简明电路分析基础第八章

第八章 二阶电路§8-1 LC电路中的正弦振荡 §8-2 RLC电路的零输入响应

§8-3 RLC电路的全响应§8-4 GLC并联电路的分析

§8-5 一般二阶电路

引 言1.二阶电路： 变量用二阶微分方程描述的电路； 从结构上看，含有两个独立初始状态动态元件的电路。

2.二阶电路的分析方法： 根据两类约束，列写二阶电路微分方程； 求特征方程的根，即固有频率； 根据根的性质确定解答形式(公式)。

初始状态求解与一阶电路方法相同。

§8-1 LC电路中的正弦振荡一、已知uC(0) = 1V,iL(0) = 0,L = 1H,C = 1F,求uC,iL。 iL + uC _ C L 解：

图8-1 LC振荡回路

diL diL uC u L L dt dt duC duC iL iC C dt dt2

d uC 得到二阶微分方程： uC 0 2 dt 解答形式： uC (t ) cos t iL (t ) sin t储能：

1 1 1 2 2 w(t ) Li Cu J 2 2 2

二、LC 振荡电路波形 U0o U0

uC(t)T t 4t4 t5 t6 t7 8 T t1 t2 t3 23T 4

T

t

t9 t10 t11 t12

iL(t)

Im o t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 t11 t12 I m图8-2 LC 振荡电路波形

T 4

T 2

3T 4

T

t

三、 LC 振荡电路的物理过程1、[0,1/4T] : C放电，L充电，电场能向磁场能转化； 2、[1/4T,1/2T]:L放电，C反向充电，磁场能向电能转化； 3、[1/2T,3/4T]:C放电，L反向充电，电场能向磁场能转化；

4、[3/4T,T] :L放电，C充电，磁场能向电场能转化。

四、结论纯LC电路，储能在电场和磁场之间往返转移，产生振

荡的电压和电流。振荡是等幅的，等副振荡是按正弦方式随时间变化的。

想一想：若回路中含有电阻，还是等幅振荡吗？

§8-2 RLC串联电路的零输入响应一、RLC串联电路的微分方程为了得到图8-3所示RLC串 联电路的微分方程，先列出 KVL方程图8-3 RLC串联二阶电路

uR ( t ) uL (t ) uC ( t ) uS (t )duc i ( t ) i L ( t ) iC ( t ) C dt duc d 2 uc di uR ( t ) Ri ( t ) RC uL ( t ) L LC 2 dt dt dt

根据前述方程得到以下微分方程

d 2uC duC LC 2 RC uC uS (t ) dt dt零输入响应方程为

(8 1)

这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。

d uC duC LC RC uC 0 2 dt dt其特征方程为 其特征根为

2

(8 2)(8 3)(8 4)

LCs 2 RCs 1 0R 1 R s1, 2 2 L 2 L LC2

电路微分方程的特征根，称为电路的固有频率。当R, L,C的量值不同时，特征根可能出现以下三种情况L 1. R 2 时， s , s 为不相等的实根。过阻尼情况。 1 2 CL 2. R 2 时， s1 , s2 为两个相等的实根。临界阻尼 C

情况。 3. R 2L 时， s1 , s2 为共轭复数根。欠阻尼情况。 C

二、过阻尼情况L 当 R 2 时，电路的固有频率s1,s2为两个不相同的 C

实数，齐次微分方程的

解答具有下面的形式

uC (t ) K1e s1t K 2e s2t

(8 5)

式中的两个常数K1,K2由初始条件iL(0)和uc(0) 确定。

uC (0) K1 K 2对式(9-5)求导，再令t=0得到

(8 6)

duC (t ) dt

t 0

iL (0) K1s1 K 2 s2 C

(8 7)

求解以上两个方程，可以得到1 K1 = s2 s1 - 1 K2 = s1 s2 - iL ( 0) s2 uC (0) C iL ( 0) s1 uC (0) C

