

?÷?÷

?-?-?÷?÷

?÷?÷-è?è?

T===T==-有解，能由线性表示，与条件矛盾。故不合题意。

综上所述：1a =。

评 注 本题告诉我们：向量组之间的线性表示、方程组AX B =有解无解及秩三者通过公共知识点“初等变换”的过度关系，是常年考点定势。请读者反复揣摩，下例让你再度领会这种方法。 【例20】设向量组 ()()()()123 1, 0, 2, 1, 1, 3, 1, 1, 2T

T

T

A a a a a ===-+和向量组

()()()()123 1, 2, 3, 2, 1, 6, 2, 1, 4T T

T

B a a a b b b =+=+=+。试问：当a 为何值时，()(), A B 等

价？当a 为何值时，()(), A B 不等价？

解：利用过度技术：“初等变换”。

()12312311

1122102111|011211011211232364001111a a a a a a a a a a a b b b -?????÷?÷=-?-?÷?÷

?÷?÷+++++-+-è?è?

●当1a 1-时

()()

()()12312312312312312313|== a R R AX B B A a a a a a a a a a b b b b b b a a a =+T==T=有唯一解，可以由线性表示。

()1231231

11102|2

11011111001a a a a b b b a a a -???÷

?-?÷?÷-+-+è?

()()

()()12312312312312312303|== R R BX A A B b b b b b b b b b a a a a a a b b b T1T==T=有唯一解，可以由线性表示。

所以 ，当1a 1-时，()(), A B 等价。 ●当1a =-时

()()()12312312312312310

2111102111|0112110112110011110002022, |3a a a a R R AX B B A a a a b b b a a a a a a b b b --?????÷?÷

?-?-?÷?÷?÷?÷+-+---è?è?

T==T=T无解不能由线性表示。

所以 ，当1a =-时，()(), A B 不等价。

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112

智轩第25技 312413理论。

三、三元线性方程组解结构的几何背景与向量组秩的联系及其形象化

利用秩的概念讨论下列3个平面的位置关系（重要问题，读者务必反复研究清楚） 设 111121312212223233132333:; :; :a x a y a z d a x a y a z d a x a y a z d p p p ++=++=++=。

本质上是求解3元一次方程组问题。设11121311

1213121

222321

22

23231

32

3331

32

33

3, a a a a a a d A a a a A a a a d a a a a a a d ?????

÷?÷

==?÷?÷?÷?÷è?è?

，形成以下8种情形。

()1()()3r A r A ==时，方程组有唯一解，()3r A =说明3个平面法线构成3维空间，此时3个平面相

交于一点，对应“3维坐标系的原点”图形。

()2()()2, 3r A r A ==时，方程组无解，()2r A =说明3个平面法线构成2维空间，此时3个平面不

同时相交。

因为()2r A =，所以A 的3个行向量123, , a a a 线性相关，于是存在不全为零的数123, , k k k ，使得1122330k k k a a a ++=。当123, , k k k 都不为零时，123, , a a a 在平面内既不相交，任意两个又不平行，这时，只能是任意两个平面的交线与另一平面平行，对应“三棱柱”图形；而当123, , k k k 有一个为零时，

123, , a a a 存在两个平面平行，第3个平面与这两个平行平面相交，对应“不等号”图形。

()3()()2r A r A ==时，方程组有无穷多解，()2r A =说明3个平面法线分布为2维空间，()2r A =说

明存在一个多余方程或平面，此时3个平面相交于一直线。

因为()

2r A =，所以A 的3个行向量123, , b b b 线性相关，于是存在不全为零的数123, , k k k ，使得

1122330k k k b b b ++=，当123, , k k k 都不为零时，没有多余方程存在，等价于任意两个平面不平行，但

123, , b b b 在平面内相交成直线，这时，只能是3平面相交成“米字”图形；而当123, , k k k 只有一个为

零时，存在两个平面平行或重合，显然，只有两个平面重合然后与第3个平面相交，才会有3平面相交成直线，对应“十字”图形。

()4()()1, 2r A r A ==时，方程组无解，且说明3个平面法线分布为1维空间，()2r A =说明3个平

面不可能完全重合，即3个平面互异（即平行不相交），对应“恒等号”图形，或任意两个平面平行与第3个平面互异，对应“等号”图形。

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113

()5()()1r A r A ==时，方程组有无穷多解，且说明3个平面法线分布为1维，且3个平面相交于一平

面，这时唯一的情形只能是3个平面重合，对应“一字”图形。

评 注 为便于形象理解和记忆，智轩简称上述8种对应图形为312413理论，意思是说，当秩=3时，对应一种图形；当秩=2时，对应四种图形；当秩=1时，对应3种图形。另外，请读者注意秩的几何意义是空间维度数，本题对于读者具体理解线性代数中秩的概念具有非常重要的意义。 【例21】设

()()()()()()()

