概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第三章习题参考答案

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概率论与数理统计茆第六章推荐度：
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第三章多维随机变量及其分布

习题3.1

1． 100件商品中有50件一等品、30件二等品、20件三等品．从中任取5件，以X、Y分别表示取出的5

件中一等品、二等品的件数，在以下情况下求 (X, Y ) 的联合分布列．（1）不放回抽取；（2）有放回抽取．解：（1）(X, Y )服从多维超几何分布，X, Y的全部可能取值分别为0, 1, 2, 3, 4, 5，

50 30 20

i j 5 i 且P{X=i,Y=j}=

100 5

故 (X, Y ) 的联合分布列为

j ,i=0,1,2,3,4,5;j=0,L,5 i，

YX123

01234500000

0.00320.02270.05490.05390.01820.01850.09270.14160.06610.04950.15620.11320.06120.091800.0281

0000

（2）(X, Y )服从多项分布，X, Y的全部可能取值分别为0, 1, 2, 3, 4, 5，

且P{X=i,Y=j}=

×0.5i×0.3j×0.25 i j,i=0,1,2,3,4,5;j=0,L,5 i，

i! j! (5 i j)!

故 (X, Y ) 的联合分布列为

YX12345

00.0040.020.050.06250.03125

10.0240.09

20.0540.135

30.0540.0675000

40.020250000

500000

0.150.11250.0937500

2．盒子里装有3个黑球、2个红球、2个白球，从中任取4个，以X表示取到黑球的个数，以Y表示取

到红球的个数，试求P{X = Y }．

3 2 2 3 2 1 1 2 2 2 =6+3=9．

解：P{X=Y}=P{X=1,Y=1}+P{X=2,Y=2}=+

353535 7 7

4 4

3．口袋中有5个白球、8个黑球，从中不放回地一个接一个取出3个．如果第i次取出的是白球，则令

Xi = 1，否则令Xi = 0，i = 1, 2, 3．求：

（1）(X1, X2, X3)的联合分布列；（2）(X1, X2)的联合分布列．解：（1）P{(X1,X2,X3)=(0,0,0)}=

8762887570

=，P{(X1,X2,X3)=(0,0,1)}= =， 1312111431312114298577058770

P{(X1,X2,X3)=(0,1,0)}= =，P{(X1,X2,X3)=(1,0,0)}= =，

1312114291312114298544058440

P{(X1,X2,X3)=(0,1,1)}= =，P{(X1,X2,X3)=(1,0,1)}= =，

131211429131211429548405435

P{(X1,X2,X3)=(1,1,0)}= =，P{(X1,X2,X3)=(1,1,1)}= =；

13121142913121114387148510

（2）P{(X1,X2)=(0,0)}= =，P{(X1,X2)=(0,1)}= =，

1312391312395810545

P{(X1,X2)=(1,0)}= =，P{(X1,X2)=(1,1)}= =．

131239131239

110/395/39

4．设随机变量Xi , i =1, 2的分布列如下，且满足P{X1X2 = 0} = 1，试求P{X1 = X2}．

XiP 101

0.250.50.25

解：因P{X1 X2 = 0} = 1，有P{X1 X2 ≠ 0} = 0，

即P{X1 = 1, X2 = 1} = P{X1 = 1, X2 = 1} = P{X1 = 1, X2 = 1} = P{X1 = 1, X2 = 1} = 0，分布列为

故P{X1 = X2} = P{X1 = 1, X2 = 1} + P{X1 = 0, X2 = 0} + P{X1 = 1, X2 = 1} = 0． 5．设随机变量 (X, Y ) 的联合密度函数为

k(6 x y),0<x<2,2<y<4,

p(x,y)=

0,.其他

试求

（1）常数k；

（2）P{X < 1, Y < 3}；（3）P{X < 1.5}；（4）P{X + Y ≤ 4}．解：（1）由正则性：∫

+∞+∞ ∞ ∞

∫

p(x,y)dxdy=1，得

dx k 6yxy

∫

dx∫k(6 x y)dy=∫

故k=

1； 8

1y2 11

6y xy （2）P{X<1,Y<3}=∫dx∫(6 x y)dy=∫dx 00288 2 2

1 71 73x2 =； x=∫ x dx= 0828228 0

（3）P{X<1.5}=∫dx∫

1.54

1.5y2 11

(6 x y)dy=∫dx 6y xy 088 2 2

=∫

1.5

1.51127

； (6 2x)dx=(6x x2)=

08832

4 x

2y2 11

(6 x y)dy=∫dx 6y xy 088 2 2

4 x

（4）P{X+Y<4}=∫dx∫

=∫

1 1 2x x 2

6462=． xdxxx= + + 8 2 8 6 03

6．设随机变量(X, Y)的联合密度函数为

ke (3x+4y),x>0,y>0,

p(x,y)=

0,其他.

