2016同步讲义 - 五年级春季（共15讲） - 第08讲 - 沙漏与

第8讲 沙漏与金字塔

第8讲 沙漏与金字塔

知识点

一、沙漏与金字塔（五下）

如图，太阳照下来在桌面上形成一个圆形的亮斑，如图1所示，我们将图形抽象成三角

形，如图2所示．观察一下，这个图形与生活中的什么东西比较像？对了，沙漏！今天，就让我们来学习一下有关“沙漏”的知识．

太阳

A

B

纸片 O

桌面上的太阳 图1

C

图2

D

沙漏有一个必要条件：线段AB平行于线段CD，如图2所示．大沙漏中，我们总结出了如下性质：

ABAOBO??DCDOCO．

这就是我们今天要研究的平行线间的比例关系——即沙漏形三角形间的比例关系，简称沙漏．

在沙漏模型中，各线段的长度有比例关系，各区域的面积也有比例关系．如图所示，如

第8讲 沙漏与金字塔 果沙漏形的上下底之比为a:b，四个三角形的面积之比为a2:ab:ab:b2．

a2 ab b2 ab

我们发现，沙漏模型由一组平行线和一组相交线构成，且相交线的交点在平行线之间．如果交点在两条平行线的同一侧，就会构成一种新的模型，我们形象的称之为金字塔模型．在金字塔模型中也有相应的比例关系．

a1 c1 b2 a2 b1 c2 a1 b1 c1 a1b1c1?? a2b2c2a1b1? a2b2b2

a2 c2 a1b1c??1 a1?a2b1?b2c2沙漏模型

金字塔模型

例题

一、 沙漏与金字塔认识

1、如图，AB与CD垂直，交点为O．已知AO?4，CO?3，AC?5，BD?15．求△BOD的面积．

A

O C

D

【答案】 54

【解析】

B

第8讲 沙漏与金字塔 ACAOCO1???，所以OB?3?4?12，OD?3?3?9．又因为△BODBDOBOD3中OB和OD垂直，所以△BOD的面积是9?12?2?54．

由沙漏模型知，

2、如图所示，梯形ABCD的面积是36，下底长是上底长的2倍，阴影三角形的面积是多少？

D O CA

B

【答案】 16

【解析】

由于下底长是上底长的2倍，因此组成该梯形的四个小三角形的面积之比是1:2:2:4，阴影三角形的面积是36?

3、如图，梯形ABCD中，AB:CD?2:5．已知△COD的面积是5，那么梯形的面积是多少？

A

O B

4?16．

1?2?2?4D

【答案】 9.8 【解析】

C

如图所示，梯形中各部分的面积份数．因为△COD的面积是5，所以梯形的面积是5?25??4?10?10?25??9.8．

第8讲 沙漏与金字塔 A

4 10

O 25

D

B 10

C

4、如图，直角三角形ABC中，AB?4，BC?6．又知BE:EC?1:3，求△CDE的面积． A D B E

【答案】 6.75

【解析】

C

33由金字塔模型知，DE:AB?CE:CE?3:4，则DE?4??3．又知道CE?6??4.5，可

44求出△CDE的面积为3?4.5?2?6.75．

5、图中的两个正方形的边长分别为6分米和8分米，则阴影部分的面积为____________．

【答案】 210平方分米 7

【解析】

阴影部分是一个直角三角形，其中一条直角边的长度是6分米，另一条直角边的长度是

第8讲 沙漏与金字塔 8?624?分米，面积是6?876?247?102平方分米 27

6、已知三角形ADE的面积为3平方百米，D是AB边的三等分点（靠近A点），且DE与BC平行，请求出三角形OBC的面积为多少平方厘米？

A

D O E

B

C

【答案】 13.5

【解析】

由金字塔模型知，AD:AB?DE:BC?1:3，设△ODE的面积为1份，则△ODB的面积为3份，△OEC的面积为3份，△OBC的面积为9份．又因为△ADE与△DEC等高，可知△ADE的面积为2份，由此可知△OBC的面积为3?2?9?13.5平方厘米．

二、 综合应用

7、如图，平行四边形ABCD的面积是90．已知E点是AB上靠近A点的三等分点，求阴影部分的面积．

A

E

B

O D C

【答案】 33

【解析】

由沙漏模型可知，BE:CD?BO:OD?EO:OC?2:3，设△OBE的面积为4份，则△OBC的面积为6份，△OCD的面积为9份，△OBC的面积与△OCD的面积之和为整个平行四边形面积的一半，因此平行四边形的面积为30份，总面积为90，则一份对应的面积为3，阴

第8讲 沙漏与金字塔 影部分占了11份，面积为33．

8、如图，两个等腰直角三角形拼在一块形成一个四边形，小等腰直角三角形直角边长为1，阴影部分的面积为多少？

【答案】

1 3

【解析】

如图所示，△ABC的面积是△ACD面积的一半，所以AB:CD?1:2．根据沙漏模型知，AO:OC?AB:CD?1:2，所以阴影部分的面积是△ABC面积的

2121，即12???． 3233A

O B D

C

9、如图，在三角形ABC中，D、E为AB、AC的三等分点，DF、EG分别垂直BC于F、G，矩形DEGF面积为6，那么三角形ABC面积为__________．

ADEBFGC

第8讲 沙漏与金字塔 【答案】 13.5 【解析】

过A向BC边做垂线，设交于点P．由D是BA三等分点可知F为BP三等分点，可知矩形左半部分为△ABP面积的ABC面积为13.5．

A44，同理可得右半部分．矩形总面积为△ABC面积的，可得△99DEBFPGC

10、如图19-24，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，已知正方形ABCD的面积为60平方厘米，求阴影部分的面积． A D

