2015年成人高考-数学复习资料(高起专)

2014年成人高考-数学知识提纲数学复习资料

1.集合：会用列举法、描述法表示集合，会集合的交、并、补运算，能借助数轴解

决集合运算的问题，具体参看课本例2、4、5.

2.充分必要条件

要分清条件和结论，由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。从集合角度解释，若A?B，则A是B的充分条件；若B?A，则A是B的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件。

例1：对“充分必要条件”的理解.请看两个例子： （1）“x2?9”是“x?3”的什么条件？

（2）x?2是x?5的什么条件？

我们知道，若A?B，则A是B的充分条件，若“A?B”，则A是B的必要条件，但这种只记住定义的理解还不够，必须有自己的理解语言：“若A?B，即是A能推出B”，但这样还不够具体形象，因为“推出”指的是什么还不明确；即使借助数轴、文氏图，也还是“抽象”的；如果用“A中的所有元素能满足B”的自然语言去理解，基本能深刻把握“充分必要条件”的内容.本例中，x2?9即集合{?3,3}，当中的元素?3不能满足或者说不属于{3}，但{3}的元素能满足或者说属于{?3,3.}假设

A?{x|x2?9},B?{x|x?3}，则满足“A?B”，故“x2?9”是“x?3”的必要非充分条件，同理x?2是x?5的必要非充分条件.

3.直角坐标系 注意某一点关于坐标轴、坐标原点、y?x,y??x的坐标的写法。如

点（2，3）关于x轴对称坐标为（2，-3）， 点（2，3）关于y轴对称坐标为（-2，3）， 点（2，3）关于原点对称坐标为（-2，-3）， 点（2，3）关于y?x轴对称坐标为（3，2）， 点（2，3）关于y??x轴对称坐标为（-3，-2），

4.函数的三要素：定义域、值域、对应法则，如果两个函数三要素相同，则是相同函数。

5.会求函数的定义域，做21页第一大题

6.函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性性、周期是重要的研究内容，尤其是定义域、一次和二次函数的解析式，单调性最重要。

7. 函数的奇偶性。

（1）具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。

（2）确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断

其奇偶性）：

f(?x)??1f(x)（f(x)?0）。③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称。

①定义法：②利用函数奇偶性定义的等价形式：f(x)?f(?x)?0或

常见奇函数：y?x,y?x,y??x,y?x,y?sinx,y?tanx，指数是奇数

常见偶函数：y?k,y?x2,y?x?2,y?x0,y?cosx

一些规律：两个奇函数相加或者相减还是奇函数，两个偶函数相加或者相减还是偶

sinx函数，但是两种函数加减就是非奇非偶，两种函数乘除是奇函数，例如y?tanx?cosx是奇函数.

（3）函数奇偶性的性质：

①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反. ②如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数. ③若f(x)为偶函数，则f(?x)?f(x)?f(|x|).

④奇函数f(x)定义域中含有0，则必有f(0)?0.故f(0)?0是f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件。

8.函数的单调性：一般用来比较大小，而且主要用来比较指数函数、对数函数的大小，此外，反比例函数、一次函数、二次函数的单调性也比较重要，要熟记他们的图像的分布和走势。熟记课本第11页至13页的图和相关结论。

一次函数、反比例函数 p17 例5 p20 例8

9.二次函数表达形式有三种：一般式：f(x)?ax2?bx?c；顶点式：f(x)?a(x?m)2?n；零点式：f(x)?a(x?x1)(x?x2)，要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式。

课本中的p17 例5（4） 例6、例7，例10 例11；习题p23 8、9、10、11

10.一元一次不等式的解法关键是化为ax?b，再把x的系数化为1，注意乘以或者除以一个负数不等号的方向要改变；一元一次不等式组最后取个不等式的交集，即数轴上的公共部分。做p42 4、5、6大题

