信号的采样与重建

信号的采样与重建

一、 设计目的和意义

通过用MATLAB对f(t)= 5sin(2*pi*30*t)+2sin(2*pi*60*t)+0.5sin(2*pi*90*t)进行设计仿真，让我们通过试验论证理论的正确性，同时学会使用并掌握MATLAB软件的使用，进一步熟悉掌握连续时间信号的傅立叶变换、采样定理等。

二、 设计原理

通过使用软件MATLAB对采样信号模拟仿真，进行采样、傅里叶变换通过数字图形对设计的F（T）显示，观察其形状变化。

1、时间的傅立叶变换：X(jw)=?x(t)e?jwtdt; （2-1）

???X(t)=1/2??X(jw)ejwtdw. （2-2）

????2、离散时间的傅立叶变换：X(e)=

jw?n???x[n]e?jwn; （2-3）

X[n]=1/2??X(ejw)ejwndw. （2-4）

2?3、采样定理：设x(t)是某一个带限信号，在|w|>Wm时，X（jw）=0。如果Ws:>2Wm，其中Ws=2?/T,

?1,?2,·那么x(t)就唯一地由其样本x(nT),n=0,?··所决定。已知这些样本值，我们能用如下 ?办法重建X(t)信号：产生一个周期冲激串，其冲激幅度就是这些依次而来的样本值，然后将 冲激串通过一个增益T，截止频率大于Wm，而小于（Ws-Wm）的理想低通滤波器，该滤波器的 输出就是x(t)。

fe4、频谱的平移：ejw0tx(t)?? （2-5） ?X(j(w?w0))。

三、 详细设计步骤

1.建立源信号：f(t)= 5sin(2*pi*30*t)+2sin(2*pi*60*t)+0.5sin(2*pi*90*t)，对f（t）进行采样，其结果显示如图1所示： t=-1:pi/100:1;

x1=5*sin(2*pi*30*t);x2=2*sin(2*pi*60*t); x3=0.5*sin(2*pi*90*t);f=x1+x2+x3;

subplot(221),plot(t,x1);subplot(222),plot(t,x2); subplot(223),plot(t,x3);subplot(224),plot(t,f);

2、采样：用120Hz的频率对f(t)进行采样，其采样图如图（2）所示；用240Hz的频率对f(t)进行采样，其采样图如图（3）所示： fs1=120;t1=-1:1/fs1:1;

f1=5*sin(2*pi*30*t1)+2*sin(2*pi*60*t1)+0.5*sin(2*pi*90*t1); figure(1);plot(t1,f1); axis([-0.1 0.1 -8 8]); hold off;

fs2=240;t2=-1:1/fs2:1;

f2=5*sin(2*pi*30*t2)+2*sin(2*pi*60*t2)+0.5*sin(2*pi*90*t2); figure(2);plot(t2,f2); axis([-0.1 0.1 -8 8]); hold off;

3、将二个采样信号进行快速离散傅里叶变换(FFT),观察频谱图,指出是否产生频谱混迭现象. 用120Hz的频率对f(t)进行采样，其采样后快速傅立叶变换频谱图图（4）所示；用240Hz的频率对f(t)进行采样，其采样后快速傅立叶变换频谱图图（5）所示： f1=30;f2=60;f3=90;fs=120; N=120;W=2*pi*5;k=0:N-1;w=k*W/N; t=0:1/fs:0.1;

x1=5*sin(2*pi*f1*t)+2*sin(2*pi*f2*t)+0.5*sin(2*pi*f3*t); xf1=fft(x1,N);xf1=abs(xf1);w1=120*k/N figure(1);plot(w1,xf1); f1=30;f2=60;f3=90;fs=240; N=240;W=2*pi*5;

k=0:N-1;w=k*W/N;t=0:1/fs:0.1;

x2=5*sin(2*pi*f1*t)+2*sin(2*pi*f2*t)+0.5*sin(2*pi*f3*t); xf2=fft(x2,N);xf2=abs(xf2); w2=240*k/N

figure(2);plot(w2,xf2);

4、因为用信号fs=120HZ进行采样时，fs<2f3,其采样频率太小，所以采样信号重建无法复原， 其重建如图（6）所示。当fs=240Hz时，fs>2f3,可以将采样信号重建，对f(t)进行采样的信号 重建如图（7）所示；

Wm=180*pi;Wc=Wm;fs1=120;Ws=2*pi*fs1;n=-500:500;nTs1=n/fs1; f1=5*sin(2*pi*30*nTs1)+2*sin(2*pi*60*nTs1)+0.5*sin(2*pi*90*nTs1); Dt=pi/100;t1=-1:Dt:1;

fa1=f1/fs1*Wc/pi*sinc((Wc/pi)*(ones(length(nTs1),1)*t1-nTs1'*ones(1,length(t1)))); t2=-0.1:1/fs1:0.1;

f2=5*sin(2*pi*30*t2)+2*sin(2*pi*60*t2)+0.5*sin(2*pi*90*t2); figure(1);plot(t1,fa1);

Wm=180*pi;Wc=Wm;fs2=240;Ws=2*pi*fs2;n=-500:500;nTs2=n/fs2;

f1=5*sin(2*pi*30*nTs2)+2*sin(2*pi*60*nTs2)+0.5*sin(2*pi*90*nTs2); Dt=pi/100;t1=-1:Dt:1;

fa2=f1/fs2*Wc/pi*sinc((Wc/pi)*(ones(length(nTs2),1)*t1-nTs2'*ones(1,length(t1)))); t2=-0.1:1/fs2:0.1;

f2=5*sin(2*pi*30*t2)+2*sin(2*pi*60*t2)+0.5*sin(2*pi*90*t2); figure(2);plot(t1,fa2); grid;

四、 设计结果及分析

1、信号f(t)= 5sin(2*pi*30*t)+2sin(2*pi*60*t)+0.5sin(2*pi*90*t)。 对f(t) 进行采样，其 采样图如图（1）所示：

图1 f(t)的采样信号

2、用120Hz的频率对f(t)进行采样，其采样图如图（2）所示；用240Hz的频率对f(t)进行 采样，其采样图如图（3）所示:

图2 f=120HZ时,f(t)的采样信号

图3 f=240HZ时,f(t)的采样信号

3、将二个采样信号进行快速离散傅里叶变换(FFT),观察频谱图,指出是否产生频谱混迭现象。 用120Hz的频率对f(t)进行采样，其采样后快速傅立叶变换频谱图图（4）所示；用240Hz的频率

对f(t)进行采样，其采样后快速傅立叶变换频谱图图（5）所示：

图4 f=120HZ时,采样后快速傅立叶变换频谱图

图5 f=240HZ时,采样后快速傅立叶变换频谱图

4、当fs=120HZ时，fs<2f3,其采样频率太小，所以采样信号重建无法复原，其重建如图（6）所

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