第1章 质点运动学

第1章 质点运动学

学习指导

一、学习基本要求

1. 熟练掌握位置矢量、位移、速度和加速度等描述质点运动的基本物理量，明确它们的相对性、瞬时性、矢量性和独立性。

2.能借助于直角坐标系在平面内运动时的速度、加速度及借助于自然坐标系计算质点做圆周运动时的角速度、角加速度以及切向加速度和法向加速度。

3. 熟练掌握求解质点运动学中的两类问题，即由运动方程求速度、加速度和由速度或加速度结合初始条件求运动方程。

4. 了解相对运动和相对速度。

二﹑知识框架 描述质点运动的基本物理量 线量 质点运动的描述 运动学的两类问题 描述质点运动的 基本规律 角量 运动的叠加性 1. 角位置 θ 2. 角位移 ?θ 3. 角速度 : d? ?=dt 1. 位置矢量 r=xi+yj+zk 大小 r? x2?y2?z2 运动的相对性: xyzcos?=,cos?=方向cos?= , rrr 2. 位移 ?r=?xi+?yj+?zk 学习时要注意位移与路程概念的不同. 3.速度 v=v xi+vyj+vzk v1?3=v1?2+v2?3 4. 角加速度: 2 ?=d??d? 2dtdt 角量与线量的关系: 运动方程: r?t?=x?t?i+y?t?j +z?t?k xddydz=i+j+k dtdtdt vx?vy?vz 大小 v?222v=ds??R dt?=??t? at?R? 4. 加速度 a=axi+ayj+azk an?R?dr?t?dvd2r?2 1.由r=r?t? v= a=dtdtdtdvy dvzdvx=i+j+k dtdtdttdvdv=adta=2.由 v=v+adt 0?0dt在自然坐标系中: a=anen+atet tdr?t?dr=vdtv= 由 r=r+vdt 0?0dvv2dt其中 an? , at?dt? 1 三、知识要点

1. 重点

（1）位置矢量、位移、速度和加速度的概念；变速直线运动﹑变速圆周运动的规律。 （2）运用直角坐标系和自然坐标系解决运动学两类问题。 2. 难点

（1）速度、加速度的矢量性和相对性及其在具体问题中的应用。 （2）运用高等数学的微积分手段解决运动学两类问题。

四、基本概念及规律

1．描述质点运动的基本物理量

（1）位矢r（位置矢量） 位矢是描述质点位置的物理量，它是从所选定的坐标原点指向质点所在位置的有向线段，是矢量，具有矢量性。当质点运动时，在不同时刻，其位矢不同，具有瞬时性。选取不同的坐标系，位矢不仅大小不同，方向也不同，具有相对性。 位矢在直角坐标系中的表示式

r?x i?y j?z k

运动方程 位置矢量随时间变化的关系式

r?r(t)

