机械工业出版社(熊诗波 黄长艺)版《机械工程测试技术基础》(第三

1

信号及其描述习题

1.1求周期方波（图1-4）的傅立叶级数（复指数函数形式）。画出频谱图|C n |—ω ；φn —ω 图并与表1-1对比。

解：傅立叶级数的复指数形式表达式：???±±±==∑+∞

-∞

=,3,2,1,0;

)(0n e

C

t x n t

jn n

ω

式中：

所以：

幅值频谱：

相位频谱：

傅立叶级数的复指数形式的幅值频谱图和相位频谱都是双边频谱图。 1.2求正弦信号 x (t )=x 0sin ωt 的绝对均值μ|x |和均方根值x rms

解：

1.3求指数函数 的频谱。 解：

1.4求符号函数（题图1-1a ）和单位阶跃函数（题图1-1b ）的频谱.

[]()

??

???

?

??±±±=???±±±=-=--=+?

+

-=

??????-+??????--=??

?+???-==--------

-?

??

,6,4,2;0,5,3,1;2cos 12

111)(1)(12

000

2

02

02

022

0000

0000

00n n n A j n n A j

e

e

n jA n jA e jn A T e jn A T dt Ae

dt e

A T dt e

t x T C jn jn T t jn T t jn T t

jn T t

jn T T t

jn n πππ

π

π

ωωπ

π

ωωωωω?

??±±±±=??? ?

?

-=

∑

+∞

-∞

=,7,5,3,1;2)(0n e

n A j t x t

jn n ωπ?

??±±±==

+=,5,3,1;22

2

n n A C C C nI nR n π

????

?

???---=?

??=-=?

????? ??-

==,5,3,1;2

,5,3,1;202n n n A arctg C C arctg

nR

nI

n πππ

?ω

π

π

ωμ2;2sin 1)(lim

00

00

=

=

=

=?

?

∞

→T x tdt x T dt t x T

T T x 式中：()2

sin 1

)(1

002

002

00

x dt dt x T dt t x T x T T rms =

=

=

??ω)0;0(;)(≥>=-t Ae t x t ααf j A

dt e Ae dt e t x f X ft

j t ft j παπαπ2)()(022+=

?==?

?

∞

+--∞

+∞--

2

解:1) 符号函数的频谱:

令:

2)单位阶跃函数的频谱:

1.5求被截断的余弦函数cos ω0t （题图1-2）的傅立叶变换。

解：

1.6求指数衰减振荡信号（见图1-11b ）： 的频谱 解：

1.7设有一时间函数f (t )及其频谱(题图1-3所示)，现乘以余弦型振荡cos ω0t ，(ω0>ωm )。

在这个关系中，函数f (t )叫做调制信号，余弦型振荡cos ω0t 叫做载波。试求调幅信号f (t )cos ω0t 的傅立叶变换。示意画出调幅信号及其频谱。又问：若ω0<ωm 时将会出现什么情况？ 解：

f

j dt e

e

dt e e dt

e

t x f X t x e

t x ft

j t

ft

j t

ft

j t

ππαπααπαα1)1(lim )()(;)

(lim )(0

22002110

1=??

? ??+-==

=?

??

∞

+---∞

--→--→f

j dt e e dt e

t x f X t x e

t x ft

j t ft

j t

ππααπαα21lim )()(;

)

(lim )(0202220

2=

??? ??==

=??

∞+--→--→??

?≥<=T t T

t t t x ;

0;cos )(0ω()[]

210000222202sin sin 2)(2)(sin 2)(2)(sin 2

12cos )()(00θθππππππππππ?+?=?

?????--+++=+=

==--+-+--+∞

∞

--?

?

?

c c T T f f T f f T f f T f f T dt

e

e

e

dt

te

f dt e t x f X ft

j t

f j t

f j T

T

T

T

ft

j ft

j )0,0(;sin )(0≥>=-t t e t x t

αωα()

()???? ??-+-++=-?

=

=

=

-∞

+---+∞

-+∞

∞

--?

??

)(21

)(2122

2sin )()(0020

2220

0200f f j f f j j dt

e

e

e

j e dt

e

t f e

dt e

t x f X ft

j t

f j t

f j t

ft j t

ft

j παπαππππαπαπ[]()

)

22(2

1)22(2

121)(2cos )()()(0022220

200f f F f f F dt e e e t f dt

e

t f t f dt e

t x f X ft

j t f j t f j ft

j ft

j ππππππππππ-+

+=

??

?

????+=?=

=-∞

+∞

---+∞

∞

-+∞

∞

--?

??

3 当ω0<ωm 时，将会出现频率混叠现象

1.8求正弦信号x (t )=x 0sin （ω0t +φ）的均值μx 和均方值φx 2和概率密度函数p (x )

解：将x (t )=x 0sin （ω0t +φ）写成（ω0t +φ）=arcsin(x (t )/ x 0)

等式两边对x 求导数：

2.2用一个时间常数为0.35s 的一阶装置去测量周期分别为1s ，2s ，5s 的正弦信号，问幅值

误差将是多少？

解：()()

()ωωωτωωX Y j j H =+=+=135.0111

()()2277.01135.011

??

