《电磁场与电磁波》第4版(谢处方 编)课后习题答案 高等教育出版

一章习题解答

1.1 给定三个矢量A、B和C如下： A?ex?ey2?ez3 B??ey4?ez C?ex5?ez2 求：（1）aA；（2）A?B；（3）A?B；（4）?AB；（5）A在B上的分量；（6）A?C； （7）A?(B?C)和(A?B)?C；（8）(A?B)?C和A?(B?C)。 解 （1）aAex?ey2?ezA?A?312?22?(?3)2?e114?e23xy14?ez14 （2）A?B?(ex?ey2?ez3)?(?ey4?ez)?ex?ey6?ez4?53 （3）A?B?(ex?ey2?ez3)?(?ey4?ez)?－11 （4）由 c?oB?1111AB?sA?AB?1?4?17?，得2 38??1(??AB?cos11238)?135.5 （5）A在B上的分量 AB?Acos?AB?A?B11B??17 exeyez（6）A?C?12?3??ex4?ey13?ez10 50?2exeyez（7）由于B?C?0?41?ex8?ey5?ez20 50?2exeyezA?B?12?3??ex10?ey1?ez4 0?41所以 A?(B?C)?(ex?ey2?ez3)?(ex8?ey5?ez20)??42 (A?B)?C?(?ex10?ey1?ez4)?(ex5?ez2)??42 exeyez（8）(A?B)?C??10?1?4?ex2?ey40?ez5 50?2exeyezA?(B?C)?12?3?ex55?ey44?ez11 8520 1.2 三角形的三个顶点为P1(0,1,?2)、P2(4,1,?3)和P3(6,2,5)。 （1）判断?PP12P3是否为一直角三角形； （2）求三角形的面积。

解 （1）三个顶点P1(0,1,?2)、P2(4,1,?3)和P3(6,2,5)的位置矢量分别为 r1?ey?ez2，r2?ex4?ey?ez3，r3?ex6?ey2?ez5 则 R12?r2?r1?ex4?ez， R23?r3?r?2ex2?ey?ez8， R31?r1?r3??ex6?ey?ez7 由此可见 R12?R23?(ex4?ez)?(ex2?ey?ez8)?0 故?PP12P3为一直角三角形。 （2）三角形的面积 S?1R12?R23?1R12?R?117?69?17. 22232131.3 求P?(?3,1,4)点到P(2,?2,3)点的距离矢量R及R的方向。 解 rP???ex3?ey?ez4，rP?ex2?ey2?ez3， 则 RP?P?rP?rP??ex5?ey3?ez 且RP?P与x、y、z轴的夹角分别为 ?ex?RP?Px?cos?1()?cos?1(5)?32.31?R P?P35??1(ey?RP?PR)?cos?1(?3y?cos)?120.47? P?P35??1e?RP?P)?cos?1(?1z?cos(z)?99.73?R P?P351.4 给定两矢量A?ex2?ey3?ez4和B?ex4?ey5?ez6，求它们之间的夹角和A在B上的分量。 解 A与B之间的夹角为 ?A?BAB?cos?1(AB)?cos?1(?3129?77)?131? A在B上的分量为 ABB?A?B??3177??3.532 1.5 给定两矢量A?ex2?ey3?ez4和B??ex6?ey4?ez，求A?B在C?ex?ey?ez上的分量。 exeyez解 A?B?23?4??ex13?ey22?ez10 ?6?41所以A?B在C上的分量为 (A?B)(A?B)?C25C?C??3??14.43 1.6 证明：如果 由A?B?A?C和A?B?A?C，则B?C； 解A?B?A?C，则有A?(A?B)?A?(A?C)，即 (A?B)A?(A?A)B?(A?C)A?(A?A)C 由于A?B?A?C，于是得到 (A?A)B?(A?A) C故 1.7 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，B?C 那么便可以确定该未知矢量。设A为一已知矢量，p?A?X而P?A?X，p和P已知，试求X。

