小学奥数统筹规划题库学生版

8-4统筹规划

知识点说明：

统筹学是一门数学学科，但它在许多的领域都在使用，在生活中有很多事情要去做时，科学的安排好先后顺序，能够提高我们的工作效率．

本讲主要讲统筹安排问题、排队问题、最短路线问题、场地设置问题等。这些都是人们日常生活、工作中经常碰到的问题，怎样才能把它们安排得更合理，多快好省地办事，就是这讲涉及的问题。 “节省跑空车的距离”是物资调运问题的一个原则。 “发生对流的调运方案”不可能是最优方案。 “小往大靠，支往干靠”。

板块一、合理安排时间

【例 1】 一只平底锅上最多只能煎两张饼，用它煎1张饼需要2分钟(正面、反面各1分钟)．问：煎3

张饼需几分钟？怎样煎？

【巩固】 (2000年《小学生数学报》数学邀请赛)烙饼需要烙它的正、反面，如果烙熟一块饼的正、反面，

各用去3分钟，那么用一次可容下2块饼的锅来烙21块饼，至少需要多少分钟？

【巩固】 一只平底锅上最多只能煎两张饼，用它煎1张饼需要2分钟(正面、反面各1分钟)．问：煎2009

张饼需几分钟？

【例 2】 星期天妈妈要做好多事情。擦玻璃要20分钟，收拾厨房要15分钟，洗脏衣服的领子、袖口要

10分钟，打开全自动洗衣机洗衣服要40分钟，晾衣服要10分钟。妈妈干完所有这些事情最少用多长时间？

【巩固】 小明在家的一面墙上贴奖状，一共有32张，给一张奖状涂满胶水需要2分钟，涂完胶水后要过

2分钟才能往墙上贴，贴的过程需要1分钟，但是如果等待超过6分钟的话胶水就会干掉不能再贴，问：小明最快用多长时间能贴完所有的奖状？

【例 3】 小明骑在牛背上赶牛过河．共有甲、乙、丙、丁4头牛．甲牛过河需要1分钟，乙牛过河需要

2分钟，丙牛过河需要5分钟，丁牛过河需要6分钟．每次只能赶两头牛过河，那么小明要把这4头牛都赶到对岸，最小要用多少分钟？

【例 4】 有四个人在晚上准备通过一座摇摇欲坠的小桥．此桥每次只能让2个人同时通过，否则桥会倒

塌．过桥的人必须要用到手电筒，不然会一脚踏空．只有一个手电筒．4个人的行走速度不同：

小强用1分种就可以过桥，中强要2分中，大强要5分中，最慢的太强需要10分中．17分钟后桥就要倒塌了．请问：4个人要用什么方法才能全部安全过桥？

【例 5】 有一家五口人要在夜晚过一座独木桥．他们家里的老爷爷行动非常不便，过桥需要12分钟；孩

子们的父亲贪吃且不爱运动，体重严重超标，过河需要时间也较长，8分钟；母亲则一直坚持劳作，动作还算敏捷，过桥要6分钟；两个孩子中姐姐需要3分钟，弟弟只要1分钟．当时正是初一夜晚又是阴天，不要说月亮，连一点星光都没有，真所谓伸手不见五指．所幸的是他们有一盏油灯，同时可以有两个人借助灯光过桥．但要命的灯油将尽，这盏灯只能再维持30分钟了！他们焦急万分，该怎样过桥呢？

【巩固】 (迎春杯试题)小强、小明、小红和小蓉4个小朋友效游回家时天色已晚，他们来到一条河的东

岸，要通过一座小木桥到西岸，但是他们4个人只有一个手电筒，由于桥的承重量小，每次只能过2人，因此必须先由2个人拿着手电筒过桥，并由1个人再将手电筒送回，再由2个人拿着手电筒过桥??直到4人都通过小木桥．已知，小强单独过桥要1分钟；小明单独过桥要1.5分钟；小红单独过桥要2分钟；小蓉单独过桥要2.5分钟．那么，4个人都通过小木桥，最少要

多少分钟？

【例 6】 有甲、乙两个水龙头，6个人各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头注满6个人的水桶所需时间

分别是5分钟、4分钟、3分钟、10分钟、7分钟、6分钟．怎么安排这6个人打水，才能使他们等候的总时间最短，最短的时间是多少？

【巩固】 6个人各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头注满6个人的水桶所需时间分别是5分钟、4分钟、

