上海市静安区2017学年第一学期期末教学质量调九年级数学试卷（2018静安区数学一模）

静安区2017学年第一学期期末教学质量调研

九年级数学试卷 2018.1

（完成时间：100分钟 满分：150分 ）

考生注意：

1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．

2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．

3. 答题时可用函数型计算器．

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）

【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】

1．化简(?a)?a所得的结果是

（A）a； （B）?a； （C）a； （D）?a． 2．下列方程中，有实数根的是 （A）x?1?1?0； （B）x?

3．如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AC和BD交叉构成， D C 利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上， 使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA=3OC，OB=3OD），然后张开 两脚，使A，B两个尖端分别在线段a的两个端点上，当CD=1.8cm时， AB的长是

7725101021?1； （C）2x4?3?0 ；??1． （D）xx?1a

（A）7.2 cm ； （B）5.4 cm ； （C）3.6 cm ； （D）0.6 cm ． A B

第3题图

4．下列判断错误的是

（A）如果k?0或a?0，那么ka?0；（B）设m为实数，则m(a?b)?ma?mb； （C）如果a∥e，那么a?ae ；（D）在平行四边形ABCD中，AD?AB?BD． 5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sinA＝（A）

?????????????1，那么sinB的值是 3222； （B）22； （C）； （D）3．

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6．将抛物线y1?x2?2x?3先向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，与抛物线

y2?ax2?bx?c重合，现有一直线y3?2x?3与抛物线y2?ax2?bx?c相交，当y2≤y3时，利用图像写出此时x的取值范围是

（A）x≤?1； （B）x≥3； （C）?1≤x≤3； （D）x≥0．

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】

ac1a?c7．已知??，那么的值是 ▲ ．

bd3b?d8．已知线段AB长是2厘米，P是线段AB上的一点，且满足AP 2 =AB · BP，那么AP长为 ▲ 厘米．

9．已知△ABC的三边长分别是2、6、2，△DEF的两边长分别是1和3，如果△ABC与△DEF相似，那么△DEF的第三边长应该是 ▲ ．

10．如果一个反比例函数图像与正比例函数y?2x图像有一个公共点A（1，a），那么这个反比例函数的解析式是 ▲ ．

11．如果抛物线y?ax?bx?c（其中a、b、c是常数，且a≠0）在对称轴左侧的部分是上升的，那么a ▲ 0．(填“＜”或“＞”)

12．将抛物线y?(x?m)向右平移2个单位后，对称轴是y轴，那么m的值是 ▲ ． 13．如图，斜坡AB的坡度是1∶4，如果从点B测得离地面的铅垂高度BC是6米，那么斜坡AB的长度是 ▲ 米．

14．在等腰△ABC中，已知AB=AC=5，BC=8，点G是重心，联结BG，那么∠CBG的余切值是 ▲ ．

15．如图，△ABC中，点D在边AC上，∠ABD =∠C，AD=9，DC=7，那么AB = ▲ ．

B

A 第13题图

22A D

C B 第15题图

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C

16．已知梯形ABCD，AD∥BC，点E和F分别在两腰AB和DC上，且EF是梯形的中 ?位线，AD=3，BC=4．设AD?a，那么向量EF? ▲ ．（用向量a表示）

17．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=90°，BC=6，直线MN∥BC， 且分别交边AB、AC于点M、N，已知直线MN将△ABC分为面积 相等的两部分，如果将线段AM绕着点A旋转，使点M落在边 BC 上的点D处，那么BD= ▲ ．

B A M A N 第17题图 C D 18. 如图，矩形纸片ABCD，AD=4，AB=3．如果点E在边BC上， 将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，联结FC，当△EFC是 直角三角形时，那么BE的长为 ▲ ．

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）

B C 第18题图 3cot45?1????tan60?sin6019．（本题满分10分）计算：． ??cos302cos60?1 ?x?y?5①

20．（本题满分10分）解方程组： ? 2 ．

?(x?y)?2(x?y)?3?0②

21．（本题满分10分, 其中第（1）小题4分，第（2）小题6分） 已知：二次函数图像的顶点坐标是（3，5），且抛物线经过点A（1，3）． （1）求此抛物线的表达式；

（2）如果点A关于该抛物线对称轴的对称点是B点，且抛物线与y轴的交点是C点，求△ABC的面积．

22．（本题满分10分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分）

如图，在一条河的北岸有两个目标M、N，现在位于它的对岸设定两个观测点A、B，

M N 已知AB∥MN，在A点测得∠MAB=60°，在B点测得∠MBA=45°，AB=600米．

（1）求点M到AB的距离；（结果保留根号） （2）在B点又测得∠NBA=53°，求MN的长． （结果精确到1米）

A 第22题图

B （参考数据：3?1.732，sin53） o?0.8，cos53 o?0.6，tan53 o?1.33，cot53 o?0.75．

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23．（本题满分12分，其中第（1）小题6分，第（2）小题6分）