解 由P?A?X，有

A?P?A?(A?X)?(A?X)A?(A?A)X?pA?(A?A)X

故得 X?pA?A?P

A?A1.8 在圆柱坐标中，一点的位置由(4,2?,3)定出，求该点在：（1）直角坐标中的坐

标；（2）球坐标中的坐标。 3解 （1）在直角坐标系中 x?4cos?(2?3)?、2y?4sin(2?3)?23、z?3 故该点的直角坐标为(?2,23,3)。 （2）在球坐标系中 r?42?32?5、??tan?1(43)?53.1?、??2?3?120? 故该点的球坐标为(5,53.1?,120?) 1.9 用球坐标表示的场E?e25rr2， （1）求在直角坐标中点(?3,4,?5)处的E和Ex； （2）求在直角坐标中点(?3,4,?5)处E与矢量B?ex2?ey2?ez构成的夹角。 解 （1）在直角坐标中点(?3,4,?5)处，r2?(?3)2?42?(?5)2?50，故 E?e251rr2?2 Eecos?1?332x?x?E?Erx?2? 52??20（2）在直角坐标中点(?3,4,?5)处，r??ex3?ey4?ez5，所以 E?25r2?25r?ex3?ey4?ez5r3? 102故E与B构成的夹角为 ?E?BEB?cos?1(E)?cos?1(?19(102)2)?153.6? ?B31.10 球坐标中两个点(r1,?1,?1)和(r2,?2,?2)定出两个位置矢量R1和R2。证明R1和R2间夹角的余弦为 cos??cos?1cos?2?sin?1sin?2cos(?1??2) 解 由 R1?exr1sin?1cos?1?eyr1sin?1sin?1?ezr1cos?1 R2?exr2sin?2cos?2?eyr2sin?2sin?2?ezr2cos?2 得到 cos??R1?R2R? 1R2 sin?1cos?1sin?2cos?2?sin?1sin?1sin?2sin?2?cos?1cos?2? sin?1sin?2(cos?1cos?2?1sin?1sin?2)?cos?1cos?2? sin?1sin?2cos(?1??2)?cos?1cos?2 1.11 一球面S的半径为5，球心在原点上，计算： ??(er3sin?)?dS的值。 S2??解 ??(er3sin?)?dS???(er3sin?)?erdS??d??3sin??52sin?d??75?2 SS001.12 在由r?5、z?0和z?4围成的圆柱形区域，对矢量A?err2?ez2z验证散

度定理。

解 在圆柱坐标系中 ??A?1?r?r(rr2)???z(2z)?3r?2 42?5所以 ???Ad????dz0?d?0?(3r?2)rdr?1200? 0又 ??A?dS???(e2rr?ez2z)?(erdSr?e?dS??ezdSz)? SS42?52? ??52?5d?dz?2?4rdrd??1200? 00?0?0故有 ???Ad??1200??A?dS ???S1.13 求（1）矢量A?e2xx2?eyx2y?e2z24xy2z3的散度；（2）求??A对中心在原点的一个单位立方体的积分；（3）求A对此立方体表面的积分，验证散度定理。 222223解 （1）??A??(x)?x??(xy)?y??(24xyz)?z?2x?2x2y?72x2y2z2 （2）??A对中心在原点的一个单位立方体的积分为 121212?Ad??????1?2?1?2?1?(2x?2x2y?72x2y2z2)dxdydz?1224 （3）A对此立方体表面的积分 12121212??A?dS?1212S??12??(122)dydz???12??(?122)dydz? 12121212 2x2(1)2dxdz?2x2(12??12??122??12???)dxdz? 12212121212 24x2y2(1)3dxdy?24x2y2(?1)3dxd1 ??12??122??12??122y?24故有 1????Ad??24???A?dS S1.14 计算矢量r对一个球心在原点、半径为a的球表面的积分，并求??r对球体积的积分。 2??解 ??r?dS???r?erdS?SS?d?aa2sin?d?3 0??4?a0又在球坐标系中，??r?1?r2?r(r2r)?3，所以 2??a??rd???????3r2sin?drd?d??4?a3 0001.15 求矢量A?exx?e2yx?ezy2z沿xy平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与x轴和y轴相重合。再求验证斯托克斯定理。 ??A对此回路所包围的曲面积分，2222解 ??A?dl??xdx??xdx??22dy?0dy?8 C000?0