F

B E C

【答案】

10平方厘米．

【解析】

设AE、AF与对角线BD的交点分别为M、N；

BMBE11??，因此BM?BD；同理DMAD23111160DN?BD，因此MN?BD；S△AMN?S△ABD???10平方厘米．

33332

11、如图，边长为8厘米和12厘米的两个正方形并排放在一起，求图中阴影部分的面积．

第8讲 沙漏与金字塔 G

A D O H B C F

E

【答案】 45平方厘米 【解析】 S△GEF?12?12EOBE8?125EO55，，因此?72平方厘米，?????2GOGF123EG5?38EF5S阴影△EO=FS△G8

?4平方厘米．5随堂练习

1、如图所示，梯形的面积是48平方厘米，下底是上底的3倍，求阴影部分的面积．

【答案】

27平方厘米

【解析】

上底与下底之比是1:3，由沙漏模型可知四个三角形的面积之比是1:3:3:9，那么阴影部分的面积是48??1?3?3?9??9?27平方厘米．

2、如图，正方形ABCD的边长是6，E点是BC的中点．求△AOD的面积．

第8讲 沙漏与金字塔 A O B E

D

C

【答案】 12 【解析】

连接DE，因为BE与AD之比是1:2，可如图所示设份数．可知△AOD的面积是正方形面

1积的，是12．

3A

2 O 4

2 3

D

3、如图所示，图中的两个正方形的边长分别是10和6，那么阴影部分的面积是多少？ A D E

H F

C 1

E B

B C G

【答案】

400 13

【解析】

AHAD5那么△ABH与△BGH的面积之比也是5:8，△ABH的面积是△ABG面积的??，

HGBG8 第8讲 沙漏与金字塔 55400．△ABH的面积是10?16?2??．

131313

4、如图，EF和BC平行，AE:EB?1:2．已知AF?2，EF?3，那么CF的长度是多少？AC的长度是多少？BC的长度是多少？

A

E

F

B

C

【答案】 4，6，9

【解析】

AEAF1EFAE1??，可求出CF?4，AC?6．??，可求出BC?9． EBFC2BCAB3

课后作业

1、如图所示，AB与CD平行．已知AB:CD?3:4，AO?6，那么OC?__________．

A

B

O

D

C

【答案】 8

【解析】

由沙漏模型知，AB:CD?AO:OC?3:4，AO?6，则OC?8．

第8讲 沙漏与金字塔 2、如图所示，AC与BD平行，AB与CD垂直，交点为O．已知AO?2，OB?4，OC?3，则△OBD的面积是△AOC面积的__________倍．

【答案】 4

【解析】

由沙漏模型知，AO:OB?OC:OD?1:2，OC?3，则OD?6．由三角形面积公式，△OBD的面积是4?6?2?12，△AOC的面积是2?3?2?3，所以△OBD的面积是△AOC面积的4倍．

3、如图所示，BC与DE平行．已知AD?4，BD?5，DE?16，则BC?__________．

【答案】 36

【解析】

由金字塔模型，AD:AB?DE:BC?4:9，DE?16，则BC?36．

4、如图所示，DE与BC平行，已知AD?4，BD?5，△ADE的面积为32，则四边形DECB面积为_________．

第8讲 沙漏与金字塔 【答案】 130 【解析】

AD:AB?4:9，则AE:AC?4:9，△ADE是△ABC面积的

16，则△ABC的面积为162，81四边形DEBC的面积为130．

5、如图所示，梯形ABCD的面积是50，下底长是上底长的1.5倍，阴影三角形的面积是_________．

【答案】 18

【解析】

上底与下底的长度比是2:3，设△OCD面积是4份，则△AOD与△BOC的面积均为6份，△ABO的面积为9份，总面积为50，故一份所对应的面积为2．则△ABO的面积为18．

6、如图所示，正方形ABCD的边长是6，E点是BC的三等分点．△AOD的面积为_________． A

O E B D

C

【答案】 13.5

【解析】

由沙漏模型可知，BE:AD?BO:OD?1:3，△AOB与△AOD等高，面积比为1:3，因此△

第8讲 沙漏与金字塔 3AOD的面积为6?6?2??13.5．

4

7、如图，平行四边形ABCD的面积是12，DE?影部分面积是__________．

1AD，AC与BE的交点为F，那么图中阴3

【答案】 4.4 【解析】

AE:BC?2:3，设份数如图，可知ABCD为30份，△AEF为4份，阴影部分占11份，面

积为12?11?4.4． 304

11

9

6

8、如图所示，图中的两个正方形的边长分别是8和4，那么阴影部分的面积是__________． A H D E F

B

【答案】 19.2

【解析】

C

G

3由条件知，AD:BG?2:3，DH:HB?2:3，△ABH的面积为8?8?2??19.2．

5

第8讲 沙漏与金字塔 9、如图所示，图中的两个正方形的边长分别是6和4，那么阴影部分的面积是__________． A

D E H

F

B 【答案】 10.8

【解析】

C

G

DH:HC?AD:CG?3:2，可求出AD的长为6??3?2??3?3.6，阴影部分的面积是

6?3.6?2?10.8．

10、如图，一个动物园的形状是梯形，两条对角线正好把动物园分成4个区．已知爬行类

1区的面积是鸟类区面积的2倍．两栖类区中池塘的面积占两栖类区面积的．请问这个动物

3园中陆地面积和池塘面积之比是多少？

【答案】 23:4 【解析】

可知梯形的上下底之比为1:2，则四个区的面积依次为1、2、2、4份，池塘面积为陆地面积为

4份，323份，陆地与池塘的面积之比为23:4． 3

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