海淀区初三数学一模试卷及答案word版

海淀区九年级第二学期期中练习

数 学

2012.5

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

1.

2

3

的相反数是（ ） A. 23- B. 23

C. 3

2

-

D.

32

2.2012年第七届原创新春祝福短信微博大赛作品充满了对龙年浓浓的祝福，主办方共收到原创祝福短信作品41 430条，将41 430用科学记数表示应为（ ） A. 3

41.4310?

B. 4

4.14310?

C. 5

0.414310?

D. 5

4.14310?

3.如图点A ，B ，C 在⊙O 上，若40C ∠=?，则AOB ∠=（ ） A. 20? B. 40? C. 80?

D. 100?

4.掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得朝上一面的点数为偶数的概率为（ ）

A.

16

B.

13 C. 14 D. 12

5.如图，在ABC 中，90C ∠=?，点D 在CB 上，DE AB ⊥，若2DE =，

4CA =，则DB

AB =（ ） A. 14 B. 13

C. 12

D. 23

6.将代数式2

41x x +-化为2()x q p ++的形式，正确的是（ ）

A. 2

(32)x -+

B. 2

(52)x +-

C. 2

(42)x ++

D. 2

(42)x +-

7.北京环保检测中心网公布的2012月3月31日的PM 2.5研究性检测部分数据如下表：

时间 0：00 4：00 8：00 12：00 16：00 20：00 PM 2.5(3

/mg m ) 0.027 0.035 0.032 0.014

0.016

0.032

则该日这6个时刻的PM 2.5

的众数和中位数分别是（ ）

A. 0.032，0.0295

B. 0.026，0.0295

C. 0.026，0.032

D. 0.032，0.027

8.下列图形中，能通过折叠围成一个三棱柱的是（

）

A.

B. C. D.

二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9.函数1

3

x y x +=

-的自变量x 的取值范围是____________. O C

B

A

E

D C B

A

10.分解因式：3

4x x -=__________________.

11.右图是某超市一层到二层滚梯示意图，其中AB ，CD 分别表示超市一层、二层滚梯口处地面的水平线，150ABC ∠=?，BC 的长约为12米，则乘滚梯从点B 到C 上升的高度h 约为______米

12.在平面直角坐标系xOy 中，正方形111A B C O 、2221A B C B 、3332A B C B ，…，按图中所示的方式放置。

点1A 、2A 、3A ，…和1B 、2B 、3B ，…分别在直线y kx b =+和x 轴上。已知1(1C ，1)-，27(2C ，3)2

-，则点3A 的坐标是________；点n A 的坐标是___________________.

三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13.计算：0

1

1

(3.1482sin 45()3

--π) +-?+.

14.解不等式组：20

2(1)31

x x x ->??

+≥-?.

15.如图，//AC FE ，点F ，C 在BD ，AC DF =，BC EF =. 求证：AB DE =.

16.已知x a

y b =??=?

是方程组2321x y x y +=??-=?的解，求代数式4()(4)5a a b b a b -+-+的值.

17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数3

y x

=

的图象与一次函数y kx =的图象的一个交点为(A m ，3)-.

（1）求一次函数y kx =的解析式；

（2）若点P 在直线OA 上，且满足2PA OA =，直接写出P 的坐标.

18.三月植树节期间，某公园公司增加了人力进行园林绿化，现在平均每天比原计划多植树50棵，现在植树600棵所需的时间与原计划植树450棵所需要的时间相同，问现在平均每天植树多少棵？

150 °

h D B A C F

E

D

C

B

A

y x

y=kx+b

O

B 3

B 2

B 1

C 3 C 2

C 1

A 3

A 2 A 1

y

x

1 1 1 A O

四，解答题（本题共20分，每小题5分） 19.如图，在四边形ABCD 中，90ABC ∠=?，30CAB ∠=?，DE AC ⊥于E ，且A E C E =，若5DE =，12EB =，求四边形ABCD 的周长.

20. 如图，ABC 内接于⊙O ，AD 是⊙O 直径，E 是CB 延长线上一点，且BAE C ∠=∠. （1）求证：直线AE 是⊙O 的切线； （2）若EB AB =，4

cos 5

E =

，24AE =，求EB 的长及⊙O 的半径.

21.以下是根据某手机销售的相关数据绘制成的统计图的一部分.

85

80

65

20406080

100一月

二月

三月

四月某手机店今年1~4月各月手机销售总额统计图

月份

销售总额(万元)23%

15%

18%17%

0%

5%

10%15%20%25%一月

二月

三月

四月

某手机店今年1~4月音乐手机销售额占该手机店当月销售总额的百分比统计图

月份

百分比

图1 图2

请根据图1与图2解答下列问题：

（1）来自该店财务部的数据报告表明：该手机店1~4月的手机销售总额一共是290万元，请将图1中的统计图补充完整；

E D C B A E

O

D C

B

A

（2）该店1月份的音乐手机销售额约为多少万元（结果保留三个有效数字）？

（3）小刚观察图2后认为，4月份手机的销售额比3月份减少了，你同意他的看法吗？请你说明理由.