exeyez又 ??A?????x?y?z?ex2yz?ez2x xx2y2z22所以 ??A?dS?x2yz?ez2x)?ezdxdy?8 S???(e00故有 ??A?dl?8????A?dS CS1.16 求矢量A?e22xx?eyxy沿圆周x?y2?a2的线积分，再计算??A对此圆面积的积分。 A?dl?xdx?xy2d2?解 ??y?2cos?sin??a4cos2?sin2?)d??C??C?(?a?a4 04a2????A?dS??e?Ay?Axz(?)?ezdS?SS?x?y?y2dS?S?2sin2?rd?dr??a40?r04 1.17 证明：（1）??R?3（；2）??R?0（；3）?(A?R)?A。其中R?exx?eyy?ezz，A为一常矢量。 解 （1）??R??x?x??y?y??z?z?3 exeyez（2） ??R?????x?y?z?0 xyy（3）设A?exAx?eyAy?ezAz，则A?R?Axx?Ayy?Azz，故 ?(A?R)?e?x?x(A?xx?Ayy?Azz)?ey?y(Axx?Ayy?Azz)? e?z?z(Axx?Ayy?Azz)?exAx?eyAy?ezAz?A 1.18 一径向矢量场F?erf(r)表示，如果??F?0，那么函数f(r)会有什么特点呢？ 解 在圆柱坐标系中，由 ??F?1d可得到 rdr[rf(r)]?0 f(r)?C C为任意常数。 r在球坐标系中，由 ??F?1d2r2dr[rf(r)]?0 可得到 f(r)?Cr2 1.19 给定矢量函数E?exy?eyx，试求从点P1(2,1,?1)到点P2(8,2,?1)的线积分?E?dl：

（1）沿抛物线x?y2；（2）沿连接该两点的直线。这个E是保守场吗？

而 ?2??x2??2?x2[sin(kx)sin(ly)e?hz]??k2sin(kx)sin(ly)e?hz ?2??y2??2?y2[sin(kx)sin(ly)e?hz]??l2sin(kx)sin(ly)e?hz ?2???22?z2?z2[sin(kx)sin(ly)e?hz]?hsin(kx)sin(ly)e?hz 故 ?2??(?k2?l2?h2)sin(kx)sin(ly)e?hz?0 （2）在圆柱坐标系中 ?2??1?r?r(r???r)??2??2?r2??2??z2 而 1?r?r(r???r)?1?r?r{r??rrn[cos(n?)?Asin(n?)]}?n2rn?2[cos(n?)?Asin(n?)] 1?2?r2??2??n2rn?2[cos(n?)?Asin(n?)]} ?2??z2??2?n?z2r[cos(n?)?Asin(n?)]?0 故 ?2??0 （3） 1?(r??)?1?{r??r[r?ncos(n?)]}?n2r?n?2r?r?rr?rcos(n?) 1?2?r2??2??n2r?n?2cos(n?) ?2??z2??2?n?z2[rcos(n?)]?0 故 ?2??0 （4）在球坐标系中 ?2??1?2??1???1?2r?r(r?r)??2r2sin???(sin???)?r2sin2???2 而 1?r2?r(r2???r)?1??2r2?r[r2?r(rcos?)]?rcos? 1?r2sin???(sin?????)?1?r2sin???[sin????(rcos?)]? 1?r2sin???(?rsin2?)??2cos? 1?2?2rr2sin2???2?1?r2sin2???2(rcos?)?0 故 ?2??0 （5） 1?r2?r(r2???r)?1?r?rr2??r(r?2cos?)]?22[r2cos? 1?r2sin???(sin?????)?1?r2sin???[sin???2??(rcos?)]?