1123212331234123111122223333, , , , , , , , , , , , , , , , , , , T T T T

a a a

b b b

c c c

d d d a b c a b c a b c a a a a b b b =======，则三个平面

()01,2,3i i i i a x b y c z d i +++==，两两相交成三条平行直线的充要条件是（ ）

()A ()()1231234, , 2, , , , 3R R a a a a a a a ==

()B 123, , a a a 任意两个都线性无关且4a 不能由123, , a a a 线性表出 ()C 123, , a a a 线性相关且4a 不能由123, , a a a 线性表出

()D 123, , b b b 任意两个都线性无关，但123, , b b b 线性相关，且4a 不能由123, , a a a 线性表出

解：选()D 。

根据312413理论，在几何上应该是三个平面两两相交，中间围成一个三棱柱。首先就必须要求

()()123123, , , , 2. R R b b b a a a ==然后要求123, , b b b 两两线性无关。

（A ）有两种情况，故不对；

（B ）123, , a a a 任意两个都线性无关，就是()123, , 2, R a a a 3如果()123, , 2, R a a a =则由4a 不能由123, , a a a 线性表出，推知()1234, , ,3, R a a a a =所以（B ）是（A ）的另一种等价说法而已，也不对；

（C ）()123, , 3, R a a a <只有()123, , 2R a a a =才有可能两两相交成三条平行直线，又4a 不能由

123, , a a a 线性表出，故()1234, , ,3, R a a a a =所以（C ）是（A ）的又一种等价说法而已，也不对；

()D 正确。()()()1231231234, , 2, , , , , , 3R R R b b b a a a a a a a ===。

类似的题在2002年数学一的选择题中考到过。现在我们很快能看得出答案。 【例22】设(); m n n s r A n B B ′′==，证明：()()r AB r B =。

证明：只需证明0ABX =和0BX =同解，因为此时AB 的列向量组与B 的列向量组有相同的线性关系，

从而()()r AB r B =。

s 维向量h 是0ABX =的解0AB h ?=，因为A 列满秩，所以0B h =，即h 也是0BX =的解，于是0AB h =的解一定是0BX =的解；反之0BX =的解一定是0AB h =的解。从而0ABX =和0BX =同。

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114

四、两个线性方程组的同解问题（引用尤承业）

4.1 线性方程组的公共解

如果两个线性方程组（I ）和（II ）都有n 个未知数，则它们的公共解就是既满足（I ）又满足（II ）的n 维向量。当这两个都已具体给出时，只需将它们联立求解，就得到它们的公共解。问题是：如果其中一个方程组（或两个方程组）只给了通解，没有给出其他形式，怎么来求公共解？ 【例23】（1994年的考题）设（I ）和（II ）都是4元线性方程组，其中（I ）为

12340,

0,

x x x x +=ìí

-=? （II ）的一个基本解系为()()T

T

120,1,1,0,1,2,2,1.h h ==-求（I ）和（II ）的公共解。

解： 一种思路是构造一个线性方程组（III ）使得它也以12,h h 为基础解系。于是（III ）和（II ）同解，从而（I ）和（II ）的公共解也就是（I ）和（III ）的公共解，可以解（I ）和（III ）的联立方程组来求得。例如（III ）可以是：

2314

0,

0.x x x x -=ìí

+=? 这种思路的困难在于构造方程组（III ），在考场上不是每个考生都能很顺利完成的。

另一种思路为：（I ）和（II ）的公共解都必定是（II ）的解，因此有1122c c h h +的形式。它又满足（I ），由此可决定1c 与2c 应该满足的条件。具体计算过程：将()T

1122212121,2,2,c c c c c c c c h h +=-++代入（I ）， 得到

212122

20,

20,c c c c c c -++=ìí+-=?

解出120c c +=。即当120c c +=时1122c c h h +也是（I ）的解，于是（I ）和（II ）的公共解为：()12c h h -，其中c 可取任意常数。

【例24】设（I ）和（II ）都是4元齐次线性方程组，已知()()T

T

121,0,1,1, 1,0,1,0,z z ==-

()T 30,1,1,0z =是（I ）的一个基础解系，()()T T

1201011,1,1,0h h ==-，，，，是（II ）的一个基础解系。

求（I ）和（II ）公共解。

解： 用例1的第二种思路解，现在（I ）也没有给出具体形式，因此不能用例1的方法决定为使

1122c c h h +满足（I ），1c 与2c 应该满足的条件。替代的结论是：1122c c h h +满足（I ）的充分必要条件为1122c c h h +能用1,23,z z z 线性表示，即()()1231122123r ,,,c c r ,z z z h h z z z +=。利用秩来计算：

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115

21121221112110c 1

0c 00

1c c 010c c 111c 0

012c 100c 0

03c c -éùéùêúêú+-ê

úê

ú?êúêú

--ê

úê

ú

+????