22.小明遇到这样一个问题：如图1，ABO 和CDO 均为等腰直角三角形，90AOB COD ∠=∠=?.若BOC 的面积为1，试求以AD ，BC ，OC OD +的长度为三边长的三角形的面积.

图1 图2

小明是这样思考的，要解决这上问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可。他利用图形变换解决了这个问题，其解题思路是延长CO 到E ，使O E C O =，连接BE ，可证OBE OAD ≌，从而得到BCE 即是以AD ，BC ，OC OD +的长度为三边长的三角形（如图2）.

请你回答：图中

BCE 的面积等于_______.

请你尝试用平移，旋转，翻折的方法，解决下列问题：

如图3，已知ABC ，分别以AB ，AC ，BC 为边向外作正方形ABDE 、AGFC 、BCHI ，连接EG ，FH ，ID .

（1）在图3中利用图形变换画出并指明以EG 、FH 、ID 的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）； （2）若

ABC 的面积为1，则以EG ，FH ，ID 的长度为三边长的三角形

面积等于_______.

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23.已知关于x 的方程2

(31)30m mx x +++=.

（1）求证：不论m 为任何实数，此方程总有实数根；

（2）若抛物线2

(31)3y m x mx +++=与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定此抛物线的解析式；

（3）若点1(P x ，1)y 与点1(Q x n +，2)y 在（2）中抛物线上（点P 、Q 不重合），若12y y =，求代数式

22114516812n x n x n ++++的值.

E

O

O

D

C

B

A D

C

B

A H

G

F

E

D

I

C B

A

3

图

24.在ABCD 中，A DBC ∠=∠，过点D 作DE DF =，且EDF ABD =∠，连接EF ，EC ，N 、P 分别为EC ，BC 的中点，连接NP .

（1）如图1，若点E 在DP 上，EF 与DC 交于点M ，试探究线段NP 与线段NM 的数量关系及ABD ∠与MNP ∠满足的等量关系，请直接写出你的结论；

（2）如图2，若点M 在线段EF 上，当点M 在何位置时，你在（1）中得到的结论仍然成立，写出你确定的点M 的位置，并证明（1）中的结论.

图1 图2

A B C D E F

N P P N

M F E

D

C B

A

25.已知抛物线2y x bx c =++的顶点为P ，与y 轴交于点A ，与直线OP 交于点B .

（1）如图1，若点P 的横坐标为1，点(3B ，6)，试确定抛物线的解析式；

（2）在（1）的条件下，若点M 是直线AB 下方抛物线上的一点，且3ABM S =，求点M 的坐标；

（3）如图2，若P 在第一象限，且PA PO =，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，将抛物线2y x bx c =++平

移，平移后的抛物线经过点A 、D ，该抛物线与x 轴的另一个交点为C ，请探索四边形OABC 的形状，并说明理由.

图1

图2

A y

x P O B

A

y x

P

O

海淀区九年级第二学期期中练习(一模)

数学试卷答案及评分参考 2012.05

说明: 与参考答案不同, 但解答正确相应给分.

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

1. A

2. B

3. C

4. D

5. C

6. B

7. A

8. C

二、填空题（本题共16分，每小题4分）

9.3x ≠ 10.)2)(2(-+x x x 11. 6 12．()11

29933(,);5()4,()4422n n --?- （每空2分）

三、解答题（本题共30分, 每小题5分）

13．解：10)3

1(45sin 28π)14.3(-+?-+- =2122232

+-?+ …………………………………………………………4分 =42+. …………………………………………………………5分

14．解：由不等式①解得 2x >, …………………………………………………………2分

由不等式②解得 3x ≤. …………………………………………………4分

因此不等式组的解集为23x <≤. ……………………………………………5分

15．证明：∵ AC //EF ，

∴ ACB DFE ∠=∠． ……………………………………………………… 1分

在△ABC 和△DEF 中，

?????=∠=∠=,,,EF BC DFE ACB DF AC ∴ △ABC ≌△DEF ． ………………………………………………… 4分

∴ AB=DE ． ………………………………………………… 5分

16. 解: 法一：∵ ???==b y a x ,是方程组 ?

??=-=+12,32y x y x 的解, ∴ ???=-=+.12,32b a b a …………………………………………………2分 A B C D E

F

解得 1,1.a b =??=?

………………………………………………… 4分 ∴ ()4()(4)541(11)141158a a b b a b -+-+=??-+??-+=. ……………… 5分

法二：∵ ???==b y a x ,是方程组 ?

