安徽省皖南八校2011届高三摸底联考（数学文）

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皖南八校 2011届高三摸底联考

数 学 试 题（文）

考生注意： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120

分钟。

2．答题前，考生务必将密封线内项目填写清楚。 3．请将各卷答案填在答题卡上。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写．．．．．．．．

的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。 1．i是虚数单位，复数

A．i

3?2i等于 2?3iB．?i

C．?1?i

D．1?i

（ ）

2．若全集为实数集R，M??xlogx?2?，则 M等于

A．(,??)

??13??（ ）

19

B．(??,0]?(,??) D．[,??)

19193．若动点P到定点F（1，－1）的距离与到直线l:x?1?0的距离相等，则动点P的轨迹是

C．(??,0]?[,??)

A．直线 C．双曲线

B．椭圆 D．抛物线

（ ）

194．设向量a?(m,3),b?(?1,2),a∥b，则实数m的值为

A．2

B．6

C．

D．?（ ）

3 23 25．右图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体 的直观图是 （ ）

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6．阅读右边程序框图，该程序输出的结果是 （ ） A．9 B．81 C．729 D．6561 7．函数f(x)?xsinx?cosx?1(x?[0,?]的最大值为（ ）

A．

??1 2B．2

C．1 D．0

8．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10??这样 的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16??这样 的数称为“正方形数”。如图中可以发现，任何一个 大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角 形”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式为 A．13=3+10 B．25=9+16 C．36=15+21

D．49=18+31

（ ）

x2y29．双曲线2?2?1(a?0,b?0)中，F为右焦点，A为左顶点，点B(0,b)且AB?BF，

ab则此双曲线的离心率为

A．2

B．3

（ ）

C．

3?1 2 D．

5?1 2

10．如图，圆O的内接“五角星”与原O交与Ai(i?1,2,3,4,5,)点，记弧AiAi?1在圆O中所

︵

对的圆心角为ai(i?1,2,3,4,)，弧A5A1所对的圆心角为a5，则

co3as1coas(a5)?si3na2si2na4等于 3?

A．?C．1

（ ）

1 2B．?D．0

3 2第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

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二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在题中的横线上。 11．命题“任意x?R使得x?4?4”的否定是 。 x12．抛物线C:x2?2y的焦点为F，过C上一点P(1,y0)的切线l与y轴交于A，则AF= 。 13．若奇函数f(x)(x?R)满足f(1)?1,f(x?2)?f(x)?f(2),则f(10)= 。

?y?131?14．已知(x,y)满足?x?y?0，求x?y的最大值是 。

22?x?y?0?15．下面关于棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1叙述正确的是 。

①任取四个顶点，共面的情况有8种；

②任取四个顶点顺次连结总共可构成10个正三棱锥； ③任取六个表面中的两个，两面平行的情况有5种；

④如图把正方体展开，正方体原下底面A1B1C1D1与标号4对应； ⑤在原正方体中任取两个顶点，这两点间的距离在区间(

10,3)内的情况有4种。 2三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 16．（本小题满分12分）

已知?ABC的周长为2?1,且sinA?sinB?2sinC.

（Ⅰ）求边AB的长；

（Ⅱ）若?ABC的的面积为sinC,求角C的度数。 17．（本小题满分12分）

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设函数f(x)?1nx?1?ax(a?0) x?2 （Ⅰ）当a?0时,求f(x)的单调区间； （Ⅱ）若f(x)在(0,1]上的最大值为1,求a的值. 2 18．（本小题满分13分） 《国家中长期教育改革和发展规划纲要》下设A、B、C三个工作组，其分别有组员36、36、18人，现在意见稿已公布，并向社会公开征求意见，为搜集所征求的意见，拟采用分层抽样的方法从A、B、C三个工作小组抽取5名工作人员来完成。 （Ⅰ）求从三个工作组分别抽取的人数；

（Ⅱ）搜集意见结束后，若从抽取的5名工作人员中再随机抽取2名进行汇总整理，求这

两名工作人员没有A组工作人员的概率。

19．（本小题满分13分） 如图所示，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，PD?平面ABCD，PD=AB=2，E，F，G分别为PC、PD、BC的中点。 （Ⅰ）求证：PA∥平面EFG；

（Ⅱ）求证P：平面PDA?平面EFG； （Ⅲ）求三棱锥P—EFG的体积。

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20．（本小题满分12分）

中a1?已知数列?an?11,前n项和2Sn?Sn?1?()n?1?2(n?2,n?N). 22 （Ⅰ）令bn?2nan,求证数列?bn?是等差数列，并求数列?an?的通项公式； （Ⅱ）令cn?n?1an，求数列?cn?的前n项和Tn n 21．（本小题满分13分）