于是当123c c 0+=时1122c c h h +也是（I ）的解。从而（I ）和（II ）的公共解为：

()12c 3h h -，其中c 可取任意常数。

这两个例子中出现小线性方程组都是齐次的，但是所用的方法稍作修改也可用到非齐次线性方程组上。【例25】设（I ）和（II ）都是4元非齐次线性方程组，（I ）为

12324

3,

.x x x x x t -+=ìí

-=? （II ）的通解为1122+c c z h h +（1c ,2c 可取任意常数），其中

()()()T T T

121,0,1,0,0,1,0,2,1,1,1,0.z h h ===

已知（I ）和（II ）有公共解，求t 和它们的全部公共解。

解： 把()T

1122212211,,1,2c c c c c c c z h h ++=+++代入（I ），得到

21211,

,

c c c c t -=ìí

-=? 于是1t =，（I ）和（II ）的公共解为()121c c z h h +++(c 可取任意常数).

【例26】设（I ）和（II ）都是3元非齐次线性方程组，（I ）有通解11122,c c z h h ++（1,2 c c 可取任意常数），

()()()T T T 1121,0,1,1,1,0,1,2,1z h h ===；（II ）有通解()T

22, 0,1,2c z h z +=。求（I ）和（II ）的公

共解。

解：公共解有2c z h +的形式，它又是（I ）的解，从而存在12,c c 使得 211122,c c c z h z h h +=++

于是21c z h z +-可用12,h h 线性表示，即()()122112,,,.r c r h h z h z h h +-=

111111121012,01210021c c c c c --éùéù

êúêú+?êúêú

êúêú+-????

得到12c =，从而（I ）和（II ）有一个公共解T

213, , 3.222h z ??

+=?֏?

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116 ■下面给出两个齐次线性方程组AX=0和BX=0有公共非零解的充分必要条件：

()1.A r n B éù<êú??

()2（设0BX =有基础解系12s h h h ×××，，

）12,,,s A A A h h h ×××线性相关. ()3（设0AX =和0BX =分别有基础解系12k g g g L ，和12s h h h L ，，向量组

12k 12s , ,,,g g g h h h L L ，，，线性相关.

4.2 两个线性方程组的解集的包含关系

设（I ）和（II ）都是有n 个未知数的线性方程组，如果（II ）的每个解也都是（I ）解，就说（II ）的解集包含在（I ）的解集中，记作J （II ）ì J （I ），这里J （I ）和J （II ）分别表示J （I ）和J （II ）的解集。如果J （I ）= J （II ），就说这两个方程组同解。问题是：怎样用方程组的系数矩阵和增广矩阵来判别这种包含关系和通解关系？

对于两个n 元齐次方程组0AX =和0BX =，同解()()r A r B T= (因为()() n r A n r B -=-)。 命 题 （1）设齐次线性方程组（I ）0AX =和（II ）0BX =都有n 个未知数，则：

J （II ）ì J （I ）().A r B r B éù?=êú??

（2）设（1）AX b =和 BX g =是两个n 元非齐次线性方程组，则：

（II ）有解，并且J （II ）ì J （I ）().A r B r B b g éù?=êú??

证明：（1）J （II ）ì J （I ）即（II ）和（I ）与（II ）的联立方程组同解，从而

().A r B r B éù

=êú??

反之，因为（I ）与（II ）解，一定也是（II ）的解，所以当 ()A r B r B éù=êú??

时，（I ）与（II ）的联立方程组的基础解系一定也是（II ）的基础解系，从而（I ）与（II ）的联立方程组和（II ）同解，即J （II ）ì J （I ）。

（2）的“T”

取定（II ）的一个解z ，则它也是（I ）的解，从而是联立方程组的解。

下面先说明（II ）的导出组BX=0的解集包含在（I ）的导出组AX=0的解集中：如果h 是BX=0的解，

2010智轩考研数学创高分红宝书系列---线性代数（第四章 线性方程组）

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117 则+z h 是（II ）的解，从而也是（I ）的解，因此h 也是AX=0的解。 ().A A r r r B B B b g éùéù==ê

úêú????

（2）的“ü”条件 ()A r B r B b g éù=êú??

说明

()(),A A r r r B r B B B b g g éùéù===êúêú????

从而（I ）与（II ）的联立方程组有解，并且0BX =的解集包含在（I ）的导出组0AX =的解集中，从而即J （II ）ì J （I ）。

推 论 （1）两个齐次线性方程组0AX =和0BX =同解的充分必要条件：

()().A r r A r B B éù==êú??

（2）两个n 元非齐次线性方程组（I ）AX b =和（II ） BX g =都有解，并且同解的充分必要条件： ()().A r r A r B B b g éù==êú??

【例27】（1998年考研题）已知方程组

（I ）1234234345211;21x mx x x nx x x x x t +--=-ì?--=-í?-=-?（II ）1241234123264133x x x x x x x x x x +-=-ì?---=í?--=?

同解，求, , m n t .

解： 方法一 思路：求出（II ）的一个解，使得它的第二个分量不为0（为什么？请读者思考），代入（I ）的各个方程，决定, , m n t 的值。

110261102610012411110101401014,311030012500125RREF

---éùéùéùêúêúêú---?-?-êúêúêúêúêúêú------?????? （－2，－4，－5，0）是（II ）的一个解,代入（I ）的各个方程，得

245545112,4,651 m n m n t t --+=-ì?-+=-T===í?-=-?

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