高中数学第一章导数及其应用1_3导数在研究函数中的应用教材习题

高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用教材

习题点拨 新人教A 版选修2-2

教材问题解答

(问题)

如果在某个区间内恒有f ′(x )＝0，那么函数f (x )有什么特征？

答：如果在某个区间上恒有f ′(x )＝0，那么函数f (x )在这个区间上是常数函数． (思考)

请同学们回顾一下函数单调性的定义，并思考某个区间上函数y ＝f (x )的平均变化率的几何意义与其导数正负的关系．

答：函数y ＝f (x )的平均变化率f x 2－f x 1x 2－x 1

的几何意义是经过(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))两点直线的斜率．

当导数为正值时，函数单调递增，平均变化率

f x 2－f x 1x 2－x 1＞0；当导数为负值时，函数单调递减，平均变化率

f x 2－f x 1x 2－x 1＜0. (问题)

如果不用导数的方法，直接运用单调性的定义，你如何求解本题？运算过程麻烦吗？你有什么体会？

答：如果不用导数的方法，直接运用单调性的定义，也可以求解本题，但运算过程相对麻烦，有时需要变形的很多技巧，特别是判断三次的多项式函数的单调性时，这种方法不是一种简便的方法，导数是研究函数单调性的工具，其方法具有普适性、通用性． 练习1

1．解：(1)因为f (x )＝x 2－2x ＋4，所以f ′(x )＝2x －2.

当f ′(x )＞0，即x ＞1时，函数f (x )＝x 2－2x ＋4单调递增；

当f ′(x )＜0，即x ＜1时，函数f (x )＝x 2－2x ＋4单调递减．

(2)因为f (x )＝e x －x ，所以f ′(x )＝e x －1.

当f ′(x )＞0，即x ＞0时，函数f (x )＝e x －x 单调递增；

当f ′(x )＜0，即x ＜0时，函数f (x )＝e x －x 单调递减．

(3)因为f (x )＝3x －x 3，所以f ′(x )＝3－3x 2.

当f ′(x )＞0，即－1＜x ＜1时，函数f (x )＝3x －x 3单调递增；

当f ′(x )＜0，即x ＞1或x ＜－1时，函数f (x )＝3x －x 3单调递减．

(4)因为f (x )＝x 3－x 2－x ，所以f ′(x )＝3x 2－2x －1.

当f ′(x )＞0，即x ＞1或x ＜－13

时，函数f (x )＝x 3－x 2－x 单调递增； 当f ′(x )＜0，即－1

3＜x ＜1时，函数f (x )＝x 3－x 2－x 单调递减．

2．解：如图所示．

点拨：图象形状不唯一．

3．解：因为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，所以f ′(x )＝2ax ＋b .

(1)若a ＞0，

f ′(x )＞0，即x ＞－b

2a 时，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)单调递增；

f ′(x )＜0，即x ＜－b

2a 时，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)单调递减．

(2)若a ＜0，

f ′(x )＞0，即x ＜－b

2a 时，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)单调递增；

f ′(x )＜0，即x ＞－b

2a 时，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)单调递减．

4．证明：因为f (x )＝2x 3－6x 2＋7，所以f ′(x )＝6x 2－12x . 当x ∈(0,2)时，

f ′(x )＝6x 2－12x ＜0，

因此函数f (x )＝2x 3－6x 2＋7在(0,2)内是减函数．

练习2

1．解：x 2，x 4是函数的极值点，其中x ＝x 2是函数y ＝f (x )的极大值点， x ＝x 4是函数y ＝f (x )的极小值点．

2．解：(1)因为f (x )＝6x 2－x －2，所以f ′(x )＝12x －1.

令f ′(x )＝12x －1＝0，得x ＝1

12.

当x＞1

12

时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；

当x＜1

12

时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．

所以，当x＝1

12时，f(x)有极小值，并且极小值为f?

?

??

?1

12

＝6×

?

?

??

?1

12

2－

1

12

－2＝－

49

24

.

(2)因为f(x)＝x3－27x，

所以f′(x)＝3x2－27.

令f′(x)＝3x2－27＝0，得x＝3或x＝－3.

下面分两种情况讨论：

①当f′(x)＞0，即x＞3或x＜－3时；

②当f′(x)＜0，即－3＜x＜3时．

当x变化时，f′(x), f(x)变化情况如下表：

当x＝3时，f(x)有极小值，并且极小值为－54. (3)因为f(x)＝6＋12x－x3，所以f′(x)＝12－3x2. 令f′(x)＝12－3x2＝0，得x＝2或x＝－2.

下面分两种情况讨论：

①当f′(x)＞0，即－2＜x＜2时；

②当f′(x)＜0，即x＞2或x＜－2时．

当x变化时，f′(x), f(x)变化情况如下表：

当x＝2时，f(x)有极大值，并且极大值为22. (4)因为f(x)＝3x－x3，所以f′(x)＝3－3x2.