?

??+=+=πωωA

当T=1s 时，()41.01=ωA ，即x Y A A 41.0=，误差为59%

当T=2s 时，()67.02=ωA ，误差为33%

当T=5s 时，()90.03=ωA ，误差为8%

2.3求周期信号()() 45100cos 2.010cos 5.0-+=t t t x ，通过传递函数为()1

05.01

+=s s H 的装置后所得到的稳态响应。

解： 利用叠加原理及频率保持性解题

()()() 45100sin 2.09010sin 5.0+++=t t t x

()()()2

2005.011

11ωτωω+=+=A ，()()ωωφ005.0arctg -= 101=ω，()11=ωA ，() 86.21-ωφ

()() 86.29010sin 15.01-+??=t t x ，

)

(1)(11

122

002000t x x x t x x dx dt -=?

?

?

? ??-=ωω)

(1

221lim lim 1lim )(2

2000

t x x dx dt

T T

t

x T T x x p x x T x -=?=???=???

???

?=→?∞→→?π

4

1002=ω ，()89.02=ωA ，() 57.262-=ωφ ()() 4557.26100sin 89.02.02+-??=t t y

()()() 43.18100sin )178.0(14.8710sin 5.0+-++=∴t t t y

2.7将信号t ωcos 输入一个传递函数为()1

21+=s s H 的一阶装置后，试求其包括瞬态过程

在内的输出()t y 的表达式。

解： ()()() 90sin cos +==t t t x ωω ()1

1

+=

s s H τ，()()

2

11τω

ω+=

A ，()τωφarctg -=

()()

()()τω

ωτωarctg t t y -++=

90sin 11

2

=

()

()τωωτω

arctg t -+cos 112

2.8求频率响应函数

()()

2

1761577536

01.013155072

ω

ωω-++j j 的系统对正弦输入

()()t t x 8.62sin 10=的稳态响应的均值显示。

解： 写成标准形式 ()()()

()[]

22

2

21n

n n

j j j a H ω

ωξωωτωωω+++?=

()()()()()21256

125621256101.01

222

?+?+-?

+=

ωξωω

j j

∴ ()()

2157753617612568.6211

01.08.6211

2

2

2

?+

???

?

???

?

??? ??-?

?+=

ωA

7.199.069.1=?= 对正弦波，122

10

7.12=?==

A u x

2.9试求传递函数分别为

2

2

2

4.15

.1n

n S

S

ω

ω++和

22

2

24.141n

n n

S

S

ω

ωω++的两个环节串联后组

5 成的系统的总灵敏度（不考虑负载效应）

解： ()()()ωωω21H H H ?=

()173

5.05.35.11+=+=S S H ω，31=S

()222

24.141n

n n

S S H ωωωω++=，412=S

12341321=?=?=S S S

2.10想用一个一阶系统作100Hz 正弦信号的测量，如要求限制振幅误差在5%以内，则时间 单常数应去多少？若用该系统测试50Hz 正弦信号，问此时的振幅误差和相角差是多少？

解： 由振幅误差 ()%511|

|00≤-=-=-=ωA A A A A A E I

I I

∴ ()%95≥ωA

即 ()()%9511

2=+=τωωA ， ()95.01002112

=?+t π，s 41023.5-?=τ

当πππω1005022=?==f ，且s 41023.5-?=τ时

()()%7.981001023.511

2

4≈??+=-πωA

∴ 此时振幅误差%3.1%7.9811=-=E

()() 3.91001023.54-≈??-=-πωφarctg

2.11某力传感器可以作为二阶振荡系统处理。已知传感器的固有频率为800Hz ，阻尼比14.0=ξ，问使用该传感器作频率为400Hz 的正弦力测试时，其振幅比()ωA 和相角差()ω?各为多少？若该装置的阻尼比可改为7.0=ξ，问()ωA 和()ω?又将作何种变化？

解： 作频率为400Hz 的正弦力测试时

()2

22

2

411?

?

?

? ??+?????????

?

?? ??-=n n A ωωξωωω

6 ()2

22

280040014.0480040011??

?

???+????

??????? ??-=

31.1≈

()212?

?

?

?

??-?

?

?

?

??-=n n arctg ωωωωξω?

2800400180040014.02??

?

??-??

?

????-=arctg

6.10-≈

当阻尼比改为7.0=ξ时

()()97.08004007.0480040011

2

222≈??

?

???+????

??????? ??-=ωA

() 4380040018004007.022-≈??

?

??-?

?

?

????-=arctg ω?

即阻尼比变化时，二阶振荡系统的输出副值变小，同时相位角也变化剧烈，相位差变大。

2.12对一个可视为二阶系统的装置输入一单位阶跃函数后，测得其响应中产生了数值为1.5的第一个超调量峰值。同时测得其振荡周期为6.28s 。设已知该装置的静态增益为3，试求该装置的传递函数和该装置在无阻尼固有频率处的频率响应。

解： 最大超调量

5.1211==?

?

??

??--ξπξe M

即 13.01

5.1ln 1

2≈+??