已知：如图，梯形ABCD中，DC∥AB，AD＝BD ，AD⊥DB，点E是腰AD上一点，作∠EBC＝45°，联结CE，交DB于点F．

D C （1）求证：△ABE∽△DBC； （2）如果

24．（本题满分12分，其中第（1）小题4分，第（2）小题8分） 在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y?ax?bx?2SBC5?，求?BCE的值． BD6S?BDAA F E B 第23题图

5y 3 经过点A（－1，0）、B（5，0）． （1）求此抛物线顶点C的坐标；

（2）联结AC交y轴于点D，联结BD、BC，过点C作

CH⊥BD，垂足为点H，抛物线对称轴交x轴于点G，联结HG， O 求HG的长．

第24题图

25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分） 已知：如图，四边形ABCD中，0°＜∠BAD ≤90°，AD=DC，AB=BC，AC平分∠BAD． （1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）如果点E在对角线AC上，联结BE并延长，交边DC于点G，交线段AD的延长线于点F（点F可与点D重合），∠AFB =∠ACB，设AB长度是a（a是常数，且a?0），AC=x，AF=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；

（3）在第（2）小题的条件下，当△CGE是等腰三角形时， F 求AC的长．（计算结果用含a的代数式表示）

D

C

B A

第25题图①

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x D G

C

E

A

第25题图②

B

静安区2017学年第一学期期末学习质量调研九年级数学试卷参考答案及评分说明2018.1 一、选择题： 1．B； 2．D； 3．B； 4．C； 5．A； 6．C．

二、填空题：7． ； 8．5?1； 9．2； 10． y ? ； 11．＜； 12．2；

132x

3 13．617； 14． 4； 15．12； 16． a ； 17．3； 18． 或3．

三、解答题：

3?11319．解：原式＝ ? ? 3 ? ?????????????（5分）

1232??1

7?622213＝2??????????????????????（3分）22

＝1 ????????????????????（2

分）

20．解：由②得(x?y?3)(x?y?1)?0, ??????????????（2分）

得x?y?3?0或x?y?1?0, ????????????（2

分）

原方程组可化为?分）

?x?y?5,?x?y?3;?x?y?5,?????????????（2?x?y??1;?

解得，原方程组的解为?x1?4,?x2?2?????????????（4分）

???y1?1; ?y2?3

∴原方程组的解为?x1?4,?x2?2．

??y?1;y?3?1 ?2

21．解：（1）∵二次函数图像的顶点坐标是（3，5）,

2∴设二次函数的解析式为 y ? a ( x ? 3 ) ? 5 ?????????????（2分） 又∵抛物线经过点A（1，3），代入解析式 3 ?a(1?3)2?5解得：a????（1分）

2

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1

111y??(x?3)2?5即y??x2?3x?∴此二次函数的解析式为??（1

222，

分）

（2）∵B点是点A关于该抛物线对称轴的对称点，∴B（5，3），AB= 5-1= 4，??（2分） ∵y??分）

∴△ABC的面积=分）

22．解：（1）过点M作MC⊥AB，垂足是点C， 在Rt△AMC和Rt△BMC中，∠MAB=60°，∠MBA=45°，

121151x?3x2?与y轴的交点是C点，∴C（0， ），h?3????（222222

15?4??5??????????????????（222

tan?MAC?MCMC?3，tan?MBC??1， ????????????（2分） ACBC米

设AC是x米，则MC=BC= 3 x

∵AB=600米，AC+BC=600，即x?3x?600， ??????????????（1分） 解得x =3003?300∴MC=900?3003 (米) ??????????????（2

分）

答：点M到AB的距离是（900?3003）米．

（2）过点N作ND⊥AB，垂足是点D， ???????????????（1分） ∴∠NDC=∠MCD=90°，∴MC∥ND，又∵AB∥MN，∴四边形MDBE是矩形． ∴MN=CD, ND=MC= CB=900?3003， ????????????????（1分）

在Rt△NBD中,∠NBD=53°,cot∠NBD=

BD?0.75ND

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∴BD?0.75ND?0.75?(900?3003)?285.3米 ??????????（1分）

