华约自主招生数学真题 - 图文

2013年华约数学真题

2012华约数学真题

2011华约数学真题 一、选择题

1.设复数z满足|z|<1且

.

则|z| ＝ ( )

2.在正四棱锥P－ABCD中，M、N分别为PA、PB的中点，且侧面与底面所成二面角的正切为则异面直线DM与AN所成角的余弦为( )

3.已知

线l的斜率为 ( )

，过点(－1, 1)的直线l与该函数图象相切，且(－1, 1)不是切点，则直

4.若的最小值和最大值分别为 ( )

6.已知异面直线a，b成60°角.A为空间一点则过A与a，b都成45°角的平面 ( ) A.有且只有一个 B.有且只有两个 C.有且只有三个 D.有且只有四个

7.已知向量小值为( )

则

的最

8.AB为过抛物线y2＝4x焦点F的弦，O为坐标原点，且点，则

的正切值为 ( )

，C为抛物线准线与x轴的交

10.将一个正11边形用对角线划分为9个三角形，这些对角线在正11边形内两两不相交，则（） A.存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形 B.存在某种分法，所分出的三角形恰有两个锐角三角形 C.存在某种分法，所分出的三角形至少有3个锐角三角形 D.任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形 二、解答题

12.已知圆柱形水杯质量为a克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计，且水杯直立放置）.质量为b克的水恰好装满水杯，装满水后的水杯的重心还有圆柱轴的中点处. （I）若b＝3a，求装入半杯水的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值； （II）水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低？为什么？

13.已知函数(I)求数列(II)证明

14.已知双曲线

.

(I)求C的离心率e；

(II)设A为C的左顶点，Q为第一象限内C上的任意一点，问是否存在常数λ（λ>0）,使得

恒成立.若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.

的通项公式；

.

.令

.

分别为C的左右焦点.P为C右支上一点，且使

15.将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以pn表示未出现连续3次正面的概率. (I)求p1，p2，p3，p4；

(II)探究数列{ pn}的递推公式，并给出证明；

(III)讨论数列{ pn}的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义.

2010年“华约”自主招生试题解析

一、选择题 1．设复数

，其中为实数，若

的实部为2，则

的虚部为（）

A）（B）（C），满足

（D）

，则

的最小值为（）

2．设向量

A）2 （B）。缺 。缺 5．在

（C）1 （D）

中，三边长，满足，则的值为（）

A）（B）与

（C）（D），则

交于与

，其外接圆圆心为面积之比为（）

，过

作

垂直

于

，

6．如图，的两条高线相交于

A）（B）（C）（D）

7．设曲线

过点

．过点

的切线交轴于点

且平行于，则

轴的直线与曲线的交点为，

的面积的最小值是（）

A）1 （B）8．设双曲线轴长的比值等于

（C）（D）

，椭圆

．若

的短轴长与

的实

的离心率，则在的一条准线上截得线段的长为（）

A）（B）2 （C）（D）4

9．欲将正六边形的各边和各条对角线都染为种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则的最小值为（）

A）6 （B）7 （C）8 （D）9 10．设定点满足条件与作

是以

点为中心的正四面体的顶点，用

表示空间以直线

为轴中点

的旋转，用表示空间关于

所在平面的镜面反射，设为过

中点的直线，用表示空间以为轴的180°旋转．设。则可以表示为（）

（B）

（C）

表示变换的复合，先作，再

A）

二、解答题 11．

（D）

中，已知

（Ⅰ）求角（Ⅱ）求 12． 设

该抛物线在点

的大小；

面积的最大值．

，外接圆半径．

为抛物线上不同的四点，

到直线

关于该抛物线的对称轴对称，，直线

的距离分别为

平行于，已知

处的切线．设．

（Ⅰ）判断（Ⅱ）若13．

是锐角三角形直角三角形钝角三角形中的哪一种三角形，并说明理由； 的面积为240，求点

的坐标及直线

的方程．

（Ⅰ）正四棱锥的体积，求正四棱锥的表面积的最小值；

14．

定亲本总体中三种基因型式：的比例为且数量充分多，参与交配的亲本是该总体中随机的两个． （Ⅰ）求子一代中，三种基因型式的比例；

（Ⅱ）子二代的三种基因型式的比例与子一代的三种基因型式的比例相同吗？并说明理由． 15．

函数，且存在函数

满足

证明：

，满足

；

．

．

（Ⅰ）证明：存在函数（Ⅱ）设

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