试求

（1）常数k；

（2）(X, Y ) 的联合分布函数F (x, y)；（3）P{0 < X ≤ 1, 0 < Y ≤ 2}．解：（1）由正则性：∫

+∞+∞ ∞ ∞

∫

p(x,y)dxdy=1，得

+∞0

dx k

∫

+∞

dx∫

+∞

ke (3x+4y)dy=∫

故k = 12；

（2）当x ≤ 0或y ≤ 0时，F (x, y) = P ( ) = 0，

当x > 0且y > 0时，

F(x,y)=∫du∫12e (3u+4v)dv=∫du [ 3e (3u+4v)]=∫3e 3u(1 e 4y)du

xyxyx

= e 3u(1 e 4y)=(1 e 3x)(1 e 4y)

故(X, Y)的联合分布函数为

(1 e 3x)(1 e 4y),x>0,y>0,

F(x,y)=

0,其他.

（3）P{0 < X ≤ 1, 0 < Y ≤ 2} = P{X ≤ 1, Y ≤ 2} = F (1, 2) = (1 e 3) (1 e 8)．

7．设二维随机变量(X, Y ) 的联合密度函数为

4xy,0<x<1,0<y<1,

p(x,y)=

其他0,.

试求

（1）P{0 < X < 0.5, 0.25 < Y < 1}；（2）P{X = Y }；（3）P{X < Y }；

（4）(X, Y ) 的联合分布函数．

解：（1）P{0<X<0.5,0.25<Y<1}=∫dx∫

00.5

10.25

0.5

10.25

4xydy=∫dx 2xy2

0.50

=∫

（2）P{X = Y } = 0；

0.5

1515xdx=x2816

； 64

（3）P{X<Y}=∫dx∫4xydy=∫dx 2xy2

=∫(2x 2x3)dx

1 1

= x2 x4 =；

2 02

（4）当x < 0或y < 0时，F (x, y) = P ( ) = 0，

当0 ≤ x < 1且0 ≤ y < 1时，

F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=∫du∫4uvdv=∫du 2uv2

xyxy0

=∫2uy2du=u2y2

xx0

=x2y2；

当0 ≤ x < 1且y ≥ 1时，

F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=∫du∫4uvdv=∫du 2uv2

x1x10

=∫2udu=u2

=x2；

当x ≥ 1且0 ≤ y < 1时，

F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=∫du∫4uvdv=∫du 2uv2

1y1y0

=∫2uy2du=u2y2

=y2；

当x ≥ 1且y ≥ 1时，F (x, y) = P ( ) = 1，故(X, Y ) 的联合分布函数为

0, 22xy,

F(x,y)= x2,

y2, 1,

x<0或y<0,

0≤x<1,0≤y<1,

0≤x<1,y≥1,

x≥1,0≤y<1,x≥1,y≥1.

8．设二维随机变量(X, Y ) 在边长为2，中心为(0, 0) 的正方形区域内服从均匀分布，试求P{X 2

2解：设D表示该正方形区域，面积SD = 4，G表示单位圆区域，面积SG = π，

Sπ

故P{X2+Y2≤1}=G=．

SD49．设二维随机变量(X, Y ) 的联合密度函数为

k,0<x2<y<x<1,

p(x,y)=

0,其他.

（1）试求常数k；

（2）求P{X > 0.5}和P{Y < 0.5}．解：（1）由正则性：∫

+∞+∞ ∞ ∞

∫

p(x,y)dxdy=1，得

∫0

dx∫2kdy=∫dx kyx2

x2x3 k2

==1， =∫k(x x)dx=k 203 06

故k = 6；

（2）P{X>0.5}=∫dx∫26dy=∫dx 6y

0.5

=∫(6x 6x2)dx

0.5

=(3x 2x)

0.5

10.5

=0.5；

P{Y<0.5}=∫dy∫

6dx=∫dy 6x

0.5

=∫(6y 6y)dy

0.5

=(4y 3y2)

0.50

3． 4

10．设二维随机变量(X, Y ) 的联合密度函数为

6(1 y),0<x<y<1,

p(x,y)=

其他0,.

（1）求P{X > 0.5, Y > 0.5}；

（2）求P{X < 0.5}和P{Y < 0.5}；（3）求P{X + Y < 1}．

0.5

10.5

解：（1）P{X>0.5,Y>0.5}=∫dx∫6(1 y)dy=∫dx [ 3(1 y)2]=∫3(1 x)2dx= (1 x)3

0.5

； 8

（2）P{X<0.5}=∫dx∫6(1 y)dy=∫dx [ 3(1 y)2] xx00

0.50.57=∫3(1 x)2dx= (1 x)3=； 0080.510.51

{Y<0.5}=∫dx∫6(1 y)dy=∫dx [ 3(1 y)]

0.50.50.5

0.5x

∫

0.5

1 3

32 3 + xdx= x x=； 3(1)(1) 4 4 2 0

0.5

1 x

（3）P{X+Y<1}=∫dx∫

0.5

6(1 y)dy=∫dx [ 3(1 y)2]

0.5

0.51 xx

3．

004

11．设随机变量Y服从参数为λ = 1的指数分布，定义随机变量Xk如下：

=∫[ 3x+3(1 x)]dx=[ x (1 x)]

0,Y≤k,Xk= k=1,2．

1,.Y>k

求X1和X2的联合分布列．

解：因Y的密度函数为

e y,

pY(y)=

y≥0,

y<0.