11.绝对值不等式只要求会做：|ax?b|?c??c?ax?b?c和|ax?b|?c?c?ax?b或者ax?b??c，一定会去绝对值符号。做p43 7

12.一元二次不等式是重点，阅读课文33至34的图表及39至42页的例题。做43页8、9、10、11、12

设a?0,x1,x2是方程ax2?bx?c?0的两实根，且x1?x2，则其解集如下表：

ax2?bx?c?0 ax2?bx?c?0 ax2?bx?c?0 ax2?bx?c?0 ??0{x|x?x1或{x|x?x1或{x|x1?x?x2}{x|x1?x?x2} x?x2} x?x2} ??0bb? {x|x??} {x|x??} R 2a2a??0R ? ? R 对于方程ax2?bx?c?0有实数解的问题。首先要讨论最高次项系数a是否为0，其次若a?0，则一定有??b2?4ac?0。

3315 13. 数列的同项公式与前n项的和的关系

n?1?s1,( 数列{an}的前n项的和为sn?a1?a2???an). an??s?s,n?2?nn?1等差数列的通项公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N*)；

n(a1?an)n(n?1)d1?na1?d?n2?(a1?d)n. 其前n项和公式为sn?2222a等比数列的通项公式an?a1qn?1?1?qn(n?N*)；

q?a1(1?qn)?a1?anq,q?1,q?1??其前n项的和公式为sn??1?q或sn??1?q.

?na,q?1?na,q?1?1?1 14. 等差数列的性质：

n?p?q（1）当m?时,则有am?an?ap?aq，特别地，当m?n?2p时，则有am?an?2ap

(2) 若{an}、是等差数列，

Sn,S2n?Sn,S3n?S2n ，?也成等差数列

（3）在等差数列{an}中，当项数为偶数2n时，S偶－S奇?nd；项数为奇数2n?1时， ；S奇SS奇?S偶?a中，S2n?1?(2n?1)?a中（这里a中即an）:偶?k(:)1?k。

(4)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，

且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.

注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究an?bm.

15.等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时，首先要判断公比q是否为1，再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为1时，要对q分q?1和q?1两种情形讨论求解。 16.等比数列的性质：

（1）当m?n?p?q时，则有am?an?ap?aq，特别地，当m?n?2p时，则有am?an?ap2. (2) 若{an}是等比数列，且公比q??1，则数列Sn,S2n?Sn,S3n?S2n ，?也是等比数列。 当q??1，且n为偶数时，数列Sn,S2n?Sn,S3n?S2n ，?是常数数列0，它不是等比数列.

(3) 在等比数列{an}中，当项数为偶数2n时，S偶?qS；项数为奇数2n?1时，奇. S奇?a1?qS偶 (4)数列{an}既成等差数列又成等比数列，那么数列{an}是非零常数数列，故常数数列

{an}仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。

这一章主要是找数字的规律，写出数列通项公式，但对等差和等比数列要求比较高，会有较大的比重，出解答题，48页起的例2、3、4、5是基础题，例6、7、8、9是中档题目，例10、11、12是综合题。最要紧做55页的题目。

17. 导数的几何意义：曲线y＝f（x）在点P（x0,f(x0)）处的切线的斜率是f?(x0).相应地，

切线方程是y?y0?f?(x0)(x?x0); 18.导数的应用：

（1）利用导数判断函数的单调性：设函数y＝f（x）在某个区间内可导， 如果f?(x)?0,那么f(x)为增函数；如果f?(x)?0,那么f(x)为减函数； 如果在某个区间内恒有f?(x)?0,f(x)为常数；

（2）求可导函数极值的步骤：①求导数f?(x)；②求方程f?(x)?0的根；③检验f?(x)在方程f?(x)?0根的左右的符号，如果左正右负，那么函数y=f(x)在这个根处取得最大值；如果左负右正，那么函数y=f(x)在这个根处取得最小值。

19.本章重点是求曲线在一点处的

性质 sinx 切线方程和多项式的导数，会求函数最

大值最小值和极值。课本61页例1、3、4、5和64页习题要过一过关。

cosx tanx 20.三角函数 本章出2个小题，1个大题，不是重点内容

1象限角的概念：如果角的终边在

坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。

2.弧长公式：l?|?|R，扇形面积公式： S?1lR?1|?|R2，1弧度(1rad)?57.3?.