3分钟、10分钟、7分钟、6分钟．现在只有这一个水龙头可用，问怎样安排这6人的打水次序，可使他们总的等候时间最短？这个最短时间是多少？

【巩固】 理发室里有甲、乙两位理发师，同时来了五位顾客，根据他们所要理的发型，分别需要10、12、

15、20和24分钟，怎样安排他们理发的顺序，才能使这五人理发和等候所用时间的总和最少？最少时间为多少？

【例 7】 (101培训试题)车间里有五台车床同时出现故障，已知第一台到第五台修复时间依次为18，30，

17，25，20分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失5元．现有两名工作效率相同的修理工，⑴ 怎样安排才能使得经济损失最少？⑵ 怎样安排才能使从开始维修到维修结束历时最短？

【例 8】 (三帆中学入学考试试题)设有十个人各拿着一只提桶同时到水龙头前打水，设水龙头注满第一

个人的桶需要1分钟，注满第二个人的桶需要2分钟，??．如此下去，当只有两个水龙头时，

如何巧妙安排这十个人打水，使他们总的费时时间最少？最少的时间是多少？

【例 9】 (小学数学报试题)右图是一张道路示意图，每段路上的数字表示小明走这段路所需要的时间

(单位：分)．小明从A到B最快要几分钟？

G65E4503F3H7646BDCA14

【巩固】 (十一学校考题)下图为某三岔路交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口A，

B，C的机动车辆数如图所示，图中x1，x2，x3分别表示该时段单位时间通过路段AB，BC，CA的机动车辆数(假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等)，问：x1，x2，x3的大小关系．

5055X3X12030X23035

【例 10】 某人从住地外出有两种方案，一种是骑自行车去，另一种是乘公共汽车去.显然公共汽车的速度

比自行车速度快，但乘公共汽车有一个等候时间(候车时间可以看成是固定不变的)，在任何情况下，他总是采用时间最少的最佳方案.下表表示他到达A、B、C三地采用最佳方案所需要的时间.为了到达离住地8千米的地方，他需要花多少时间？并简述理由.

板块二、合理安排地点

【例 11】 如图，在街道上有A、B、C、D、E、F六栋居民楼，现在设立一个公交站，要想使居民到达车

站的距离之和最短，车站应该设在何处？

ABCDEF

【巩固】 如图，在街道上有A、B、C、D、E五栋居民楼，为使五栋楼的居民到车站的距离之和最短，车

站应立于何处？

ABCDE

【巩固】 有1993名少先队员分散在一条公路上值勤宣传交通法规，问完成任务后应该在公路的什么地点

集合，可以使他们从各自的宣传岗位沿公路走到集合地点的路程总和最小？

【例 12】 如图，在街道上有A、B、C、D、E五栋居民楼，每栋楼里每天都有20个人要坐车，现在设立

一个公交站，要想使居民到达车站的距离之和最短，应该设在何处？

ABCDE

【例 13】 在一条公路上每隔100千米，有一个仓库(如图)共有5个仓库，一号仓库存有10吨货物，二号

仓库有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的．现在想把所以的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1公里需要0.5元运输费，那么最少要多少运费才行？

一10吨二20吨三四五40吨

【巩固】 (人大附中分班考试题)在一条公路上，每隔10千米有一座仓库(如图)，共有五座，图中数字表

示各仓库库存货物的重量．现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1千米需要运费0.9元，那么集中到哪个仓库运费最少？

10吨A30吨B20吨C10吨D60吨E

【例 14】 在一条公路上，每隔100千米有一座仓库，共有8座，图中数字表示各仓库库存货物的重量(单

位：吨)，其中C、G为空仓库．现在要把所有的货物集中存入一个仓库里，如果每吨货物运输1千米需要0.5元，那么集中到那个仓库中运费最少，需要多少元运费？

A10B30CD20E5F10GH60

【巩固】 (04年我爱数学夏令营试题)一条直街上有5栋楼，从左到右编号为1，2，3，4，5，相邻两楼

的距离都是50米．第1号楼有1名职工在A厂上班，第2号楼有2名职工在A厂上班??，第5号楼有5名职工在A厂上班．A厂计划在直街上建一通勤车站接送这5栋楼的职工上下班，为使这些职工到通勤车站所走的路程之和最小，车站应建在距1号楼多少米处？