已知圆

C:(x?4)2?(y?m)2?16(m?N?),直线4x?3y?16?0过椭圆

32x2y2E:2?2?1(a?b?0)的右焦点，且交圆C所得的弦长为，点A(3,1)在椭圆E

5ab上。

（Ⅰ）求m的值及椭圆E的方程；

（Ⅱ）设Q为椭圆E上的一个动点，求AC?AQ的取值范围。

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参考答案

1—5 ABADB 6—10 CACDC 11．存在x?R,|x|?12．1 13．10 14．2

15．②④⑤ 提示： 1．A

4?4 |x|3?2i(3?2i)(2?3i)??i. 2?3i(2?3i)(2?3i)1这一元素， 92．B 法一：验证排除：集合M中没有0这一元素，有

故CRM?(??,0]?(,??)；

19法二：直接求解：由log1x?2得log1x?log1(),即0?x?3331321, 9所以CRM?(??,0]?(,??).

3．D 因为定点F（1，—1）在直线l:x?1?0上，所以轨迹为过F（1，—1）与直线l垂直

的一条直线。 4．C 2m??3,?m??.

5．D 由俯视图可知是B中和D中的一个，由正视图和侧视图可知B错。 6．C 9?729. 7．A ?f?(x)?xcosx ?当x?(0, 当x?(31932?2)时,f?(x)?0,f(x)为增函数；

?2,?),f?(x)?0,f(x)为减函数，

?fma(xx)?f()???22?1.

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8．C 这些三角形数的规律是1，3，6，10，15，21，28，36，45，?，且正方形数是这串数

中相邻两数之和，很容易看到：恰有15+21=36。 9．D ?AB?BF,?b?ac,即c?a?ac,故e?e?1?0且e?1,所以e?22225?1. 210．C 如图可知五边形A1A2A3A4A5是一个正五边形，所以可知?1??2???5?72?，故

cos3?1cos(?3??5)?sin3?2sin2?4?cos(5?72?)?cos360??1.

11．存在x?R,|x|?24?4 对命题结论进行否定，同时改变量词。 |x|12x,y??x,切线l方程为y?y0?x0(x?x0), 212．1 由x?2y得y?2 将x?0代入得yA?y0?x0?y0?2y0??y0(y0?0)，

|AF|? ?焦点F坐标为(0,),?1211?y0,又y0?,?|AF|?1. 2213．10 f(x)是奇函数，?f(1)??f(?1),?f(1)?f(?1)?f(2)?f(2)?2,

?f(3)?f(1)?f(2)?3,f(5)?f(3)?f(2)?5,f(10)?f(7)?f(3)

?f(5)?f(2)?f(3)?10.321y)max?2. 214．2 由线性规划知识可知当x?1,y?1时,(x?15．②④⑤ 任取四个项点，共面的情况有12种，①错；任取四个顶点顺次连结总共可构成

以每个顶点可以构成8个，相对面异面的两对角线的四个顶点可构成2个正四面体，故可构成10个正三棱锥，②正确；③任取六个表面中的两个，两面平行的情况有3种，③

错误；④明显正确；两点点间的距离在区间(体对角线，共有4种，⑤正确。

16．解：（I）由题意及正弦定理，得AB?BC?AC?两式相减，得AB=1。 ??????6分

（II）由?ABC的面积得BC?AC?10,3]内，这两顶点的连线为正方体的22?1,BC?AC?2AB，

11BC?AC?sinC?sinC, 261.由余弦定得， 3AC2?BC2?AB2(AC?BC)2?2AC?BC?AB21??, 得cosC?2AC?BC2AC?BC2作者:北京星火益佰科技有限公司 Email:editor@Spark100.com

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所以C?60. ??????12分 17．解：对函数求导得：f?(x)??11??a，定义域(0,2)?(2,??)???2分 x(x?2)2 （I）单调性的处理，通过导数的零点进行穿线判别符号完成。

当a?0时,令f?(x)?11(x?1)(x?4)??0,得?0 ????4分 22x(x?2)x(x?2)当x?(0,1)和x?(4,??),f?(x)?0为增区间

当x?(1,2)和x?(2,4),f?(x)?0为减区间.????6分 （II）当x?(0,1],f?(x)?11??a?0为单调递增 2x(x?2)13,?a?. ??????12分 22f(x)max?f(1)?a?1?18．解：（I）三个工作组的总人数为36+36+18=90，样本空量与总体中个体数的比为

51?,所以从A、B、C三个工作组分别抽取的人数为2、2、1 ????6分 9018 （II）设A1，A2为从A组抽得的2名工作人员，B1，B2为从B组抽得的工作人员，C1为从

C组抽得的工作人员，若从这5名工作人员中随机抽取2名，其所以可能的结果是： (A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(B1,B2),(B1,C1),

(B2,C1),共有10种，其中没有A组工作人员的结果有3种，所以所求的概率

P?3。????13分 1019．解：（Ⅰ）证法1，如图，即AD的中点H，连接GH，FH ?E，F分别为PC，PD的中点，?EF//CD ?G，H分别为BC，AD的中点，?GH//CD.