1?r2sin?(?r?2sin2?)??24cos? 1?2?1?2??r?r2sin2???2?r2sin2???2(r2cos?)?0 故 ?2??0 3.14 已知y?0的空间中没有电荷，下列几个函数中哪些是可能的电位的解? （1）e?ycoshx； （2）e?ycosx； （3）e?2ycosxsinx （4）sinxsinysinz。 解 （1）?22?y?x???y?2?y2(ecoshx)?y2(ecoshx)??z2(ecoshx)?2e?ycoshx?0 所以函数e?ycoshx不是y?0空间中的电位的解； （2） ?22?x(e?ycosx)???y?2?y?y2(ecosx)??z2(ecosx)??e?ycosx?e?y2cosx?0 所以函数e?ycosx是y?0空间中可能的电位的解； ?222（3） ?2y??x2(ecosxsinx)??2y??2y?y2(ecosxsinx)??z2(ecosxsinx)? ?4e?2ycosxsinx?2e?2ycosxsinx?0 所以函数e?2ycosxsinx不是y?0空间中的电位的解； （4） ?2?x2sinxsiynszi?n?2?2(?y)2(xsinysinz??szi2n)x(syin?z sinsin)?3sinxsinysinz?0 所以函数sinxsinysinz不是y?0空间中的电位的解。 3.15 中心位于原点，边长为L的电介质立方体的极化强度矢量为P?P0(exx?eyy?ezz)。（1）计算面束缚电荷密度和体束缚电荷密度；（2）证明总的束缚电荷为零。 解 （1） ?P????P??3P0 ?LP(x?2)?n?Px?L2?eLx?Px?L2?2P0 ?LP(x??2)?n?Px??L2??ex?Px??L2?L2P0 同理 ?LLLLLP(y?2)??P(y??2)??P(z?2)??P(z??2)?2P0 （2） qP???Pd???PdS??3PL3?6L2?LP0?0 ???0S23.16 一半径为R0的介质球，介电常数为?r?0，其内均匀分布自由电荷?，证明中心点的电位为 2?r?1?2?()R20 r3?0解 由

??D?dS?q，可得到

S

4?r3r?R0时， 4?rD1??

3D?r?r2即 D1?3， E1?1?? r?03?r?0r?R时， 4?rD4?R30202?3? 即 D?R302?3r2 ， ED2????R310 03?0r2故中心点的电位为 R0?R0??(0)??E?r?R30221dr?0R?E2dr??dr??dr??R0??R0?2?r?1(?)2 003?R0r26?Rr?03?00r?03?02?r3?03.17 一个半径为R的介质球，介电常数为?，球内的极化强度P?erKr，其中K为一常数。（1） 计算束缚电荷体密度和面密度；（2） 计算自由电荷密度；（3）计算球内、外的电场和电位分布。 解 （1） 介质球内的束缚电荷体密度为 ?p????P??1dr2dr(r2Kr)??Kr2 在r?R的球面上，束缚电荷面密度为 ?p?n?Pr?R?eKr?Pr?R?R （2）由于D???0E?P，所以 ??D??00??E???P????D???P 即 (1??0?)??D???P 由此可得到介质球内的自由电荷体密度为 ????D????????P??????p??K00(???)0r2 总的自由电荷量 q???d???KR14?r2dr4??RK????0?0r2???? 0（3）介质球内、外的电场强度分别为 EP1?????eKr (r?R) 0(???0)rEq?RK2?er4???er? (r?R) 0r20(???0)r2介质球内、外的电位分别为 ?R??1??E?dl??E1dr??E2dr? rrRR??Kr(???0)rdr???RKR?0(???2dr? 0)rK(???lnR??K? (r?R) 0)r0(???0)????RK2??E2dr?2dr??RKr?r?0(???0)r?0(??? (r?R) 0)r3.18 （1）证明不均匀电介质在没有自由电荷密度时可能存在束缚电荷体密度；（2）导

