江苏大学近世代数题库

近世代数题库：

一、填空题：

1、设集合A有一个分类，其中Ai与Aj是A的两个类，如果Ai?Aj，那么

Ai?Aj? 。

2、群的单位元是 的，每个元素的逆元素是 的。 3、若a,b∈G;m,n∈Z,且（ab）n=a n b n,则G为 。

4、如果S=﹛a,b﹜,且a,b满足关系a2?b3?e;ba?ab2，列出群a,b的所有元素 。

5、凯莱定理说：每一个群都同一个 同构。 6、若映射?既是单射又是满射，则称?为 。

a是A的一个元，7、如果f是A与A间的一一映射，则f?1?f?a??? 。

8、设?是群G到G′的同构映射，且?可逆，若a是G的任一元素，则a?1= 。 9、已知群G中的元素a的阶等于50，则a的阶等于 。

na?e，那么m与n存在整除关系Gam10、设群中元素的阶为，如果

4为 。

11、设交换群G中a的阶是3, b的阶是4,则ab的阶是 。 12、在循环群G= a中若a的阶是一个有限整数n，那么G与 同构。 13、若群G= a是无限循环群，那么G与 同构。

14、求Z12的全部生成元 ，全部子群 。

15、每一个有限群都同构于一个 。 16、n次对称群Sn的阶是 。

17、给出一个5轮换??(31425)，那么??1? 。

?12?n?18、设置换???则对任一n阶置换?有????1? 。 ?，

kk?kn??1219、将下列轮换的乘积表示为不相交轮换的乘积（3654）（3241）（31524）=

。 20、已知?4=（1437562），则?= 。

21、整数加法群Z关于子群nZ的陪集为 。

22、设ord a=30，则a4在a中的所有左陪集是 。

23、在Z12中，子群H=4中的所有左陪集是 。 24、H是群G一个子群,则H的右、左陪集的个数 。 25、设N是G的正规子群，商群GN中的单位元是 。

26、设G是一切非零实数所构成的乘法群，令同态映射?：G→G′;x→x2,则Ker?= 。

27、表示出Z20到Z8得所有同态映射 。

28、设集合A???1,0,1?；B??1,2?，则有B?A? 。 29、设G1和G2是两个群，且G1的阶为m, G2的阶为n,则G1?G2： ①是交换群的充要条件是： ；

②是循环群的充要条件是： 。

30、设G1?a中a的阶为3，G2?b中b的阶为5，则G1?G2的阶

为 。

31、Z9?Z6中9阶元素有 个。

二、判断题：

1、若G为群，则在群中消去率成立。 2、循环群是交换群。

3、设G是一个具有乘法运算的非空有限集合，若G满足结合律且两个消去律成立，则G构成群。 4、若H是群G的一个非空有限子集，且?a,b?H都有ab?H成立，则H是G的一个子群。

5、群G任意两个子群的交集还是G得子群。

6、只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射f?1。

7、设G是一个元素个数为n的有限群，则若a是G的任一元素，则ord a︱n。 8、如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群。

9、每个置换都可以表示为对换的乘积，且对换个数的奇偶性唯一。 10、当n﹥1时，在全体n阶置换中，奇置换和偶置换各有n!/2个。 11、设A与B是群G的两个非空子集，且AB=AC，则B=C。

12、设A与B是群G的两个非空子集，g是群G的一个元素，且gA=gb，则A=B。 13、群G的子群H是不变子群的充要条件为?g?G,?h?H;g?1hg?H。 14、交换群的子群是正规子群。 15、交换群的商群也是交换群。

16、设f是群G到群G的同态映射，H是G的子群，则f?H?是G的子群。 17、同构映射也称同态映射。

18、设?是群G到群G′的同态映射，则Ker?是G的正规子群。

三、证明题：

1、设m使大于1的正整数，记U(m)??a?Zm(a,m)?1?，证明U(m)是群。 2、设G是群，证明：如果对任意的x∈G，都有x2=e，则G是一个交换群。 3、设R使全体实数组成的加法群，R+表示全体正实数组成的加法群，证明：群R与R+同构。

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4、设H是G的子群，a,b∈G.证明：Ha=Hb的充要条件是ba∈H。

5、设G为群，H是G的子群，若H在G中的指数为2，证明：H是G的正规子群。 6、设G为群 H1，H2是G的正规子群，证明：H1?H2，H1H2都是G得正规子群。

四、名词解释： 1、等价关系： 2、群的定义： 3、子群的定义： 4、同构映射的定义： 5、置换群的定义： 6、轮换的定义： 7、左陪集的定义： 8、正规子群的定义： 9、商群的定义： 10、同态映射的定义： 11、核的定义：

12、外直积和内直积的定义： 13、环的定义： 14、理想的定义：

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