浙江大学复变函数离线作业

浙江大学远程教育学院 《工程数学》课程作业

姓名： 年级：

学 号： 学习中心：

————————————————————————————— 《复变函数与积分变换》 第一章

1.1计算下列各式： （2）（a-bi）3

解：（a-bi）3=a3-3ab2+i(b3-3a2b). （3）

i

(i?1)(i?2)解：

ii?3?i??

(i?1)(i?2)1?3i101.2证明下列关于共轭复数的运算性质： （1）(z1?z2)?z1?z2

解：(z1?z2)?x1?iy1?x2?iy2?z1?z2 （2）(z1z2)?z1z2

解：z1?z2?(x1x2?y1y2)?i(x1y2?y1x2)?z1?z2 （3）(1)? 解：??zz2z1(z2?0) z2?z1??x1?iy1?x1?iy1z1?????? ????z2??x2?iy2?x2?iy2z21.4将直线方程ax+by+c=0(a2+b2≠0)写成复数形式.[提示：记x+iy=z.]

解：由x?

z?zz?z,y?带入方程得： 22iaz?az?bi(z?z)?2c?0,

故A=a+ib，B=2c

1.5将圆周a(x2+y2)+bx+cy+d=0(a≠0)写成复数形式(即用z与z来表示，其中z=x+iy). 解：由x?z?zz?z,y?带入方程得 22i 2az?z?(b?ic)z?(b?ic)z?2d?0, 1.6求下列复数的模与辐角主值： （1）3?i

解：arg（3?i）=

?61.8将下列各复数写成三角表示式：

（2）sin a+I cos a

解：sin??icos??cos(??)?isin(??)

22??1.10解方程：z3+1=0. 解：其解为：z?(?1)3, z?cos(2k?1)?(2k?1)??isin,k?0,1,2 3311.11指出下列不等式所确定的区域与闭区域，并指明它是有界的还是无界的？是单连通区域还是多连通区域？ （1）2<|z|<3

解: 圆环，有界多连通域

（3）

解: 圆环的一部分，有界，单连通域 （5）Re z2<1

解: 无界，单连通域 （7）|arg z|<

解: 从原点出发的两条半射线形成的区域，无界，单连通域 第二章

2.2下列函数在何处可导？何处不可导？何处解析？何处不解析？ （1）f(z)=z z2

?4?3?3解: 从f(z)尽在z=0可导，处处不解析

（2）f(z)=x2+iy2

解: 从f(z)尽在x=y可导，处处不解析

2.3确定下列函数的解析区域和奇点，并求出导数： （1）

1 2z?1 解: 除去点z=1与z=-1的区域为解析区域，奇点为z=1与z=-1， 导数为：

f''(z)??2z 22(z?1)2.9由下列条件求解析函数f(z)=u+iv.

（1）u(x-y)(x2+4xy+y2)

解：

?u?u??3x2?6xy?3y2，所以 ?x?y f(z)=u+iv=(1-i)z3+Ci. （3）u=2(x-1)y, f(0)=-i

解： f(z)=u+iv=2(x-1)y+i(-(x-1)2+y2+C)

由f(0)=-i，得到C=0 f(z)=-i(z-1)2

（4）u=e x(x cos y - y sin y),f(0)=0 解：因

?u=e x(x cos y - y sin y)+e xcos y ， ?x?u=e x(-x cos y - y sin y-cos y）， ?y 由解析性，有 f(z)=zez

2.13试解方程： （1）ez=1+3 i

解：z=ln2+i(2kπ)，k=-2,-1,0,1,2 （4）sin z+cos z=0

解：z=(k-0.25)π)，k为整数

2.14求下列各式的值：

e?1?e1（1）cos i=

2（3）(1-i)1+i =eln2??2k?4?????cos(ln2?)?isin(ln2?)? ?44??第三章

3.1计算积分?0[(x?y)?ix2]dz.积分路径为（1）自原点至1+i的直线段；（2）自原点沿实轴至1，再由1铅直向上至1+i；（3）自原点沿虚轴至i，再由i沿水平方向向右至1+i.

-1?i 3-3?5i （2）

6-3-i （3）

61?i解：（1）

3.2计算积分??c解：f=2rπi

z（2）|z|=4. dz的值，其中C为（1）|z|=2；

|z| r=2时，为4πi；当r=4时，为8πi 3.6计算??c解：f?

3.8计算下列积分值：

1dz ，其中为圆周|z|=2 2z?z1，由于奇点z=0,1，所以积分为0 z(z?1)（1）?0sinzdz

解：1-cosπi （3）?0(3ez?2z)dz

ixi

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/vqtt.html