出束缚电荷密度?P的表达式。

解 （1）由D??0E?P，得束缚电荷体密度为 ?P????P????D??0??E 在介质内没有自由电荷密度时，??D?0，则有 ?P??0??E

由于D??E，有 ??D???(?E)????E?E????0 所以 ??E??E???? 由此可见，当电介质不均匀时，??E可能不为零，故在不均匀电介质中可能存在束缚电荷体密度。 （2）束缚电荷密度?P的表达式为 ?P??0??E???0?E??? 3.19 两种电介质的相对介电常数分别为?r1=2和?r2=3，其分界面为z=0平面。如果已知介质1中的电场的 E1?ex2y?ey3x?ez(5?z) 那么对于介质2中的E2和D2，我们可得到什么结果？能否求出介质2中任意点的E2和D2？ 解 设在介质2中 E2(x,y,0)?exE2x(x,y,0)?eyE2y(x,y,0)?ezE2z(x,y,0) D2??0?r2E2?3?0E2 在z?0处，由ez?(E1?E2)?0和ez?(D1?D2)?0，可得 ???ex2y?ey3x?exE2x(x,y,0)?eyE2y(x,y,0)??2?5?0?3?0E 2z(x,y,0)于是得到 E2x(x,y,0)?2y E2y(x,y,0)??3x E2z(x,y,0)?103 故得到介质2中的E2和D2在z?0处的表达式分别为 E2(x,y,0)?ex2y?ey3x?ez(103)D2(x,y,0)??0(ex6y?ey9x?ez10) 不能求出介质2中任意点的E2和D2。由于是非均匀场，介质中任意点的电场与边界面上的电场是不相同的。 3.20 电场中一半径为a、介电常数为?的介质球，已知球内、外的电位函数分别为 ?1??E???00rcos????2?a3Ecos?02 r?a 0r?3?02????2?E0rcos? r?a 0验证球表面的边界条件，并计算球表面的束缚电荷密度。 解 在球表面上 ?1(a,?)??E??00acos?????2?aEcos???3?00E0acos? 0??2?0?2(a,?)??3?0??2?E0acos?

0

??1?rr?a??E0cos??2(???0)3???2?E0cos???Ecos?

0??2?00??23?0?rr?a????2?E0cos? 0故有 ?， ?????1(a,?)??2(a,?)120?rr?a???rr?a 可见?1和?2满足球表面上的边界条件。 球表面的束缚电荷密度为 ??P?(???3?0(???0)p?n2r?a0)er?E??22??(???0)?rr?a???2?E0cos? 03.21 平行板电容器的长、宽分别为a和b，极板间距离为d。电容器的一半厚度(0~d2)用介电常数为?的电介质填充，如题3.21图所示。 (1) (1) 板上外加电压U0，求板上的自由电荷面密度、束缚电荷； (2) (2) 若已知板上的自由电荷总量为Q，求此时极板间电压和束缚电荷； (3) (3) 求电容器的电容量。 解 （1） 设介质中的电场为E?ezE，空气中的电场为E0?ezE0。由D?D0，有 ?E??0E0 z 又由于 Ed2?Ed02??U0 由以上两式解得 d2 U0 E??2?0U02?U0? (??? ，E? d0?? 2 0)d(??0)d 故下极板的自由电荷面密度为 ???2? 0?U0下??E 题 3.21图 (??? 0)d上极板的自由电荷面密度为 ?上???0E0?2?0?U0(??? 0)d电介质中的极化强度 P?(???2?0(??0)E??e?0U)0z(??? 0)d故下表面上的束缚电荷面密度为 ?2?0(???0U)0p下??ez?P?(??? 0)d上表面上的束缚电荷面密度为 ?p上?ez?P??2?0(???0)U0(??? 0)d（2）由 ??Q?2?0?U Eab(???0)d0? 1 U?(???0)dQ 得到 ?2 2?0?ab?E 故 ?(???0)Qp下 ? ??ab0 ? E0 ?(???0)Qp上???ab

题3.22图

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