运动方程在直角坐标系中的表示式

tj)?z(t k) r?r(t)?x(t)i ?y(其中x(t)﹑y(t)﹑z(t)表示质点在x﹑y﹑z轴方向的运动。

（2）位移?r 位移是描述质点位置变化大小和方向的物理量，它是从质点初始时刻位置指向终点时刻位置的有向线段如图1-1，即

?r?rB?rA

位移在直角坐标系中的表示式

图1-1

?r?(xB?xA)i?(yB?yA)j?(zB?zA)k

注意位移与路程的区别，路程是质点在空间运动轨迹的长度，是标量，用?s表示。一

2

般情况下，位移的大小并不等于路程，只有质点始终沿某一方向作直线运动，它们才相等。 另外，当?t?0时，dr?ds。

还要注意?r与?r的区别，在图1-1中的线段OB上取OA??OA，A?B的大小为

?r?rB?rA表示质点离开坐标原点距离的变化，它与位移的大小?r是两个不同的概念。

（3）速度v 速度是描述质点位置变化快慢和方向的物理量，是矢量。 速率是描述质点运动路程随时间变化快慢和方向的物理量，是标量。

?r ?t?rdr?速度（瞬时速度） v?lim

?t?0?tdt平均速度 v?速度在直角坐标系中的表示式 v?vxi?vyj?vzk

注意：瞬时速度的大小不等于瞬时速率，平均速度的大小不等于平均速率。 速度在自然坐标系中的表示式 v?dvet dt（4）加速度a 加速度是描述质点速度变化快慢和方向的物理量，是矢量。 平均加速度 a??v ?t?vdvd2r??2 加速度（瞬时加速度） a?lim?t?0?tdtdt加速度在直角坐标系中的表示式 a?axi?ayj?azk 加速度在自然坐标系中的表示式 a?an?at?2．圆周运动

（1）角坐标（角位置） 描述质点位置的物理量，用?表示。 （2）角位移 描述质点角位置变化的物理量。

v2?en?dvet dt????2??1

（3）角速度 描述质点角位置变化快慢的物理量。

??d? dt（4）角加速度 描述质点角速度变化快慢的物理量。

d?d2????2

dtdt（5）角量与线量的关系

3

s?r?

dsv??r?

dtdvat??r?

dtv2?r?2 an?R 3．相对运动 质点相对静止坐标系S的速度为v，相对运动坐标系S?的速度为v?，

S?系相对S系的平动速度为u，则

v?v??u

上式称为速度变换公式。式中v叫做绝对速度；v?叫做相对速度；u叫做牵连速度。

五、解题指导及解题示例

（1）质点运动学的习题有两种基本类型，一是由已知的运动方程r?r(t)求速度和加速度。对这类问题只需按运动方程对时间t求导即可；二是由已知质点的速度或加速度表达式及初始条件，求质点的运动方程这类问题的解决比牵累问题难度稍大.

(A) 已知a?a(t)及初始t0时刻的条件v0和r0,则可用积分法求解。

(B) 对某些一维运动a=a?x?或a=a?v?,求v?x?或v?t?,则先要对微分方程进行分离变量或变量代换,再利用积分方法解出相应物理量。

（2）本章中所涉及到的物理量大部分是矢量，求解时可以通过建立适当的坐标系如直角坐标系，将一个矢量方程写成一个或几个投影方程，即把矢量计算转换成代数计算，使问题得以简化。

例1-1 已知质点的运动方程为r?2t i?(19?2t)j 式中r以米计，试求：t以秒计，（1）轨道方程；（2）t =1s 时质点的速度和加速度。

解 （1）因x?2t y? 19?2t2，消去时间t得轨道方程

2y?19?12x 2（2）对运动方程求导，得到任意时刻的速度

v?对速度求导，得到任意时刻的加速度

dxdyi?j?2i?4tj dtdt a?dvdvxi?yj??4j dtdtt?1s时

4

v?2i?4j a??4j

速度大小

2 v?vx?v2y?4.47 m/s速度方向与x轴夹角

加速度大小

22a?ax?ay?4 m/s2

??arctg(vy)??63?26? vx加速度方向与y轴正方向相反。

简注 本题是一个典型的运动学第一类问题，即由已知的运动方程求速度和加速度。在求解中注意矢量符号的正确写法。

例1-2 一匀质圆盘，半径R?1m，绕通过圆心垂直盘面的固定竖直轴转动。t?0时，

?0?0，其角加速度按??t/2的规律变化。问t为何值时圆盘边缘某点的加速度与半径成

45?角？

d???可求出质点作圆周运动的角速度 dt?tt ?d???dt

002解 （1）由

t2??

4在自然坐标系中，质点法向加速度和切向加速度分别为

Rt4 an?R??

