统计学 人大 四版 第11章 一元线性回归

统计学 人大 四版 第11章 一元线性回归

第11章 一元线性回归 章

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第11章 一元线性回归 章11.1 变量间关系的度量 11.2 一元线性回归 11.3 利用回归方程进行估计和预测

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学习目标1. 相关关系的分析方法 2. 一元线性回归的基本原理和参数的最小二 乘估计 3. 回归直线的拟合优度 4. 回归方程的显著性检验 5. 利用回归方程进行估计和预测 6. 用 Excel 进行回归

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11.1 变量间关系的度量11.1.1 变量间的关系 11.1.2 相关关系的描述与测度 11.1.3 相关系数的显著性检验

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变量间的关系

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函数关系1. 是一一对应的确定关系 2. 设有两个变量 x 和 y ,变量 y 一起变化， 随变量 x 一起变化，并完全 依赖于 x ,当变量 x 取某个 数值时， 数值时， y 依确定的关系取 相应的值， 相应的值，则称 y 是 x 的函 数，记为 y = f (x),其中 x 称 ， 为自变量， 为自变量，y 称为因变量 3. 各观测点落在一条线上

y

x

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几个例子) 函数关系(几个例子 几个例子某种商品的销售额y与销售量 之间的关系 某种商品的销售额 与销售量x之间的关系 与销售量 为单价) 可表示为 y = px (p 为单价 圆的面积S与半径 之间的关系可表示为 圆的面积 与半径R之间的关系可表示为 与半径 S=πR2 企业的原材料消耗额y与产量 企业的原材料消耗额 与产量x1、 单位产量 与产量 消耗x 原材料价格x 消耗 2、原材料价格 3之间的关系可表示为 y = x1 x2 x3

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相关关系1. 变量间关系不能用函数关 系精确表达 2. 一个变量的取值不能由另 一个变量唯一确定 3. 当变量 x 取某个值时，变 取某个值时， 量 y 的取值可能有几个 4. 各观测点分布在直线周围x y

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几个例子) 相关关系(几个例子 几个例子父亲身高y与子女身高 之间的关系 父亲身高 与子女身高x之间的关系 与子女身高 收入水平y与受教育程度 之间的关系 收入水平 与受教育程度x之间的关系 与受教育程度 粮食单位面积产量y与施肥量 1 、降雨量 粮食单位面积产量 与施肥量x 与施肥量 x2 、温度 3之间的关系 温度x 商品的消费量y与居民收入 之间的关系 商品的消费量 与居民收入x之间的关系 与居民收入 商品销售额y与广告费支出 之间的关系 商品销售额 与广告费支出x之间的关系 与广告费支出

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类型) 相关关系 (类型 类型

相关关系线性相关正相关 负相关

非线性相关

完全相关正相关 负相关

不相关

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相关关系的描述与测度(散点图 散点图) 散点图

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相关分析及其假定1. 相关分析要解决的问题变量之间是否存在关系？ 变量之间是否存在关系？ 如果存在关系，它们之间是什么样的关系？ 如果存在关系，它们之间是什么样的关系？ 变量之间的关系强度如何？ 变量之间的关系强度如何？ 样本所反映的变量之间的

关系能否代表总体变量之 间的关系？ 间的关系？

2. 为解决这些问题 ， 在进行相关分析时 ， 对总体有 为解决这些问题，在进行相关分析时， 以下两个主要假定两个变量之间是线性关系 两个变量都是随机变量

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散点图

完全正线性相关

完全负线性相关

非线性相关

正线性相关

负线性相关

不相关

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例题分析) 散点图 (例题分析 例题分析【例】一家大型商业银行在多个地区设有分行， 一家大型商业银行在多个地区设有分行， 其业务主要是进行基础设施建设、 其业务主要是进行基础设施建设、国家重点项目 建设、固定资产投资等项目的贷款。近年来， 建设、固定资产投资等项目的贷款。近年来，该 银行的贷款额平稳增长，但不良贷款额也有较大 银行的贷款额平稳增长， 比例的增长， 比例的增长，这给银行业务的发展带来较大压 为弄清楚不良贷款形成的原因， 力。为弄清楚不良贷款形成的原因，管理者希望 利用银行业务的有关数据做些定量分析， 利用银行业务的有关数据做些定量分析，以便找 出控制不良贷款的办法。下面是该银行所属的25 出控制不良贷款的办法。下面是该银行所属的 家分行2002年的有关业务数据 家分行 年的有关业务数据