【例 15】 (奥数网习题库)右图是A，B，C，D，E五个村之间的道路示意图，○中数字是各村要上学的

学生人数，道路上的数表示两村之间的距离(单位：千米)．现在要在五村之中选一个村建立一所小学．为使所有学生到学校的总距离最短，试确定最合理的方案．

A402B20320C435D50E5

【巩固】 (三帆中学分班考试题)有七个村庄A1，A2，?，A7分布在公路两侧(见右图)，由一些小路与

公路相连，要在公路上设一个汽车站，要使汽车站到各村庄的距离和最小，车站应设在哪里？

A1CBA2A3A4A5DEA7A6F公路

【例 16】 (奥数网习题库)某乡共有六块麦地，每块麦地的产量如右图．试问麦场设在何处最好？(运输总

量的千克千米数越小越好．)

3000千克F2000千克EAG6000千克4000千克BD5000千克C1000千克

板块三、合理布线和调运

【例 17】 新建的自来水厂要给沿公路的十个村庄供应自来水(如下图，距离单位为千米)，要安装水管有

粗细两种选择，粗管足够供应所有村庄使用，细管只能供一个村用水，粗管每千米要用8000元，细管每千米要2000元，如果粗细管适当搭配，互相连接，可以降低费用，怎样安排才能使这项工程费用最低？费用是多少元？

自来水厂30A5B2C4D2E3F2G2H2I5J

【例 18】 (奥数网习题库)有十个村庄，座落在从县城出发的一条公路上，现要安装水管，从县城供各村

自来水．可以用粗、细两种水管，粗管每千米7000元，细管每千米2000元．粗管足够供应所有各村用水，细管只能供应一个村用水，各村与县城间距离如右图所示(图中单位是千米)，现要求按最节约的方法铺设，总费用是多少？

(43??)1百元，相比之下，上海到重庆比北京到重庆要节省(85??)3百元．所以重庆所需台数应由上海尽量满足，即上海的4台全部调运重庆，北京再补给重庆4台，汉口的6台从北京调运．总运费为：54844676??????(百元)

方法二：本题也可以采用下面的代数方法解决，设北京调运汉口x台，调运重庆(10x?)台，则

上海应调运汉口(6x?)台，调运重庆462xx????（）(台)，总运费4810Wxx???（） 36524808183510882xxxxxxx?????????????（）（），因为要使总运费882x?最小，需要2x最大．由于x是北京调运汉口的台数，且6x?，所以当6x?时，总运费882676W????(百元)最小．由6x?可知，北京调运汉口6台，调运重庆4台，上海调运汉口0台，调运重庆4台．

【例 21】 北仓库有货物35吨，南仓库有货物25吨，需要运到甲、乙、丙三个工厂中去．其中甲工厂需

要28吨，乙工厂需要12吨，丙工厂需要20吨．两个仓库与各工厂之间的距离如图所示(单位：公里)．已知运输每吨货物1公里的费用是1元，那么将货物按要求运入各工厂的最小费用是多少元？ 1612 568 10丙 乙甲 南仓库 北仓库

【解析】 通过分析将题目给的图形先转化为下图⑴，我们仍可以通过差价的大小来决定最佳方案．观察上

表各列两数之差，最大的是第三列16124??，因此北仓库的货物尽可能的供应丙工厂，即北仓库供应丙20吨．在剩下的两列中，第一列的差大于第二列的差，所以南仓库的货物尽可能的供应甲工厂，即南仓库供应甲25吨．因为南仓库货物分配完，其余的甲需要的28253??(吨)由北仓库供应，即北仓库供给丙后剩下的15吨货物3吨给甲15312??(吨)给乙，相应的运费为：3101262012258542????????(元)． 20 丙12 25

3南仓库25吨

北仓库35吨乙甲发站运费/元到站到站运费/元发站甲乙北仓库南仓库 108 65

丙1216

⑴ ⑵

【例 22】 A、B两个粮店分别有70吨和60吨大米，甲、乙、丙三个居民点分别需要30吨、40吨和50

吨大米．从A，B两粮店每运1吨大米到三个居民点的运费如右图所示：如何调运才能使运费最少？ 到站运费/元发站 甲乙AB 030 400

丙3020 5

3丙10 73 2B

A乙甲发站 运费/元到站 【解析】 A，B粮店共有大米 7060130??(吨)，甲、乙、丙三个居民点需要大米304050120???(吨)， 供应量与需求量不相等，但是我们仍可以通过差价的大小来决定最佳方案．观察上表各列两数之差，最大的是第二列1073??，因此A粮店的大米应尽可能多地供应乙，即A供应乙40吨．在剩下的两列中，第三列的差大于第一列的差，所以A粮店剩下的30吨应全部供应丙．因为A粮店的的大米已分配完，其余的由B粮店供应，即B供应甲30吨，供应丙20吨，调运方案如右表，相应的运费为：303407303205560????????(元)．

