数学教学中灵活运用定势思维与发展思维

数学教学中灵活运用定势思维与发展思维

我从事中学数学教学多年，多年来一直既注意帮助学生形成思维定势又注重培养学生思维发散，使学生的思维能得到较快较好的发展，取得了一定的成效。现根据自己的一些机会，谈谈思维定势发散在数学教学中的运用。

一、思维定势的形成

思维定势，简单地说就是解决数学问题的一般规律，它包含三层意思：思维的方向性，思维的目的性，思维的程序性。在思考数学问题中，这三性是紧密相连的整体。在解决目的性时往往包含着方向性，而思维的方向性解决得好，程序性的解决就是自然的事情了。

思维定势，在初中代数中是较易形成的，因为很多代数问题的三性是较明显的。例如解一元一次方程，目的是求未知数的值，方向是解方程，至于程序性已往规定好了“动作”——去分母、去括号等等。

但在有些代数内容和多数几何内容的教学中，思维定势不易成形，因而教学难度大，学生学习也感困难。如何帮助学生形成思维定势形成了每位教师课入钻研的问题。

现就几何教学中，线段比（积）教学 思维定势形成举例。

如图1，在△ABC中，已知BD=EC，

D · B · A · E F

K C

DE的延长线交BC于F。求证AC〃EF=AB〃DF和学生一起分析：

首先，本题要解决的是线段积的相等。几何中，线段积的相等与线段成比例紧密相连。所以实质是证线段成比例（目的性解决）。

其次，要证线段成比例必然要有平行线或相似三角线（当然还有其它，但主要是这类）的内容出现，而题中没有这样的内容，因而要添加辅助线。添加辅助线的目的是为了得出

ACDF?但无论如何添ABEF加都不能使DE、DF、AB、AC均在两个相似三角形中，于是只能先形成包含上述四线段中的部分线段的相似三解形。由于D、E是上述四线段关系较多的点（D、E在AB、AC上，D、E在DEF上，且DB=EC），所以选择E作平行线。

过E作EK//AD交BF于K，于是有

FDBD?……（1）这个等式中EKEFEF、FD是直接有用的线段，即所要证的等式中具有的线段，DB是题设中有关系的线段（BD=EC），等式（1）欠缺的线段是AB、AC，能否用AB、AC替换EC、EK呢？（EK//AB）可以，于是有再由等式（1）得出

ACFD?，即AC〃EF=AB〃FD。 ABEFACECBD??，ABEKEK这道题是解决了，方向性学生基本上也掌握了，即凡线段比（积）的等式的证明多数是通过构造相似三角形得出相关线段比（积）的等式之后再通过变换使问题得到解决。

但如果只讲到此为止，学生的思维定势还没形成，学生独立作业时，照样受阻，还须将其中的思维过程程序化。

概括以上思维不外是三步曲：第一步：添（有的简单题不用添）——即添加辅助线形成与论题有关的相似三角形。

第二步：现——即找出含有与论题有关的线段的等式。如果论题中的线段能一次出现，那当然好，这种题就属简单题，如不能，则取出现三条与论题有关的线段，再不行就两条，较难的题可能只会出现一条，但这在初中基本上没有。

第三步：换——将等式中与论题有关的线段保留，无关的线段用有关的线段替换，直到论题得证。

有了这套程序，虽然不能解决所有的类似问题，但至少学生有了初步的思考方向，完全不会动笔的现象基本可以消除，这不只对学生的解题有帮助，而且对今后的教学（如三角形的内（外）角平分线定理的教学）会有很大的帮助。

上例说明，如果老师善于总结思考一些问题的一般性规律，帮助学生形成思维定势，学生就能比较轻松地掌握所学知识。

我还要说明的是形成学生的对某些数学问题的思维定势并不同于模仿加记忆，首先，思维定势的形成是在教师指导下，学生通过自己的积极思考之后，而形成的一类数学问题的思考规律。思维定势的形成是启发式教学的结晶而不是注入式的结果。其次思维定势也不可能是一劳永逸的。数学问题千变万化，试图用一个或几个模式来硬套数学问题是不可取的。因而在形成思维定势的同时还应注意发散思维的训练。

二、培养学生思维的发散性

发散思维是指人们沿着不同的方向去思考，重组眼前的信息和记录系统中储存的信息，产生出大量独特的新思想的思维，它是创造思维的主要成分。分散思维具有广阔性、灵活性、求异性等特点，它能使学生突破固有的思维模式，克服思维定势的消极影响，善于不断变更自己的问题，多渠道、全方位地思考问题，有利于学生创造性能力的发展，所以对发散思维研究日益成为教师教学的重点，现对发散思维的培养举几例说明。

解：解方程X=（X2-2）2-2

解这类题一般是先去括号，移项，再用因式分解法来解。此题也能这样解，不过步骤稍多，我引导学生逆反角度思考，改变未知数与常数在题目中的地位，将2看成未知数，X看成常数，则有另一番趣味。

将方程整理成22-（2X2+1）×2+（X4-X）=0，再利用求根公式

(2x2?1)?(2x?1)?1?52=便易得它的解为X1=-1，X2=2，X3=，

22?1?5X4=。

2还可以和学生一起探讨，如果用另一个变量y来代替X2-2，又会怎样？学生很快得出一个二元二次方程组。

?x2?2?y??(1)用（1）-（2）便很快得到解。 ??y2?2?x??(2) 美国著名数学家G〃波利亚说：“掌握数学意味着什么？那就是善于解题”，解题的关键在于能否迅速地找到正确的解题途径和方法。而发散思维就能帮助我们迅速找到解题的途径和方法。

三、发散思维与定势思维的相互关系

思维定势的形成与发散思维的培养是解决数学问题的几个方面，都是培养逻辑思维能力所不可缺少的。发散思维的培养要以定势思维为基础，因为对一个数学问题的解决提出多种假设，考虑多种解题途径，总是具有一定目的，一定方面并且与原有的解题思路紧密相连的。脱离这些，诸多假设、诸多途径都无从谈起。其二，当思维发散后，思维的广阔性、灵活性必然会显示出来，多种假设、多种途径解决数学问题的情况必然出现。这就必须促使学生（在教师指导下）从多种算途径中通过比较，归纳找出具有本质特征的思考途径，从而促使思

维定势向高层次概括。形成一类数学问题的思维定势。反之，通过高层次概括所得出的思维定势也必然促进思维的发散。所以思维定势与思维发散是相互依存、相互促进、相互渗透的，是辩证的统一，学生的思维的按照“定向思维——发散性思维——高层次定的思维”规律的规律发展的。如教学中一题多解的训练，在一解的基础上才有多解，通过多解的综合分析又能促使学生高层次的思维定势的形成，促进学生解题能力的发展。

虽然思维定势与思维发散没明显的界线，但毕竟属于逻辑思维的两个不同阶段。两者转变的契机是个值得研究的重要课题。数学问题的思维定势形成到什么时候重点就应转向思维发散？如转变过早，思维定势还未形成，学生对新问题的思考规律还未掌握就进行思维发散，其结果是“欲速则不达”。学生不但不能形成技巧，然连基本技能也难以形成。之所以有的教师教学很活，多种思路分析得头头是道，而学生离开了教师便做不出题，这也是一方面的原因。反之，如果转变太晚，学生思维定势已经形成，教师没有即时进行思维发散训练，又必然会限制学生思考问题和积极性，阻碍思维能力的发展。所以，教师必须适时把握，把二者都发挥积极的作用。

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