且X1和X2的全部可能取值为0, 1，

则P{X1=0,X2=0}=P{Y≤1,Y≤2}=P{Y≤1}=∫e ydy= e y

=1 e 1，

P{X1 = 0, X2 = 1} = P{Y ≤ 1, Y > 2} = P ( ) = 0，

P{X1=1,X2=0}=P{Y>1,Y≤2}=P{1<Y≤2}=∫e ydy= e y

221

=e 1 e 2，

P{X1=1,X2=1}=P{Y>1,Y>2}=P{Y>2}=∫e ydy= e y

+∞+∞

=e 2，

故X1和X2的联合分布列为

01 e

e 1 e 2

10 e 2

．设二维随机变量(X, Y ) 的联合密度函数为

2xy x+,0<x<1,0<y<2,

p(x,y)=

其他. 0,

求P{X + Y ≥ 1}．

1 2xy2 2xy xy+ 解：P{X+Y≥1}=∫dx∫ x+ dy=∫0dx 01 x36 1 x

45 454 65 1 1

=∫ x+x2+x3 dx= x2+x3+x =． 0236 924 072 4

13．设二维随机变量(X, Y ) 的联合密度函数为

e y,0<x<y,

p(x,y)=

0,其他.

试求P{X + Y ≤ 1}．解：P{X+Y≤1}=∫dx∫

00.5

1 xx

e ydy=∫dx ( e y)

0.50

0.51 xx

=∫( ex 1+e x)dx

0.5

=( ex 1 e x)=1+e 1 2e 0.5．

14．设二维随机变量(X, Y ) 的联合密度函数为

1/2,0<x<1,0<y<2,

p(x,y)=

其他. 0,

求X与Y中至少有一个小于0.5的概率．

解：P{min{X,Y}<0.5}=1 P{X≥0.5,Y≥0.5}=1 ∫dx∫

13135

dy=1 ∫dx=1 =．

0.50.520.5488

15．从(0,1)中随机地取两个数，求其积不小于3/16，且其和不大于1的概率．解：设X、Y分别表示“从(0,1)中随机地取到的两个数”，则(X, Y ) 的联合密度函数为

1,0<x<1,0<y<1,

p(x,y)=

0,其他.

故所求概率为

1 x33 P{XY≥,X+Y≤1}=14dx3dy=14 1 x dx

1616x 16x44

1313

= x x2 lnx = ln3．

216 1416

习题3.2

1．设二维离散随机变量(X, Y ) 的可能值为

(0, 0)，( 1, 1)，( 1, 2)，(1, 0)，

且取这些值的概率依次为1/6, 1/3, 1/12, 5/12，试求X与Y各自的边际分布列．解：因X的全部可能值为 1, 0, 1，且

P{X= 1}=

故X的边际分布列为

11515

， +=， P{X=0}=， P{X=1}=

31212612

126 12

因Y的全部可能值为0, 1, 2，且

15711

， +=， P{X=1}=， P{X=2}=

61212312

故Y的边际分布列为

P{X=0}=

12 312

2．设二维随机变量(X, Y ) 的联合密度函数为

1 e λ1x e λ2y e λ1x λ2y λ12max{x,y},x>0,y>0,

F(x,y)=

0,其他.

试求X与Y各自的边际分布函数．

解：当x ≤ 0时，F (x, y) = 0，有FX (x) = F (x, + ∞) = 0，

1 e λ1x e λ2y e λ1x λ2y λ12max{x,y},

当x > 0时，F(x,y)=

y→+∞

y>0,

有 y≤0.

FX(x)=F(x,+∞)=lim[1 e λ1x e λ2y e λ1x λ2y λ12max{x,y}]=1 e λ1x，

1 e λ1x,x>0,

故FX(x)=

x≤0. 0,

当y ≤ 0时，F (x, y) = 0，有FY ( y) = F (+ ∞, y) = 0，

1 e λ1x e λ2y e λ1x λ2y λ12max{x,y},x>0,

有当y > 0时，F(x,y)=

x≤0. 0,

FY(y)=F(+∞,y)=lim[1 e λ1x e λ2y e λ1x λ2y λ12max{x,y}]=1 e λ2y，

x→+∞

1 e λ2y,

故FY(y)=

y>0,

y≤0.

3．试求以下二维均匀分布的边际分布：

,x2+y2≤1,

p(x,y)= π

0,其他.

解：当x < 1或x > 1时，pX (x) = 0，

当 1 ≤ x ≤ 1时，pX(x)=∫

+∞ ∞

x2 1 x2

p(x,y)dy=∫

12dy= x2， ππ

x2, 1≤x≤1,

故pX(x)= π

其他. 0,

当y < 1或y > 1时，pY ( y) = 0，

当 1 ≤ y ≤ 1时，pY(y)=∫p(x,y)dx=∫

∞+∞

1 y2 y2

12dx= y2， ππ

y2, 1≤y≤1,

故pY(y)= π

其他. 0,

4．设平面区域D由曲线y = 1/ x及直线y = 0，x = 1，x = e 2所围成，二维随机变量(X, Y ) 在区域D上服

从均匀分布，试求X的边际密度函数．

e21e2

解：因平面区域D的面积为SD=∫dx=lnx1=2， 1x

则(X, Y ) 的联合密度函数为

,(x,y)∈D,

p(x,y)= 2

0,(x,y) D.