令f′(x)＝3－3x2＝0，得x＝1或x＝－1.

下面分两种情况讨论：

①当f′(x)＞0，即－1＜x＜1时；

②当f ′(x )＜0，即x ＞1或x ＜－1时． 当x 变化时，f ′(x ), f (x )变化情况如下表：

当x ＝1时，f (x )有极大值，并且极大值为2. 练习3

解：(1)我们知道，在[1,2]上，函数f (x )＝6x 2

－x －2无极大值和极小值．因为f (1)＝3，f (2)＝20，所以函数f (x )＝6x 2

－x －2在[1,2]上的最大值是20，最小值是3.

(2)我们知道，在[－3,3]上，函数f (x )＝x 3

－27x 无极大值和极小值．因为f (－3)＝54，

f (3)＝－54，所以函数f (x )＝x 3－27x 在[－3,3]上的最大值是54，最小值是－54.

(3)我们知道，在??????－13，1上，函数f (x )＝6＋12x －x 3

无极大值和极小值．因为f ? ??

?

?－13＝5527，f (1)＝17，所以函数f (x )＝6＋12x －x 3

在????

??－13，1上的最大值是17，最小值是5527. (4)我们知道，在[1,2]上，函数f (x )＝3x －x 3

无极大值和极小值．因为f (1)＝2，f (2)＝－2，所以函数f (x )＝ 3x －x 3

在[1,2]上的最大值是2，最小值是－2.

习题1.3

A 组

1．解：(1)因为f (x )＝－2x ＋1，所以f ′(x )＝－2＜0.因此，函数f (x )＝－2x ＋1是单调递减函数．

(2)因为f (x )＝x ＋cos x ，x ∈? ????0，π2，所以f ′(x )＝1－sin x ＞0, x ∈? ????0，π2.因此，

函数f (x )＝x ＋cos x ，x ∈?

????0，π2是单调递增函数．

(3)因为f (x )＝－2x －4，

所以f ′(x )＝－2＜0.因此，函数f (x )＝－2x －4是单调递减函数． (4)因为f (x )＝2x 3

＋4x ，

所以f ′(x )＝6x 2

＋4.由于f ′(x )＝6x 2

＋4＞0， 因此函数f (x )＝2x 3＋4x 是单调递增函数．

2．解：(1)因为f (x )＝x 2

＋2x －4，所以f ′(x )＝2x ＋2. 当f ′(x )＞0，即x ＞－1时， 函数f (x )＝x 2

＋2x －4单调递增；

当f ′(x )＜0，即x ＜－1时，

函数f (x )＝x 2

＋2x －4单调递减．

(2)因为f (x )＝2x 2－3x ＋3，

所以f ′(x )＝4x －3.

当f ′(x )＞0，即x ＞34时， 函数f (x )＝2x 2－3x ＋3单调递增；

当f ′(x )＜0，即x ＜34

时， 函数f (x )＝2x 2－3x ＋3单调递减．

(3)因为f (x )＝3x ＋x 3，所以f ′(x )＝3＋3x 2＞0.因此，函数f (x )＝3x ＋x 3是单调递增函数．

(4)因为f (x )＝x 3＋x 2－x ，

所以f ′(x )＝3x 2＋2x －1.

当f ′(x )＞0，即x ＞13

或x ＜－1时，函数f (x )＝x 3＋x 2－x 单调递增； 当f ′(x )＜0，即－1＜x ＜13

时，函数f (x )＝x 3＋x 2－x 单调递减． 3．解：(1)

(2)加速度为0.

4．解：(1)在x ＝x 2处，导函数y ＝ f ′(x )有极大值；

(2)在x ＝x 1和x ＝x 4处，导函数y ＝ f ′(x )有极小值；

(3)在x ＝x 3处，函数y ＝f (x )有极大值；

(4)在x ＝x 5处，函数y ＝f (x )有极小值．

5．解：(1)因为f (x )＝6x 2＋x ＋2，所以f ′(x )＝12x ＋1.

令f ′(x )＝12x ＋1＝0，得x ＝－112

. 当x ＞－112时，f ′(x )＞0,f (x )单调递增；

当x＜－1

12

时，f′(x)＜0,f(x)单调递减．

所以，当x＝－1

12

时，f(x)有极小值，并且极小值为f?

?

??

?

－

1

12

＝6×

?

?

??

?1

12

2－

1

12

＋2＝

47

24

.

(2)因为f(x)＝x3－12x，

所以f′(x)＝3x2－12.

令f′(x)＝3x2－12＝0，得x＝2或x＝－2.

下面分两种情况讨论：

①当f′(x)＞0，即x＞2或x＜－2时；

②当f′(x)＜0，即－2＜x＜2时．

当x变化时，f′(x), f(x)变化情况如下表：

当x＝2时，f(x)有极小值，并且极小值为－16.