??=-=+12,32y x y x 的解, ∴ ?

??=-=+.12,32b a b a ………………………………………………2分 2222444545(2)(2)5a a b a b b a b a b a b =-+-+=-+

=+-+原式. ………4分

123,2=-=+b a b a 将代入上式, 得 .85135)2)(2(=+?=+-+=b a b a 原式 ……………………………………………5分

17．解：（1）∵ 点A （,3m -）在反比例函数x

y 3=的图象上， ∴ m

33=-. ∴ 1m =-． ……………………………………………………… 1分 ∴ 点A 的坐标为A （-1, -3）. ………………………………………………… 2分 ∵ 点A 在一次函数y kx =的图象上，

∴ 3k =.

∴ 一次函数的解析式为y =3x . …………………………………… 3分

（2）点P 的坐标为P (1, 3) 或P (-3, -9). （每解各1分） ………………… 5分

18．解：设现在平均每天植树x 棵. …………………………………………… 1分 依题意, 得60045050

x x =-. ………………………………………………… 2分 解得：200x =. ………………………………………………… 3分 经检验，200x =是原方程的解，且符合题意. ………………………………4分 答：现在平均每天植树200棵. …………………………………………… 5分

四、解答题（本题共20分, 每小题5分）

19．解: ∵ABC =90，AE=CE ，EB =12， ∴ EB=AE=CE =12. ……………………1分

∴ AC =AE+CE =24.

∵在Rt △ABC 中，CAB =30, ∴ BC =12, cos30123AB AC =??=. ……………………2分 ∵ DE AC ⊥，AE=CE ，

∴ AD=DC ． ………………………………………………3分 在Rt △ADE 中，由勾股定理得 AD =222212513AE DE +=+=． …………4分 ∴DC =13.

∴ 四边形ABCD 的周长=AB +BC +CD +DA =38+123． ………………… 5分

20.（1）证明：连结BD .

∵ AD 是⊙O 的直径，

∴∠ABD =90°.

∴∠1+∠D =90°. ∵∠C =∠D ，∠C =∠BAE ， ∴∠D =∠BAE . …………………………1分

∴∠1+∠BAE =90°. 即 ∠DAE =90°. ∵AD 是⊙O 的直径，

∴直线AE 是⊙O 的切线. ………………………………………………2分

（2）解: 过点B 作BF ⊥AE 于点F , 则∠BFE =90.

∵ EB =AB , F 1O

A B C D E E

D C B A

∴∠E =∠BAE , EF =

12AE =12×24=12. ∵∠BFE =90, 4cos 5E =, ∴512cos 4

EF EB E ==?=15. …………………………………………………3分 ∴ AB =15.

由（1）∠D =∠BAE ，又∠E =∠BAE ,

∴∠D=∠E .

∵∠ABD =90,

∴ 5

4cos ==AD BD D . ……………………………………………………4分 设BD =4k ，则AD ＝5k .

在Rt △ABD 中, 由勾股定理得AB ＝22AD BD -=3k , 可求得k =5. ∴.25=AD

∴⊙O 的半径为252

. …………………………………………………………5分 21.解：（1）290-(85+80+65)=60 (万元) . 补图(略) …………………………1分

（2）8523%=19.5519.6 (万元).

所以该店1月份音乐手机的销售额约为19.6万元. ………………………3分

（3）不同意，理由如下：

3月份音乐手机的销售额是 6018%10.8?=（万元）,

4月份音乐手机的销售额是 6517%11.05?=（万元）. ………………4分

而 10.8<11.05,

因此4月份音乐手机的销售额比3月份的销售额增多了. ……5分 22. 解：△BCE 的面积等于 2 . …………1分 （1）如图（答案不唯一）： ……2分

以EG 、FH 、ID 的长度为三边长的 一个三角形是△EGM . …………3分

（2） 以EG 、FH 、ID 的长度为三边长的三角

形的面积等于 3 ． …………5分

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）

23. 解：（1）当m =0时，原方程化为,03=+x 此时方程有实数根 x = -3. ………1分

当m ≠0时，原方程为一元二次方程.

∵()()222311296131m m m m m ?=+-=-+=-0.

∴ 此时方程有两个实数根. ……………………………………………2分 综上, 不论m 为任何实数时, 方程 03)13(2=+++x m mx 总有实数根.

（2）∵令y =0, 则 mx 2+(3m +1)x +3=0.

解得 13x =-，21x m

=-

. ………………………………………………3分 ∵ 抛物线()2313y mx m x =+++与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数， ∴1m =.

∴抛物线的解析式为243y x x =++. ……………………………………4分

（3）法一：∵点P ),(11y x 与Q ),(21y n x +在抛物线上,

∴2211121143,

()4()3y x x y x n x n =++=++++. ∵,21y y =

∴22111143()4()3x x x n x n ++=++++.