223、任意角的三角函数的定义：设?是任意一个角，P(x,y)是?的终边上的任意一点（异于原点），

30° 1245° 2260° 320° 90° 0 0 1 180° 0 0 270° －1 15° 6?4275° 6?42sin? tan? 33 1 3 2-3 2+3 它与原点的距离是r?x2?y2?0，那么sin??cot??x(y?0) yyxy,cos??，tan??,?x?0?， rrx

4.特殊角的三角函数值：

36?26?221 cos? 1 0 -1 0 22442

5.三角函数的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。

6.基本公式:

1．常见三角不等式 （1）若x?(0,?单调性及 ?递增(2) 若x?(0,)，则 2递减区间 1?sinx?cosx?2. (3) |sinx|?|cosx|?1. 周期性及 2.同角三角函数的基本关系式

奇偶sin?22sin??cos??1，tan?=， 性 cos?对称tan??cot??1.

轴 3.正弦、余弦的诱导公式（参看课本77-78页）

对称 注意规律：横不变名竖变名，正负看象限

（1）负角变正角，再写成中心 最值2k?+?,0???2?；

及指 (2)转化为锐角三角函数。

定区4.和角与差角公式

sin(???)?sin?cos??cos?sin?;间的最值 cos(???)?cos?cos??sin?sin?;

简单tan??tan?tan(???)?.三角1?tan?tan?方程asin??bcos?=a2?b2sin(???)(辅助和不等式 角?所在象限由点(a,b)的象限决定,tan??2sinx?x?tanx.

)，则

图像95页图3.1 的来源 及图像 定义96页表格 域 值域 96页表格 96页表格 95页图3.1 95页图3.1 96页表格 96页表格 96页表格 96页表格 96页表格 96页表格 95、96页表格 95、96页表格 9596页表格 不要求 不要求 95页表格 不要求 不要求 95页表格 不要求 不要求 95页表格 不要求 不要求 不要求 b ). a5.二倍角公式

sin2??sin?cos?，cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2?

2tan?tan2??.

1?tan2?6.三角函数的周期公式

函数y?sin(?x??)，x∈R及函数y?cos(?x??)，x∈R(A,ω,?为常数，且A≠0，ω＞0)的周期

T?2?； ?函数y?tan(?x??)，x?k???2,k?Z(A,ω,?为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T??. ?重要例题：96至101的例1到例5

21.解三角形就完成模拟试题的相关习题即可。 22.平面向量 看125页例1、2、4、5、6及习题1、2、3

实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a; (2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa; (3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.

2.向量的数量积的运算律： (1) a·b= b·a （交换律）; (2)（?a）·b= ?（a·b）=?a·b= a·（?b）; (3)（a+b）·c= a ·c +b·c.

切记：两向量不能相除(相约)；向量的“乘法”不满足结合律， 4.向量平行的坐标表示

设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b?0， 则a?b(b?0)?x1y2?x2y1?0.

5.a与b的数量积(或内积)a·b=|a||b|cosθ． 6. a·b的几何意义

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积． 7.平面向量的坐标运算

(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a+b=(x1?x2,y1?y2). (2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a-b=(x1?x2,y1?y2). (3)设A(x1,y1)，B(x2,y2),

????????????则AB?OB?OA?(x2?x1,y2?y1). (4)设a=(x,y),??R，则?a=(?x,?y).

(5)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=(x1x2?y1y2).

8.两向量的夹角公式

cos??x1x2?y1y2x?y?x?y21212222(a=(x1,y1),b=(x2,y2)).

9.平面两点间的距离公式(A(x1,y1)，B(x2,y2)).