?EF//GH,?E，F，H，G四点共面。

?F，H分别为DP，DA的中点，?PA//FH

?PA?平面EFG，FH?平面EFG， ?PA//平面EFG????4分

证法2：?E，F，G分别为PC，PD，BC的中点，

?EF//CD,EG//PB

?CD//AB,?EF//AB.

?PB?AB?B,EF?EG?E,?平面EFG//平面PAB。

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?PA?平面PAB，?PA//平面EFG。????4分

（Ⅱ）?PD?平面ABCD，DC?平面ABCD，PD?DC,又AD?DC，

且AD?PD?D,?DC?平面PDA，

?E，F分别为PC，PD的中点，

?EF//CD,?EF?平在PDA，EF?平面EFG，

平面PDA?平面EFG。????8分

（Ⅲ）解：?PD?平面ABCD，GC?平面ABCD，?GC?PD. ?ABCD为正方形，?GC?CD.

?PD?CD?D,?GC?平面PCD，

11PD?1,EF?CD?1， 2211?S?PEF?EF?PF?

2211111?GC?BC?1,?VP?EFG?VG?PEF?S?PEF?GC???1?.??13分

23326?PF?n?2?1?20．（Ⅰ）2Sn?Sn?1????2?

?2.

?1?即Sn?an?????2?n?2,Sn?1?an?1n?1?2

n?2

?1??????2?n?1?2

?1??2an?an?1????2?，即2nan?2n?1an?1?1????3分

?bn?2nan,?bn?bn?1?1，即当n?2时，bn?bn?1?1

又b1?2a1?1,?数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列??5分 于是bn?1?(n?1)?1?n?2an,?an?nn????6分 n2nn?1?1? （Ⅱ）由（Ⅰ）得cn?an?(n?1)??，所以

n?2?

?1??1?所以cn?bn????(n?1)??????5分

?2??2?nn作者:北京星火益佰科技有限公司 Email:editor@Spark100.com

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1?1??1??1?Tn?2??3????4??????(n?1)??①

2?2??2??2?1?1??1??1??1?Tn?2????3????4??????(n?1)??2?2??2??2??2?23n234n?123n ②????8分

n?1

1?1??1??1??1?由①-②得Tn?1????????????(n?1)??2?2??2??2??2?1?1?[1???4?2??1?11?2?Tn?3?n?1??10分

]

?1??(n?1)???2?n?1?3n?3?n?1 22

n?3????12分 2n32 5221．解：（Ⅰ）因为直线4x?3y?16?0交圆C所得的弦长为

2

12?16?所以圆心C(4,m)到直线4x?3y?16?0的距离等于4????

5?5?即

|4?4?3?m?16|12?

55所以m?4,或m??4（舍去）????3分

又因为直线4x?3y?16?0过椭圆E的右焦点，所以右焦点坐标为F2(4,0), 则左焦点F1的坐标为（-4，0），因为椭圆E过A点， 所以|AF1|?|AF2|?2a|

所以2a?52?2?62,a?32,a2?18,b2?2

x2y2??1.????6分 故椭圆E的方程为：

182???? （Ⅱ）法一：AC?(1,3),设Q(x,y)

????则AQ?(x?3,y?1)

?x2y2?1??设x?3y?n，则由?18 2?x?3y?n?

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消x得18y2?6ny?n2?18?0????9分 由于直线x?3y?n与椭圆E有公共点， 所以??(6n)2?4?18?(n2?18)?0

????????所以?6?n?6，故AC?AQ?x?3y?6的取值范围为[-12，0]??13分 ????法二：AC?(1,3)，设Q(x,y)

????????????则AQ?(x?3,y?1),AC?AQ?(x?3)?3(y?1)?x?3y?6

x2y2?1， ?x?(3y)?2|x|?|3y|，而?18222

即x2?(3y)2?18,??18?6xy?18.????9分

?(x?3y)2?x2?(3y)2?6xy?18?6xy的取值范围是[0，36]

即x?3y的取值范围是[-6，6]

?????????AC?AQ?x?3y?6的取值范围是[-12，0]????13分

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消x得18y2?6ny?n2?18?0????9分 由于直线x?3y?n与椭圆E有公共点， 所以??(6n)2?4?18?(n2?18)?0

????????所以?6?n?6，故AC?AQ?x?3y?6的取值范围为[-12，0]??13分 ????法二：AC?(1,3)，设Q(x,y)

????????????则AQ?(x?3,y?1),AC?AQ?(x?3)?3(y?1)?x?3y?6

x2y2?1， ?x?(3y)?2|x|?|3y|，而?18222

即x2?(3y)2?18,??18?6xy?18.????9分

?(x?3y)2?x2?(3y)2?6xy?18?6xy的取值范围是[0，36]

即x?3y的取值范围是[-6，6]

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