当x < 1或x > e 2时，pX (x) = 0，

当1 ≤ x ≤ e时，pX(x)=∫

+∞ ∞

p(x,y)dy=∫

1x0

， dy=

22x

,1≤x≤e2,

故pX(x)= 2x

其他. 0,

5．求以下给出的(X, Y ) 的联合密度函数的边际密度函数px (x) 和py ( y)：

e y,0<x<y;

（1）p1(x,y)=

0,其他.

(x+y),0<y<1 x2;

（2）p2(x,y)= 4

其他. 0, 1

,0<y<x<1;

（3）p3(x,y)= x

0,其他.

解：（1）当x ≤ 0时，pX (x) = 0，

当x > 0时，pX(x)=∫

+∞ ∞

p1(x,y)dy=∫e ydy= e y

+∞+∞

=e x，

e x,x>0;

故pX(x)=

x0,0.≤

当y ≤ 0时，pY ( y) = 0，当y > 0时，pY(y)=∫

+∞ ∞

p1(x,y)dx=∫e ydx=ye y，

ye y,

故pY(y)=

y>0;

y≤0.

1 x2

（2）当x ≤ 1或x ≥ 1时，pX (x) = 0，

当 1 < x < 1时，pX(x)=∫

+∞ ∞

p2(x,y)dy=∫

(1 x4), 1<x<1;

故pX(x)= 8

其他. 0,

当y ≤ 0或y ≥ 1时，pY ( y) = 0，

当0 < y < 1时，pY(y)=∫

+∞ ∞

121 x255252

=(1 x4)， (x+y)dy=(xy+y)08244

=(1+2y) y， 6

p(x,y)dx=∫

5152

(x+y)dx=(x3+xy)

y434

(1+2y) y,0<y<1;

故pY(y)= 6

其他. 0,

（3）当x ≤ 0或x ≥ 1时，pX (x) = 0，

当0 < x < 1时，pX(x)=∫p3(x,y)dy=∫

∞+∞

dy=x =1， xx

故pX(x)=

1,0<x<1;

0,.其他

1dx=lnxy=ln1 lny= lny， yx

+∞

当y ≤ 0或y ≥ 1时，pY ( y) = 0，当0 < y < 1时，pY(y)=∫p(x,y)dx=∫

∞

故pY(y)=

lny,0<y<1;

0,.其他

6．设二维随机变量(X, Y ) 的联合密度函数为

6,0<x2<y<x<1,p(x,y)=

0,其他.

试求边际密度函数px (x) 和py ( y)．解：当x ≤ 0或x ≥ 1时，pX (x) = 0，

当0 < x < 1时，pX(x)=∫

+∞ ∞

p(x,y)dy=∫26dy=6(x x2)，

6(x x2),0<x<1,

故pX(x)=

其他. 0,

当y ≤ 0或y ≥ 1时，pY ( y) = 0，当0 < y < 1时，pY(y)=∫故pY(y)=

+∞ ∞

p(x,y)dx=∫

6dx=6(y y)，

6(y y),0<y<1,

其他. 0,

7．试验证：以下给出的两个不同的联合密度函数，它们有相同的边际密度函数．

x+y,0≤x≤1,0≤y≤1,

p(x,y)=

0,.其他

(0.5+x)(0.5+y),0≤x≤1,0≤y≤1,

g(x,y)=

0,.其他

证：当x < 0或x > 1时，pX (x) = 0，

当0 ≤ x ≤ 1时，pX(x)=∫则pX(x)=

+∞ ∞

p(x,y)dy=∫(x+y)dy=(xy+

121

y)=x+0.5，

x+0.5,0≤x≤1,

0,.其他

111

p(x,y)dx=∫(x+y)dx=(x2+xy)=y+0.5，

002

当y < 0或y > 1时，pY ( y) = 0，当0 ≤ y ≤ 1时，pY(y)=∫则pY(y)=

+∞ ∞

y+0.5,0≤y≤1,

其他. 0,

并且当x < 0或x > 1时，gX (x) = 0，

当0 ≤ x ≤ 1时，gX(x)=∫g(x,y)dy=∫(0.5+x)(0.5+y)dy=(0.5+x)

∞+∞

(0.5+y)22

=x+0.5，

x+0.5,0≤x≤1,

则gX(x)=

0,.其他

当y < 0或y > 1时，gY ( y) = 0，

当0 ≤ y ≤ 1时，gY(y)=∫g(x,y)dx=∫(0.5+x)(0.5+y)dx=

∞+∞

(0.5+x)2 (0.5+y)=y+0.5，

则gY(y)=

y+0.5,0≤y≤1,

0,.其他

故它们有相同的边际密度函数．

8．设随机变量X和Y独立同分布，且

P{X = 1} = P{Y = 1} = P{X = 1} = P{Y = 1} = 1/2，

试求P{X = Y }．

解：因X和Y独立同分布，且P{X = 1} = P{Y = 1} = P{X = 1} = P{Y = 1} = 1/2，

则(X, Y ) 的联合概率分布

YX 11p j

11412

412

pi 2 1故P{X = Y } = P{X = 1, Y = 1} + P{X = 1, Y = 1} = 1/2．

9．甲、乙两人独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为0.2，乙的命中率为0.5，以X和Y分别表示甲

