_学年高中数学第1章计数原理5二项式定理第2课时二项式系数的性质课后演练提升北师大版选修2_3
更新时间:2023-08-08 05:15:01 阅读量: 实用文档 文档下载
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1 2016-2017学年高中数学 第1章 计数原理 5 二项式定理 第2课时
二项式系数的性质课后演练提升 北师大版选修2-3
一、选择题
1.(1-x )4(1-x )3的展开式中x 2
的系数是( )
A .-6
B .-3
C .0
D .3 解析: (1-x )4(1-x )3=(1-4x +6x 2-4x 3+x 4)·(1-3x 12+3x -x 32
),所以x 2的系数是-12+6=-6.
答案: A
2.若(x 3+1x 2)n 展开式中只有第6项的二项式系数最大,则不含x 的项等于( ) A .210
B .120
C .461
D .416
解析: 由已知得第6项应为中间项,则n =10.
T r +1=C r 10·(x 3)10-r ·(1
x 2)r =C r 10·x 30-5r . 令30-5r =0,得r =6.
∴T 6+1=C 6
10=210.
答案: A 3.若二项式? ??
??x 2-2x n 的展开式中二项式系数的和是64,则展开式中的常数项为( ) A .-240
B .-160
C .160
D .240 解析: 由题意2n =64,即n =6,设T r +1为常数项.
则T r +1=C r 6(x 2)6-r ·? ??
??-2x r =(-2)r C r 6x 12-2r -r , 令12-3r =0,即r =4, 所以常数项为(-2)4·C 46=16×15=240,故选D .
答案: D
4.(x -y )7的展开式中,系数绝对值最大的项是( )
A .第4项
B .第4、5两项
C .第5项
D .第3、4两项 解析: (x -y )n 的展开式,当n 为偶数时,展开式共有n +1项,中间一项的二项式系
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2 数最大;
当n 为奇数时,展开式有n +1项,中间两项的二项式系数最大.而(x -y )7的展开式中,系数绝对值最大的是中间两项,即第4、5两项.
答案: B
二、填空题
5.如图是一个类似杨辉三角的递推式,则第n 行的首尾两个数均为____________.
1
3 3
5 6 5
7 11 11 7
9 18 22 18 9
…
解析: 观察规律可知:第n 行的首尾两个数均为2n -1.
答案: 2n -1
6.在(1+x )9的展开式中,系数最大的项的系数是____________.
解析: 因二项展开式共有10项,所以中间两项的二项式系数最大且相等,又由于x 的系数为1.所以系数最大的项的系数为C 49或C 59,都等于126.
答案: 126
三、解答题
7.已知? ??
??x -2x 2n 的展开式中,第五项与第三项的二项式系数之比为14∶3,求展开式的常数项.
解析: 依题意C 4n ∶C 2n =14∶3?3C 4n =14C 2
n
∴3n n -1 n -2 n -3 4!=14n n -1 2! ?n =10.
设第r +1项为常数项,
又T r +1=C r 10(x )
10-r ? ????-2x 2r =(-2)r C r 10x 10-5r 2, 令10-5r 2
=0?r =2, ∴T 2+1=C 210(-2)2=180.
因此所求常数项为180.
8.已知(2x -1)5=a 0x 5+a 1x 4+a 2x 3+a 3x 2
+a 4x +a 5.
(1)求a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5;
_
3 (2)求|a 0|+|a 1|+|a 2|+|a 3|+|a 4|+|a 5|;
(3)求a 1+a 3+a 5.
解析: (1)令x =1,得a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=(2×1-1)5
=1.
(2)由二项式定理,得(2x -1)5=C 05(2x )5+C 15(2x )4(-1)+C 25(2x )3(-1)2+C 35(2x )2(-1)3+C 45(2x )(-1)4+C 55(-1)5=a 0x 5+a 1x 4+a 2x 3+a 3x 4+a 4x +a 5.
对比系数可知,a 1,a 3,a 5为负数.
∴|a 0|+|a 1|+|a 2|+|a 3|+|a 4|+|a 5|=a 0-a 1+a 2-a 3+a 4-a 5,
又在二项展开式中令x =-1,得-35=-a 0+a 1-a 2+a 3-a 4+a 5=-(a 0-a 1+a 2-a 3+a 4-a 5).
∴|a 0|+|a 1|+|a 2|+|a 3|+|a 4|+|a 5|=-(-35)=35
=243.
(3)令x =1得a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=1,①
令x =-1得-a 0+a 1-a 2+a 3-a 4+a 5=-35②
①+②得2(a 1+a 3+a 5)=1-35,
∴a 1+a 3+a 5=1-352
=-121. 尖子生题库 ☆☆☆
9.设m ,n 是正整数,f (x )=(1+x )m +(1+x )n ,已知在f (x )展开式中,x 的系数为19.
(1)当m ,n 为何值时,x 2的系数最小?
(2)当x 2的系数最小时,求x 7的系数.
解析: (1)f (x )展开式中,x 的系数为C 1m +C 1n =m +n =19,
即m +n =19.
而x 2的系数为C 2m +C 2n =12
[m (m -1)+n (n -1)] =12[m 2+n 2-(m +n )]=12
[(m +n )2-2mn -(m +n )] =12
(361-2mn -19)=171-mn , 将m =19-n 代入,
可得C 2m +C 2n =n 2-19n +171=(n -192)2+171-3614
. 由于n 是正整数,所以当n =9或n =10时,x 2的系数C 2m +C 2n 取最小值81此时m =10,n =9或m =9,n =10.
(2)由(1)知,n =9且m =10或n =10且m =9,此时f (x )均为f (x )=(1+x )9+(1+x )10=(1+x )9(2+x ),
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