【例 23】 一支勘探队在五个山头A、B、C、D、E设立了基地，人数如右图所示.为调整使各基地人数相同，

如何调动最方便？（调动时不考虑路程远近）

【解析】 在人员调运时不考虑路程远近的因素，就只需避免两个基地之间相互调整，即“避免对流现象”。

五个基地人员总数为17+4+16+14+9=60（人） 依题意，调整后每个基地应各有60÷5=12（人）。 因此，需要从多于12人的基地A、C、D向不足12人的基地B、E调人.为了避免对流，经试验容易得到调整方案如下：先从D调2人到E，这样E尚缺1人；再由A调1人给E，则E达到要求.此时，A尚多余4人，C也多余4人，总共8人全部调到B，则B亦符合要求。 调动示意图如右图所示.这样的图形叫做物资流向图.用流向 图代替调运方案，能直观地看出调运状况及有无对流现象， 又可避免列表和计算的麻烦，图中箭头表示流向，箭杆上的数字表示流量。

【例 24】 下图是一个交通示意图，A、B、C是产地(用●表示，旁边的数字表示产量，单位：吨)，D、 E、F是销地(用○表示，旁边的数字表示销量，单位：吨)，线段旁边有括号的数字表示两地每吨货物的运价，单位：百元(例如B与D两地，由B到D或由由D到B每吨货物运价100元)．将产品由产地全部运往销地，怎样调运使运价最小？最小运价是多少？ 第3题5 56 589 (1)(3) (4) (6) (4) (3) FED CBA

【解析】 为了运价最小，图中可以直接看出B地的5吨货物，必然要运往D，这个时候D还差954?? (吨)．一定需要从A运4吨．之后A剩下844??吨．之后分两种情况．如果A的4吨全部运往 F，之后把C中的1吨运往F，5吨运往E．总共需要运费为

514343145663??????????(百元)6300?(元)；如果A的4吨全部运往E，之后C中的1吨运往E，5吨运往F，总共需要运费为514344165459??????????(百元)5900?(元)．

图1 4 51 5 4 A B C D E F

板块四、其他最优化问题

【例 25】 用10尺长的竹竿做原材料，来截取3尺、4尺长的甲、乙两种短竹竿各100根，至少要用去原

材料几根？怎么截法最合算？

【解析】 分析 不难想到有三种截法省料：

截法1：截成3尺、3尺、4尺三段，无残料； 截法2：截成3尺、3尺、3尺三段，残料1尺； 截法3：截成4尺、4尺两段，残料2尺。 由于截法1最理想（无残料），因此应该充分应用截法1.考虑用原材料50根，可以截成100根3尺长的短竹竿，而4尺长的仅有50根，还差50根.于是再应用截法3，截原材料25根，可以得到4尺长的短竹竿50根，留下残料2×25＝50（尺）。 【例 26】 山区有一个工厂．它的十个车间分散在一条环行的铁道上．四列货车在铁道上转圈运送货物。货车到了某一车间，就要有装卸工人装上或卸下货物．各车间由于工作 量不同，所需装卸工人数也不同，各车间所需装卸工人数如图所示。当然，装卸工可以固定在车间等车；也可以坐在货车上跟车到各车间去干活；也可以一部分装卸 工固定在车间，另一部分跟车．问怎样安排跟车人数和各车间固定人数，才能使装卸工的总人数最少？最少需多少名工人？

【解析】 如跟车人数为57，则各车间都不用安排人，但这样在需要人数少的车间，浪费人力,不行；为此

找出各车间人数的平均数，后再调整。各车间人数的平均数为. 43.9.若跟车人数为43，则需人数多于43的车间需增加的人数分别为14，7，5，3，9，此时共需人数43×4+14+7+5+3+9=210。若 跟车人数为46，由于需人数多于46的有四个车间，货车上增多的人数与四个车间减少的人数一样。故跟车人数为46人，需人数多于46的四个车间人数各增加 所差数即可 46×4+4+2+6+11=207（人）．