即MN =95米 ????（2分） CD?BC?BD?(900?3003)?285.3?95.1?95米，答：MN的长约为95米．

23．证明：（1）∵AD＝BD ，AD⊥DB，∴∠A＝∠DBA =45°?????????（1分） 又∵DC∥AB ，∴∠CDB =∠DBA＝45°, ∴∠CDB =∠A, ?????????（2分）

∵∠EBC＝45°，∴∠EBC=∠DBA， ?????????????????（1分） ∴∠EBC－∠DBE =∠DBA－∠DBE，即∠DBC =∠ABE ?????????（1分）

∴△ABE∽△DBC ??????????????????????????（1分）

（2）∵△ABE∽△DBC, ∴分）

DBCB???????????????????（2ABEB

EBCB?，且∠EBC=∠DBA，∴△BCE∽△BDA ????????????（2分） ABDBSBC5BC225?，∴?BCE?(又∵． ?????????????????（2)?BD6S?BDABD36∴分）

24．解：（1）∵抛物线抛物线y?ax?bx?25经过点A（－1，0）、B（5，0）． 351??0?a?b?,a?,??33?????????????????∴?解得?（2分）

54?0?25a?5b?, ，?b??,33??1245∴此二次函数的解析式为y?x?x?333

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∴y?分）

12451x?x??(x?2)2?3∴C（2，-3）?????????????（23333，

（2）由题意可知：抛物线对称轴交x轴于点G, ∴CG⊥AB, AB=5－（－1）=6，AG=BG =3,

∴G（2，0）,CG= AG=BG=3, AC=BC=32?（1分）

222AC?BC?AB∴△ACB是等腰直角三角形

, ∵OD⊥x轴，∴∠AOD =∠AGC=90°，∴OD∥CG， ∴

y G A O D B x H ODAO1??，∴OD=1，∴D（0，﹣1）?（1分） CGAG3C ∴DA=2，DB=26

在Rt△DCB中，CH⊥BD, ∴∠BHC =∠BCD=90°， 又∵∠HBC =∠CBD，∴△BCH∽△BDC ，?????????????????（1分） ∴

BCBD92?26?（1，∴BC?BH?BD，(32)2?BH?26，∴BH?BHBC13

分）

926BHBG313??∵，∴??????????????????（1ABBD626

分）

HBG =∠ABD，∴△HBG∽△ABD ??????????????????（1又∵∠分） ∴

HGBGHG3313?，∴，∴HG????????????????（2?ADBD13226分）

答：HG的长为

313． 13 25．（1）证明：∵四边形ABCD中， AD=DC，AB=BC， ∴∠DAC＝∠DCA，∠BAC＝∠BCA ??????????????????（1分）

∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，

∴∠DCA＝∠BCA， ??????????????????????????（1分）

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在△ABC和△ADC中，

F ??DAC??BAC?∴△ABC≌△ADC ????（1分） ?AC?AC??DCA??BCA ?∴AB＝AD，BC＝DC，∴AB＝AD＝DC＝BC， ?（1分） ∴四边形ABCD是菱形．

（2）解：如图②，∵四边形ABCD是菱形，

A

∴AD∥BC，∴∠FAC＝∠ACB，∠AFB＝∠FBC， ∵∠AFB =∠ACB，∴∠F＝∠FAC，

又∵AC平分∠BAD，∴∠ACB＝∠FBC＝∠CAB， ∵∠ECB＝∠BCA，∴△CEB∽△CBA，∴

D G

C

E B

第25题图②

CECB?，????????????（2CBCA分）

∵AB长度是a（a是常数，且a?0），AC=x，AF=y，

CEaa2?， ∴CE?∴， axxa2x2?a2?∴AE?x?， ???????????????????????（1分） xxAFAEyx2?a2?又∵AF∥BC，∴ ∴?????????????????（1分） 2BCECaax2?a2∴y? ． ???????????????????????????（1

a分）

又∵0°＜∠BAD ≤90°∴此函数定义域为（2a?x?2a）． ????????（1分）

（3）解：∵四边形ABCD是菱形， DC∥AB，∴△CGE∽△ABE ∴当△CGE是等腰三角形时，△ABE是等腰三角形．

CBBEaBEa2?∵△CEB∽△CBA ∴， 即?，∴BE＝??????????（1CAABxax分）

x2?a2?a，即x2?ax?a2?0， ①当AE＝AB时，

xa?5aa?5a解得x?（经检验x?是原方程的根且符合题意，负值舍去）

221?5 ∴AC＝a?????????????????????????????（1

2分）

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x2?a2a2②当AE＝BE时，， ?xx解得 x??2a（经检验x?2a是原方程的根且符合题意，负值舍去）

∴AC＝2a ?????????????????????????????（1

分）

a2③当AB＝BE时，a?，解得x?a（经检验x?a不合题意，舍去） ?????（1

x分） ∴AC的长为 2a或

1?52a ．

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