?

??=πξ

7 且 28.62==d

d T ωπ

∴ 128.6212≈=-=π

ξωωn d ()01.113.0111122≈-=-=ξωn 系统的传递函数

()()

()12

22++==n

n S

S k

s X s Y s H ωξω ()1

01.113.0201.1322

+??+=S

S 该装置在无阻尼固有频率处的频率响应 由()()()()

1

22++

???? ??=

=n

n j j K

X Y j H ωωξωωωωω

n

n j K ωω

ξωω212+?

??? ??-= ∴ ()j j K

j H n

n n 26.03

212=+?????????

???

??-=ωω

ξωωω

d ω为有阻尼固有频率

M=0.5，12==T d π

ω 215

.01

ln 1

212=+??

? ??=?=?

?

?? ??

--M e M πξξξπ 21ξωω-=n d ，∴ 02.112=-=ξωωd n S=3

8 ∴()S S S s H n

n n

?++=222

2ωξωω 304.144.004.12?+?+=S S ()98.63412=?=ξωn A （n ωω=时代入得） ()()

90,21-==ω?ξωA

()2π

ω?-=∞-=arctg n

()??

?

??-=202.1sin 98.6πt t y

4.1解 ：μ=2μm 时， 单臂，00

4U R R

U y ?=

04U R R S U g y ε

??=

)(1033*1204102120266

V U y --?=????= 双臂，00

2U R R

U y ?=

02U R R S U g y ε

??=

)(1063*1202102120266

V U y --?=????=

：μ=2000μm 时， 单臂，00

4U R R

U y ?=

04U R R S U g y ε

??=

9

)

(10

33*120

410

200012023

6

V U

y

--?=????=

双臂，00

2U R R U y ?=

02U R

R S U

g y

ε??=

)

(10

63*120

210

200012023

6

V U

y

--?=????=

双臂的灵敏度比单臂的提高一倍。

4.4解：00

U R R U y ?=

0U R

R S U

g y

ε

??=

t

E t B t A S U

g y

10000sin )100cos 10cos (?+?=

)]29900()29900()210100()210100([4

1)]

29990()29990()210010()210010([4

1)()

9900sin 10100(sin 2

1)9990sin 10010(sin 2

110000sin 100cos 10000sin 10cos π

δπ

δπ

δπ

δπ

δπ

δπ

δπ

δ-

+++--+

+-+++--+

=++

+=

?+?=f f f f BE jS f f f f AE jS f U t t BE S t t AE S t t BE S t t AE S g g y g g g g

4.5解：))(cos 3cos 20cos 30100(t t t x c a ωΩ+Ω+=

)

1000cos 5000(cos 10)1000cos 3000(cos 152000cos 1002000cos 3000cos 202000cos 1000cos 302000cos 100t t t t t t t t t t ππππππππππ++++=++=

)]

8500()8500([5)]11500()11500([5)]9500()9500([5.7)]

10500()10500([5.7)]10000()10000([50)(-+++-+++-+++-+++-++=f f f f f f f f f f f X a δδδδδδδδδδ4.10 解：1

10

11

11

1

)(3

+=

+=

+=

-s RCs s s H τ

10 1101

)(3+=-ωωj H

)

10(11)(11)(32ωτωω-+=+=A

)10arctan()arctan()(3ωτωω?--=-=

)

451000sin(07.7)

451000sin(707.010))1000(1000sin()1000(1000+=+?=+=t t t A U y ?

4.11 解：2

)(11)(τωω+=A )arctan()(τωω?-=

?

=?-==?+==56.26)1005.0arctan()10(816.0)1005.0(11

)10(10?ωA 时，

?

=?-==?+==69.78)10005.0arctan()100(408

.0)10005.0(11

)100(100?ωA 时，

)69.33100cos(0816.0)56.2610cos(408.0)

69.7845100cos(408.02.0)56.2610cos(816.05.0)(?????+++=+-?++?=t t t t t y

5.1

5.2 )2sin()2sin()(222111π

?ωπ?ω-++-+=t A t A t x

α

ττταατ

αταα2)()()(020)

(-∞+--+∞∞-+∞+--===+?=???e dt e e dt

e e dt t h t h R t t t x ???

<>≥=-)

0(;0)

0,0(;)(t t e t h t αα

11 由同频相关，不同频不相关得：

τωτωτ22212cos 2cos 2)(1

A A R x +=

5.3：由图可写出方波的基波为)2sin(4)(1πωπ-=t t x

)2cos(2)(π

ωτπτ-=xy R

5.4: )()()(f S f H f S x xy =

)(/)()(f S f S f H x xy =

)]([)(τxy xy R F f S =

T j xy xy x x e R F T R F R F f S ωτττ)]([)]([)]([)(=+== T j e f H ω-=)(

5.5:见图5-16

5.6:由自相关函数的性质可知:

A A R x x ===0cos )0(2

?

A x x rms ==2

?

5.7:由对称性性质:

1)}({sin 2=t c F f 22π

π

<<-f

ππ

π

==??-∞∞-2

2

2)(sin df dt t c

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