最新-2018椭圆高考题汇总教师版含答案 精品

考点11 椭圆

1.（2018·广东高考文科·Ｔ7）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ） A．

4321 B． C． D．

5555【思路点拨】由椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，列出a、b、c的关系，再转化为a、c间的关系，从而求出e. 【规范解答】选B.

椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,? 2b?a?c，

? 4b2?(a?c)2，即： 4b2?a2?2ac?c2，又 a2?b2?c2，

? 4(a2?c2)?a2?2ac?c2，即 3a2?2ac?5c2?0，(a?c)(3a?5c)?0，?

a?c?0（舍去）或 3a?5c?0，? e?c3?，故选B. a5x2y2??1的中心和左焦点，2.（2018·福建高考文科·Ｔ11）若点O和点F分别为椭圆43点P为椭圆上的任意一点，则OP?FP的最大值为（ ） A.2 B.3 C.6 D.8

【命题立意】本题考查椭圆的基本概念、平面向量的内积、利用二次函数求最值. 【思路点拨】先求出椭圆的左焦点，设P为动点，依题意写出OP?FP的表达式，进而转化为求解条件最值的问题，利用二次函数的方法求解.

x02y023x022??1即y0?3?【规范解答】选C，设P?x0,y0?，则，又因为F??1,0? 434?OP?FP?x0??x0?1??y02?1212x0?x0?3??x0?2??2，又x0???2,2?， 44?OP?FP??2,6?，所以 OP?FP????max?6.

x2y23.（2018·海南高考理科·T20）设F1,F2分别是椭圆E:2?2?1（a>b>0）的左、右焦

ab点，过F1斜率为1的直线l与E 相交于A,B两点，且AF2,AB,BF2成等差数列. （Ⅰ)求E的离心率；

（Ⅱ）设点P（0,-1）满足PA?PB,求E的方程.

【命题立意】本题综合考查了椭圆的定义、等差数列的概念以及直线与椭圆的关系等等.解决本题时，一定要灵活运用韦达定理以及弦长公式等知识.

【思路点拨】利用等差数列的定义，得出AF2,AB,BF2满足的一个关系，然后再利用椭圆的定义进行计算.

【规范解答】（Ⅰ)由椭圆的定义知，AF2?BF2?AB?4a，又2AB?AF2?BF2 得 AB?4al的方程为y?x?c，其中c?a2?b2 3，

设A?x1,y1?,B?x2,y2?，则A,B两点坐标满足方程组

?y?x?c?22222222 化简得，(a?b)x?2acx?a(c?b)?0 ?xy2?2?2?1?ab?2a2ca2(c2?b2)则 x1?x2?2，x1x2?. 222a?ba?b因为直线AB斜率为1，所以AB?22x2?x1?2?(x?x)?4x1x2?12?? 4a4ab2ca2?b2222?2a?2b得 ，故所以E的离心率. e???,3a?b2aa2x1?x2?a2c2?2??c，（Ⅱ）设A,B两点的中点为N?x0,y0?，由（Ⅰ)知x0?22a?b3y0?x0?c?c. 3由PA?PB，可知kPN??1.即

y0?1??1，得c?3，从而a?32,b?3. x0x2y2??1. 椭圆E的方程为

189【方法技巧】熟练利用圆锥曲线的定义及常用的性质，从题目中提取有价值的信息，然后列出方程组进行相关的计算.

4.（2018·北京高考文科·Ｔ19）已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(?2,0)，(2,0)，

离心率是

6，直线y?t与椭圆C交与不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆P,圆心为3

P.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；

（Ⅲ）设Q（x,y）是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值.

【命题立意】本题考查了求椭圆方程，直线与圆的位置关系，函数的最值。要求学生掌握椭圆标准中a,b,c的关系，离心率e?c.直线与圆相切问题转化为圆心到直线的距离等于半a径来求解.第（Ⅲ）问中y最大值的求法用到了三角代换，体现了数学中的转化与化归思想. 【思路点拨】由焦点可求出c，再利用离心率可求出a,b。直线与圆的位置关系转化为圆心到直线的距离. 【规范解答】（Ⅰ）因为

c6，且c?2，所以a?3,b?a2?c2?1 ?a3x2?y2?1. 所以椭圆C的方程为3（Ⅱ）由题意知p(0,t)(?1?t?1)

?y?t?2x??3(1?t) 由?x2 得2??y?1?32所以圆P的半径为3(1?t).