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例题分析) 散点图 (例题分析 例题分析

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不良贷款对其他变量的散点图) 散点图(不良贷款对其他变量的散点图 不良贷款对其他变量的散点图14 12 不 贷 良 款不 贷 良 款 14 12 10 8 6 4 2 0 0 10 20 30

10 8 6 4 2 0 0 100 200 300 400 贷款余额 不良贷款与贷款余额的散点图14 12

累计应收贷款 不良贷款与累计应收贷款的散点图

14 12 不 贷 良 款 10 8 6 4 2 0

不 贷 良 款

10 8 6 4 2 0 0 10 20 30 40 贷款项目个数

0

50

100

150 200 固定资产投资额

不良贷款与贷款项目个数的散点图

不良贷款与固定资产投资额的散点图

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相关关系的描述与测度(相关系数 相关系数) 相关系数

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相关系数1. 度量变量之间关系强度的一个统计量 2. 对两个变量之间线性相关强度的度量称为 简单相关系数 3. 若相关系数是根据总体全部数据计算的 ， 若相关系数是根据总体全部数据计算的， 称为总体相关系数， 称为总体相关系数，记为ρ 4. 若是根据样本数据计算的 ， 则称为样本相 若是根据样本数据计算的， 关系数，简称为相关系数， 关系数，简称为相关系数，记为 r也称为线性相关系数 或称为Pearson相关系数 或称为 相关系数

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计算公式) 相关系数 (计算公式 计算公式样本相关系数的计算公式

r=

∑(x x)( y y) ∑(x x) ∑( y y)2

2

或化简为 r =

n∑xy ∑x∑y n∑x (∑x) n∑y (∑y)2 2 2 2

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相关系数的性质性质1: 性质 ：r

的取值范围是 [-1,1]|r|=1,为完全相关 ，r =1,为完全正相关 ， r =-1,为完全负正相关 ，

r = 0,不存在线性相关关系 ， -1≤r<0,为负相关 ≤ , 0<r≤1,为正相关 ≤ , |r|越趋于 表示关系越强 ； |r|越趋于 表示关 越趋于1表示关系越强 越趋于0表示关 越趋于 表示关系越强； 越趋于 系越弱

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相关系数的性质性质2: 具有对称性 具有对称性。 与 之间的相关系数和 之间的相关系数和y与 之间 性质 ：r具有对称性。即x与y之间的相关系数和 与x之间 的相关系数相等， 的相关系数相等，即rxy= ryx 性质3: 数值大小与 数值大小与x和 原点及尺度无关 即改变x和 的 原点及尺度无关， 性质 ：r数值大小与 和y原点及尺度无关，即改变 和y的 数据原点及计量尺度，并不改变r数值大小 数据原点及计量尺度，并不改变 数值大小 性质4:仅仅是x与 之间线性关系的一个度量 之间线性关系的一个度量， 性质 ：仅仅是 与y之间线性关系的一个度量，它不能用 于描述非线性关系。这意为着， r=0只表示两变 于描述非线性关系。这意为着， 只表示两变 量之间不存在线性相关关系， 量之间不存在线性相关关系，并不说明变量之没 有任何关系 性质5: 虽然是两个变量之间线性关系的一个度量 虽然是两个变量之间线性关系的一个度量， 性质 ：r虽然是两个变量之间线性关系的一个度量，却不 一定意味着x与 一定有因果关系 一定意味着 与y一定有因果关系

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