和乙的命中次数，试求P{X ≤ Y }．解：因X的全部可能取值为0, 1, 2，

2 2

×0.2×0.8=0.32，P{X = 2} = 0.2 = 0.04，且P{X = 0} = 0.8 2 = 0.64，P{X=1}= 1

又因Y的全部可能取值为0, 1, 2，

2 2

且P{Y = 0} = 0.5 2 = 0.25，P{Y=1}= 1 ×0.5×0.5=0.5，P{Y = 2} = 0.5 = 0.25，

则(X, Y ) 的联合概率分布

YX12p j

012

0.080.160.080.320.010.020.010.040.25

0.5

0.25

故P{X ≤ Y } = 1 P{X > Y } = 1 P{X = 1, Y = 0} P{X = 2, Y = 0} P{X = 2, Y = 1} = 0.89． 10．设随机变量X和Y相互独立，其联合分布列为

y1y2y3

解：因p1 =a+

1/9b1/3

试求联合分布列中的a, b, c．

1114111

+c，p2 =+b+=b+，p 1=a+，p 2=+b，p 3=+c， 9939993

4 154

，根据独立性，知p22=b=p2 p 2= b+ +b =b2+b+

99981

2 44

=0，即 b =0，可得b b+

9819

故b=

2； 9

1114 1 6 1

=p2 p 1= b+ a+ = a+ ，可得a+=，

9699 9 9 9

再根据独立性，知p21=故a=

； 18

由正则性，知∑∑pij=a+

i=1j=1

41115

+c++b+=a+b+c+=1，可得a+b+c=，

99939

431

a b==． 9186

11．设X和Y是两个相互独立的随机变量，X ~ U (0, 1)，Y ~ Exp (1)．试求（1）X与Y的联合密度函数；

（2）P{Y ≤ X }；（3）P{X + Y ≤ 1}．

故c=

解：（1）因X与Y相互独立，且边际密度函数分别为

e y, 1,0<x<1,

pY(y)= pX(x)=

0,.其他 0,

故X与Y的联合密度函数为

y≥0,y<0.

e y,0<x<1,y≥0,

p(x,y)=pX(x)pY(y)=

0,其他.

（2）P{Y≤X}=∫dx∫e ydy=∫dx ( e y)=∫(1 e x)dx=(x+e x)=1+e 1 1=e 1；

1x1

（3）P{X+Y≤1}=∫dx∫

11 x

e ydy=∫dx ( e y)

11 x0

=∫(1 ex 1)dx=(x ex 1)=e 1．

12．设随机变量(X, Y ) 的联合密度函数为

3x,0<x<1,0<y<x,

p(x,y)=

0,.其他

试求（1）边际密度函数px (x) 和py ( y)；（2）X与Y是否独立．

解：（1）当x ≤ 0或x ≥ 1时，pX (x) = 0，

当0 < x < 1时，pX(x)=∫p(x,y)dy=∫3xdy=3x2，

∞+∞

3x2,0<x<1,

故pX(x)=

其他0,.

当y ≤ 0或y ≥ 1时，pY ( y) = 0，当0 < y < 1时，pY(y)=∫

+∞ ∞

p(x,y)dx=∫3xdx=

(1 y2)， 2

(1 y2),0<y<1,

故pY(y)= 2

其他. 0,

x(1 y2),0<x<1,0<y<1,

（2）因pX(x)pY(y)= 2 即px (x) py ( y) ≠ p (x, y)，

其他. 0,

故X与Y不独立．

13．设随机变量(X, Y ) 的联合密度函数为

1,|x|<y,0<y<1,

p(x,y)=

0,.其他

试求（1）边际密度函数px (x) 和py ( y)；（2）X与Y是否独立．

解：（1）当x ≤ 1或x ≥ 1时，pX (x) = 0，

当 1 < x < 0时，pX(x)=∫当0 ≤ x < 1时，pX(x)=∫

+∞ ∞

p(x,y)dy=∫1dy=1+x，

+∞

∞

p(x,y)dy=∫1dy=1 x，

1+x, 1<x<0,

故pX(x)= 1 x,0≤x<1,

0,其他.

当y ≤ 0或y ≥ 1时，pY ( y) = 0，

当0 < y < 1时，pY(y)=∫p(x,y)dx=∫1dx=2y，

∞

+∞

2y,0<y<1,

故pY(y)=

0,.其他

2y(1+x), 1<x<0,0<y<1,

（2）因pX(x)pY(y)= 2y(1 x),0≤x<1,0<y<1, 即px (x) py ( y) ≠ p (x, y)，

0,其他.

故X与Y不独立．

14．设二维随机变量(X, Y ) 的联合密度函数如下，试问X与Y是否相互独立？

xe (x+y),x>0,y>0;

（1）p(x,y)=

0,其他.