????????????dA,B=|AB|?AB?AB?(x2?x1)2?(y2?y1)2 10.向量的平行与垂直

设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b?0， 则A||b?b=λa ?x1y2?x2y1?0. a?b(a?0)?a·b=0?x1x2?y1y2?0.

11.“按向量平移”：点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到点P'(x?h,y?k).

23. 直线方程（重点章节） 看132至135页例1、2、3

1.直线的五种方程

（1）点斜式 y?y1?k(x?x1)

k(直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为)．

（2）斜截式 y?kx?b(b为直线l在y轴上的截距). （3）两点式(y1?y2)(P1(x1,y1)、P2(x2,y2) (x1?x2)).

y?y1x?x1 ?y2?y1x2?x1(4)截距式??1(a、b为直线横纵截距，a、b?0（5）一般式Ax?By?C?0(其中A、B不同时为0). 2..两条直线的平行和垂直

(1)若l1:y?k1x?b1，l2:y?k2x?b2

①l1||l2?k1?k2,b1?b2;②l1?l2?k1k2??1.

(2)若l1:AA2、B1、B2都不为零,①l1||l2?1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0,且A1、②l1?l2?A； 1A2?B1B2?0xyabA1B1C1；??A2B2C23.点到直线的距离 d?|Ax0?By0?C|22A?B(点P(x0,y0),直线l：Ax?By?C?0).

4. 圆的四种方程 做一做第153页练习1、2、3 （1）圆的标准方程 (x?a)2?(y?b)2?r2.

（2）圆的一般方程 x2?y2?Dx?Ey?F?0 (D?E?4F＞0). 5.直线与圆的位置关系

直线Ax?By?C?0与圆(x?a)2?(y?b)2?r2的位置关系有三种:

22

d?r?相离???0; d?r?相切???0; d?r?相交???0.其中d?

Aa?Bb?CA?B22.

二．基础知识:

(一)椭圆及其标准方程 p159例1、例2 1.椭圆的定义：

椭圆的定义中，平面内动点与两定点F1、F2的距离的和大于|F1F2|这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|F1F2|，则这样的点不存在；若距离之和等于|F1F2|，则动点的轨迹是线段F1F2. 2.椭圆的标准方程：（a＞b＞0）

x2y2y2x2??1 2?2?1 a2b2ab3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果x项的分母大于y2项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上. 3椭圆的简单几何性质（a＞b＞0）.

22椭圆的几何性质：设椭圆方程x?y?1

222ab 线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b， 离心率： e?cb2 0＜e＜1.e越接近于1时，椭圆越扁；反之，e越接近于0时，椭圆

e?1?2aa就越接近于圆.

4双曲线及其标准方程 p167 例1、例2

双曲线的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a（小于|F1F2|）的动点M的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a＜|F1F2|，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|F1F2|，则动点的轨迹是两条射线；若2a＞|F1F2|，则无轨迹.

若MF1＜MF2时，动点M的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若MF1＞MF2时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.

双曲线的标准方程判别方法是：如果x项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果y项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 5.双曲线的简单几何性质

2cx2y2b 双曲线2?2?1实轴长为2a，虚轴长为2b，离心率e??1?2离心率e越大，开口

aaba22越大.

bx2y2x2y2 双曲线2?2?1的渐近线方程为y??x或表示为2?2?0.若已知双曲线的渐近线

aababm方程是y??x，即mx?ny?0，那么双曲线的方程具有以下形式： m2x2?n2y2?k，其

n中k是一个不为零的常数.

双曲线的方程与渐近线方程的关系

x2y2x2y2b(1）若双曲线方程为2?2?1?渐近线方程：2?2?0?y??x.

abaabxyx2y2b(2)若渐近线方程为y??x???0?双曲线可设为2?2??.

abaabx2y2x2y2(3)若双曲线与2?2?1有公共渐近线，可设为2?2??（??0，焦点在x轴上，??0，

abab焦点在y轴上）. 抛物线 p175

页表格，176页例1、例2、例4

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