由此得到电容电压的零输入响应，再利用KCL方程和电容的VCR可以得到电感电流的零输入响应。

例8-1 电路如图8-4所示，已知R=3 ,L=0.5H, C=0.25F,uC(0)=2V, iL(0)=1A,求电容电压和电感电流的零输 入响应。

图8-4 RLC串联二阶电路

解：将R,L,C的量值代入特征根表达式，计算出固有频率 2 R 1 R 2 s1, 3 3 8 3 1 2 2 L 2 L LC 42

将固有频率s1=-2和s2=-4代入式(8-5)得到

uC ( t ) K 1e

2 t

K 2e

4 t

( t 0)

利用电容电压的初始值uC(0)=2V和电感电流的初始值 iL(0)=1A得到以下两个方程：

uC (0) K 1 K 2 2 duC ( t ) dtt 0

i L ( 0) 2 K 1 4 K 2 4 C

K1=6K2=-4

最后得到电容电压的零输入响应为

uC ( t ) (6e

2 t

4e )V

4 t

( t 0)

利用KCL和电容的VCR方程得到电感电流的零输入响应

duC iL ( t ) iC ( t ) C ( 3e 2 t 4e 4 t )A dt路各元件的能量交换过程。

( t 0)

从图示电容电压和电感电流的波形曲线，可以看出电

二、临界情况当 R 2L 时，电路的固有频率s1, s2为两个相同的实 C

数s1=s2=s 。齐次微分方程的解答具有下面的形式

uC (t ) K1e st K 2te st令式(8-5)中的t=0得到

(8 8)

式中的两个常数K1,K2由初始条件iL(0)和uC(0) 确定。

uC (0) K1

(8 9)

对式(8-5)求导，再令得到

duC (t ) dt

t 0

iL (0) K1s K 2 C

(8 10)

联立求解以上两个方程，可以得到K 1 uC (0) K2 i L ( 0) s1uC (0) C

将 K1, K2的计算结果，代入式(8-8)得到电容电压的零输入响应，再利用KCL方程和电容的VCR可以得到电 感电流的零输入响应。

例8-2 电路如图8-5所示。已知已知R=1 ,L=0.25 H, C=1 F,uC(0)=-1V,iL(0)=0,求电容电压和电感电

流的零输入响应。

图8-5 RLC串联二阶电路

解：将R,L,C的量值代入式(8-4)计算出固有频率的数值 2 R 1 R 2 s1, 2 2 4 2 0 2 2 L 2 L LC 22

将两个相等的固有频率s1=s2=-2 代入式(8-8)得到

uc ( t ) K 1e 2 t K 2 te 2 t

( t 0)

利用电容电压的初始值uC(0)=-1V和电感电流的初始值

iL(0)=0得到以下两个方程

uC (0) K 1 1 duC ( t ) dtt 0

i L ( 0)

2 K 1 K 2 0 C

求解以上两个方程得到常数K1=-1和K2=-2,得到电容 电压的零输入响应

uC ( t ) ( e

2 t

2te )V

2 t

( t 0)

得到电感电流的零输入响应

duC i L ( t ) iC ( t ) C dt ( 2e 2 t 2e 2 t 4te 2 t )A 4te 2 t A ( t 0)

uC ( t ) ( e

2 t

2te )V 2t

2 t

( t 0) ( t 0)

iL ( t ) iC ( t ) 4te A曲线，如图8-6所示。

根据以上两个表达式用计算机程序DNAP画出的波形

(a) 电容电压的波形 (b) 电感电流的波形 图8-6 临界阻尼情况

三、欠阻尼情况当 R 2 L 时，电路的固有频率s1,s2为为两个共轭复 数根，它们可以表示为s1, 2 R 1 R j 02 2 j d 2 L 2 L LC2

C

其中

R 2L

称为衰减系数 1 称为谐振角频率 称为衰减谐振角频率

0

LC

d 02 2

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/vt3e.html