（2）p(x,y)=

, ∞<x,y<+∞；

π(1+x)(1+y)

2,0<x<y<1;

（3）p(x,y)=

0,.其他

24xy,0<x<1,0<y<1,0<x+y<1;

（4）p(x,y)=

0,.其他 12xy(1 x),0<x<1,0<y<1;

（5）p(x,y)=

0,.其他

212

xy,x2<y<1;

（6）p(x,y)= 4

其他. 0,

解：（1）因xe (x + y) = xe x e y可分离变量，x > 0, y > 0是广义矩形区域，故X与Y相互独立；

111

可分离变量， ∞ < x, y < +∞是广义矩形区域，（2）因2=

π(1+x2)(1+y2)π(1+x2)π(1+y2)故X与Y相互独立；

（3）因0 < x < y < 1不是矩形区域，故X与Y不独立；

（4）因0 < x < 1, 0 < y < 1, 0 < x + y < 1不是矩形区域，故X与Y不独立；

（5）因12xy(1 x) = 12x(1 x) y可分离变量，0 < x < 1, 0 < y < 1是矩形区域，故X与Y相互独立；（6）因x2 < y < 1不是矩形区域，故X与Y不独立．

15．在长为a的线段的中点的两边随机地各取一点，求两点间的距离小于a / 3的概率．

解：设X和Y分别表示这两个点与线段中点的距离，有X和Y相互独立且都服从[0, a / 2]的均匀分布，

则(X, Y ) 的联合密度函数为 aaa 4 ,0<x<,0<y<,a

p(x,y)= a222

其他. 0,

故所求概率为P{X+Y<=G=

3SD

16．设二维随机变量(X, Y ) 服从区域

1 a

× 2 3 a 2

2． 9

D = {(x, y): a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}

上的均匀分布，试证X与Y相互独立．证：因(X, Y ) 的联合密度函数为

,a≤x≤b,c≤y≤d;

p(x,y)= (b a)(d c)

其他. 0,

当x < a或x > b时，pX (x) = 0，

+∞d11

，当a ≤ x ≤ b时，pX(x)=∫p(x,y)dy=∫dy=

∞c(b a)(d c)b a 1

,a≤x≤b;

则pX(x)= b a

其他. 0,

当y < c或y > d时，pY ( y) = 0，

当c ≤ y ≤ d时，pY(y)=∫p(x,y)dx=∫

∞+∞

， dx=

(b a)(d c)d c

,c≤y≤d;

则pY(y)= d c

其他. 0,

因px (x) py ( y) = p (x, y)，故X与Y相互独立．

17．设X1, X2, …, Xn是独立同分布的正值随机变量．证明

X1++Xk kE X+L+X =n,k≤n．

n 1

证：因X1, X2, …, Xn是独立同分布的正值随机变量，

则由对称性知

X1+L+Xn

(i=1,2,L,n)同分布，且满足0<

<1，

X1+L+Xn

XiX1X2Xn

存在，且可得E EEE===L X+L+X X+L+X X+L+X X+L+X ， n n n n 1 1 1 1 X1++Xn XnX1X2 因E EEE+++=L X+L+X X+L+X X+L+X X+L+X =1， n n n n 1 1 1 1 1XnX1X2 则E EE===L X+L+X X+L+X X+L+X =n， n n n 1 1 1 X1++Xk

故E X+L+X

n 1

k =n,k≤n．

习题3.3

1．设二维随机变量(X, Y ) 的联合分布列为

YX12

123

0.070.110.220.040

.070.09

试分布求U = max{X, Y } 和V = min{X, Y } 的分布列．

解：因P{U = 1} = P{X = 0, Y = 1} + P{X = 1, Y = 1} = 0.05 + 0.07 = 0.12；

P{U = 2} = P{X = 0, Y = 2} + P{X = 1, Y = 2} + P{X = 2, Y = 2} + P{X = 2, Y = 1}

= 0.15 + 0.11 + 0.07 + 0.04 = 0.37；

P{U = 3} = P{X = 0, Y = 3} + P{X = 1, Y = 3} + P{X = 2, Y = 3} = 0.20 + 0.22 + 0.09 = 0.51；故U的分布列为

UP123

0.120.370.51

因P{V = 0} = P{X = 0, Y = 1} + P{X = 0, Y = 2} + P{X = 0, Y = 3} = 0.05 + 0.15 + 0.20 = 0.40； P{V = 1} = P{X = 1, Y = 1} + P{X = 1, Y = 2} + P{X = 1, Y = 3} + P{X = 2, Y = 1}

= 0.07 + 0.11 + 0.22 + 0.04 = 0.44；

P{V = 2} = P{X = 2, Y = 2} + P{X = 2, Y = 3} = 0.07 + 0.09 = 0.16；故V的分布列为

V012

P0.400.440.16

2．设X和Y是相互独立的随机变量，且X ~ Exp(λ )，Y ~ Exp(µ )．如果定义随机变量Z如下

1,当X≤Y,

0,当X>Y.

求Z的分布列．

解：因(X, Y ) 的联合密度函数为

λµe (λx+µy),x>0,y>0,

p(x,y)=pX(x)pY(y)=

0,其他.

