2021年高三模拟考试数学理试题 Word版含答案

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2021年高三模拟考试数学理试题 Word 版含答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．若复数,则的虚部为

A ．

B ．

C ．

D ． 2．已知全集,若集合，，则

A ．

B ．

C ．

D ．

3．现有某工厂生产的甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品分别有件、件、 件、件．为了调查产品的情况，需从这件产品中抽取一个容量为的样本，若采用分层抽样，设甲产品中应抽取产品件数为，设此次抽样中，某件产品被抽到的概率为，则，的值分别为 25， 20，

25， 25，

4．已知等差数列的公差，且， 则的值为

A ．

B ．

C ．

D ．

5．执行如图1所示的程序框图，若， 则输出的结果为

A ．170

B ．126

C ．62

D ．42 6．钝角三角形的面积是1，，，则

A ．2

B ．

C ．10

D ．

图1

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实用文档 7．若某几何体的三视图(单位：)如图2所示，

则该几何体的体积为

A ．6

B ．12

C ． 18

D ．36

8．设满足约束条件，若，

，且，则正实数的最小值为

A ．

B ．

C ．

D ． 9

．在中，点满足，点是线段上的一个动点，若，则的最小值是 A ． B ． C ． D ．

10．已知椭圆（）的左右顶点分别为，，左右焦点分别为，，点为坐标原点，线段的中垂线与

椭圆在第一象限的交点为，设直线，，，的斜率分别为，，，，若，则 A ．

B ．

C ．

D ．

图2 俯视图

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实用文档 二．填空题：本大题共6小题，考生作答5个小题．每小题5分，共25分．把答案填在答题．．

卡．

中对应题号后的横线上． （一）选做题（请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分） 11．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标中，直线被圆与所截得的弦长为 ． 12．（几何证明选讲选做题）如图3，⊙是的

外接圆，，延长到点，连结

交⊙于点，连结，若,则

的大小为 ．

13．（不等式选讲选做题）若两个正实数满足，

且恒成立，则实数的取值范围是 ．

（二）必做题（14—16题）

14．设（其中为自然对数的底数），则的图

象与直线，所围成图形的面积为 ．

15．设集合，若的某个子集中任意2个元素之差的绝对值不等于1，则称此子集为的“分离子

集”，那么从集合中任取3个元素构成子集，则为“分离子集”的概率为 ______________．

16．若是在的一个零点，则下列结论中正确的有 ．

①； ②；

③； ④． A

B C D E 图3

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实用文档 三、解答题：本大题共6小题，共75分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）已知函数)0,0(cos sin 2)(>>+=

m x m x x f ωωω的最小值为，且图像上相邻两个最高点的距离为．

（Ⅰ）求和的值；

（Ⅱ）若，，求的值．

18．（本小题满分12分）某旅游景点，为方便游客游玩，设置自行车骑游出租点，收费标准如下：租车时间不超过2小时收费10元，超过2小时的部分按每小时10元收取（不足一小时按一小时计算）．现甲、乙两人独立来该租车点租车骑游，各租车一次．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；2小时以上且不超过3小时还车的概率分别为，，且两人租车的时间都不超过4小时．

（Ⅰ）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；

（Ⅱ）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望．

19．（本小题满分12分）在如图4所示的几何体中，四边形为平行四边形，平面平面，，∥，，， ．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）当二面角的平面角的余弦值为时，求三棱锥的体积．

20．（本小题满分13分）已知的图像过点，且对任意，都有，数列满足，

． （Ⅰ）求关于的表达式和数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和．

21．（本小题满分13分）已知椭圆：（）的左右顶点是双曲线：的顶点，且椭圆的上顶点到双曲线的渐近线的距离为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若直线与相交于，两点，与相交于，两点，且，求的取值范围．

图4

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22．（本小题满分13分）已知函数．（其中为自然对数的底数）