(3)因为f(x)＝6－12x＋x3，所以f′(x)＝－12＋3x2.

令f′(x)＝－12＋3x2＝0，得x＝2或x＝－2.

当x变化时，f′(x), f(x)变化情况如下表：

并且极小值为－10.

(4)因为f(x)＝48x－x3，

所以f′(x)＝48－3x2.

令f′(x)＝48－3x2＝0，得x＝4或x＝－4.

下面分两种情况讨论：

①当f′(x)＞0，即－4＜x＜4时；

②当f′(x)＜0，即x＞4或x＜－4时．

当x变化时，f′(x), f(x)变化情况如下表：

当x ＝4时，f (x )有极大值，并且极大值为128.

6．解：(1)在[－1,1]上，函数f (x )＝6x 2＋x ＋2有极小值f (－12

)＝3， 由于f (－1)＝7，f (1)＝9，

所以f (x )＝6x 2

＋x ＋2在[－1,1]上的最大值和最小值分别为9,3.

(2)在[－3,3]上，当x ＝－2时，函数f (x )＝x 3－12x 有极值，并且极大值为16；当x ＝2时，函数f (x )＝x 3－12x 有极小值，并且极小值为－16.

又由于f (－3)＝9，f (3)＝－9，所以函数f (x )＝x 3－12x 的最大值和最小值分别为16，－16. (3)我们知道，在??????－13，1上，函数f (x )＝6－12x ＋x 3无极大值和极小值．由于f ? ??

??－13＝26927，f (1)＝－5，所以函数f (x )＝6－12x ＋x 3在????

??－13，1上的最大值和最小值分别为26927，－5.

(4)我们知道，当x ＝4时， f (x )有极大值，并且极大值为128.又由于f (－4)＝－128，f (5)＝115，因此函数f (x )＝48x －x 3在[－4,5]上的最大值和最小值分别为128，－128.

B 组

1．证明：(1)设f (x )＝sin x －x ，x ∈(0，π)，因为f ′(x )＝cos x －1＜0，x ∈(0，π)，所以f (x )＝sin x －x 在x ∈(0，π)内单调递减，因此f (x )＝sin x －x ＜f (0)＝0，x ∈(0，π)，即sin x ＜x ，x ∈(0，π)．

(2)设f (x )＝x －x 2，x ∈(0,1)，因为f ′(x )＝1－2x ，x ∈(0,1)，所以当x ∈? ??

??0，12时，f ′(x )＝1－2x ＞0，f (x )单调递增，f (x )＝x －x 2＞f (0)＝0；当x ∈? ??

??12，1时， f ′(x )＝1－2x ＜0，f (x )单调递减， f (x )＝x －x 2＞f (1)＝0，又f ? ????12＝14

＞0，因此，x －x 2＞0，x ∈(0,1)．

(3)设f (x )＝e x －1－x ，x ≠0，因为f ′(x )＝e x －1, x ≠0，所以，当x ＞0时，f ′(x ) ＝e x －1＞0，f (x )单调递增，f (x )＝e x －1－x ＞f (0)＝0；当x ＜0时，f ′(x )＝e x －1＜0，f (x )单调递减， f (x )＝e x －1－x ＞f (0)＝0.综上，e x ＞1＋x ，x ≠0.

(4)设f (x )＝ln x －x ，x ＞0，因为f ′(x )＝1x －1，所以，当0＜x ＜1时，f ′(x )＝1x －

1＞0，f (x )单调递增，f (x )＝ln x －x ＜f (1)＝－1＜0；当x ＞1时，f ′(x )＝1x

－1＜0，f (x )单调递减， f (x )＝ln x －x ＜f (1)＝－1＜0；当x ＝1时，显然ln 1＜1.因此ln x ＜x .由(3)可知，e x ＞1＋x ＞x ，x ＞0.综上，ln x ＜x ＜e x, x ＞0.

2．解：(1)函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象大致是个“双峰”图象．若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单调区间．

(2)因为f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，

所以f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .

下面分类讨论：

当a ≠0时，分a ＞0和a ＜0两种情形：

①当a ＞0且b 2－3ac ＞0时，设方程f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根分别为x 1，x 2，且x 1＜x 2，当f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ＞0，即x ＞x 2或x ＜x 1时，函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 单调递增；当f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ≤0，即x 1＜x ＜x 2时，函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 单调递减．

当a ＞0且b 2－3ac ＜0时，此时f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ≥0，函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 单调递增．

②当a ＜0，且b 2－3ac ＞0时，设方程f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根分别为x 1，x 2，且x 1＜x 2，当f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ＞0，即x 1＜x ＜x 2时，函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 单调递增；当f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ＜0，即x ＞x 2或x ＜x 1时，函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 单调递减．

当a ＜0，且b 2－3ac ≤0时，此时f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ≤0，函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 单调递减．

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