则P{Z=1}=P{X≤Y}=∫

+∞

dx∫λµe (λx+µy)dy=∫dx ( λ)e (λx+µy)

+∞+∞

=∫λe (λ+µ)xdx=

λλ+µ

，

e (λ+µ)x

+∞

λλ+µ

，

P{Z=0}=1 P{Z=1}=

故Z的分布列为

µλ+µ

λ+µ

3．设随机变量X和Y的分布列分别为

X 101Y01

P1/41/21/4P1/21/2

已知P{XY = 0} = 1，试求Z = max{X, Y }的分布列．

解：因P{X1 X2 = 0} = 1，有P{X1 X2 ≠ 0} = 0，

即P{X1 = 1, X2 = 1} = P{X1 = 1, X2 = 1} = 0，可得 (X, Y ) 的联合分布列为

因P{ZP{Z故Z4．

（1）X（2）X解：（1）(X, 因P{Z = 0} = P{X = 0, Y = 0} = 0.25；P{Z = 1} = 1 P{Z = 0} = 0.75；故Z的分布列为

Z01

P0.250.75

（2）因P{Z = k} = P{X = k, Y ≤ k} + P{X < k, Y = k} = P{X = k} P{Y ≤ k} + P{X < k} P{Y = k}

=(1 p)

k 1

p ∑(1 p)

j=1

j 1

p+∑(1 p)i 1p (1 p)k 1p

i=1

k 1

=(1 p)

k 1

1 (1 p)k1 (1 p)k 1p p+p (1 p)k 1p 1 (1 p)1 (1 p)

= (1 p) k 1 p [2 (1 p) k 1 (1 p) k ]

故Z = max{X, Y }的概率函数为pz (k) = (1 p) k 1 p [2 (1 p) k 1 (1 p) k ]，k = 1, 2, …．

5．设X和Y为两个随机变量，且

P{X≥0,Y≥0}=

试求P{max{X, Y } ≥ 0}．

34，P{X≥0}=P{Y≥0}=， 77

，P(A)=P(B)=， 774435

故P{max{X,Y}≥0}=P(AUB)=P(A)+P(B) P(AB)=+ =．

7777

6．设X与Y的联合密度函数为

解：设A表示事件“X ≥ 0”，B表示事件“Y ≥ 0”，有P(AB)=

e (x+y),x>0,y>0,

p(x,y)=

其他. 0,

试求以下随机变量的密度函数（1）Z = (X + Y )/2；（2）Z = Y X．

解：方法一：分布函数法

x+y

（1）作曲线簇=z，得z的分段点为0，

当z ≤ 0时，FZ (z) = 0，

当z > 0时，FZ(z)=∫dx∫

02z02z

2z x0

e (x+y)dy=∫dx [ e (x+y)]

2z0

2z2z x0

=∫( e 2z+e x)dx=( e 2zx e x)

=1 (2z+1)e 2z，

因分布函数FZ (z) 连续，有Z = (X + Y )/2为连续随机变量，故Z = (X + Y )/2的密度函数为

4ze 2z,z>0,

pZ(z)=FZ′(z)=

z≤0. 0,

（2）作曲线簇y x = z，得z的分段点为0，

当z ≤ 0时，FZ(z)=∫

+∞ z

x+z

+∞

x+z0

dx∫

(x+y)dy=∫dx [ e (x+y)]

=∫[ e (2x+z) x

+∞

1 1 1

= e (2x+z) e x = ez ez =ez，

2 2 2 z

当z > 0时，FZ(z)=∫

+∞0

+∞

dx∫

x+z

e (x+y)dy=∫dx [ e (x+y)]

+∞x+z0

+∞

=∫[ e (2x+z)+e x]dx

1 1 1

= e (2x+z) e x = e z 1 =1 e z，

2 2 0 2

因分布函数FZ (z)连续，有Z = Y X为连续随机变量，

故Z = Y X的密度函数为

+∞

2e,z≤0,

pZ(z)=FZ′(z)=

1 z

e,z>0. 2

方法二：增补变量法（1）函数z=

x+y

对任意固定的y关于x严格单调增加，增补变量v = y， 2

x+y x′ x=2z v, z=,z

可得且J=2 有反函数 y=v,y′z v=y,

则pZ(z)=∫作曲线簇

+∞

∞

′2 1xv

==2， ′01yv

p(2z v,v) 2dv=∫2p(2z v,v)dv，

x+y

=z，得z的分段点为0， 2

当z ≤ 0时，pZ (z) = 0，

2z0

当z > 0时，pZ(z)=∫2e 2zdv=4ze 2z，故Z = (X + Y )/2的密度函数为

4ze 2z,z>0,

pZ(z)=

≤0,z0.

（2）函数z = y x对任意固定的y关于x严格单调增加，增补变量v = y，

x′ z=y x, x=v z,z

可得有反函数且J=

y′z v=y, y=v,

则pZ(z)=∫

+∞ ∞

′ 1xv

== 1， ′yv0p(v z,v)dv，

+∞

作曲线簇y x = z，得z的分段点为0，当z ≤ 0时，pZ(z)=∫

e 2v+zdv= e 2v+z02+∞1

当z > 0时，pZ(z)=∫e 2v+zdv= e 2v+z

故Z = Y X的密度函数为

+∞

0+∞

e， 21

=e z， 2

2e,z≤0,

pZ(z)=

1 z

e,z>0. 2

7．设X与Y的联合密度函数为

3x,0<x<1,0<y<x,

p(x,y)=

其他0,.