（Ⅰ）若方程在区间上有2个不同的实根，求实数的取值范围；

（Ⅱ）设，证明：；

（III ）若，是函数的图象上不同的两点，且函数的图象在，处切线交点的横坐标为，直线在轴上的截距为，记，请探索的值是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．

xx 年常德市高三年级模拟考试

数学（理科）参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．

1．B 2．A 3．D 4．C 5．A 6．D 7．B 8．B 9．C 10．C

二．填空题：本大题共25分.把答案填在答题．．卡．

中对应题号后 的横线上. （一）选做题（11—13题，考生只从3题中任选2题作答。若3个都作答，则只给11、12题计分）

11．2

12． 13． （二）必做题（14—16题） 14．

15． 16．①②③

三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．解：（Ⅰ）函数，

所以……………………………3分

又由已知函数的最小正周期为，所以， ………6分

（Ⅱ）有（Ⅰ）得，所以

，

………………………………………9分 10

274sin )4cos(4cos )4sin()44sin(sin =+-+=-+=∴π

π

θπ

π

θπ

π

θθ，

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)sin 21(22cos 2)2

2sin(2]4

)8

(2sin[2)8

(2θθπ

θπ

π

θπ

θ-==+

=+

+

=+

∴f

……………………………………………………12分

18． （1）甲、乙所付费用可以为元、元、元

甲、乙两人所付费用都是元的概率为…………………1分 甲、乙两人所付费用都是元的概率为…………………2分

甲、乙两人所付费用都是元的概率为 ………3分

故甲、乙两人所付费用相等的概率为………………5分 （2）随机变量的取值可以为……………………………6分

1111111111

(40)12323332236P ξ==?+--?+-?=

（）（1-） 1111115

(50)1122323336

P ξ==?--+--?=

（）（） 11111

(60)11232336

P ξ==--?--=

（）（） 故的分布列为：

……………………………………………10分 的数学期望是1131151

203040506035636363636

E ξ=?

+?+?+?+?= ………………………………………………………12分 19．（Ⅰ）证明：因为，平面平面，所以平面,

又∥，所以平面，所以,又，所以≌,； ………………………………………………5分

（Ⅱ）取的中点，因为，所以,又平面平面，

所以平面, ……………………………………………………………6分 如图建立空间直角坐标系，则，，,设 ，

设平面的法向量为，

则由,即，

得， …………9分

由（Ⅰ）知平面，所以平面的法向量为,

， ………10分

所以 …………………12分 20．（Ⅰ）由已知， ∴……2分

∴为正偶数时，，……………………………………………为正奇数时，2

1(1)111()3233

232n n n n n n a a f a a ---+--===-=?-=-

且时，也适合上式………………………………5分

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实用文档 ∴………………………………………………6分

（Ⅱ）………………………………………7分

① 当为正偶数时，

1231(1361)23(3363)[336(1)]3n n n S n n -=?-?+?+?-?++?-?-+? 123(1323333)6[13(1)]n n n =?+?+?++?-?+++-

…………………………………………………8分

其中

两式相减得=

∴，

∴当为正偶数时，………………………10分

② 为正奇数时，211133()3(1)362424

n n n n n n S S b n n n --=+=-?--++?- ……………………12分 ∴1212133()32424133()332424

n n n n n n S n n n n ++?-?-+??=??-?---??　 　　为正偶数　 　　　　 为正奇数　……………13分 21．解：（Ⅰ）由题意可知：， ……1分

又椭圆的上顶点为，

双曲线的渐近线为：，………………………2分

由点到直线的距离公式有： ……………………3分

所以点的轨迹的方程为：． …………………4分

（Ⅱ）易知直线的斜率存在，设直线的方程为，代入，消去并整理得：

要与相交于两点，则应有：

……① ……5分

设、，则有： ，．

又

又：，所以有：22222221[(1)(33)6(13)]513k m k m m k k

+--++-=-- ……② ………………7分

将，代入，消去并整理得：,

要有两交点，则222222364(13)(33)031k m k m k m ?=-+->?+>……③

由①②③有： ． …………………………………9分 设、，则有： ，．

所以：

12M M = 又，代入有：

．………………………………………………11分

，令，则，

令，又，

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实用文档 所以在内恒成立，故函数在内单调递增，

故． ……13分

22．解：（1）令，得，

令，得，

在上单调递减，在上单调递增，………………2分

又，，要方程在区间上有2个不同的实根，则，即………………4分

（2），令，即（*）

易知方程（*）的一根为，结合函数与图象，设另一根为，则，

当时，，，………………6分

且当时，，

当时，，当时，，

2202000000001211()()ln (1)g x g x x x x x x x e e e x e

x ∴==-=--=-极小值 ， ………………9分

（3）设直线，，

即，同理，………① ……10分

设两切线交于点，，

即，同理，

，………② ………………12分

由①②得，即 ，所以 ………………13分

*34392 8658 虘38242 9562 镢39581 9A9D 骝30736 7810 砐24931 6163 慣i37795 93A3 鎣35563 8AEB 諫Wo36009 8CA9 販34839 8817 蠗21359 536F 卯

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