162at?R???Rt 2圆盘边缘某点的加速度与半径成45角，即 an=at，所以

t?2s

简注 此例是在自然坐标系中求解运动学第二类问题，并运用了线量与角量之间的关系。

2例1-3 已知一质点由静止出发，它的加速度为a?10ti?15tj，试求t?2 s时质点的

速度和位置。

5

解 取质点的出发点为坐标原点，由题意可知

dvx?10t dtdvy?15t2 ay?dtax?对上式分别积分，并代入初始条件t?0时，v0x?v0y?0得

vx??axdt??10tdt?5t2

00ttvy??aydt??15t2dt?5t3

00tt即 v?5t2i?5t3j

i?40j 将t?2 s代入上式得 v?20又因为 vx?dx?5t2 dtdy vy??5t3

dt 同样对上式积分，并代入初始条件t?0时，x0?y0?0得

t532vdt?5tdt?t ?0x?03tt5 y??vydt??5t3dt?t3

0045354即 r?ti?tj

3440i?20j 将t?2 s代入上式得 r?3 x?t简注 本题属于求解质点运动学的第二类问题，已知质点的加速度，求解质点的速度及位置（或运动方程）。

例1-4 在质点运动中，已知x?ae,度和轨道方程。

解 由x?ae 得x方向的速度、加速度分别为

k tktdy??bke?kt，t?0时，y?b。求质点的加速dtvx?dx?akek t dtd2xax?2?ak2ek t

dt由

dy??bke?k t得y方向的加速度以及运动方程分别为 dt6

d2y2?k t?bke ay?2dt

?ybdy???bke?k tdt

0t y?be?k t

质点的加速度为

a?akei+bk2e?k tj 由x?aek t,y?be?kt 消去t得轨道方程

xy?ab

简注 本题属于求解质点运动学的二类问题的综合。注意在求y方向的运动方程时初始条件的应用。

例1-5 一质点做一维运动，其加速度为a??kx，k为正值常数。已知t?0质点瞬时静止于x?x0处，求质点的运动规律。

解 将加速度做变量变换 ，有

2k ta?dvdvdxdv???v??kx ① dtdxdtdx将①式分离变量后积分，并代入初始条件t?0时，x?x0,v0?0得

?v0vdv???kxdx

x0x2即 v2?k(x02?x)

或 v?dx2?k(x0?x2) ② dt将②式分离变量后积分，并代入初始条件t=0时，x?x0得

?xdxx?x202x0??t0kdt

即x?x0coskt 质点沿x轴做简谐振动。

简注 本题属于求解质点运动学的第二类问题，此类问题一般不能直接积分，需做 变量代换a?dvdvdxdv???v，然后再进行求解。 dtdxdtdx例1-6 一气球以速率v0从地面上升，由于风的影响，随着高度的上升，气球的水平速

7

按vx?by增大，其中b是正的常量，y是从地面算起的高度，x轴取水平向右为正。求

（1）气球的运动方程；

（2）气球水平飘移的距离与高度的关系；

（3）气球沿轨道运动的切向加速度和轨道的曲率与高度的关系 。

解 （1）取平面直角坐标系如图1-2所示，令t?0时 气球位于坐标原点（地面）。 已知 vx?by，vy?v0，显然有

y y?v0t

对上式两边积分

dx?by?bv0 t dt?x0dx??bv0tdt

0to 图1-2 x bv得 x?0t2

2bv2所以气球的运动方程为 r?0ti?v0tj

2b2y （2）轨道方程 x?2v0（3）因为气球的运动速率 v?2222222vx?vy2?by?v0?bv0t?v0 2b2v0tb2v0ydv??所以气球的切向加速度 at?

22222dtbt?1by?v022222因an?a?at，且有 a?ax?ay?(dvx2dvy22)?()?b2v0 dtdt2bv0220则气球的法向加速度 an?by?v2

222v2(by?v0)?an得 ??再由 ?2?anbv0v232

简注 本题属于求解质点运动学中两类问题混合题目，求解加速度应注意，本题是由直角坐标系表示的速度求自然坐标系表示的加速度。由于气球做一般曲线运动，?是未知的，所以an不能用

v2?求出，而采用了an?a?2at2的方法，然后再由an?v2?求出?，应

注意学习这种解题技巧。

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