试求Z = X Y的密度函数．

解：方法一：分布函数法

作曲线簇x y = z，得z的分段点为0, 1，当z < 0时，FZ (z) = 0，

当0 ≤ z < 1时，FZ(z)=∫dx∫3xdy+∫dx∫

zx1x

zx z

3xdy=∫3x2dx+∫3xzdx=x3

z1z0

32131

xz=z z3，

z222

当z ≥ 1时，FZ (z) = 1，

因分布函数FZ (z) 连续，有Z = X Y为连续随机变量，故Z = X Y的密度函数为

(1 z2),0<z<1,

pZ(z)=FZ′(z)= 2

其他. 0,

方法二：增补变量法

函数z = x y对任意固定的y关于x严格单调增加，增补变量v = y，

x′ z=x y, x=z+v,z

可得有反函数且J=

y′z v=y, y=v,

则pZ(z)=∫

+∞ ∞

′1xv

==1， ′0yv

p(z+v,v)dv，

1 z0

作曲线簇x y = z，得z的分段点为0, 1，

当z ≤ 0或z ≥ 1时，pZ (z) = 0，当0 < z < 1时，pZ(z)=∫

1 z0

3(z+v)dv=(z+v)2

(1 z2)， 2

故Z = X Y的密度函数为

(1 z2),0<z<1,

pZ(z)= 2

其他. 0,

8．某种商品一周的需要量是一个随机变量，其密度函数为

te t,t>0,p1(t)=

t≤0. 0,

设各周的需要量是相互独立的，试求

（1）两周需要量的密度函数p2 (x)；（2）三周需要量的密度函数p3 (x)．解：方法一：根据独立伽玛变量之和仍为伽玛变量

设Ti表示“该种商品第i周的需要量”，因Ti的密度函数为

12 1 t

te,t>0,

p1(t)= Γ(2)

t≤0. 0,

可知Ti服从伽玛分布Ga (2, 1)，

（1）两周需要量为T1 + T2，因T1与T2相互独立且都服从伽玛分布Ga (2, 1)，

故T1 + T2服从伽玛分布Ga (4, 1)，密度函数为 14 1 x1

xe,x>0, x3e x,x>0,

p2(x)= Γ(4)= 6

x≤0.x≤0. 0, 0,

（2）三周需要量为T1 + T2 + T3，因T1, T2, T3相互独立且都服从伽玛分布Ga (2, 1)，

故T1 + T2 + T3服从伽玛分布Ga (6, 1)，密度函数为 16 1 x15 x

xe,x>0, xe,x>0,

p3(x)= Γ(6)= 120

x≤0.x≤0. 0, 0,

方法二：分布函数法

（1）两周需要量为X2 = T1 + T2，作曲线簇t1 + t2 = x，得x的分段点为0，

当x ≤ 0时，F2 (x) = 0，

当x > 0时，F2(x)=∫dt1∫

x t1

t1e t1 t2e t2dt2=∫dt1 t1e t1( t2e t2 e t2)

x t10

=∫[(t12 xt1 t1)e x+t1e t1]dt1

1 11

= t13 t12x t12 e x t1e t1 e t1

22 3 0

11 1

= x3 x3 x2 e x xe x e x ( 1)

22 3

12 x13 x

xe xe， 26

因分布函数F2 (x)连续，有X2 = T1 + T2为连续随机变量，故X2 = T1 + T2的密度函数为

=1 e x xe x

13 x

xe,x>0,

p2(x)=F2′(x)= 6

x≤0. 0,

（2）三周需要量为X3 = T1 + T2 + T3 = X2 + T3，作曲线簇x2 + t3 = x，得x的分段点为0，

当x ≤ 0时，F3 (x) = 0，

x x2xx x21x13 x23 x2

当x > 0时，F3(x)=∫dx2∫x2e t3e t3dt3=∫dx2 x2e( t3e t3 e t3)

0000661`x4333 x2=∫[(x2 x2x x2)e x+x2e]dx2 60

1 151414 x3 x2 x x 2 x= x2 x2x x2 e x2e 3x2e2 6x2e2 6e2 6 544 01 111 11

= x5 x5 x4 e x x3e x x2e x xe x e x ( 1) 6 544 62

12 x13 x14 x15 x

xe xe xe xe， 2624120

因分布函数F3 (x) 连续，有X3 = T1 + T2 + T3为连续随机变量，故X3 = T1 + T2 + T3的密度函数为

=1 e x xe x

15 x xe,x>0,

p3(x)=F3′(x)= 120

x≤0. 0,

方法三：卷积公式（增补变量法）

（1）两周需要量为X2 = T1 + T2，卷积公式p2(x)=∫

作曲线簇t1 + t2 = x，得x的分段点为0，当x ≤ 0时，p2 (x) = 0，当x > 0时，

p2(x)=∫(x t2)e (x t2) t2e t2dt2=∫(xt2 t2)e x

+∞ ∞

pT1(x t2)pT2(t2)dt2，

13 x 12

dt2= t2x t2 e

3 2

13 x

xe， 6

故X2 = T1 + T2的密度函数为

13 x

xe,x>0,

p2(x)= 6

x≤0. 0,

（2）三周需要量为X3 = T1 + T2 + T3 = X2 + T3，卷积公式p3(x)=∫pX2(x t3)pT3(t3)dt3，

∞+∞

作曲线簇x2 + t3 = x，得x的分段点为0，

当x ≤ 0时，p3 (x) = 0，

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/vuc4.html

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