【例 27】 现有5段铁链，每段上有4个封闭的铁环．现在要打开一些铁环，把这20个铁环焊接成一个一

环套一环的圆圈．如果每打开一个铁环要2分钟，焊接上一个铁环要3分钟．那么焊成这个圆圈，至少需要________分钟．

第8题

【解析】 把第一段的每个都打开之后用了428??(分钟

)，下面用每个铁环把剩下的4 段铁链之间的两个相连，只需要4312??(分钟)．所以至少需要20分钟．

【例 28】 国王准备了1000桶酒作庆祝他的生日，可惜在距离生日前十日，国王得知其中有一桶酒被人下

毒，若毒服后则正好第10日发作．有人提议用死刑犯试毒，问至少需要多少个死刑犯才能保证检验出一桶有毒的酒桶？如何试毒？

【解析】 将酒桶编号1～1000全部改为二进制 应该是0000000001～1111101000，让一号犯人喝末位数字

是1的毒酒，二号犯人喝倒数第二位数字是1的毒酒．．．．．．十号犯人喝第一位编号是1的毒酒，这样的话如果某一号犯人死亡就说明相应的某一位数字是1，如果没有死亡那就说明相应位上的数字是零．比如一号犯人死亡，二号~九号犯人存活．．．．．．十号犯人死亡，那么毒酒的编号就是0111111110也就是第510桶有毒．

【巩固】 欢欢、迎迎各有4张卡片，每张卡片上各写有一个自然数．两人各出一张卡片，计算两张卡片 上所写数的和，结果发现一共能得到16个不同的和．那么，两人的卡片上所写的数中最大的数最小是 ．

【解析】 为了让两人的卡片上所写的数中最大的数最小，首先应该让它们这16个不同的和最小，因为他

们都是自然数，所以最小的十六个数应该是0~15，这恰好是二进制0000~1111，每人手里有四张牌，可以有四种不同的数字，那么可以这样，让每个人手中的牌控制二进制当中的两位，比如欢欢手里的牌是0000、1000、0100、1100这样的话他可以控制二进制的前两位，相应的迎迎手里的卡片应该是0000、0001、0010、0011，这样的话它们就能组成0000~1111所有的数，但是这样的话欢欢手里的牌控制的是最高的两位，这样的话他手里的牌就有点太大了，为了让最大的数最小应该让控制最高位的人同时控制最低位，这样的话，对欢欢手里的牌做调整，可以得到0000、1000、0001、1001，迎迎手里的牌是0000、0010、0100、0110，这样的话同样可以得到0000~1111，16各不同的数字，而且8张牌中最大的数字也只是1001也就是9．

【例 29】 一个物流港有6个货站，用4辆同样的载重汽车经过这6个货站组织循环运输．每个货站所需

要的装卸工人数如下图．为了节省人力，可安排流动的装卸工随车到任何一个货站装卸．在最优的安排下使物流港装卸工总人数最少，则是 人．

【解析】 如果每辆车配4人，此时共有装卸工4420410023????????人，

如果每辆车配5人，此时共有装卸工4510300024????????人， 如果每辆车配6人，此时共有装卸工4600200026????????人， 如上我们发现人数是越来越多的，23小于24小于26，故最少23人．

【巩固】 一个工厂有7个车间，分散在一条环形铁路上，三列火车循环运输产品．每个车间装卸货物所 需工人数为25、18、27、10、20、15、30．若改为部分工人跟车，部分工人固定在车间，那么安排多少名装卸工，所用总人数最合理？

【解析】 一个工厂有7个车间，分散在一条环形铁路上，三列火车循环运输产品．每个车间装卸货物所需

工人数为25、18、27、10、20、15、30，．若改为部分工人跟车，部分工人固定在车间，那么安排多少名装卸工，所用总人数最合理．

如果车上不跟人，各车间所需人数和为：10151820252730147???????(人)，

如果每列车上跟1人，共多3人；每个车间可少1人，共少7人，多3少7，可减少4人．

每列车上跟10人，总人数可减少40人．

从11至15，列车上每增加1人，总人数可减少3人． 从16至18，列车上每增加1人，总人数可减少2人． 从19至20，列车上每增加1人，总人数可减少1人． 21增3减3无意义． 总人数为 203571082?????(人)最少．

【例 30】 一次，齐王与大将赛马．每人有四匹马，分为四等．田忌知道齐王这次比赛马的出场顺序一次

为一等，二等，三等，四等，而且还知道这八匹马跑得最快的是齐王的一等马，接着依次为自己的一等，齐王的二等，自己的二等，齐王的三等，自己的三等，齐王的四等自己的四等．田忌有 种方法安排自己的马出场顺序，保证自己至少能赢得两场比赛．

【解析】 第一场不管怎么样田忌都必输，田忌只可能在接下来的三场里赢得比赛，

若三场全胜，则只有一种出场方法； 若胜两场，则又分为三种情况：

二，三两场胜，此时只能是田忌的一等马赢得齐王的二等马，田忌的二等马赢齐王的三等马，只有这一种情况；

二，四两场胜，此时有三种情况； 三，四两场胜，此时有七种情况； 所以一共有113712????种方法．

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