由

|t|?3(1?t2)，解得t??33.所以点P的坐标是（0，?）. 22222（Ⅲ）由（Ⅱ）知，圆P的方程x?(y?t)?3(1?t).因为点Q(x,y)在圆P上。所以由图y?可

t3?知(2y1?t2)?x?t2。

3?设(t1?cos?,)t???(0,?)，则

t?3?(t2?1当????)?c?o??s?6

3sin2sin()?3，即t?1，且x?0，y取最大值2. 2

yMPONx

【方法技巧】（1）直线与圆的位置关系：d?r时相离；d?r时相切；d?r时相交； （2）求无理函数的最值时三角代换是一种常用的去根号的技巧.

x2y25.（2018·辽宁高考文理科·Ｔ20）设椭圆C：2?2?1(a?b?0)的右焦点为F，过点

abF的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60,AF?2FB.

(I) (II)

求椭圆C的离心率； 如果|AB|=

o

15，求椭圆C的方程. 4【命题立意】本题考查了直线的点斜式方程，考查了椭圆的离心率，椭圆的标准方程，考查了圆锥曲线中的弦长问题，以及推理运算能力.

【思路点拨】（I）联立直线方程和椭圆方程，消去x,解出两个交点的纵坐标，利用这两个

纵坐标间的关系，得出a、b、c间的关系，求出离心率.

（II）利用弦长公式表示出|AB|，再结合离心率和a?b?c，求出a、b，

写出椭圆方程.

【规范解答】

222

设A(x1,y1),B(x2,y2) (y1?0 y2?0)(I)直线l的方程为 y?3(x?c),其中c?a2?b2?y?3(x?c)?联立?x2y2消去x得(3a2?b2)y2?23b2cy?3b4?0?2?2?1b?a?3b2(c?2a)?3b2(c?2a)解得y1?,y2?,3a2?b23a2?b2因为AF?2FB,所以?y1?2y23b2(c?2a)?3b2(c?2a)即＝23a2?b23a2?b2c2得离心率e??a31243ab215(II)因为|AB|＝1+|y2-y1|,所以?。2233a?b43c25515由?得b?a。所以a＝，得a?3,b?5。a3344x2y2所以椭圆C的方程为??195【方法技巧】

1、直线、圆锥曲线的综合问题，往往是联立成方程组消去一个x(或y),得到关于y(或x)的一元二次方程，使问题得以解决.

2、弦长问题，注意使用弦长公式，并结合一元二次方程根与系数的关系来解决问题. 6.（2018·天津高考文理科·Ｔ20）

x2y23已知椭圆2?2?1(a?b?0）的离心率e?，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积

ab2为4

（1） 求椭圆的方程；

（2） 设直线l与椭圆相交于不同的两点A,B，已知点A的坐标为（?a,0），点

Q(0,y0)在线段AB的垂直平分线上，且QAQB?4，求y0的值.

【命题立意】本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质，直线的方程，平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算和推理能力。 【思路点拨】（1）建立关于a,b的方程组求出a,b；（2）构造新的一元二次方程求解。 【规范解答】（1）由e?c322222?，得3a?4c，再由c?a?b，得a?2b a2

由题意可知，

1?2a?2b?4,即ab?2 2?a?2bx2?y2?1。 解方程组? 得 a=2,b=1，所以椭圆的方程为4?ab?2(2)解：由（1）可知A（-2,0）。设B点的坐标为（x1,,y1）,直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k(x+2),

?y?k(x?2)?于是A,B两点的坐标满足方程组?x2

2??y?1?4由方程组消去y整理，得(1?4k2)x2?16k2x?(16k2?4)?0

16k2?42?8k24k,x?,从而y?, 由?2x1?得112221?4k1?4k1?4k8k22k,) 设线段AB是中点为M，则M的坐标为(?221?4k1?4k以下分两种情况：

（1）当k=0时，点B的坐标为（2,0）。线段AB的垂直平分线为y轴，于是

QA?(?2,?y0),QB?(2,?y0）由QAQB=4，得y0=?22 （2）当

????k?0时，线段

AB的垂直平分线方程为（后边的Y改为小写）

2k18k2Y??(x?) 221?4kk1?4k令x=0，解得y0??6k 21?4k?由QA?(?2,?y0),QB?(x1,y1?y0）

?2(2?8k2)6k4k6kQAQB??2x1?y0(y1?y0）=?(?)

1?4k21?4k21?4k21?4k2??4(16k4?15k2?1)=?4 22(1?4k)整理得7k?2,故k??214214 所以y0=?75214 5综上y0=?22或y0=?

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