可得 04221=++n n n x . E D C B A

G H I

即 0)42(1=++n x n .

∵ 点P , Q 不重合,

∴ n 0.

∴ 124x n =--. …………………………………………………5分

∴ 22221

1114125168(2)265168x x n n n x x n n n ++++=+?+++ 22(4)6(4)516824.n n n n n =++--+++= …………………………………7分

法二：∵ 243y x x =++=(x +2)2-1，

∴ 抛物线的对称轴为直线 x =-2.

∵ 点P ),(11y x 与Q ),(21y n x +在抛物线上, 点P , Q 不重合, 且,21y y =

∴ 点 P , Q 关于直线 x =-2对称. ∴

11 2.2

x x n ++=- ∴ 124x n =--. …………………………………………………5分 下同法一.

24. 解:（1） NP =MN , ∠ABD +∠MNP =180? (或其它变式及文字叙述,各1分). ……2分

（2）点M 是线段EF 的中点(或其它等价写法).

证明：如图, 分别连接BE 、CF . ∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AD ∥BC ，AB ∥DC ，∠A =∠DCB ， ∴∠ABD =∠BDC . ∵ ∠A =∠DBC ，

∴ ∠DBC =∠DCB . ∴ DB =DC . ① ………………………3分 ∵∠EDF =∠ABD , ∴∠EDF =∠BDC .

∴∠BDC -∠EDC =∠EDF -∠EDC .

即∠BDE =∠CDF . ②

又 DE =DF ， ③

由①②③得△BDE ≌△CDF . ………………………………………………4分 ∴ EB =FC , ∠1=∠2.

∵ N 、P 分别为EC 、BC 的中点，

∴NP ∥EB , NP =EB 2

1. 同理可得 MN ∥FC ，MN =FC 2

1. ∴ NP = NM . ……………………………………………………5分

∵ NP ∥EB ,

∴∠NPC =∠4.

∴∠ENP =∠NCP +∠NPC =∠NCP +∠4.

∵MN ∥FC ，

∴∠MNE =∠FCE =∠3+∠2=∠3+∠1.

∴ ∠MNP =∠MNE +∠ENP =∠3+∠1+∠NCP +∠4

=∠DBC +∠DCB =180?-∠BDC =180?-∠ABD .

∴ ∠ABD +∠MNP =180?. …………………………………………7分

25.解：（1）依题意, 11

2=?-b , 解得b =-2. 将b =-2及点B (3, 6)的坐标代入抛物线解析式2y x bx c =++得

26323c =-?+.

解得 c =3.

所以抛物线的解析式为322+-=x x y . ……………………………………1分 （2）∵抛物线 322+-=x x y 与y 轴交于点A ， M 1 3 2 4 P N A

E F C D B

∴ A (0, 3).

∵ B (3, 6),

可得直线AB 的解析式为3y x =+.

设直线AB 下方抛物线上的点M 坐标为（x ，322+-x x ），过M 点作y 轴的平行

线交直线AB 于点N , 则N (x , x +3). (如图1)

∴ 132

ABM AMN BMN B A S S S MN x x ???=+=?-=. …………………2分 ∴()21323332

x x x ??+--+?=??. 解得 121,2x x ==. ∴点M 的坐标为(1, 2) 或 (2, 3). ……………………4分

（3）如图2，由 PA =PO , OA =c , 可得2c PD =. ∵抛物线c bx x y ++=2的顶点坐标为 )4

4,2(2

b c b P --, 图1 ∴ 2

442c b c =-. ∴ 22b c =. …………………………………………………………………5分

∴ 抛物线2221b bx x y ++=, A （0，212b ），P （12b -，214b ）, D （12b -，0）. 可得直线OP 的解析式为12

y bx =-. ∵ 点B 是抛物线2212

y x bx b =++ 与直线12

y bx =-的图象的交点， 令 221122bx x bx b -=++. 解得12,2

b x b x =-=-. 图2 可得点B 的坐标为（-b ，212

b ）. ……………………………………6分 由平移后的抛物线经过点A , 可设平移后的抛物线解析式为2212

y x mx b =++. 将点D (12

b -，0)的坐标代入2212y x mx b =++，得32m b =. ∴ 平移后的抛物线解析式为223122

y x bx b =++. 令y =0, 即2231022

x bx b ++=. 解得121,2

x b x b =-=-. 依题意, 点C 的坐标为（-b ，0）. …………………………7分

∴ BC =212

b . ∴ BC = OA .

又BC ∥OA ，

∴ 四边形OABC 是平行四边形.

∵ ∠AOC =90，

∴ 四边形OABC 是矩形. …………………………………………………8分 N M

B A

P y x

O C B D A O x y

P

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